Fläche und Umfang des Kreises

Transkript

1 Fläche und Umfang des Keises Mai 015 Ano Fehinge, Gymnasiallehe fü Mathematik und Physik

2 Appoximation de Keisfläche duch einbeschiebene und umbeschiebene eguläe Vielecke duch sukzessive Eckenvedopplung < A K; < A ' n < A K ; < A ' n A k n < A K ; < A ' k n Fläche und Umfang des Keises 1

3 Beziehungen zwischen den Bestimmungsdeiecken des einbeschiebenen n-ecks und n- Ecks s n s n - ( s n ) = s n = s n = s n = ( )( + ) = n 1 s n = n 1 ( )( + ) = n ( ) ( + ) Fläche und Umfang des Keises

4 s n = ( s n ) + ( ) s n = + ( ) s n = + + s n = ( s n ) = s n = ( ) h n = ( s n ) h n = s n 4 = ( ) 4 = ( ) = ( ) = + = + = ( + ) = ( + ) Fläche und Umfang des Keises 3

5 = n 1 s n = n 1 ( ) ( + ) = n 1 ( ) ( + ) = n ( )( + ) = n ( ) ( + ) = Wenn man also die Eckenzahl des Vielecks vedoppelt und vom Flächeninhalt zu übegeht, gilt : < > 1 Die Folge de Flächeninhalte (A n) k k N monoton wachsend. de einbeschiebenen Vielecke ist also Fläche und Umfang des Keises 4

6 Nun betachtet man die umbeschiebenen Vielecke mit den Flächeninhalten ', '. s n s n Nach dem. Stahlensatz gilt: s n ' s n = s n ' = s n Dann folgt : ' = n 1 s n ' ' = n 1 ' = n 1 s n ( )( + ) ' = n ' = ( ) ( + ) n ( )( + ) Fläche und Umfang des Keises 5

7 ' = Analog ehält man fü das umbeschiebene n-eck zunächst : ' = ' = ( + ) ' = + ' = + Bis jetzt haben wi folgende Anodnung de Flächeninhalte : < < ' > 1 Fläche und Umfang des Keises 6

8 Wo ist nun ' = + einzuodnen? Behauptung : < ' < ' Beweis : < ' A < A n + n 1 < + + < < Da die letzte Ungleichung nach Voaussetzung gilt, ist die este Ungleichung Behauptung wah. ' < ' + < + < 1 < + < Da die letzte Ungleichung nach Voaussetzung gilt, ist die zweite Ungleichung Behauptung wah. q.e.d. Die Folge de Flächeninhalte (A ' k n ) k N monoton fallend. de umbeschiebenen Vielecke ist also Fläche und Umfang des Keises 7

9 Die Anodnung de Flächeninhalte ist nun wie folgt : < < ' < ' > 1 + In de Intevallscheibweise haben wi fü die Folge de Flächeninhalte ineinandegeschachtelte Intevalle :... [ A k n ; A k n ' ]... [ ; '] [ ; '] Nun betachtet man die Intevalllängen von [ ; '] [ ; '] : ' = + ' = ( + ) ' = ( + 1) ' = ( ( + h ) n + ) ' = + Fläche und Umfang des Keises 8

10 ' = ' = ( 1 ) ' = ' = ( )( + ) Behauptung : ' < 1 ( ' ) Beweis : ' < 1 ( ' ) + < 1 ( )( + ) + < 1 ( + ) < ( + ) < < + Da die letzte Ungleichung wah ist, ist die Behauptung wah. q.e.d. Fläche und Umfang des Keises 9

11 Fü die Folge de Intevalllängen gilt also folgende Abschätzung ' < 1 ( ' ) A n ' A n < 1 ( ' ) A n ' A n < 1 ( ' )... A k n ' A k n < 1 k ( ' ), so dass die Folge de Intevalllängen von de Nullfolge wid. ( 1 k ( ' ) )k N majoisiet Damit ist lim ( A ' A k n n) = 0 und die Folge de Flächeninhalte de ein- und k k umbeschiebenen Vielecke bildet eine Intevallschachtelung [ A ; A ' k n k n ] k N, deen Zentum de Flächeninhalt des Keises A K ; dastellt : A K ; = lim k A k n = lim k A k n ' Fläche und Umfang des Keises 10

12 Heleitung de Flächenfomel des Keises Die voigen Übelegungen gelten insbesondes auch fü den Einheitskeis und den Flächeninhalt A K ;1 des Einheitskeises. A K ;1 = lim k Ā k n = lim k Ā k n ' =: π Wi betachten die m-ten Appoximationen und, und des Keises mit Radius : m = k n, des Einheitskeises s m s m h m 1 h m 1 Wegen de Stahlensätze s m s m = 1, h m h m = 1, also s m = s m, h m = h m folgt: = m 1 s m h m = m 1 s m h m = m 1 s m h m = Ā m A K ; = lim = lim Ā m, also A K ; = π. Fläche und Umfang des Keises 11

13 Heleitung de Umfangsfomel des Keises s m h m = m 1 s m h m = 1 m s m h m = 1 U m h m, wobei U m de Umfang des m-ecks ist. Es folgt : U m = h m lim U m = lim h m lim U m = lim h m lim U m = A K ; lim U m = π lim U m = π Fläche und Umfang des Keises 1

14 Analog folgt : ' = m 1 s m ' ' = 1 U m ' U m ' = ' lim U m ' = lim ' lim lim lim U m ' = A K ; ' U m ' = π U m ' = π Die Genzwete fü die innee und äußee Appoximation stimmen übeein, deshalb egibt sich de Keisumfang zu U K ; = π. Fläche und Umfang des Keises 13

15 Bei de Heleitung de Umfangsfomel wude benutzt, was zu zeigen ist. lim h m = mit m = k n, k N, Wi zeigen zuest < = ( + ) : < ( + ) < ( + ) < ( + ). Die letzte Ungleichung ist wah wegen ( + ) > ( + ) =. Nun zeigen wi < 1 ( ) : < 1 ( ) ( + ) < 1 ( ) 1 ( ) < ( + ) ( ) < ( + ) + < ( + ) ( + ) 4 < ( + ) ( + ) < ( + ) + + < + < < Die letzte Ungleichung ist wah. Fläche und Umfang des Keises 14

16 Es gelten nun folgende Abschätzungen : < 1 ( ) h n < 1 ( ) h n < 1 ( )... h k n < 1 k ( ), so dass die Folge ( h k n) k sen von de Nullfolge ( 1 k ( ) )k N majoisiet wid. Es folgt : lim ( h n) = 0 k k lim k = lim k h k n = 0 h k n q.e.d. Fläche und Umfang des Keises 15

17 Beechnung von p (als Flächeninhalt des Einheitskeises) LibeOfficePotable4.1. (^k)*6 s h A innen A außen 6 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Achimedes von Syakus ( ) De Achimedische Näheungswet fü p am 96-Eck ist < π < , < π < 3, , dezimal also Fläche und Umfang des Keises 16

18 Büste des Achimedes im Pak de Villa Boghese in Rom (Es gibt dot insgesamt 8 Büsten von bedeutenden Pesonen Italiens) Fläche und Umfang des Keises 17

19 Winkel im Gad- und Bogenmaß j j 1 Jedem Winkel im Einheitskeis, de im Gadmaß ϕ gegeben ist, wid die Länge zugehöigen Keisbogens zugeodnet. ϕ des (0, 360 ) (0, π) ϕ ϕ Speziell gilt : 360 ϕ = π Aufgund de Additivität de Länge ist die Zuodnung linea : ϕ 1 + ϕ ϕ 1 + ϕ fü alle ϕ 1, ϕ v ϕ v ϕ fü alle v Wegen ϕ = ϕ folgt : ϕ ϕ = ϕ 360 π = π ϕ 180 Die Zahl ϕ = π ϕ 180 heißt Bogenmaß des Winkels ϕ. Fläche und Umfang des Keises 18

20 Länge eines Keisbogens b j Jedem Winkel, de im Gadmaß ϕ gegeben ist, wid die Länge b des zugehöigen Keisbogens zugeodnet. (0, 360 ) (0, π ) ϕ b Speziell gilt : 360 b = π Aufgund de Additivität de Länge ist die Zuodnung linea : ϕ 1 + ϕ b 1 + b fü alle ϕ 1, ϕ v ϕ v b fü alle v Wegen ϕ = ϕ folgt : ϕ b = ϕ 360 π = π ϕ 180 Die Länge des Keisbogens zum zugehöigen Winkel ϕ ist gegeben duch : b = π ϕ 180 = ϕ. Fläche und Umfang des Keises 19

21 Fläche eines Keisausschnitts A j Jedem Winkel, de im Gadmaß ϕ gegeben ist, wid die Fläche A des zugehöigen Keisauschnitts zugeodnet. (0, 360 ) (0, π ) ϕ A Speziell gilt : 360 A = π Aufgund de Additivität des Flächeninhalts ist die Zuodnung linea : ϕ 1 + ϕ A 1 + A fü alle ϕ 1, ϕ v ϕ v A fü alle v Wegen ϕ = ϕ folgt : ϕ A = ϕ 360 π Die Fläche des Keisausschnitts mit dem zugehöigen Winkel ϕ ist gegeben duch : A = π ϕ 360 = 1 b. Fläche und Umfang des Keises 0

22 Fläche eines Keisabschnitts ( h) = a h = a a = ( h) a = ( h + h ) a = h h a = h( h) a = h( h) b h -h j a A = 1 b 1 a ( h) A = 1 b a ( h) A = 1 b a a A = π ϕ 360 a a A = 1 b 1 a ( h) A = 1 b a ( h) A = 1 b h( h) ( h) A = π ϕ 360 h( h) ( h) Fläche und Umfang des Keises 1