3. Lineare autonome Systeme
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- Valentin Winkler
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1 3. Liee uoome yseme Liee uoome yseme öe ewede duh yseme o Diffeeilgleihuge. Odug ode duh eie Diffeeilgleihug -e Odug de A eshiee wede. Beide Besheiugsweise sid eide äquile, d.h. sie lsse sih ieide üefühe. d i j ij d j y i ( i,..., ij, yi os. ( d d (... i os. Wi ehe dzu ds folgede Beispiel: Diffeezie m ( h de Zei, gil: Eiseze o ( fü : ( ( ( Aus ( folg: ( Ud m ehäl duh Umsellug eie Diffeeilgleihug. Odug. ( ( Allgemeie Fll: d A y Üefühug i ei homogees ysem duh Koodiesfomio wege os. gil d d( d A( Es geüg lso, homogee yseme zu ehe. (ih wid weggelsse d A A y A 3 d A y 3
2 Fü homogee liee yseme id ( ud ( d is uh Lösuge o ( y i eie Lösug, mi ose Koeffiziee ud. gil ds upeposiiospizip. d A ( ( Beweis: d d ( ( ( A ( A ( A lso: d ( ( A mi sioäe Lösuge: mi A A I (I: Eiheismi fide m: d A, lso A A A A y A y y y d d ( ( ( A d. h. die Beehug des sioäe Zusdes läuf uf die Ieieug de ysemmi A hius. Pishe Rehugsefhe: z. B. Gußshe Algoihmus. Lösugsefhe fü liee uoome Diffeeilgleihugssyseme Liee uoome yseme lsse sih miels Epoeilfuioe löse. d Fll: z. B. Zefll eie usz d, Lösug miels Asz e ; os Epoeilfuio: Eiseze liefe: (. e e Asz is Lösug, we gewähl wid: geeigee Whl de Iegios- ose : ( e ( ( e : Lösug: ( e 4
3 Lösug miels Teug de Vile d l ( ( l l ( ( e Allgemeie Fll: (homogee yseme d A Asz: e d e A e Fü wüde diese Gleihug usfühlih lue: Wi öe de sle Fo e üze d d A e mi I :( folg Diese Gleihug h die uu eie Eigewegleihug. : Eigewee de i A : Eigeeo de i A Ausfühlih I A I ( A I K L L - Eiheismi Ds is ei homogees Gleihugssysem fü die Uee (,..., T., e o ei Gleihugssysem h u d ihiile Lösuge, we die Gleihuge lie hägig sid. Ds is d de Fll, we die Koeffizieedeemie eshwide. De ( A I 5
4 Geomeishe Veshulihug: fü Homogees ysem: ( I ( II (I ud (II sid Gedegleihuge ( I ( II Gede gehe duh de Uspug We die Asiege eshiede sid, gi es u eie hipu (II (I Lösuge gi es u, we die Asiege gleih sid. D gi es lledigs uedlih iele Lösuge; d.h. die Lösug is e is uf eie sle Fo (Rihug des Lösugseos e, e ih seie Läge. Bedigug fü gleihe Asiege: ode, wie ehupe: (I (II, (.w (.w, De Fü ds Eigewepolem gil: De ( ( ( Ds läss sih uh folgedemße sheie: p D p: pu de i A D: Deemie de i A ode F ( ( ; 6
5 Fll: 3 De liefe die Gleihug: F 3 ( p K D 3 Die eide Gleihuge F (, ( p K 33 D F 3 sid isesodee wihig ei de iliäslyse o - ud 3-Kompoeesyseme. Allgemeie Fll: fü ds Diffeeilgleihugssysem d A egi sih ds heisishe Polyom: F ( ehäl im llgemeie Fll Lösuge fü :,,...,. ez m i i die Gleihug A ei, d ehäl m fü jedes i eie dee Lösugseo ( i. i ( i is wege de Homogeiä uh mi slem Fo eie Lösug. is elieig wähl.. öglihei: i wid eie Kompoee elieig gewähl (z. B... öglihei: Nomieug de Veoe: ( i ( i A i ~ ( i ( i.. Wege des upeposiiospizips ehäl m ls llgemeie Lösug: ( ( i i i e Die feie Koeffiziee sid duh die Afgsediguge fesgeleg i i ( ( i i j 7
6 Ausfühlih: ( ( ( ( ( ( ( ( Ds is ei ihomogees liees lgeishes ysem zu Besimmug de Koeffiziee. j Eifhes Beispiel us de hemishe Reiosiei (.w moomoleule Reioe, liee Kiei: ;, os. ; { { { y A ioäe Zusd: ; Aweihuge om sioäe Zusd: ( ( ; fü ds homogee ysem gil d Lösugssz: e Eigewegleihug ( A I De De liefe ( (. Eigewee ; Beehug de Eigeeoe: 8
7 lso: ( (. ( ( : ( ( imme efüll: ( ( ( ( us ( folg: ( elieig ( ( (. ( ( ; ( ( fü ( ( ( ( 3 elieig. ( Die llgemeie Lösug lue: e e Zu Aleiug eie spezielle Lösug ehe wi die iuio: fü < (sedy se fü < Zuge o ei : ( ; ( Vegleih mi llg. Lösug liefe ; ( Die spezielle Lösug lue deshl: ( e ( ( e e Hie wude ousgesez, dss. Aus de spezielle Lösug läss sih e duh Gezüegg uh de Fll heleie. Wi seze ; κ 9
8 es folg fü die öuge ( e κ ( ( e e κ zw. ( e ( e κ κ Ewilug o i Tyloeihe: ( 3 3 κ κ κ e / / κ e... κ! 3! e κ κ ( e Fü Ds Aufee o -hägige Vofoe is ypish fü Fälle, wo die Eigewee gleih sid. Eug o Eigewee.
Cristian Rosca & Timm Kruse: Ungleichungen II (Proseminar Mathematisches Problemlösen SS 2006: Dozent - Natalia Grinberg) UNGLEICHUNGEN II
Cisti Ros & Timm Kuse: Ugleihuge II (Posemi Mthemtishes Polemlöse SS 006: Dozet - tli Gieg) Posemi Mthemtishes Polemlöse Uivesität Klsuhe SS 006 UGLEICHUGE II Youg-Ugleihug... Hölde-Ugleihug...6 Miowsi-Ugleihug...0
Analytische Geometrie
Pives Gymsim Mies J Mhemik Alyishe Geomeie Ueihsfzeihe de Mhemikleisskse / i de Shljhe / d / Noe Mez Am Solz He Ihlsvezeihis LÄNG BTRAG) INS VKTORS INHITSVKTOR SKALARPRODUKT WINKL ZWISCHN ZWI VKTORN NORMALNFORM
VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, LÖSUNGEN MONTAG
Lösuge Motg -- VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, LÖSUNGEN MONTAG Blok. Beekuge: Kle vo ie h usse uflöse; Pukt vo Stih 0. / /. π lr lr Q lr d 00 ln Beekug zu d Geht uh ohe TR! Küze Nee: ud Zähle:
Ergebnis: Abhängigkeit y(x) in der impliziten Form G(y) = F(x) + C. y =
Lösugsmethode Differetilgleihuge erster Ordug Für gewisse Tpe vo Differetilgleihuge läßt sih ei Weg gee, uf dem m, die Lösug der Differetilgleihug uf Qudrture d.h. uf ds Ausrehe vo Itegrle, urükführe k..
r r a = k b mit k IR \{0} nicht gleichzeitig erfüllbar. 4 Die beiden Vektoren sind nicht kollinear (linear unabhängig) 3
Liee Ahägigeit Wehe Vetoe sse sih duh zwei gegeee Vetoe dstee? Bethtug des Poes i de Tfeeee: Ae! Wie hätte ih eie Vetoe iht wähe düfe: Pe! Aso: Spezif: We eie de Vetoe eie eue Ifotio (Rihtug) eisteuet
5.6 Additionsverfahren
5.6 Additiosverfhre Prizip Die eide Gleihuge werde so umgeformt, dss ei der Additio der eide Gleihuge eie Vrile wegfällt. Es müsse h der Umformug lso i eide Gleihuge gleih viele x oder gleih viele y (er
Plausibilisierung zahlentheoretischer Erkenntnisse mittels elementarer Wahrscheinlichkeitsrechnung
Plusiilisieug hleheoeishe Eeisse miels elemee Whsheiliheisehug UWE FISCHER, BAD BERLEBURG Zusmmefssug: So eifh sih hleheoeishe Poleme of fomuliee lsse, so shwieig Poehle 4. Dihe de Summe us wei eilefemde
18 Homogene lineare Gleichungssysteme
Lieae Algeba II SS 0 - Pof. D.. afed Leiz Kapiel V: Lieae Gleichgssyseme 8: Homogee lieae Gleichgssyseme 8 Homogee lieae Gleichgssyseme A Zm Begiff lieaes Gleichgssysem B Theoeische Gdlage C Lösgsvefahe
x + z y = 6 x 2 + z 2 y 2 = 36 x 3 + z 3 2y 3 = 1 x + z = y + 6 x 2 + z 2 = y x 3 + z 3 = 2y x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3 = 0 x + xy + y = 1
Gleihuge/Ugleihuge sltt Seite Gleihuge Aufge (Wurzel π37) Fide lle e (x, y, z) R 3 des Gleihugssystems M stellt ds System um zu x z y = 6 x z y = 36 x 3 z 3 y 3 = x z = y 6 x z = y 36 x 3 z 3 = y 3 Aus
2 Grundlagen der Robotermathematik - Lösungen zu den Aufgaben
Gdlage de Roboemahemaik - Lösge z de Afgabe Afgabe. Gegebe is ei Recheck mi de Kaeläge l cm, bcm. Es is paallel z de Koodiaeachse asgeiche d sei like ee Eckpk lieg bei P,. a Selle Sie fü die ie Geade,
Mittelwerte. Sarah Kirchner & Thea Göllner
Mittelwerte Srh Kirher The Göller Mittelwerte sid vershiedee mthemtish defiierte Kegröße. Uter dem Mittelwert zweier oder mehrerer Zhle versteht m meistes de Durhshitt, owohl viele dere Mittelilduge vorkomme.
e aus der Parameterform (*). Die Ebene E, in b c > a 1 = 0, so dass: a a
Mihl Buhlm Mthmtik > Vktohug > Kis Pmtfom Eilitug Im didimsiol ll Vktoum kö Gd ud E uh Kis mit Hilf vo Pmtfom dgstllt wd. Gg si im Folgd i Kis k mit Kismittlpukt Mm m m 3 ud Kisdius, >. Sid ud zwi Eihitsvkto,
Einführungsmöglichkeiten des Skalarprodukts. r r
Einfühungsmöglihkeiten des Sklpodukts Jügen Zumdik I. Geometishe Zugänge im Euklidishen Vektoum Euklidishe Länge eines Vektos ist eeits eingefüht Polem Winkel zwishen Vektoen R² α β ϕ α-β osϕ osα-β osαosβ
Integralrechnung = 4. = n
Computer ud Medie im Mthemtikuterriht WS 00/ Itegrlrehug. Allgemei Die Berehug vo Bogeläge, Shwerpukte ud Trägheitsmomete, der Areit ud des Effektivwertes eies elektrishe Wehselstromes, der Bhkurve vo
R05 - Reibschlüssige Verbindungen
IZ-ÜCIG-IIU Ü MCIEEE DE ECICE UIEIÄ CLUL Pofesso D.-Ig. Pee Diez 0..00 e 05 - eibschlüssige ebiduge ufgabe: uf eie ohlwelle aus Ck 5 soll eie ieescheibe aus eie luiiulegieug iels eie zlidische Peßvebidug
Also definieren wir: Die Definition ist damit unabhängig vom Kürzen oder Erweitern des Exponenten.
7. Poteze mit rtiole Expoete Eiführedes Beispiel: Wir versuche ls Potez vo zu schreie. Bei dieser Erweiterug solle die isherige Potezgesetze gültig leie. x mit poteziert x x ( ) ( ) log 8 Also defiiere
Kapitel I Zahlenfolgen und -reihen
Kpitel I Zhlefolge ud -reihe D (Zhlefolge) Ist jeder Zhl geu eie Zhl R,,,, eie (reelle) Zhlefolge bilde M schrieb: Die heiße Glieder der Zhlefolge zugeordet, so sgt m, dss die Zhle B Eie Zhlefolge ist
Teilfolgen aus und fragen nach deren Rekursionsformel. Die Ideen gehen auf Édouard Lucas zurück.
Hs Wlser, [0090331] Teilfolge der Fibocci-Folge 1 Worum geht es? Wir wähle us der Fibocci-Folge 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 1 1 3 5 8 13 1 34 55 89 144 33 377 Teilfolge us ud frge ch dere Rekursiosformel.
Wie funktioniert ein GPS System?
GPS Sem Wie funkionie ein GPS Sem? Im Pinip gn einfh. Mehee Sellien, die ih in eine w. meheen geoionäen Umlufhnen üe de Ede efinden, hlen egelmäßig ihen deei kuellen Snd de Aomei u. D GPS Geä uf de Edoeflähe
Analytische Geometrie
Alyihe Geomeie Leiko z Kl- d Aioeeig Eo Pojek de Mhe LK /: Fi Fedde Koie Kleiheiz Simo Ldeg Le Mo J Oeek Khi Shellh Fiedeike Th Chiohe Wehl Alyihe Geomeie Ihl Seie Seie Them ---/--- Ihl Gdegiffe Gdegiffe
Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Physik
Isiu für Aalysis SS7 Arbeisgruppe Agewade Aalysis 997 PD Dr Peer Chrisia Kusma Höhere Mahemaik I für die Fachrichug Physik Lösugsvorschläge zur Bachelor-Modulprüfug Aufgabe : (a) (i) Kurze Rechug liefer
Hilfsmittel Beliebiger Taschenrechner Lösungsformel für quadratische Gleichungen (siehe Folgeseite)
Fchhochschule Nordwesschweiz Hochschule für Wirschf Aufhmerüfug 9 Mhemik MATHEMATIK Doze: Thoms Schäfer Dum 8. Aril 9 Zei 8.. Nme, Vorme Prüfugsor Ole Hilfsmiel Beliebiger Tscherecher Lösugsformel für
Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus
Mthemtik Jessi Liere Gleihugsssteme // www.re-lueker.de Liere Gleihugsssteme Der Gußshe Algorithmus iführedes Beispiel s sei ei lieres Gleihugssstem mit drei Gleihuge ud drei ubekte Größe, ud gegebe: (
Analysis I Probeklausur 2
WS /2 Mriescu/ Ert Alysis I Probeklusur 2. Aufgbe Die Folge (x ) N sei rekursiv defiiert durch x =, x + = 2+x. () Beweise, dss die Folge (x ) N streg mooto wchsed ist. (b) Beweise, dss (x ) N durch 2 ch
Flächeninhalt. Annahme: Funktion monoton; x 0, x 1,..., x n äquidistant. w(ξ i ) = P(D = ξ i ) = P(x i 1 < X x i ) f (ξ i ) (x i x i 1 )
Fläheihl Berehe Sie ie Ihle er eeee Flähe! Kpiel Ierio f ( Flähe: A f ( + 2 Approimio urh Treppefukio Josef Leyol Mhemik für VW WS 27/8 Ierio / 35 iem-summe Josef Leyol Mhemik für VW WS 27/8 Ierio 2 /
Dr. Jürgen Senger MATHEMATIK. Grundlagen für Ökonomen
D. Jüge Sege MTHEMTIK Gudlage fü Ökooe ÜBUNG 8.. - LÖSUNGEN. Gegee ist das lieae Gleichugssyste: 7 a. Es hadelt sich u ei ihoogees lieaes Gleichugssyste it Gleichuge ud Vaiale.. Ei lieaes Gleichugssyste
7.4. Teilverhältnisse
7... erehnung von Teilverhältnissen ufgen zu Teilverhältnissen Nr. 7.. Teilverhältnisse Die Shwerpunkte von Figuren und Körpern lssen sih mit Hilfe von Teilverhältnissen usdrüken und erehnen. Definition
D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis II FS 2018 Prof. Manfred Einsiedler. Lösung 2
D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Alysis II FS 28 Prof. Mfred Eisiedler Lösug 2 Hiweise. Gehe Sie log zum Kochrezept zur Treug der Vrible i liere Differetilgleichuge vor (siehe Abschitt 7.5.3 im Skript). 2. Bemerke
Mathematik für die Physik II, Sommersemester 2018 Lösungen zu Serie 6
Mthemtik für die Physik II, Sommersemester 2018 Lösuge zu Serie 6 26 Utersuche die folgede Fuktioefolge uf puktweise beziehugsweise gleichmäßige Kovergez, d.h. bestimme jeweils ob diese vorliegt ud gebe
SS 2017 Torsten Schreiber
SS 07 Torste Schreier e Wert eier etermite köe wir is zu eiem Formt vo mittels dem Verfhre vo Srrusestimme. Für Mtrize, die ei höheres Formt he, köe wir die etermite mit dem estimme. zu sollte Sie im erste
Das Wurzelziehen (Radizieren) ist die Umkehrung des Potenzierens. Durch Berechnung der entsprechenden Wurzel entsteht wieder der Wert der Basis.
. Wurzel Ds Wurzelziehe (Rdiziere) ist die Umkehrug des Potezieres. Durch Berechug der etsprechede Wurzel etsteht wieder der Wert der Bsis. poteziere Wurzel ziehe. Die Qudrtwurzel Ds Ziehe der Qudrtwurzel
( 3) k ) = 3) k 2 3 für k gerade
Aufgbe : ( Pute Zeige Sie mithilfe des Biomische Lehrstzes: ( 3 ( 3 ist für lle N eie türliche Zhl Lösug : Nch dem biomische Lehrstz gilt: ( 3 Somit ergibt sich ( 3 ( 3 ( ( 3 bzw ( 3 ( ( 3 ( ( 3 ( ( 3
Kommutativgesetz 1.) a + b = b + a Entsprechende Umformungen gelten. Assoziativgesetz 3.) ( a + b ) + c = a + ( b + c ) = a + b + c
03.05.0 Elemetre Termumformuge Kommuttivgesetz. + + Etsprehede Umformuge gelte... für Sutrktio ud Divisio iht. Assozitivgesetz 3. ( + + + ( + + + 4. (... (... 5. ( + - + ( - + - 6. (. :. ( :. : Etsprehede
Mathematik für VIW - Prof. Dr. M. Ludwig. Def. 6.1 Eine (reelle) Zahlenfolge ist eine unendliche Menge von (reellen) Zahlen a1, a2,, a n
Mthemti für VIW - Prof. Dr. M. Ludwig 6. Zhlefolge ud Reihe 6. Zhlefolge 6.. Grudbegriffe Def. 6. Eie (reelle Zhlefolge ist eie uedliche Mege vo (reelle Zhle,,,, i eier bestimmte Reihefolge geordet sid.
Das Skalarprodukt ist ein Produkt zweier Vektoren, das als Ergebnis ein Skalar (eine reelle Zahl) liefert. Es ist folgendermaßen definiert: r o
Rechemehode de Aalyiche Geomeie B & S Skipedie, 6. bee. Nowedige Gudlage.. a Skalapoduk a Skalapoduk i ei Poduk zweie Vekoe, da al gebi ei Skala eie eelle Zahl liefe. i folgedemaße defiie b a b a b a b
Brückenkurs Mathematik Dr. Karl TH Nürnberg
Brükekurs Mthemtik Dr. Krl TH Nürerg Qudrtishe Gleihuge Ugleihuge Copyright : Huert Krl Alle Rehte vorehlte. Diese Puliktio drf ohe die usdrüklihe shriftlihe Geehmigug des Autors weder gz oh uszugsweise
5. Vektor- und Matrizenrechnung
. Vektore, Mtrize ud Determite 69. Vektor- ud Mtrizerehug. Vektore, Mtrize ud Determite (i) Vektore Im folgede betrhte wir Vektore i der bee, im Rum oder llgemeier (,..., ). Vektore köe ls Spltevektore
Investitionsund Finanzierungsplanung mittels Kapitalwertmethode, Interner Zinsfuß
Ivesiiosud Fiazierugsplaug miels Kapialwermehode, Ierer Zisfuß Bearbeie vo Fraka Frid, Chrisi Klegel WI. Aufgabe: Eie geplae Ivesiio mi Aschaffugsausgabe vo.,- läss jeweils zum Jahresede die folgede Eiahme
ALGEBRA. Potenzen und Wurzeln. Grundlagen. Manuskript zur Wiederholung. Datei Nr Dezember Friedrich W. Buckel
ALGEBRA Poteze ud Wurzel Grudlge Muskript zur Wiederholug Dtei Nr. Dezember 00 Friedrich W. Buckel Itertsgymsium Schloß Torgelow Ihlt Poteze mit türliche Expoete Potezgesetze Poteze mit egtive gze Expoete
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Üuge Motg -- VORKURS: MATHEMATIK RECHENFERTIGKEITEN, ÜBUNGEN MONTAG Blok Die Musterlösuge werde Aed uf der Vorkurs-Hoepge ufgeshltet!. Berehe Sie vo Hd: : 9 9. Berehe Sie vo Hd: / /. Zu welhe Zhleege ln,
Integralrechnung kurzgefasst
Itegrlrehug kurzgefsst. Flähe uter eiem Grphe Die Eistiegsfrge lutet: Wie k m de Fläheihlt A eies Flähestüks erehe, ds egrezt wird - vom Grphe G f eier (stetige) Fuktio - vo der -Ahse - vo zwei Prllele
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Formelsammlung. 2 c 3. Wenn die Ebene durch die Gerade g und den Punkt g gehen soll, gilt: 3 und h : 2
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Abgabe: (vor 12 Uhr)
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6. Numerische Filterung: Polfilter, Diffusion und Lärmfilter. 6.1 Polfilter
6. Numeice Fileug: Polfile Diffuio ud Lämfile 6. Polfile De e geige zoale ieuabad i Poläe efode eie e uze Zeici de da Modell ieffizie mac. Diee Naceil wid veige idem ma ab eie beimme Beie die ieue albie
Komplexe Zahlen Ac '16
Komplexe Zhle Ac '16 I der Mege der reelle Zhle ist die Gleichug x² = -1 icht lösr. Ahilfe schfft eie Zhlereichserweiterug vo der Mege uf die Mege der sogete komplexe Zhle. Die Mege der komplexe Zhle esteht
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Matrix Theorie FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN PROF. DR. PETER SPARLA MATHEMATIK 1 1
Mtrix Theorie FCHBEREICH BUINGENIEURWESEN PROF. DR. PETER SPRL MTHEMTIK htug! Dieses Folieskript soll de Studierede eiiges mehisher Shreibrbeit behme ud dzu beitrge, sih uf ds eigetlihe Fh ud seie vielfältige
7 Ungleichungen und Intervalle
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Lineare Algebra die Darstellungsmatrix von f bezüglich A. Es ist B = (b 1, b 2, b 3 ) mit. A = M A A (f) =
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Mathematikaufgabe 79
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Grundlagen der Mathematik (LPSI/LS-M1) WiSe 2010/11 - Curilla/Koch/Ziegenhagen
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Lineare Algebra 2. A m. A 3 XI n3
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7.7. Abstände und Winkel
uu uu uu uu uu uu uu uu 77 Astäde ud Wikel 77 Wikel Geade - Geade Schittwikel zweie Geade: Am Schittpukt zweie Geade g ud g lasse sich die eide Wikel (g, g ) ud (g, g ) messe Als Schittwikel ezeichet ma
Aufgaben Mikroökonomie (mit Lösungen) 3 Wahl des Konsumenten
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Tylor Formel Die Tylorsche Formel liefert eie Approximtio eier Fuktio durch ei Polyom, gemeism mit eier Abschätzug des Fehlerterms. Zwischewertstz: Eie stetige Fuktio f : [, b] R immt jede Wert γ zwische
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S Nürerg Grudwisse Mthetik 8. Jhrggsstufe Wisse ud Köe. Fuktioe eeihuge: D Defiitiosege f( Fuktiosvorshrift f( Fuktioster f( Fuktiosgleihug Fuktioswert vo ufge ud eispiele Eie Fuktio ist eie Zuordug, die
Zusammenfassung: Komplexe Zahlen
Zusmmefssug: Komplexe Zhle Ihltsvereichis Komplexe Zhleeee che mit komplexe Zhle Polrform komplexer Zhle 4 Wurel komplexer Zhle 6 Formel vo Crdo 8 Nullstelle ud Fktorisierug vo Polyome 9 Für Experte Komplexe
6. Übung - Differenzengleichungen
6. Übug - Differezegleichuge Beispiel 00 Gesucht sid alle Lösuge vo a) x + 3x + = 0 ud b) x + x + 7 = 0, jeweils für 0. Um diese lieare Differezegleichug erster Ordug zu löse, verwede wir die im Buch auf
Wiederholungsaufgaben Mathematik
Wiederholugsufge Mthemtik Liee Shülerie ud Shüler, liee Elter, ei siherer Umgg mit de Theme ud Ihlte der Mittelstufe stellt die Bsis für eie erfolgreihe Mitreit im Mthemtikuterriht der Oerstufe dr. Aus
Eine Folge ist eine durchnummerierte (Index) Abfolge von Zahlen die eine Abbildung der natürlichen Zahlen auf eine andere Zahlenmenge darstellt.
. Kovergez.. Eiführug i ds Prizip der Folge Eie Folge ist eie durchummerierte (Idex) Abfolge vo Zhle die eie Abbildug der türliche Zhle uf eie dere Zhlemege drstellt. Beispiel: : = k uch ls Abbildug: f
A2 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen: Beispiele und Aufgaben
A Poeze, Wzel, Logihme: Beipiele d Afge Gdäzlihe Im Ahi. de Bhe Mhemik fü BWL-Bhelo [] id Seie die gdlegede Age z Poeze, Wzel d Logihme zmmegeell. Die ihee Awedg vo Poez- d Logihmegeeze i owedig, m ei
Zusammenfassung: Folgen und Konvergenz
LGÖ Ks VM Schuljhr 7/8 Zusmmefssug Folge ud Kovergez Ihltsverzeichis Defiitioe ud Beispiele für Folge Beschräkte Folge Kovergez vo Folge Grezwertsätze für Folge 6 Für Experte 7 Defiitioe ud Beispiele für
5. Vektor- und Matrizenrechnung
. Vektore Mtrize ud Determite. Vektor- ud Mtrizerehug. Vektore Mtrize ud Determite (i) Vektore Im Folgede betrhte wir Vektore R i der Ebee R im Rum oder llgemeier (... ) R. Vektore köe ls Spltevektore
Mittelwerte und Zahlenfolgen Beat Jaggi, beat.jaggi@phbern.ch
vsmp sspmp ssimf Mittelwete ud Zhlefolge Bet Jggi, bet.jggi@phbe.ch Eileitug Ds Bilde vo Mittelwete ist ei zetles Kozept i de Mthemtik: Lgemsse i de Sttistik (Mittelwet, Medi, Modus); Mitte, Mittelliie
Lösen einer Gleichung 3. Grades
Lösen eine Gleichung Gdes We sich uf dieses Abenteue einlssen will, bucht einige Kenntnisse übe komlee Zhlen Es eicht be, wenn mn folgende Schvehlte kennt und kochezettig (mn nehme) nwenden knn: Es gibt
c) Wir betrachten alle möglichen Potenzen der natürlichen Zahlen. In welchen Fällen endet das Ergebnis einer Potenz immer auf eine 1?
Aufge : Poteze ) We die Zhl elieig oft mit sich selst multipliziert wird, d edet ds Ergeis immer uf eie. Git es och mehr Zhle, die diese Eigeschft esitze? ) Welche Edziffer esitzt die ute stehede Summe?
Homogene Gleichungssysteme, Gausscher Algorithmus
HTW Mhemik MST Prof.Dr.B.Grbowski e-mil: grbowski@hw-srlnd.de Tel.: 7- Lösungen zu Übung Homogene Gleichungssyseme, Gusscher lgorihmus u ufgbe Besimmen Sie mi Hilfe des Gusschen lgorihmus die jeweilige
Werkstoffe der Elektrotechnik, WS 2011 / 2012 Lösungen zur Übung 2
Werstoffe der letrotechi WS 11 / 1 Lösuge ur Übug Aufgbe 1: Wdh. De roglie-welleläge: ewegt sich ei Objet it icht verschwideder Ruhesse it de Ipuls p = v d ih eie Mteriewelle der Welleläge ugeordet werde:
Die gleichen Verhältnisse, wenn wir Faktor 1 festhalten. Diese Überlegungen geben uns eine Vorstellung über das Ertragsgebirge.
Pro. Dr. Friedel Bolle Vorlesug "Miroöoomie" WS 008/009 II. Teorie der Uteremug/ 36 Pro. Dr. Friedel Bolle Vorlesug "Miroöoomie" WS 008/009 II. Teorie der Uteremug/ 37 7. Frge: Welce Eigescte be Produtiosutioe
10 1 Grundlagen der Schulgeometrie. 1.3 Das Dreieck
10 1 Grundlgen der Shulgeometrie 13 Ds Dreiek In diesem shnitt findet lles in der ffinen Stndrdeene 2 = R 2 sttt Drei Punkte, und, die niht uf einer Gerden liegen, ilden ein Dreiek Die Punkte,, nennt mn
Was benötigen wir dafür?
Wahrcheilicheirechug Die Laufzei vo radomiiere zufallgeeuere lgorihme häg vo gewie zufällige reigie ab eiiel Quicor. Um die Laufzeie dieer lgorihme ueruche zu öe, udiere wir im Folgede zufällige reigie
Affine Geometrie 11. Jahrgang
Affine Geomeie. Jhgng Gliedeung. Vekoen. Dellung von Vekoen. Rechnen mi Vekoen. Linee Ahängigkei. Geden- und Eenengleichungen. Gedengleichungen. Eenengleichungen in Pmeefom. Inzidenzpoleme. Punk und Gede
mathphys-online WURZELFUNKTIONEN Graphen der n-ten Wurzelfunktion y-achse
mthphys-olie WURZELFUNKTIONEN Grphe der -te Wurzelfuktio.5.5.5 0.5 0 0.5.5.5.5.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 = = = mthphys-olie Wurzelfuktioe Ihltsverzeichis Kpitel Ihlt Seite Die Wurzel ud Wurzelgesetze Die eifche
Thema 8 Konvergenz von Funktionen-Folgen und - Reihen
Them 8 Kovergez vo Fuktioe-Folge ud - Reihe Defiitio Sei (f ) eie Folge vo Fuktioe vo D R i R. Wir sge, dß f puktweise gege eie Fuktio f kovergiert, flls gilt: f () f() für jedes D. Dies ist der türliche
Der Begriff der Stammfunktion
Lernunterlgen Integrlrehnung Der Begriff der Stmmfunktion Wir gehen von folgender Frgestellung us: welhe Funktion F x liefert ls Aleitung eine gegeene Funktion f x. Wir suhen lso eine Umkehrung der Aleitung
Um- und Inkugelradien am allgemeinen Tetraeder
Ano Fehinge, Gymnsillehe fü Mthemtik und Physik 1 Um- und Inkugeldien m llgemeinen Tetede Oktoe 2007 In de voliegenden Aeit sollen Um- und Inkugeldien eines llgemeinen Tetedes in Ahängigkeit von den Kntenlängen
Marek Kubica, Diskrete Strukturen Übungsblatt 13 Gruppe 11
Mrek Kubic, kubic@i.tum.de Diskrete Strukture Übugsbltt Gruppe Pukteverteilug: Σ Aufgbe () 8 () 7 Der Grph B ht de Prüfer-Code,,,,, der zustde kommt, we m de kleiste Kote vom Grd streicht ud de dere, übrig
Die g-adische Bruchdarstellung. 1 Die g-adische Bruchdarstellung
Die g-adische Buchdastellug Votag im Rahme des Posemias zu Aalysis, 24.03.2006 Michael Heste Ziel dieses Votags ist eie kokete Dastellug de elle Zahle, wie etwa die allgemei bekate ud gebäuchliche Dezimaldastellug
1 * B. Finanzmathematische Grundlagen 4 Aufgaben Aufgabe B/4
Fizmhemik Them: Fizmhemische Grudlge A Eiführug B Fizmhemische Grudlge Gegesd der Fizmhemik Folge- ud Reiherechug ls Bsis der Fizmhemik 3 Reche mi Logrihme 4 Aufgbe - Lösuge Dr. Alfred Brik Fizmhemik Dr.
Logarithmus - Übungsaufgaben. I. Allgemeines
Eie Gleichug höhere Grdes wie z. B. Gymsium / Relschule Logrithmus - Üugsufge Klsse 0 I. Allgemeies k ch ufgelöst werde, idem m die Wurzel zieht. Tritt die Uekte jedoch im Epoete eier Potez uf, spricht
Ohm Gymnasium Grundwissen Mathematik 8. Jahrgangsstufe
Oh Gsiu Grudwisse Mthetik 8. Jhrggsstufe Wisse ud Köe. Fuktioe ezeihuge: Fuktiosvorshrift: Fuktioster kurz f( ist hier: Fuktiosgleihug = Grph eier Fuktio: ufge ud eispiele Eie Fuktio ist eie eideutige
Zusammenfassung: Komplexe Zahlen
LGÖ Ks VM Schuljhr 06/07 Zusmmefssug: Komplexe Zhle Ihltsvereichis Komplexe Zhleeee che mit komplexe Zhle Polrform komplexer Zhle 4 Wurel komplexer Zhle 6 Formel vo Crdo 8 Nullstelle ud Fktorisierug vo
9. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
9. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 1: Gegebe sei die folgede Differetialgleichug 15u(x) + 3xu (x) + x u (x) = 8x 3, x > 0. (a) Gebe Sie ei reelles Fudametalsystem der zugehörige homogee Differetialgleichug
Formel- und Tabellensammlung zum Aktuariellen Grundwissen
Formel- ud Tellesmmlug zum Aturielle Grudwisse Schdeversicherugsmthemti A. Zufllsvrile X, Y seie (disrete oder stetige Zufllsvrile. Verteilugsfutio: F( = P( X (Verteilugs-Dichte: f ( F ( = ei differezierrer
WS 2005/06 Vorkurs: Mathematische Methoden der Physik Musterlösung von Blatt1. 2. Fall x < 2
WS 5/6 Vorkurs: Mtemtise Metode der Pysik Musterlösug vo Bltt Aufge : 6 < < 6 8 < > Lsg.: < 7 7. Fll > : < < < <
A 2 Die Cramersche Regel
Die Crmersche egel Mtrixschreibweise eies liere Gleichugssystems Die Crmersche egel 5 Wir gehe vo der llgemei Gestlt eies liere Gleichugssystems us : Gegebe seie m (reelle oder komplexe) Zhle ik (i,,,
Repetitionsaufgaben Potenzen und Potenzgleichungen
Ktole Fchschft Mthemtik Repetitiosufge Poteze ud Potezgleichuge Ihltsverzeichis A) Voremerkuge B) Lerziele C) Poteze D) Potezgleichuge E) Aufge Poteze mit Musterlösuge F) Aufge Potezgleichuge mit Musterlösuge