Übungsblatt 09 PHYS1100 Grundkurs I (Physik, Wirtschaftsphysik, Physik Lehramt)

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1 Übungsblatt 9 PHYS11 Gundkus I Physik, Witschaftsphysik, Physik Leham Othma Mati, othma.mati@uni-ulm.de und Aufgaben 1. De Raum soll duch ein katesisches Koodinatensystem beschieben weden, bei dem die xy-ebene die Edobeäche bildet. De Feldekto de Gaitation sei homogen und ist g =,, g. An de Stelle P =,, wid eine punktfömige Masse mit de Geschwindigkeit unte dem Winkel α zu Hoizontalen in de xz-ebene in Richtung de positien x-achse abgeschossen. Mit diesem Massenpunkt wid ein katesisches Koodinatensystem mitgefüht, bei dem die gestichenen Achsen x, y, z mit den ungestichenen paallel sind. Ein zweite Massenpunkt m wid bei P 1 =, a, mit de Anfangsgeschwindigkeit 1 < unte dem Winkel β < α zu Hoizontalen in de yz-ebene in Richtung de negatien y-achse abgeschossen. Beechnen Sie die Bahn on m im gestichenen Koodinatensystem.. Ein Planet de Masse m P bewege sich auf eine Ellipsenbahn um ein Zentalgestin de Masse m Z. Die gosse Halbachse a sei deimal länge als die kleine Halbachse. Beechnen Sie fü einen Beobachte auf m P mit dem Pinzip on d'alembet an jedem Punkt de Bahn die wikenden Käfte inklusie de Tägheitskäfte. Kontollieen Sie das Egebnis, indem Sie zeigen, dass die Summe alle Käfte null ist. 3. Die Dehachse eines dehendes System sei duch ω = ω 1/, 1/, gegeben. Beechnen Sie fü beliebige die Zentifugalkaft und die Coioliskaft. 4. Wi betachten zwei Koodinatensysteme, x, y, z sei als Labosystem otsfest und x, y, z otiee um die z-achse mit konstante Winkelgeschwindigkeit, also ω =,, ω. Im gestichenen Koodinatensystem wede eine Punktmasse ausgehend on P =,, mit a = a,, beschleunigt. Beechnen Sie a im ungestichenen Koodinatensystem fü t >. 5. Ein Tous gosse Radius R, Radius des tooidalen Köpes < R otiee um die Achse senkecht zu Tousebene mit ω. Ein Massenpunkt bewege sich mit konstantem Geschwindigkeitsbetag auf de Bahn b um den Tous. a Beechnen Sie im mitbewegten gestichenen Koodinatensystem, wenn zu Zeit t = die z -Koodinate maximal ist.

2 b Beechnen Sie im mitbewegten gestichenen Koodinatensystem. c Beechnen Sie im mitbewegten gestichenen Koodinatensystem a. d Beechnen Sie im Labosystem. e Beechnen Sie im Labosystem. f Beechnen Sie im Labosystem a. g Beechnen Sie im Labosystem die Tägheitskäfte. 6. Die Raumstation ISS bendet sich in eine Umlaufbahn 35.7km übe de Edobeäche. Beechnen Sie den Feldekto de scheinbaen Gaitation auf de Geade duch den Schwepunkt de ISS und den Schwepunkt de Ede. Wie goss ist g ISS 5m om Schwepunkt de ISS entfent? 7. Betachten Sie ein Sauestomolekül als zwei Punktmassen im Abstand eine Bindungslänge. Dieses Molekül otiet um eine Achse senkecht zu de Hantelachse. Die kinetische Enegie de Rotation ist E ot = 1 Iω und hat den Betag k Boltzmann T. Nehmen Sie an, dass die Rotation klassisch sei. a Beechnen Sie I. b Beechnen Sie ω. c Beechnen Sie die Tägheitskäfte. 8. In Michelsons und Moleys Expeiment wude das Licht auf eine Stecke on jeweils m iemal hin und iemal he auf zwei senkechten Intefeometeamen auf die Reise geschickt. Nehmen Sie an, dass de eine Am paallel und de andee senkecht zum Äthe stehe. Die Äthegeschwindigkeit wede weite mit 3km/s angenommen. Wie goss wäe de beobachtete Laufzeitunteschied fü das Zuücklegen de gesamten Stecke in den beiden Amen. Diskutieen Sie das Egebnis, wenn Sie annehmen, dass das ewendete Licht eine Wellenlänge on 5nm hatte. 9. In de Relatiitätstheoie kann eine eindimensionale Bewegung mit einem x ct-diagamm dagestellt weden. Welche Winkel zu ct-achse haben ein Fahhad mit 5m/s, ein Auto mit de in de Schweiz auf Autobahnen elaubten Maximalgeschwindigkeit, die ISS und die Sonne auf ihem Weg um das Zentum unsee Galaxie? Koektu zu Übungsblatt 8, Aufgabe 8 Betachten Sie einen Satelliten auf eine Bahn um ein Zentalgestin. Nach dem zweiten Kepleschen Gesetz ist de Dehimpuls des Satelliten konstant. Diesem Dehimpuls entspicht eine Enegie E z = 1 L I P unktmasse 1. Beechnen Sie die potentielle Enegie als Funktion on als Summe aus de Gaitationsenegie und de Zentifugalenegie. Wie wüde in diese potentiellen Enegie eine Ellipsenbahn aussehen? 3. Wie wüde in diese potentiellen Enegie eine Hypebelbahn aussehen?

3 3 Lösungen 1. Bewegung de punktfömigen Masse m 1 on P o aus: y-richtung: x = cos αt z-richtung: ż = sin α gt z = sin α t 1 gt De Uspung des gestichenen Koodinatensystems bewegt sich mit = cos αt sin α t 1 gt im x, y, z-koodinatensystem. Bahnbewegung on m im x, y, z-koodinatensystem: m = a 1 cos βt 1 sin βt 1 gt Bewegung on m im x, y, z -Koodinatensystem: m = m = cos α t a 1 cos β t 1 sin β t sin α t Steigdaue: ż τ! = = sin α gτ τ = sin α g Flugdaue: t max = τ = g sin α. Auf den Planeten wikt die Gaitationskaft. Sie bewikt eineseits eine Zentipetalbeschleunigung duch F z und andeeseits eine Ändeung des Betages de Geschwindigkeit duch F a. Die Geschwindigkeit ist imme paallel zu Bahn, die Zentipetalkaft senkecht dazu. Die entspechenden Tägheitskäfte sind jeweils das Negatie on F z und F a. Zu Beechnung betachten wi eine Ellipse. Bei eine Ellipse ist die Summe de Längen de Vebindungslinien de beiden Bennpunkte imme gleich dem gössten Duchmesse. 3

4 4 3b = a 1 + = a Bei de gezeigten Situation ehält man fü den Abstand beide Bennpunkte c mit 1 = = a a = b + c 4 = 1 9 a + c 4 ode und c = 3 9 a c = 4 3 a Bei einem beliebigen Punkt auf de Bahn gilt de Cosinussatz fü α und c = cos α cos α = 1 + c = 1 + a a 1 9 a = a a a 1 Bei eine Ellipse gilt, dass die Winkelhalbieende on α die Bahnnomale in P ist. Die Gaitationskaft in P ist dem Betage nach F g = G m 1m 1 Weite gelten die Beziehungen α 1 cos = α sin = 1 + cos α 1 1 cos α 4

5 5 Es gilt fü die Zentifugalkaft α F z,t = F g cos und die Tägheitskaft de Beschleunigung π F a,t = F g cos α Also sind F z,t = G m 1m 1 1 m 1 m cos α + cos α α = F g sin = G = G m 1 m + a a a 1 m 1 m a = G 31 1 a 1 F a,t = G m 1 m cos α 1 = G m 1 m a a a 1 = G m 1m a 1 a a 1 Wenn wi die Gleichungen als Funktion eine andeen Gösse dastellen wollen, z.b. als Funktion on β Mit β = π β folgt auch sin β = sin β. Mit dem Sinussatz bekommen wi sin β = sin β = sin α c = sin α 3a 1 4 = 1 cos α 3a 1 a 8a a a 1 3a 1 = a 1 8a = 1 18 a a 1 1 a + 1 5

6 6 Die Lösungen sind sin β ± sin β a 1 = sin β und damit F z,t =3 G m 1 m a sin β sin β + sin β a sin β ± sin β sin β a a + 1/ sinβ ± sinβ a 1+8 sinβ F a,t =3 Gm 1 m sin β sin β + sin β a a 3+48 sinβ + sinβ 1+8 sinβ sin β + sin β a a + 1/ sinβ a + sinβ 1+8 sinβ + a sin β 3+48 sinβ + sinβ 1+8 sinβ a 3. ω = ω 1 1 F z = mω ω F c = mω = ω = ṙ ω F z = m ω ω F z = mω F c = mω x y y x z ẋ ẏ ż ż + ω y x = mω ż ω y x ẋ ẏ ω z x y z ω z z 1 y x = 6

7 7 4. a = a = a t = 1 a t Tansfomation on ins ungestichene Koodinatensystem entspicht eine Dehung de Achsen gegen den mathematisch positien Dehsinn um den Winkel ω t: cos ω t sin ω t = sin ω t cos ω t 1 Damit wid zu = 1 a t cos ω t sin ω t Die Beschleunigung im ungestichenen Koodinatensystem ist In unseem Fall egibt sich: a = a + ω ω + ω a = a 1 ω a t cos ω t ω a t 1 ω a t sin ω t 5. t = : x = R z = y = a = R + sin cos b = cos sin c a = sin cos = sin cos d = cos ωt x sin ωt x z = cos ωt R + sin sin ωt R + sin cos 7

8 8 e = ω sin ωt R + sin + cos ω cos ω cos ωt R + sin + sin ω cos sin f a = ω cos ωt R + sin ω sin ωt cos cos ωt sin ω sin ω R + sin + ω cos ωt cos sin ωt sin cos g F z = m ω ω F c = m ω cos ωt R + sin F z = m sin ωt R + sin ω ω cos ω sin ωt R + sin = m ω cos ωt R + sin ω ω cos ωt R + sin = m ω sin ωt R + sin cos ωt R + sin = mω sin ωt R + sin Um die Coioliskaft auszuechnen müssen wi die Geschwindigkeit ins Labosystem tansfomieen mit = = cosω sinω sinω cosω 1 cosω sinω sinω cosω 1 cos ω cos = sin ω cos sin ˆ cos sin 8

9 9 cos ω cos F c = m sin ω cos ω sin ω sin ω cos = m ω cos ω cos = mω cos t sin ω cos ω Wenn wi a = a + ω + ω [ω ] testen wollen, müssen wi noch a ins Labosystem tansfomieen. Dann ist ã = = = cosω sinω sinω cosω 1 a cosω sinω sinω cosω 1 cosω sin sinω sin cos sin cos a =a + ω + ω [ω ] =a a C a Z cosω sin = sinω sin cos sin ω ω cos t cos ω cosω R + sin ω sinω R + sin cosω sin ω cos sin ω ω cosω R + sin = sinω sin + ω cos cos ω ω sinω R + sin cos andeeseits aus Teil f ω cos ωt R + sin ω sin ωt cos cos ωt sin a = ω sin ω R + sin + ω cos ωt cos sin ωt sin cos Das heisst, dass in diesem Falle beide Wege zum gleichen Ziel fühen. Alle Vektoen müssen in das gleiche Koodinatensystem tansfomiet weden, beo man die Komponenten egleichen kann! 9

10 1 6. Edadius: E = 6371km Abstand de Schwepunkte: = E + h F z = F G m = G M m = G M Geschwindigkeit des Schwepunktes de ISS Fü ganze ISS ist ω = const = ω o ω = Fü Abstand gilt: = ω = g = F Ges m = F z F G m = m m GM m m = G M = G M G M 3 = G M 1 3 = GM G = 6, m 3 kg s M = 5, kg = 673, 7km g + 5m = 1, m s g 5m = 1, m s 7. a I = I 1 + I = m = m l = 1 ml 1

11 11 b E ot = 1 Iω = k B T kb T ω = I k B T = 1 ml kb T = ml c F z = m F c = = mω = mω l 8. aus Skipt: t = s Äthe c 3 x = c t = s Äthe c s = 4 m = 8m c = m s Äthe = 3 km s λ = 5nm t =, s x = m = 8nm das ist wenige als 1/4 eines Intefeenzinges schwieig zu detektieen Fahad: = 5 m s α = 9, Auto: = 33, 3 m s α = 6, ISS: = 77 m s α = 1, Sonne: = km s α = 4, 1 tan α = c α 45 11