KAPITEL IV DREHBEWEGUNGEN STARRER KÖRPER

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Viktor Schneider
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1 KAPITEL IV DREHBEWEGUNGEN STARRER KÖRPER

. GRUNDBEGRIFFE. MODELL "STARRER KÖRPER" Bishe habe wi us mit de Mechaik de Puktmasse beschäftigt; dabei meie wi eigetlich u die Bewegug des Massemittelpuktes.

E ist wie folgt defiiet : Ute eiem stae Köpe vesteht ma ei Gebilde, desse Ausdehug ud Gestalt sich icht veädet. ede stae Köpe ka ma sich aus uedlich viele Puktmasse zusammegesetzt deke.

2 . GRUNDBEGRIFFE. MODELL "STARRER KÖRPER" Bishe habe wi us mit de Mechaik de Puktmasse beschäftigt; dabei meie wi eigetlich u die Bewegug des Massemittelpuktes. Besodes bei techische Aweduge ist es abe oft wichtig, auch Ausdehug ud Gestalt de Köpe zu beücksichtige. Weil ma dabei die Vefomuge oft veachlässige ka, hat ma das Modell des stae Köpes geschaffe. E ist wie folgt defiiet : Ute eiem stae Köpe vesteht ma ei Gebilde, desse Ausdehug ud Gestalt sich icht veädet. ede stae Köpe ka ma sich aus uedlich viele Puktmasse zusammegesetzt deke. Es müsse sich dahe seie Bewegugsgleichuge mit Hilfe de Mechaik de Puktmasse heleite lasse.. TRANSLATION UND ROTATION Ei stae Köpe füht im Allgemeie eie Taslatiosbewegug ud eie Rotatiosbewegug aus. Eie Taslatiosbewegug liegt vo, we de stae Köpe bei seie Bewegug die äumliche Oietieug elativ zu eiem Ietialsystem beibehält. Im Folgede wede wi u Taslatiosbeweguge betachte, bei dee sich de stae Köpe lägs eie Ebee veschiebt. die Bahe de eizele Puktmasse sid da koguete Kuve, die i de gleiche Weise duchlaufe wede. Eie Rotatiosbewegug liegt vo, we sich de stae Köpe um eie feste Pukt elativ zu eiem Ietialsystem deht. I folgedem wede wi u Rotatiosbeweguge betachte, bei dee sich de stae Köpe um eie feste Achse deht. Die Bahe de eizele Puktmasse sid da kozetische Keise, dee Mittelpukte auf de feste Dehachse liege. Dabei duchlaufe die Puktmasse die Bahe mit uteschiedliche Geschwidigkeit.. VEKTORIELLES UND SKALARES PRODUKT ZWEIER VEKTOREN a) Skalaes Podukt Beim skalae Podukt zweie Vektoe v ud v ist das Podukt ei Skala u. u v v De Skala u ist eideutig duch seie Betag defiiet : u v v cos ist de Wikel zwische v ud v STARRE KÖRPER

De Richtugssi egibt sich aus de Regel des echtsdehede Kokeziehes. Dehe wi de. Vekto v auf küzestem Weg auf de.

3 b) Vektoielles Podukt Beiektoielle Podukt zweie Vektoe v ud v ist das Podukt ei Vekto v. v v v De Vekto v ist eideutig defiiet duch seie Betag ud seie Richtug : Betag v v v v v si ist de Wikel zwische v ud v Richtug Die Wikugsliie steht sekecht zu Ebee v, v. De Richtugssi egibt sich aus de Regel des echtsdehede Kokeziehes. Dehe wi de. Vekto v auf küzestem Weg auf de. Vekto v, so scheitet de echtsdehede Kokeziehe i die positive Richtug des Poduktvektos v vo. Die Reihefolge de Vektoe iektoielle Podukt spielt eie Rolle. Die vektoielle Podukte v v ud v v habe zwa de gleiche Betag ud die gleiche Wikugsliie abe uteschiedliche Richtugssi..4 DREHMOMENT De beeits i de 0. Klasse fü de spezielle Fall des Hebels etwickelte Begiff des Dehmometes soll jetzt veallgemeiet wede. Wi betachte dazu eie stae Köpe, de um eie feste Achse, die Dehachse, dehba sei soll. A diesem Köpe geift im Pukte A eie Kaft F ei, die i eie zu Dehachse sekecht velaufede Ebee liegt. Diese Kaft bewikt eie Deh- ode Rotatiosbewegug des Köpes. Das Dehmomet M ist defiiet als das Podukt aus de Kaft F ud dem sekechte Abstad d ihe Wikugsliie vo de Dehachse. Sei die Etfeug des Agiffspuktes de Kaft vo de Dehachse so gilt : M d f si F M F si Dies ist de Betag des vektoielle Poduktes M F. Ute dem Dehmomet M eie Kaft F, die i eie zu Dehachse sekechte Ebee liegt, vesteht ma das vektoielle Podukt aus deo de Dehachse zum Agiffspukt de Kaft weisede Vekto ud de Kaft F. M F Fü de Betag des Dehmometes gilt M F si. Die Richtug des Dehmometes ist gegebe duch die Regel des echtsdehede Kokeziehes. STARRE KÖRPER

.5 Wikelgschwidigkeit Die Wikelgeschwidigkeit gibt de Wikel (i ad) a, um de sich de stae Köpe i eie Sekude deht. Bei de gleichfömige Keisbewegug ist de Betag de Wikelgeschwidigkeit kostat.

die Richtug zu kezeiche, i welche de stae Köpe um seie Achse otiet, stellt ma die Wikelgeschwidigkeit als Vekto da ud legt sie so i die Dehachse, wie sich ei mit dem Köpe otieede Kokeziehe veschiebe

4 .5 Wikelgschwidigkeit Die Wikelgeschwidigkeit gibt de Wikel (i ad) a, um de sich de stae Köpe i eie Sekude deht. Bei de gleichfömige Keisbewegug ist de Betag de Wikelgeschwidigkeit kostat. Es gilt da : mit duchlaufee Dehwikel i ad t vestichee Zeit Deht sich de stae Köpe ugleichfömig um seie Achse, so ka ma u vo de mometae Wikelgeschwidigkeit speche : t lim t t 0 d dt Um edlich auch och die Richtug zu kezeiche, i welche de stae Köpe um seie Achse otiet, stellt ma die Wikelgeschwidigkeit als Vekto da ud legt sie so i die Dehachse, wie sich ei mit dem Köpe otieede Kokeziehe veschiebe wüde. Die Wikelgeschwidigkeit ist ei Vekto. Die Richtug vo fällt mit de Dehachse zusamme ud wid duch die Kokezieheegel festgelegt. Sie hat stets gleiche Richtug wie das Dehmomet M. De Betag vo ist gegebe duch Die Eiheit vo ist s - ode ad/s. d lim. t t dt 0.6 Wikelbeschleuigug Die mometae Wikelbeschleuigug ist ei Vekto de gleiche Richtug wie die mometae Wikelgeschwidigkeit. gibt die Veädeug de Wikelgeschwidigkeit im Laufe de Zeit a. Es gilt dahe : d lim t 0 t dt Die Eiheit de Wikelbeschleuigug ist s - ode ad/s..7 Rotatioseegie Beim Heuteolle eie Kugel bescheibt de Schwepukt S eie geadliig beschleuigte Taslatiosbewegug. ede Pukt P außehalb des Schwepukts bescheibt eie Rotatiosbewegug um de Schwepukt. Die Bewegugseegie ode kietische Eegie E KIN de Kugel besteht demach aus Teile : Taslatioseegie m v E TRA Rotatioseegie E ROT STARRE KÖRPER 4

5 Meke : Deht sich ei Köpe um seie Dehachse, ohe dass die Dehachse ihe Positio ädet (Schleifscheibe, Schwugad), so etfällt E TRA ud EKIN EROT. Zu Beechug de Rotatioseegie betachte wi ei Köpe de eibugsfei um eie feste Achse deht, so gilt demach : E ROT E KIN Zu Beechug stelle wi us de Köpe aus uedlich viele Puktmasse m, m, m,..., m zusammegebaut. E E ROT ROT E KIN, m m i E m KIN, i i m m De Ausduck m i i i E m m KIN, m... EKIN, schlußedlich fü die Rotatioseegie... m m... m m m bezeichet de Physike als Tägheitsmomet E ROT : v.... Es folgt E ROT.8 Tägheitsmomet Das Tägheitsmomet ist ei Maß fü das Sich Wehe eies stae Köpes gege die Ädeug seie eie Rotatiosbewegug. i i i m m i i elemetae Puktmasse Etfeug Puktmasse Dehachse Die Eiheit des Tägheitsmomets ist kgm. Das Tägheitsmomet hägt vo de Masse ud de Fom des Köpes sowie vo de Lage de Dehachse ud dem Abstad Dehachse - Schwepukt ab. Die i de Liteatu agegebee Tägheitsmomete duch de Schwepukt S des Köpes veläuft. S gelte u we die Dehachse D Liegt die Dehachse außehalb des Schwepuktes, so egibt sich ei gößees Tägheitsmomet, das sich mit dem Satz vo Steie beeche lässt : D D S m a mit a Etfeug Dehachse Schwepukt STARRE KÖRPER 5

6 Das Tägheitsmomet macht Köpe täge. Ih Widestad gege Ädeug des Bewegugszustades ist stets göße als de vo vegleichbae eibugsfei gleitede Köpe. Dies lässt sich aschaulich zeige, we Köpe gleiche Ausdehug ud gleiche Masse eie geeigte Ebee eibugsfei hiabolle bzw. hiabgleite lässt : Hohlzylide, Vollzylide, Kugel ud Quade. Bei de Rollköpe wid die Lageeegie mgh auf die kietische Eegie de Taslatio des Schwepuktes Schwepukt aufgeteilt. Also gilt : mv ud die Rotatioseegie mv v mv v m v mgh mgh mgh mgh m v duch die Lägsachse um de Ma stellt fest, dass die am Fuße de geeigte Ebee eeichte Geschwidigkeit umso kleie ist je göße das Tägheitsmomet des Köpes ist. Setze wi i die Fomel die Ausdücke de Tägheitsmomete de eizele Köpe ei, so ehalte wi : gleitede Köpe : 0 v gh Kugel : m 5 v 0gh 7 Vollzylide : m v 4gh Hohlzylide : m v gh STARRE KÖRPER 6

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