Schriftliche Prüfung aus Regelungstechnik am

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1 TU Gaz, Istitut fü Regelugstechik Schiftliche Püfug aus Regelugstechik a Nae / Voae(): Ke-Mat.N.: Gebutsdatu: BONUSPUNKTE aus Coputeecheübug SS00: 3 4 eeichbae Pukte eeichte Pukte

2 TU Gaz, Istitut fü Regelugstechik Aufgabe Gegebe sei folgede Regelkeis it de Fühugsgöße ud de Ausgagsgöße : - R(s) G(s) Die Übetagugsfuktioe de Stecke bzw. des Regles sid gegebe als: Hiebei ist V ei eelle Paaete. s 6 Gs () bzw. Rs () V ( s3)( s4) s a) Beeche Sie die Fühugsübetagugsfuktio T() s. b) Skizziee Sie die Lage de Pole de Fühugsübetagugsfuktio T() s i Abhägigkeit vo Paaete V. Kezeiche Sie i de Skizze die Lage de Pole fü die Wete V 0 ud V. c) Eittel Sie äheugsweise de Wetebeeich des Paaetes V, fü de alle Pole s i de Übetagugsfuktio T(s) die Bedigug Re( s ) efülle. i Hiweise: Regel zu Kostuktio de Wuzelotskuve: Ls () K ( s ) ( s ) 80 i ( i ), i,,( ) Übetagugsfuktio des offee Keises Wikel de Asptote fü K 0 0 Schittpukt de Asptote it de eelle Achse

3 TU Gaz, Istitut fü Regelugstechik 3 Aufgabe : Gegebe sei das Blockschaltbild eies Fühugsegelkeises it de Eigagsgöße ud de Ausgagsgöße : K G(s) Als Regle wid ei Popotioalegle it de Übetagugsfuktio K (it K 0 ) s eigesetzt; die Übetagugsfuktio de Stecke lautet: Gs (). 3 ( s) De Fequezgag G( j ) de Stecke liegt i aßstäbliche Dastellug abe ohe Beschiftug gaphisch vo: I{ G( j)} Re{ G( j )} a) Eittel Sie aus de gegebee Date de Stecke die Schittpukte des Fequezgages it de eelle Achse. (Gebe Sie jeweils eie atheatische Begüdug a!) b) Eittel Sie it Hilfe des Nquistkiteius de gößtögliche Wetebeeich des Reglepaaetes K, fü de obige Regelkeis die BIBO-Eigeschaft besitzt. Hiweis: ac( L( j)) ( a ) L() s stellt hiebei die Übetagugsfuktio des offee Keises da.

4 TU Gaz, Istitut fü Regelugstechik 4 Aufgabe 3 Gegebe sei das atheatische Modell eie Regelstecke it de Eigagsgöße u ud de Ausgagsgöße : 0 0 x u 3 x 0 x Es soll ei Zustadsegle de Fo u k k x eigesetzt wede. Hiebei sid k ud k feie eelle Paaete. a) Gebe Sie die Wetebeeiche de Reglepaaete k ud k a, dait de Regelkeis asptotisch stabil ist. Nu wid de Reglepaaete k gewählt. b) Bestie Sie de Wetebeeich des Reglepaaetes k so, dass die Daikatix des Regelkeises asptotisch stabil ist ud ei kojugiet koplexes Eigewetpaa besitzt.

5 TU Gaz, Istitut fü Regelugstechik 5 Aufgabe 4 Gegebe sei folgede Regelkeis it de Fühugsgöße ud de Ausgagsgöße : s( s) sa Hiebei ist a ei eelle Paaete. a) Beeche Sie die Fühugsübetagugsfuktio T() s. b) Eittel Sie it Hilfe des Routh-Huwitz-Kiteius de gößtögliche Wetebeeich vo a so, dait die Fühugsübetagugsfuktio die BIBO-Eigeschaft aufweist. Als Fühugsgöße wid u die Spugfuktio gewählt: t () () t c) Beeche Sie fü die Paaetewete a ud a de Gezwet de Ausgagsgöße li t ( ). t

6 Schiftliche Püfug aus Regelugstechik a Nae / Voae(): Studieichtug: Ke-Mat.N.: Gebutsdatu: BONUSPUNKTE aus Coputeecheübug SS00: 3 4 eeichbae Pukte eeichte Pukte

7 Aufgabe Gegebe sei de folgede Stadadegelkeis it de Fühugsgöße ud de Ausgagsgöße : L(s) Die Fühugsübetagugsfuktio des Regelkeises lautet: Hiebei ist K ei eelle Paaete. T() s = Ks ( + ) s + ( K + ) s+ K. a) Eittel Sie de Wetebeeich vo K, fü de gilt: = li ( t) = fü t 0 fü t < 0 t () = fü t 0 b) Skizziee Sie die Lage de Pole de Fühugsübetagugsfuktio T(s) i Abhägigkeit des Paaetes K. Hiebei ka K als positiv voausgesetzt wede. Kezeiche Sie i de Skizze die Lage de Pole fü die Wet K=0 ud K. c) Eittel Sie auf gaphische Wege äheugsweise die Wete vo K (it K>0) so, dass T(s) ehfache Pole besitzt. Hiweise: Ls () = K = = ( s - b ) ( s -a ) Übetagugsfuktio des offee Keises 80 Y i = ( i- ), i =, ( - ) Wikel de Asptote fü K > 0 - x = 0 Â a - Â = = - b Schittpukt de Asptote it de eelle Achse

8 Aufgabe Gegebe sei de folgede Stadadegelkeis it de Fühugsgöße, de Stellgöße u ud de Ausgagsgöße : H(s) u P(s) Die Regelstecke wid duch die Übetagugsfuktio Ps () beschiebe, H() s ist die Regleübetagugsfuktio. De qualitative Velauf de Otskuve P( jω) ist i folgede Abbildug dagestellt: I ω Re P(jω) a) Zu welche de folgede Übetagugsfuktioe Ps ( ) ka obige Otskuve pizipiell gehöe? Begüde Sie Ihe Atwote! i) Ps () = 3 ( s + ) ii) Ps () = s ( s+ ) iii) Ps () = ss ( + ) iv) Ps () = s b) Es soll u ei sogeate Popotioalegle (P-Regle) etwofe wede, d.h. H() s = K. Hiebei ist K ei eelle, positive Paaete. Eittel Sie it Hilfe des Nquistkiteius de Wetebeeich vo K, fü de de geschlossee Regelkeis die BIBO-Eigeschaft besitzt. c) Fü de Paaete K soll u gelte: K=. Eittel Sie i eigeschwugee Zustad de Velauf de Stellgöße u fü t () = si() t.

9 Aufgabe 3 Gegebe sei das folgede atheatische Modell eies daische Sstes it de Eigagsgöße u, de Zustadsvekto x ud de Ausgagsgöße : Hiebei ist α ei eelle Paaete x = x+ u = [ 0 ] x 0 0 α 0 a) Übepüfe Sie obiges Modell auf Steuebakeit. Es wid u ei Zustadsegle de Fo [ k k ], ud k feie eelle Paaete. k k 3 u = k x eigesetzt. Hiebei sid 3 b) Bestie Sie die Reglepaaete k, k ud k3 so, dass zwei Eigewete de Ssteatix des Regelkeises bei s = liege. Wo liegt de ditte Eigewet? (Begüde Sie Ihe Atwot!) c) Fü welche Wete vo α besitzt die Ausgagsgöße des Regelkeises fü jede beliebige Afagszustad x 0 die Eigeschaft = li ( t) = 0? Aufgabe 4 Gegebe sei das Blockschaltbild eies Regelkeises it de Eigagsgöße ud de Ausgagsgöße ( α ud β sid eelle Paaete). P(s) u t α Q(s) β a) Eittel Sie die Übetagugsfuktio s () T() s =. s () Fü die Übetagugsfuktioe P(s) ud Q(s) soll u gelte: Ps ( ) = Qs ( ) s = s b) Gebe Sie otwedige ud hieichede Bediguge fü die Paaete α ud dass obige Regelkeis die BIBO-Eigeschaft besitzt. β a, so c) Stelle Sie de i Pukt (b) eittelte Stabilitätsbeeich i de α β -Ebee gaphisch da.

10 Schiftliche Püfug aus Regelugstechik a Nae / Voae(): Studieichtug: Ke-Mat.N.: Gebutsdatu: BONUSPUNKTE aus Coputeecheübug SS00: 3 4 eeichbae Pukte eeichte Pukte

11 Aufgabe Gegebe sei de folgede Regelkeis it de Fühugsgöße ud de Ausgagsgöße : G(s) K Die Übetagugsfuktio G(s) lautet: Hiebei ist K ei eelle Paaete. Gs () = s + ss ( ). a) Eittel Sie de Wetebeeich vo K, fü de gilt: = li ( t) = fü t 0 fü t < 0 t () = fü t 0 b) Skizziee Sie die Lage de Pole de Fühugsübetagugsfuktio T(s) i Abhägigkeit des Paaetes K. Hiebei ka K als positiv voausgesetzt wede. Kezeiche Sie i de Skizze die Lage de Pole fü die Wet K=0 ud K. c) Eittel Sie auf gaphische Wege äheugsweise die Wete vo K (it K>0) so, dass T(s) die BIBO-Eigeschaft besitzt. Hiweise: Ls () = K = = ( s - b ) ( s -a ) Übetagugsfuktio des offee Keises 80 Y i = ( i- ), i =, ( - ) Wikel de Asptote fü K > 0 - x = 0 Â a - Â = = - b Schittpukt de Asptote it de eelle Achse

12 Aufgabe Gegebe sei de folgede Stadadegelkeis it de Fühugsgöße, de Stellgöße u ud de Ausgagsgöße : H(s) u P(s) Die Regelstecke wid duch die Übetagugsfuktio Ps () beschiebe, H() s ist die Regleübetagugsfuktio. Vo de Regelstecke ist bekat, dass sie 3. Odug ist ud keie Polstelle it positive Realteil besitzt. De Velauf de Otskuve P( jω) ist i folgede Abbildug dagestellt: I ω = ω Re ω = P(jω) a) Es soll ei sogeate Popotioalegle (P-Regle) etwofe wede, d.h. H() s = K. Hiebei ist K ei eelle, positive Paaete. Eittel Sie it Hilfe des Nquistkiteius de Wetebeeich vo K, fü de de geschlossee Regelkeis die BIBO-Eigeschaft besitzt. b) Fü de Paaete K soll u gelte: K=0.. Eittel Sie i eigeschwugee Zustad de Velauf de Stellgöße u fü t ( ) = + cos(0.75 t).

13 Aufgabe 3 Gegebe sei das atheatische Modell eies Übetagugssstes it de Eigagsgöße u ud de Ausgagsgöße. 0 x = u 5 x+ 0 = 0 x. [ ] a) Utesuche Sie obiges Modell auf Steuebakeit. Es soll u ei Zustadsegle de Fo [ ] u = k k x + k eigesetzt wede. Hiebei sid 3 k, k ud k3 feie eelle Paaete. Mit wid die Fühugsgöße des Regelkeises bezeichet. k k s i b) Bestie Sie die Wetebeeiche de Reglepaaete, ud so, dass die Ssteatix des Regelkeises eie doppelte eelle Eigewet it < besitzt ud bei de Wahl de Fühugsgöße t ( ) = σ ( t) fü die Ausgagsgöße t ( ) gilt: li t ( ) =. Aufgabe 4 Gegebe sei das Blockschaltbild eies Regelkeises it de Eigagsgöße ud de Ausgagsgöße ( k, kud k3 sid eelle Paaete). s i k 3 t s k 3 s s + k k s () a) Eittel Sie die Übetagugsfuktio T() s =. s () b) Gebe Sie otwedige ud hieichede Bediguge fü die Paaete k, kud k3 a, so dass obige Regelkeis die BIBO-Eigeschaft besitzt. c) Bestie Sie die Paaete k, kud k3 so, dass alle Pole vo T(s) a de Stelle liege. s = 5

14 TU Gaz, Istitut fü Regelugstechik Schiftliche Püfug aus Regelugstechik a Nae / Voae(): Ke-Mat.N.: Gebutsdatu: BONUSPUNKTE aus Coputeecheübug SS00: BONUSPUNKTE aus Coputeecheübug SS003: 3 4 eeichbae Pukte eeichte Pukte

15 TU Gaz, Istitut fü Regelugstechik Aufgabe : Gegebe sei das Blockschaltbild eies Regelkeises it de Fühugsgöße ud de Ausgagsgöße (V ist hiebei ei eelle Paaete): V s+5 (s-)(s+8) s+ s- a) Beeche Sie die Fühugsübetagugsfuktio T() s. b) Skizziee Sie die Lage de Pole de Fühugsübetagugsfuktio i Abhägigkeit des eelle Paaetes V (it V > 0 ) (Wuzelotskuve). c) Eittel Sie it Hilfe de Wuzelotskuve de gößtögliche Wetebeeich des Paaetes V so, dass alle Pole s i de Fühugsübetagugsfuktio die Bedigug Re( s ) < efülle. i Hiweise: Regel zu Kostuktio de Wuzelotskuve: Ls () = K = = ( s - b ) ( s -a ) Übetagugsfuktio des offee Keises 80 Y i = ( i- ), i =,,( - ) - Wikel de Asptote fü K > 0 x = 0 Â a - Â = = - b Schittpukt de Asptote it de eelle Achse

16 TU Gaz, Istitut fü Regelugstechik 3 Aufgabe : Gegebe sei das Blockschaltbild eies Regelkeises it de Fühugsgöße ud de Ausgagsgöße : e K G(s) ( K ist hiebei ei eelle Paaete) 50(0s -) Die Übetagugsfuktio de Stecke lautet: Gs () = 3( s+ 5)( s- ) ( s+ 0) Zusätzlich liegt de Fequezgag G( jw ) de Stecke (fü 0 w < ) i aßstäbliche Dastellug (abe ohe Beschiftug) gaphisch vo: a) Eittel Sie it Hilfe des Nquistkiteius de gößtögliche Wetebeeich des Paaetes K (it K > 0 ), fü de obige Regelkeis die BIBO-Eigeschaft besitzt. b) Es wid u als Fühugsgöße die Spugfuktio t ( ) = σ ( t) gewählt. Bestie Sie de gößtögliche Wetebeeich des Paaetes K (it K > 0 ), fü de fü die bleibede Regelabweichug e = li e( t) < gilt. t

17 TU Gaz, Istitut fü Regelugstechik 4 Aufgabe 3: I Zuge des Kultuhauptstadtjahes hat sich ei Küstle i de Kopf gesetzt, fü das atheatisches Modell eie Regelstecke it de Eigagsgöße u ud de Ausgagsgöße 0 x = + u x = x [ 0 ] eie besodes küstleische Zustadsegle de Fo u [ h h ] T = x= T h x zu etwefe. Ei Eigewet des geegelte Sstes soll (aufgud 003) klaeweise bei s i = 3 liege. Da abe de Zustadsvekto x icht essba ist, uss fü die paktische Realisieug de T Regelug ei Schätzwet ˆx heagezoge wede, d.h. u = hxˆ. Hiefü soll ei Zustadsbeobachte de Fo x ˆ = Ax ˆ ˆ + bu f vewedet wede, woduch sich ei Gesatsste de Fo x x = G ˆ ˆ x x egebe wüde. Die Eigewete de Matix G solle u (aus aheliegede ästhetische Güde) etwede bei liege. i) s =, s =, s 3 = 3 ud s 4 = 4 ode bei ii) s =, s = 3, s 3 = 4 ud s 4 = 5 ode bei iii) s, = 3 ud s3,4 = 3± j3 a) Zu welche Eigewetkofiguatio wüde Sie ate? (Begüde Sie Ihe Wahl.) (Hiweis: Betachte Sie zuächst das atheatische Modell de Regelstecke geaue.) b) Bestie Sie de Zeilevekto h T des Zustadsegles. (De Küstle hatte die Idee, dass h h = 003 gelte soll. Was halte Sie davo?) c) Eittel Sie de Vekto f des asptotische Beobachtes.

18 TU Gaz, Istitut fü Regelugstechik 5 Aufgabe 4: Gegebe sei das Blockschaltbild eies Regelkeises it de Fühugsgöße ud de Ausgagsgöße : (s+)(s+α) u 5 (s-) (α ist hiebei ei eelle Paaete) a) Beeche Sie die Fühugsübetagugsfuktio T( s ). b) Eittel Sie de gößtögliche Wetebeeich des Paaetes α, fü de obige Regelkeis die BIBO-Eigeschaft aufweist. c) Als Fühugsgöße wid u die Spugfuktio t ( ) = σ ( t) gewählt. i) Fü welche Wete vo α ehält a = li ( t) =? t ii) Fü welche Wete vo α ehält a u = li u( t) =? t