Definition: Der Quotient aus Kreisumfang und Kreisdurchmesser wird mit π bezeichnet.

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Artur Kraus
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1 . Kei Keiumfag Alle Keie id zueiade ählich. Da i ähliche Figue die Läge etpechede Stecke im gleiche Vehälti tehe, it da Vehälti vo Keiumfag ud Keiduchmee fü alle Keie gleich go. Dehalb defiiee wi: U d π ud damit π π Defiitio: De Quotiet au Keiumfag ud Keiduchmee wid mit π bezeichet. π it ei icht abbechede, icht peiodiche Dezimalbuch, d.h. π it eie iatioale Zahl. Zu Betimmug de iatioale Zahl π wede ach eie Idee de Achimede vo Syaku (ca. 87- v. Ch. eiem Kei mit Duchmee je ei eguläe Secheck ei- bzw. umbechiebe. Achlieed wid die Eckezahl wid chittweie vedoppelt. Die Umfäge diee Vielecke bilde da eie Itevallchachtelug fü die Zahl π. Fü de Umfag de eibechiebee Vielecke gilt die folgede Rekuiofomel: u u u + ( De Umfag de umbechiebee -Eck ka ach de folgede Fomel ( au dem Umfag de eibechiebee Vieleck beechet wede: U u u ( kei. (.docx05..07/ul

2 kei. (.docx05..07/ul Heleitug de beide Fomel ( ud ( Katheteatz im Deieck ACE: MD MD CE CD ( ach Pythagoa 4 4 (4 4 MD (3 4 ( 4 ud wege ( Wege de Gefah de Aulöchug vo Ziffe (die Subtaktio zweie ugefäh gleich goe Zahle it zu vemeide eweitet ma ach de 3. biomiche Fomel ( ( ( ( ( ( Fü de Umfag de eibechiebee Vieleck gilt damit die folgede Rekuiofomel: Nach dem. Stahleatz gilt fü die Seite de umbechiebee -Eck 4 MD S ach (3 wege folgt S ud daau ( + + ( u u u U u u

3 3 Mit dem Statwet 6 egibt ich folgede Tabelle (piach.xl: Pi ach Achimede u u U U-u kei. (.docx05..07/ul

4 Zu Gechichte de Zahl π: π wid auch Ludolf che Zahl geat, ach dem hollädiche Mathematike Ludolf va Ceule (540-60 de al ete 35 Stelle beechet hat (iehe Achimede.

Buch de Köige Kapitel 7, Ve 3-6 bei de Becheibug de ehe Mee im Tempel Salomo: Ud e machte ei Mee, gegoe, vo eiem Rad zum ade zeh Elle weit, ud umhe, ud füf Elle

Ch. 3.60 3 3 Bahmagupta Idie, um 630. Ch. 0 3. 6 Facoi Viète (Vieta, 546-603.8 +.8 3. 46 Ud übedie: 3.4083.

4 4 Zu Gechichte de Zahl π: π wid auch Ludolf che Zahl geat, ach dem hollädiche Mathematike Ludolf va Ceule ( de al ete 35 Stelle beechet hat (iehe Achimede. Seit Jahtauede id Näheugwete fü π bekat: I de Bibel heit e im. Buch de Köige Kapitel 7, Ve 3-6 bei de Becheibug de ehe Mee im Tempel Salomo: Ud e machte ei Mee, gegoe, vo eiem Rad zum ade zeh Elle weit, ud umhe, ud füf Elle hoch, ud eie Schu deiig Elle lag wa da Ma igum. Damit it i de Bibel de Wet vo π zu 3 fetgelegt. Eiige Näheugwete: Bei de Ägypte (000 v. Ch. Achimede, um 50 v. Ch Bahmagupta Idie, um 630. Ch Facoi Viète (Vieta, Ud übedie: Zum Iteatioale Mathematike-Koge 998 echie die abgebildete Biefmake (Doppelblock ud Abbildug, auf de i Fom eie Aea die ete Dezimale vo π dagetellt id. Auedem it ei Rechteck zu ekee, da au utechiedliche Quadate mit gazzahlige Seiteläge zuammegeetzt it (die Aufteilug it i Abbildug zu ekee. kei. (.docx05..07/ul

5 5 Mekpuch fü π: Die Azahl de Buchtabe de aufeiade folgede Wöte liefet jeweil die ächte Stelle vo π. Wie 0 die π 3.4 Macht etlich o viele viele Müh! Let immehi, Jüglige, leichte Veelei, Wie o zum Beipiel die düfte zu meke ei! Da Repäetatehau de US-Staate Idiaa bechlo am 8. Jaua 897 pe Deket N. 46, da iküftig π 4 zu gelte habe. Mit affiiete Vefahe hat e de aktuelle Rekodhalte (997 Yamauda Kaada vom Rechezetum i Tokio gechafft, π auf Stelle geau zu beeche. Webite: kei. (.docx05..07/ul

6 6 Aufgabe: Welche Weg legt ei Pukt mit de geogaphiche Beite ϕ aufgud de Edotatio i de Sekude zuück? ϕ 0 (Äquato ϕ 60 (Olo ϕ 45 (Tui ϕ 30 (Kaio!! 46 "/$ 3 "/$ -mal o go wie i Olo 37"/$ 3 -mal o go wie i Olo 0.40 m/ Aufgabe: Wi deke u eie Schu um de Äquato gepat. Die Schu wid u um eie Mete veläget ud achlieed zu eiem kozetiche Kei ageodet. Wie go it die Radiuzuahme? De Umfag eie Keie egibt ich au dem Radiu duch Multiplikatio mit π. Umgekeht egibt ich de Radiu au dem Umfag duch Diviio duch π. Radiu de upügliche Keie i Mete Umfag de upügliche Keie (Edumfag π Umfag de vegöete Keie π+ π + Radiu R de göee Keie R + π Da veblüffede Reultat: Die Radiuzuahme it vo uabhägig 5.9 cm Die Abbildug ach eie Idee vo Galli macht da Egebi plauible. Die kleie Keie habe alle de Umfag vo eiem Mete. Diee Umfagvelägeug wid zuächt i vie Sektoe geteilt ud auf die vie Ecke de Quadat veteilt, achlieed wid je ei Achtel eie Mete auf die acht Ecke veteilt. Bei jede Vedopplug de Eckezahl bleibt die Vegöeug de Radfigu gleich go. π kei. (.docx05..07/ul

7 7 Idee fü Übugaufgabe: E id die folgede Agabe i eiem Zeitugatikel zu übepüfe : a De Radfahe Cacellaa wählte 009 ei Rad mit de folgede Übeetzuge: Ketteblätte voe mit 54 bzw. 4 Zähe, hite zeh Ritzel mit bi 3 Zähe. Da egibt po Pedalumdehug eie Spae vo 5. m (4 x 3 bi 3.7 m (54 x. Duchmee de Hitead? b Beim Pologzeitfahe vo Nizza übe 7 km ( betug die Zeit de Siege Alex Zülle 7.55 Miute ( km/h. E fuh mit eie Übeetzug vo 56, wa eie Ditaz vo 0.64 m po Pedalumdehug etpicht. Azahl Pedalumdehuge?, Duchmee de Hitead? c Eie Schu it ymmetich um eie zylidiche Stab mit Umfag 5 cm ud Läge cm gewickelt. Die Schu widet ich geau viemal um de Stab. Betimme die Läge de Schu. Tip: Abwicklug de Zylidematel betachte. d Eie Müze mit Radiu ollt auf eie Müze mit gleichem Radiu. Wieviele Umdehuge macht die ete Müze um ihe Ache bei eiem volle abolle auf de zweite? e De Taxzähle eie Taxi it auf eie Radduchmee d 49 cm eigetellt. Wieviel Pozet betägt de Fehle, we d duch Abutzug de Peu 0. cm kleie wid? Wieviel Mete beechet de Zähle auf eie effektive Stecke vo 3000 m Läge? Löuge: d, de die Müze macht eie Umdehug meh, al we ie auf eie geade Stecke olle wüde (auch aupobiee. e (:000.7:49 (.49% " kei. (.docx05..07/ul

8 8 Keiboge Da de Keiboge zum Zetiwikel popotioal it, egibt ich: α α πα b U π ( Aufgabe: Eie Seemeile it die Läge de Boge auf eiem Edmeidia zum Zetiwikel, (Meidiamiute. Wieviele km mit eie Seemeile? (Edadiu 6370 km Seemeile etpicht π " Aufgabe: Beli (geogafiche Beite ϕ ud Palemo 4ϕ liege ugefäh auf demelbe Lägekei. Wie go it ihe Etfeug? Die Diffeez de geogaphiche Beite betägt ϕ3 47 πα π 3.78 b km Übugaufgabe: Etfeug zwiche Stockholm (+59 ödliche Beite ud Kaptadt ( üdliche Beite Löug: Etfeug 0367 km kei. (.docx05..07/ul

9 9 Eatothee (80-00 v. Ch. beechete de Edumfag mit de folgede Methode: Alexadia ud Syee (i de Nähe de heutige Aua liege ugefäh auf demelbe Lägekei. Eatothee betimmte zuächt läg de Kaawaeweg die Etfeug zwiche diee beide Ote zu 5000 Stadie ( Stadio 57.5 m ugefäh 00 km.. Am. Jui (zu Soewede betägt die Kulmiatiohöhe de Soe geade 90 (die Soe teht alo zu eiem gewie Zeitpukt geau ekecht übe dem Beobachte, wähed ie i Alexadia zu gleiche Zeit u 8.86 betägt. De Wikel α it alo 7.4 (360 /50. Löt ma Gleichug ( ach auf, o ehält ma: 80 b 4007 πα Stadie, wa eiem Edadiu vo 637 km etpicht, ei Egebi mit u % Fehle. Alexadie Aua Bemekug: Beim Umgag mit atike Lägemae it alledig eie gewie Voicht agebacht, da ich ute de gleiche Bezeichug mehee vechiedee Läge vebege köe. (ac kei. (.docx05..07/ul

10 0 Keiihalt Die Ihalte de ei- bzw. umbechiebee eguläe Vielecke bilde eie Itevallchachtelug fü de Keiihalt A. Fü de Ihalt de eibechiebee -Eck gilt mit dem Ikeiadiu ρ gilt: A ρ u ρ Mit wachedem ähet ich u imme meh dem Keiumfag, ρ dem Keiadiu ud damit A dem Gezwet ½π 7π Flächeihalt de Keie d.h. De Keiflächeihalt it da π-fache de Flächeihalt de Quadat übe dem Radiu. Hitoiche Egebie: Ägypte Ahme (7. Jh. V. Ch.: De Kei it flächegleich eiem Quadat, dee Seiteläge! de Keiduchmee betägt (etpicht eiem Näheugwet fü π vo kei. (.docx05..07/ul

Da Egebi ka auch al veallgemeiete Pythagoa aufgefat wede: Die Halbkeie übe de Kathete id ihaltgleich zum Halbkei übe de Hypoteue.

11 Aufgabe: Mödche de Hippokate vo Chio (um 450 v. Ch. A: Ihalt de Mödche A : Ihalt de Deieck Aa bzw. Ab: Ihalt de Halbkeie übe de Kathete a bzw. b A A + A a + A b A c π a b c A A + + π A A + ( a + b c A 8 Egebi: Die beide Mödche ud da Deieck id alo flächegleich. Da Egebi ka auch al veallgemeiete Pythagoa aufgefat wede: Die Halbkeie übe de Kathete id ihaltgleich zum Halbkei übe de Hypoteue. Zu de zwei Mödche Uabhägig davo, wo ich die Ecke C auf dem Halbkei befidet, it die Dicke de Mödche tet gleich go (( 8. Bewei: Da vo de Seite u ud gebildete Vieeck it ei Rechteck. x u t u ( + u y v ( u + u Im Spezialfall $.,, : it die Dicke de Mödche geade. kei. (.docx05..07/ul

Aufgabe: Die Sichel (Abelo vo Achimede Ak AS Aa Ab Aa+b Ihalt de Keie k Ihalt de Sichel Ihalt de Halbkeie mit Radiu a Ihalt de Halbkeie mit Radiu b Ihalt de Halbkeie mit Radiu a + b Ihalt de Sichel π

12 Aufgabe: Die Sichel (Abelo vo Achimede Ak AS Aa Ab Aa+b Ihalt de Keie k Ihalt de Sichel Ihalt de Halbkeie mit Radiu a Ihalt de Halbkeie mit Radiu b Ihalt de Halbkeie mit Radiu a + b Ihalt de Sichel π A ( A Ab (( a + b π ab πab b S A a a+ b a De Duchmee x de Keie egibt ich mit dem Höheatz: 4( ;< ud daau ( ;< Damit gilt fü de Ihalt de Keie 7 π( π;< Damit it gezeigt, da die Sichel ud de Kei de gleiche Flächeihalt habe. Übugaufgabe: a E it achzuweie, da beim folgede Pilz de Achimede Hut ud Stiel de gleiche Flächeihalt ud die gleiche Dicke habe. b Da Salzfa (Salio vo Achimede Löuge: a x y b 7 > 4;+< kei. (.docx05..07/ul

13 3 Sektoihalt A π α 360 A b π α 80 b Ihalt eie Sekto mit Radiu ud Boge b E fällt die Aalogie zu Fomel fü de Flächeihalt eie Deieck auf. Aufgabe: Wie go it de Zetiwikel eie Keiekto, dee Flächeihalt gleich go it wie dejeige eie Quadat, da dem Kei eibechiebe wede ka? A b alo b 4 π α α π π Übugaufgabe: Gegebe id zwei Keie mit de ud dem Mittelpukt- abtad ; cm. Welche Ihalt hat die gemeiame Fläche de beide Keie? 0 Löug: A π cm kei. (.docx05..07/ul

14 4 Matelfläche eie Keikegel Wickelt ma de Matel eie Keikegel mit de Matelliie ud dem Keiadiu i die Ebee ab, o etteht ei Keiekto mit dem Radiu $ (Matelliie ud Boge π (Umfag de Gudkeie Fü die Matelfläche eie Keikegel gilt damit: 7 π$ π$ Übugaufgabe: E it die folgede Fomel fü die Matelfläche eie Kegeltumpfe hezuleite: 7 A 4 + $ kei. (.docx05..07/ul

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