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Stefanie Schumacher
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1 Uivesität Regesbug Natuwisseschaftliche Fakultät I Didaktik de athematik D. Güte Rothmeie WS 008/ Elemetamathematik (LH) Pivate Volesugsaufzeichuge Kei spuch auf Vollstädigkeit ud Fehlefeiheit 9. De Keis 9.. Das Poblem de Keismessug Eie Keisfläche lässt sich icht duch Zelegug auf beeits beechebae Fläche zuückfühe, da stets Restfläche auftete, die icht übeall geadliig begezt sid. a vesucht deshalb, die eechug vo Umfag ud Flächeihalt des Keises äheugsweise duch uslege mit eguläe ei- ud umbeschiebee Vielecke zu eeiche. Duch Vedoppel de Eckezahl ähe sich die -Ecke dem Keis imme meh a. Dem Keis eibeschiebee eguläe -Ecke Dem Keis umbeschiebee eguläe -Ecke 4 < 8 <... < Keis Keis <... < 8 < 4 us de Zeichuge eket ma, dass sich Flächeihalt ud Umfag bei eibeschiebee - Ecke vegöße, we ma die Eckezahl vedoppelt. So ehaltee eibeschiebee eguläe - Ecke habe abe stets eie kleiee Flächeihalt als de Keis. ei umbeschiebee -Ecke ist es umgekeht Umfag eies eibzw. umbeschiebee Vielecks Wi beeche allgemei de Umfag des eibeschiebee (Seiteläge a) ud des umbeschiebee eguläe Vielecks (Seiteläge b) fü de Radius = LE i bhägigkeit vo de Seiteläge a bzw. b. Umfag des eibeschiebee -Ecks: u ei = a Umfag des umbeschiebee -Ecks: u um = b 9... Näheugsweise eechug de Keiszahl us de Fomel u = fü de Keisumfag (7. Jahgagsstufe) lässt sich ei Näheugswet fü die Keiszahl bestimme. Dabei vewede wi fü de Keisumfag u äheugsweise de Vielecksumfag. Umbeschiebees eguläes Vieeck (chteck) us de Umfagsfomel u = egibt sich fü = LE: = u a u ei = a eigesetzt: ei = u um = b eigesetzt: um = b Näheugsfomel : ei = Näheugsfomel : um = a b Die eechug vo wid umso geaue, je öfte die Eckezahl de eibzw. umbeschiebee Vielecke vedoppelt wid, d.h. die Wete ei ud um gleiche sich dem tatsächliche Wet i beliebige Näheug a. Eibeschiebees eguläes Vieeck (chteck)

2 Uivesität Regesbug Natuwisseschaftliche Fakultät I Didaktik de athematik D. Güte Rothmeie WS 008/ Elemetamathematik (LH) Pivate Volesugsaufzeichuge Kei spuch auf Vollstädigkeit ud Fehlefeiheit Wi beötige also Fomel, duch die ma aus de Läge de -Eckseite die Läge de -Eckseite beeche ka. Eibeschiebee Vielecke Umbeschiebee Vielecke C C I Δ D gilt ach Pythagoas: b = ( ) s = + ( ) a h h D a h = 4 a I Δ D gilt ach Pythagoas: = + ( ) ( b ) ( b b ) a a ( h ) h eigesetzt ud umgefomt egibt: = (s ) b s F I Δ F gilt ach Pythagoas: s = 4 + b I Δ FE gilt ach Pythagoas: s eigesetzt ud umgefomt egibt: = b 4 = ( b ) + b a 4 a a D b E b6 b 6 = ( ) + LE b 6 b 6 =, b6 Näheugsweise eechug vo mit Hilfe diese Fomel: Eibeschiebees - a Eck b = a Umbeschiebees - Eck = b, ,000000,5470 3,4640 0, ,0589 0, ,539 0,605 3,369 0, , , , ,3087 3, , ,403 0, ,475 mekug: Die Tabelle ist mit eiem Tascheeche estellt. bweichuge vo obige Zahlewete sid je ach auat des Reches möglich.

3 Uivesität Regesbug Natuwisseschaftliche Fakultät I Didaktik de athematik D. Güte Rothmeie WS 008/ Elemetamathematik (LH) Pivate Volesugsaufzeichuge Kei spuch auf Vollstädigkeit ud Fehlefeiheit 9.. Umfag ud Flächeihalt des Keises I de 7. Jahgagsstufe wude die Fomel zu eechug vo Umfag ud Flächeihalt eies Keises duch Pobiee emittelt. Hie zeige wi jetzt ei mathematisches Vefahe zu Heleitug diese Fomel Umfag des Keises Zu zwei beliebige Keise k ud k gibt es stets eie zetische Steckug, die de eie Keis auf de adee abbildet. lso sid alle Keise zueiade ählich. k k k Z; m = k Z us de Ählichkeit zweie Keise folgt, dass die Quotiete aus Umfag ud Duchmesse veschiedee Keise deselbe Wet habe müsse: u u u = =... = d d Diese Wet ist die Keiszahl. Damit egibt sich fü de Umfag eies Keises: d u d = bzw. u = d Umfag des Keises: u = = d Die Zahl ka auch dem Tascheeche etomme wede Flächeihalt des Keises Wi teile eie Keis i zwölf koguete Sektoe. Eie de Sektoe halbiee wi ud setze aus diese 3 Flächestücke utestehede Fläche zusamme. Sie ka äheugsweise duch eie Rechtecksfläche esetzt wede. a u b = Die eite b des Rechtecks ist gleich dem Keisadius. Die Läge a ist aähed gleich dem halbe Umfag. Dekt ma sich die Uteteilug i Sektoe beliebig vefeiet, so utescheidet sich die Läge imme weige vom halbe Keisumfag ud somit de Flächeihalt vom Ihalt de Keisfläche. Im Gezfall gilt: = u = =.

4 Uivesität Regesbug Natuwisseschaftliche Fakultät I Didaktik de athematik D. Güte Rothmeie WS 008/ Elemetamathematik (LH) Pivate Volesugsaufzeichuge Kei spuch auf Vollstädigkeit ud Fehlefeiheit 9.3. eechuge am Keisboge ud am Keissekto Keisboge Ei ittelpuktswikel scheidet aus eie Keisliie eie Keisboge aus. Seie Läge ist auße vom Keisadius auch vom aß des ittelpuktswikels abhägig. Die Läge eies Keisboges mit dem ittelpuktswikel ist de 360. Teil b des Umfages eies Vollkeises. Zu eiem ittelpuktswikel mit dem aß gehöt demach ei Keisboge mit de Läge: b = = Läge des Keisboges: b = Keissekto b Ei ittelpuktswikel scheidet aus eie Keisfläche eie Keissekto aus. Sei Flächeihalt ist auße vom Keisadius auch vom aß des ittelpuktswikels abhägig. De Flächeihalt eies Keissektos mit dem ittelpuktswikel ist de 360. Teil des Flächeihalts eies Vollkeises. Zu eiem ittelpuktswikel mit dem aß gehöt also ei Keissekto mit dem Flächeihalt: = 360 = 360 Flächeihalt des Keissektos: = 360 Umfag des Keissektos: u = b Zusammehag zwische Sektofläche ud ogeläge us de Fomel fü die ogeläge ud die Sektofläche egibt sich: = 360 = b = 360 b = b = b = 0 Flächeihalt des Keissektos: = b 9.4. eechuge am Keisig ud am Keissegmet Keisig a beechet de Flächeihalt des Keisiges als Diffeez de Flächeihalte de begezede Keise. De Umfag eies Keisiges beechet R ma als Summe de Keisumfäge. 360 Rig = Keis Keis u Rig = u Keis + u Keis = R = R + = (R ) = (R + ) Keisig Flächeihalt = (R ) Umfag u = (R + ) Keissegmet a beechet de Flächeihalt eies Keissegmets als Diffeez de Flächeihalte eies Keissektos ud eies gleichscheklige Deiecks. De Umfag eies Keissegmets beechet ma als Summe aus dem oge ud de Sehe. Dies ist abe voest u fü eiige Wete vo möglich. Fü de ittelpuktswikel gilt: 0 < = < 80 Keissegmet: Flächeihalt Segmet = Sekto Δ 0 < = < 80

5 Uivesität Regesbug Natuwisseschaftliche Fakultät I Didaktik de athematik D. Güte Rothmeie WS 008/ Elemetamathematik (LH) Pivate Volesugsaufzeichuge Kei spuch auf Vollstädigkeit ud Fehlefeiheit 9.5. Übugsblatt: De Keis ufgabe Weise allgemei ach, dass die gü ud die gelb gekezeichete Fläche gleiche Ihalt habe. C ufgabe Die gezeichete Figue habe alle de gleiche Flächeihalt = 40 cm. Vegleiche ihe Umfäge. ufgabe 3 3 eeche Ihalt ud Umfag eies Keises mit = 8 cm. Iehalb welche Geze liegt die bweichug, we mit zwei bzw. dei gültige Stelle vo geechet wid? ufgabe 4 4 Um wie viel Pozet ist de Ihalt eies Keises göße als de Ihalt eies Quadats, das de gleiche Umfag hat wie de Keis? ufgabe 5 5 I eiem Velegepla eie Rohleitug sid ebestehede aße eigetage. eeche die beötigte Rohläge, we vo Veschitt abgesehe wid R R50 45 R R400 aße i

6 Uivesität Regesbug Natuwisseschaftliche Fakultät I Didaktik de athematik D. Güte Rothmeie WS 008/ Elemetamathematik (LH) Pivate Volesugsaufzeichuge Kei spuch auf Vollstädigkeit ud Fehlefeiheit Lösuge CH = H gelb = ( H = R R ) = R = gü (vgl. ufgabe 3) = = u,4 cm u = u = = = u 3,7 cm u = u = = u 3 = = u 3 5,89 cm 4 3 u 3 = 4 3 u 3 = 4 3 = 3 3 u 4 = = u 4 44,84 cm 4 u 4 = 4 u 4 = 4 = u 3 Fü = 3,4: u = 8 cm 3,4 50,4 cm Fü = 3,4: u = 8 cm 3,4 50,7 cm Fü de Tascheechewet vo : u = 8 cm 50, cm 4 u Keis = u Quadat = 4 a = a Keis = ( a ) u Quadat = a Keis 4a = = 4 =,7 Quadat a Die Fläche des Keises ist um 7 % göße. 5 l = 000 cm l 3 = 45 cm l 5 = 450 cm l 7 = 40 cm l 9 = 340 cm l = 4 50 cm 39,70 cm l 4 = 30 cm 47, cm 4 l 6 = l 4 47, cm l 8 = 400 cm 68,3 cm 4 l Geade : = 55 cm l oge : = 5,6 cm l Gesamt : = 3370,6 cm

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