18 Homogene lineare Gleichungssysteme

Transkript

1 Lieae Algeba II SS 0 - Pof. D.. afed Leiz Kapiel V: Lieae Gleichgssyseme 8: Homogee lieae Gleichgssyseme 8 Homogee lieae Gleichgssyseme A Zm Begiff lieaes Gleichgssysem B Theoeische Gdlage C Lösgsvefahe 4

2 Lieae Algeba II SS 0- Pof. D.. afed Leiz Kapiel V: Lieae Gleichgssyseme 8: Homogee lieae Gleichgssyseme A. Zm Begiff lieaes Gleichgssysem DEFINITION 8.. (Lieaes Gleichgssysem.) Ei Gleichgssysem de Fom a, x + a, x + L + a, x = b a, x + a, x + L + a, x = b am, x + am, x + L + am, x = bm heiß lieaes Gleichgssysem, wobei die Koeffiziee a i, k d die Gliede b i af de eche Seie eelle Zahle sid d die gesche Göße x k ebefalls eelle Zahle bedee. Sid sämliche Zahle b i af de eche Seie gleich 0, so heiß das lieae Gleichgssysem oge, adefalls ioge. Bemekg. Es sei A m, ( ). Fee sei α : Abbildgsmaix A, d.h. α ( x) = A x fü alle lieae Gleichgssysems A x = m die lieae Abbildg mi de x. Die Lösgsmege L ( A, 0 ) des 0 is geade de Ke de lieae Abbildg α. d.h. L ( A, 0 ) = { x : A x = 0 } = { x : α ( x ) = 0 } = Ke( α ). B. Theoeische Gdlage Lieaes Gleichgssysem Lösgsmege eies ogee lieae Gleichgssysems SATZ 8.. (Lösgsmege eies ogee lieae Gleichgssysems.) Die Lösgsmege L ( A, 0 ) eies ogee lieae Gleichgssysems A x is ei Ueam des 0 ( A ( )) = m,. Fü die Dimesio dieses Lösgsams gil: Dim( L ( A, 0 )) = (Azahl de Spale vo A) Rag( A) ode was dasselbe besag Dim(L ( A, 0 )) = Azahl de Ubekae Rag( A). 5

3 Lieae Algeba II SS 0 - Pof. D.. afed Leiz Kapiel V: Lieae Gleichgssyseme 8: Homogee lieae Gleichgssyseme Bemekg. Weil die Lösgsmege L ( A, 0 ) des ogee lieae Gleichgssysems A x = 0 ( A m, ( )) ei Ueam des is, gil isbesodee: (i) Sid x d x Lösge vo A x = 0, da is ach die Smme x+ x eie Lösg vo A x = 0. (ii) Is z eie Lösg vo A x = 0, da sid ach alle Vielfache σ z ( σ ) Lösge vo A x = 0. (iii) Jede Lieakombiaio as edlich viele Lösgsvekoe vo A x = 0 is wiede eie Lösg vo A x = 0. KOROLLAR 8.3. (vgl. Lemma 8.8.) Fü ei ogees lieaes Gleichgssysem A x = 0 ( A, ( ), x ) gil ses: Dim(L ( A, 0 )) m. Is isbesodee m m <, d.h. die Azahl de Gleichge is geige als die Azahl de Ubekae, so gib es ses eie ichiviale Lösg x \{ 0 }. KOROLLAR 8.4. Gea da ha das ogee lieae Gleichgssysem A x = 0 mi A m, ( ), x die iviale Lösg x = 0 (d.h. L ( A, 0) = { 0 } ) we die Spalevekoe vo A liea abhägig sid ode was dasselbe besag, we de Rag vo A gleich de Azahl de Spale vo A is. Koolla 8.5. Is die Koeffizieemaix A ( ) des ogee lieae Gleichgssysems A x = 0 qadaisch, so exisie gea da die iviale Lösg x = 0 (d.h. L ( A, 0) = { 0 } ), we A iveieba is. C. Gass-Algoihms z Lösg ogee lieae Gleichgssyseme LEA 8.6. Die aix B m, ( ) gehe as de aix A m, ( ) dch elemeae Zeilemfomge hevo. Da habe die ogee lieae Gleichgssyseme A x = 0 d B x = 0 dieselbe Lösgsäme, d.h. L( A, 0) = L ( B, 0 ). 6

4 Lieae Algeba II SS 0 - Pof. D.. afed Leiz Kapiel V: Lieae Gleichgssyseme 8: Homogee lieae Gleichgssyseme Lösg eies ogee lieae Gleichgssysems Lösg eies ogee lieae Gleichgssysems. Eie Basis des Lösgsam L ( A, 0 ) eies ogee lieae Gleichgssysems soll sysemaisch besimm wede. Rechevefahe: (i) Z Lösg eies ogee lieae Gleichgssysems A x = 0 ( A m, ( )) fühe ma die aix A miels elemeae Zeilemfomge i (eie) Zeilesfefom Z übe. Aschließed löse ma das im Allgemeie eifachee Sysem Z x = 0, welches deselbe Lösgsam wie das spügliche Gleichgssysem ha. (ii) Eie Basis des Lösgsams des Gleichgssysems Z x = 0 mi Koeffizieemaix Z ehäl ma, idem ma jeweils eie "feie Vaiable" gleich (ode gleich eiem fese vo Nll veschiedee We) sez d die übige feie Vaiable (sofe es och übige gib) gleich 0 sez. Hiefü gib es gea Rag(Z) öglichkeie. Die Wee de so geae "gebdee Vaiable" besimme ma da jeweils so, dass alle Gleichge efüll sid. Dies is jeweils af gea eie Weise möglich. (Sid k, K, k diejeige Spaleidizes, welche jeweils zm Begi eie Sfe vo Z gehöe, da köe die xk, K, x k als gebdee Vaiable d alle übige Vaiable als so geae feie Vaiable beache wede.) 7

5 Eläeg: x k x K K k x K K k K K K x x = k k k x = = = 3 Die Vaiable xk, K, x k köe als so geae gebdee Vaiable beache wede, alle übige Vaiable als feie Vaiable. Die Vekoe, K, bilde eie Basis des Lösgsams vo A x = 0. De Lösgsam (ege alle Lösge) is: L ( A, 0 ) ={σ + L+σ : σ, K,σ }. 8