26 Eigenschaften der Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume

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1 Lieare Algebra II SS Prof Dr Mafred Leiz Kapiel VIII: Das Eigewerproblem 26: Eigeschafe der Eigewere, K 26 Eigeschafe der Eigewere, Eigeveore ud Eigeräume A Eigeschafe der Eigewere B Eigeschafe der Eigeveore ud der Eigeräume 47

2 A Eigeschafe der Eigewere PROPOSITION 261 Es sei A M ( ) Geau da is die Zahl λ = ei Eigewer vo A, we A eie siguläre (ich iverierbare) Marix is LEMMA 262 Die Marix A M ( ) habe das charaerisische Polyom p A ( λ) Da gil für die charerisische Polyome der raspoiere Marix ojugier p ( λ ) = c ( A Geau da is die Zahl λ = ei Eigewer vo A, we A eie siguläre (ich iverierbare) Marix is PROPOSITION 261 (Elemeare Tasache) (a) Es sei A M ( ) Geau da is die Zahl λ = ei Eigewer vo A, we A eie siguläre (ich iverierbare) Marix is (b) (i) Es sei A M ( ) Is λ ei Eigewer vo A mi der algebraische Vielfachhei v, da is die zu λ ojugier omplexe Zahl λ ei Eigewer der ojugier omplexe Marix A mi der ämliche algebraische Vielfachhei v (ii) Es sei A M ( ) eie Marix mi reelle Eiräge Is λ ei Eigewer vo A mi der algebraische Vielfachhei v, da is die zu λ ojugier omplexe Zahl λ ebefalls ei Eigewer vo A ud zwar ha daλ die ämliche algebraische Vielfachhei v (i) Is λ ei Eigewer der omplexe Marix A M, ( ) mi der algebraische Vielfachheiv, da is die zu λ ojugier omplexe Zahl λ ei Eigewer der Marix = A A mi der gleiche algebraische Vielfachhei v Zwische de charaerisische Polyome gil die Beziehug p ( λ) = p ( λ) A A c c (Dabei is p A ( λ) : = (, we p A ( λ) = ( ) (ii) Is A M, ( ), da habe A ud A dasselbe charaerisische Polyom ud dieselbe Eigewere mi deselbe algebraische Vielfachheie (ii) Is λ ei Eigewer der reelle Marix A M, ( ) mi der algebraische Vielfachhei v, da is die zu λ ojugier omplexe Zahl λ ebefalls ei Eigewer vo A ud zwar ha daλ die ämliche algebraische Vielfachhei v 48

3 Bemerug Auch reelle Marize A M ( ) öe omplexe Eigewere λ \ habe (a) Der Veor v is ei Eigeveor der lieare Abbildug α, da hier v =α( v) v Es is v = α ( v) =λv mi λ 15 Auch jedes salare Vielfache σv vo v mi σ is ei Eigeveor vo α zum ämliche Eigewer λ Der Veor w is ei Eigeveor der lieare Abbildug α, da hier w =α( w) w (b) Der Veor v 1 is ei Eigeveor der lieare Abbildug β, da hier v1 =β( v1) v1 Es is v1 =β ( v1) =λ1v 1 mi λ1 15 Der zum Eigewer λ 1 gehörede Eigeraum E 1= v1 ha hier die Dimesio 1 ud v 1 is eie Basis dieses Raums Auch jeder adere vom Nullveor verschiedee Veor aus E 1 is ei Eigeveor vo β zum ämliche Eigewer λ 1 Koveio Is A M ( ) eie reelle Marix ud sid alle Eigewere vo A reell, so beschrä ma sich abweiched vo Defiiio 251 üblicherweise bei der Berachug vo Eigeveore auf reelle Eigeveore x ud beim Sudium der Eigeräume abweiched vo obiger Defiiio 253 auf die reelle Eigeräume E λ : = { x : A x =λ x} Bemeruge (i) Is λ ei Eigewer der omplexe Marix A M ( ) mi der algebraische Vielfachhei v, da is die zu λ ojugier omplexe Zahl λ ei Eigewer der ojugier omplexe Marix A mi der ämliche algebraische Vielfachhei v (ii) Is λ ei Eigewer der reelle Marix A M ( ) mi der algebraische Vielfachhei v, da is die zu λ ojugier omplexe Zahl λ ebefalls ei Eigewer vo A ud zwar ha daλ die ämliche algebraische Vielfachhei v Bemeruge (i) Is λ ei Eigewer der omplexe Marix A M ( ) mi der algebraische Vielfachheiv, da is die zu λ ojugier omplexe Zahl λ ei Eigewer der Marix = A A mi der gleiche algebraische Vielfachhei v Zwische de charaerisische Polyome gil die Beziehug p ( λ) = p A A c ( λ) c (Dabei is p A ( λ) : = (, we p A ( λ) = ( ) (ii) Is A M ( ), da habe A ud, dieselbe Eigewere mi deselbe algebraische Vielfachheie,,, A dasselbe charaerisische Polyom ud DEFINITION 262 (Spur eier Marix) Uer der Spur eier quadraische Marix A M ( ) verseh ma die Summe der Haupdiagoaleleme vo A, 49,

4 Spur( A) : = a + a + K + a = a 1,1 2,2, i, i i= 1 SATZ 263 Es sei A M, ( ) ud λ 1, λ2, K, λ seie die Eigewere vo A (alle Eigewere espreched ihrer algebraische Vielfachhei higeschriebe) Es gil: Spur( A ) = λ1+ K+λ, de( A ) = λ L 1 λ 5

5 Lieare Algebra II SS Prof Dr Mafred Leiz Kapiel VIII: Das Eigewerproblem 26: Eigeschafe der Eigewere, K SATZ 264 Es sei A M, ( ) Schreib ma das charaerisische Polyom vo A i der Form 1 2 pa ( λ) = ( + c 1 ( + c 2( + K+ c1 ( + c hi, so gil: c 1 = Spur( A), c = de( A) Bemerug Das charaerisische Polyom eier zweireihige Marix A M2, 2 ( ) is 2 p A ( λ) =λ Spur ( A) λ+ de( A) DEFINITION 265 (Ähliche Marize) Zwei Marize A, B M ( ) [ A, B M ( ) ] heiße ählich [reell-ählich], we es eie,, iverierbare Marix T M, ( ) [ T, ( )] gil B= T 1 A T M gib, so dass 1 Bemerug Sid zwei reelle Marize A, B M, ( ) -ählich, dh B= T A T mi eier iverierbare Marix T M, ( ), so is dami ich gesag, dass diese beide Marize auch -ählich sid SATZ 266 Ähliche Marize habe dasselbe charaerisische Polyom, dieselbe Eigewere mi deselbe algebraische Vielfachheie, dieselbe Spur ud dieselbe Deermiae B Eigeschafe der Eigeveore ud Eigeräume SATZ 267 Eigeveore zu verschiedee Eigewere eier Marix sid ses liear uabhägig SATZ 268 (Verallgemeierug vo Saz 267) Wähl ma aus jedem Eigeraum eier Marix eie oder gegebeefalls auch mehrere liear uabhägige Veore aus, so is die Gesamhei der ausgewähle Veore isgesam liear uabhägig 51

6 Lieare Algebra II SS Prof Dr Mafred Leiz Kapiel VIII: Das Eigewerproblem 26: Eigeschafe der Eigewere, K DEFINITION 269 Es sei λ ei Eigewer der quadraische Marix A Die Dimesio des zugehörige Eigeraums E λ e ma die geomerische Vielfachhei des Eigewers λ, geomerische Vielfachhei des Eigewers λ = Dim( E ) λ SATZ 261 (Zusammehag zwische geomerischer ud algebraischer Vielfachhei) Es sei λ ei Eigewer der quadraische Marix A Weier sei v die algebraische Vielfachhei ud w die geomerische Vielfachhei vo λ Da gil: w v oder aders ausgedrüc Dim( E λ ) algebraische Vielfachhei vo λ FOLGERUNG 2611 Es sei λ ei Eigewer der quadraische Marix A Is λ ei eifacher Eigewer, dh is desse algebraische Vielfachhei gleich 1, da is auch seie geomerische Vielfachhei gleich 1 Dh der zugehörige Eigeraum E ha die Dimesio 1 λ 52