Physik II Übung 1 - Lösungshinweise

Transkript

1 Physik II Übung 1 - Lösungshinweise Stefan Reutte SoSe 01 Moitz Kütt Stand: Fanz Fujaa Aufgabe 1 We kennt wen? Möglicheweise kennt ih schon einige de Studieenden in eue Übungsguppe, vielleicht abe nicht alle. Übelegt euch ein Spiel, mit dem ih die Namen alle Pesonen in de Übung elativ schnell kennenlenen könnt. Das Spiel sollte 5, maximal 10 Minuten dauen. Das sollten alle alleine hinbekommen - Lösungshinweise gibt es hie keine. Höchstwahscheinlich ist diese Aufgabe auch nicht klausuelevant. Aufgabe Schwingung und Potential Ein Objekt de Masse m bewegt sich eindimensional entlang de Koodinate (z.b. auf eine Schiene) und befindet sich in einem Kaftfeld, das duch ein Potential V () = A mit A > 0 beschieben weden kann. a) Wie goß ist die auf das Objekt ausgeübte Kaft bei eine Auslenkung von? b) Stelle die Bewegungsgleichung fü das Objekt auf. c) Löse die Bewegungsgleichung mit Hilfe eines geeigneten Ansatzes fü die Anfangsbedingung (0) = 0, ṙ(0) = 0. Diese Aufgabe haben wi auch in de Physik-I Klausu gestellt, dahe ist sie gut zu Wiedeholung geeignet. a) F() = V () = d V () = A d b) F beschleunigung =F ueckstell m = A 1

2 c) Die Bewegungsgleichung ist die eine hamonischen Schwingung, dahe füht u.a. folgende Ansatz zum Ziel: (t) = C cos(ωt + φ) A mit ω = m 1. Ableitung: ṙ(t) = Cω sin(ωt + φ) Einsetzen de Anfangsbedingungen (0)! = 0 = C cos(ωt + φ) ṙ(0)! = 0 = Cω sin(ωt + φ) Daaus ekennt man φ = 0 C = 0 Damit egibt sich die Lösung (t) = 0 cos ωt Aufgabe 3 Tosionspendel Bei einem Tosionspendel wikt bei eine Auslenkung um einen Winkel φ ein Rückstelldehmoment von M = Dφ. Das Tosionspendel selbst hat ein Tägheitsmoment J. a) Stelle eine Bewegungsgleichung in φ fü das Tosionspendel auf. b) Löse die Bewegungsgleichung fü φ(0) = 0 und φ = ω 0. ϕ

3 Diese Aufgabe kommt aus de Wiedeholungsklausu. a) Ähnlich zu Tanslation: M = L Dφ = J φ 0 = φ + D J φ b) Ansatz: φ(t) = φ 0 cos(ωt + α) Hiebei ist ω nicht mit dem ω 0 zu vewechseln! φ(t) = φ 0 ω sin(ωt + α) φ(t) = φ 0 ω cos(ωt + α) Damit egibt sich D ω = J Einsetzen de Anfangsbedingungen φ(0) =! 0 = φ 0 cos(ωt + α) α = 90 Sinusansatz und α = 0 ist auch völlig ok! φ(0)! = ω 0 = φ 0 ω sin(ωt + α) φ 0 = ω 0 J D Lösung zusammen: φ(t) = ω 0 J D cos D J t + 90 Aufgabe 4 Raumstation 3

4 Um auf Raumfahten eine Schwekaft zu simulieen, könnte man goße zylindische Raumschiffe bauen, die um eine zentale Achse otieen. Die Raumfahe wüden dann alle auf de äußeen Keisfläche leben. Die abgebildete Raumstation hat einen Duchmesse von 1 km. a) Wie schnell muss die Raumstation otieen, damit die Raumfahe in ih Edbeschleunigung efahen? Beechne sowohl die Winkelgeschwindigkeit als auch die Rotationsgeschwindigkeit! b) Zwei Raumfahe gehen in de Raumstation, eine mit de Geschwindigkeit v x = 1 m/s in Rotationsichtung, de andee mit gleiche Geschwindigkeit entgegen de Rotationsichtung. Bestimme den Unteschied de von beiden efahenen Beschleunigung. Auch diese Aufgabe kommt aus de Wiedeholungsklausu. a) Wi sind im mitotieenden Koodinatensystem. Dot wikt die Zentifugalkaft F z = mω = m v Beschleunigung eines Köpes duch die Zentifugalkaft: ma = F z a = v Bestimme v fü a! = g g = v v = g = 70 m/s ω = v = g = 0.14 s 1 b) Man kann jeweils die Zentifugalbeschleunigung in einem Koodinatensystem, das sich mit den Raumfahen mitbewegt, beechnen. a 1 = (v + v x) = m/s a = (v v x) = 9.5 m/s a = a 1 a = 4v v x = 0.56 m/s 4

5 Die eigentliche Bedeutung davon: Wenn man gemütlich geht ist man schon je nach Richtung 3% schwee bzw. leichte! Und das, obwohl das Raumschiff iesengoß ist. Es bleibt also offen, ob diese At des Raumschiffbaus wiklich sinnvoll ist. Noch eine Anmekung zum Thema Koodinatensysteme und Coioliskaft: Man kann auch hie das Ganze im mit de Raumstation otieenden Koodinatensystem betachten, dann muss man zusätzlich zu Zentifugalkaft aus Aufgabenteil a) noch zwei weitee Käfte einfühen: Die Coioliskaft mωv x und eine Zentipetalkaft, da sich die Raumfahe im otieenden Koodinatensystem auf eine Keisbahn mit Winkelgeschwindigkeit ± v x bewegen. Dann ist a 1 = v + v v x + v a = v v v x + v Die Wand muss also die gleiche Kaft wie im mit den Raumfahen bewegten System ausüben, um die Raumfahe auf ihe Bahn zu halten. Das muss sie natülich auch, wenn man das Ganze im Labosystem echnet, nu dass hie keine Scheinkäfte aufteten, sonden alles in die Aufechtehaltung de jeweiligen Keisbewegung geht. Inteessant wids eigentlich est, wenn man etwas fallen lässt und die Wand nicht meh alle Käfte ausgleicht. Das übelassen wi abe euch. Aufgabe 5 Schwebungen a) Zwei Stimmgabeln, eine mit Fequenz ω 1, die andee mit Fequenz ω, weden mit de gleichen Amplitude angeschlagen. Die von ihnen ausgesandten Wellen weden entlang de x- Achse duch die folgenden Funktionen beschieben x x ξ 1 (t, x) = Acos ω 1 t k 1 x ξ (t, x) = Acos ω t k x Beechne k i aus ω i. Beechne damit die Funktion de Welle, welche ein Zuhöe, de sich auf de x-achse befindet, höt. Skizziee die Welle fü einen Zeitpunkt exemplaisch. Hinweis: cos x + cos y = cos x+y x y cos b) Du möchtest ein Klavie nu mit Hilfe eine Reihe von Stimmgabeln, die alle notwendigen Töne ezeugen, und deines Gehös stimmen. Wie gehst du vo? Wie imme gilt das Supepositionspinzip. Außedem vewenden wi noch ω = ck (Schallgeschwindigkeit c) ξ(t, x) = ξ 1 (t, x) + ξ (t, x) = A cos ω 1 t x + cos ω t x c c 5

6 Nun baucht man das Additionstheoem. Damit egibt sich ξ(t, x) ω1 A = cos + ω t x c }{{} Schwingung mit de mittleen Fequenz ω1 ω cos t x c }{{} Einhüllende Qualitativ sieht das Zeitvehalten eines Schwinges in de Welle und das Otsvehalten de Welle gleich aus. Unten ist ein Beispiel fü t = 0 mit ω = 0.1ω gezeigt b) Ton anspielen, Schwebung höen, in die Richtung stimmen wo die Schwebungsfequenz kleine wid, weitemachen bis man keine Schwebung meh höt. Das wiedeholt man fü jeden Ton. Aufgabe 6 Supeposition Zwei hamonische Schwingungen gleiche Fequenz und Amplitude mit eine Phasenveschiebung δ zueinande übelagen sich wiedeum zu eine Schwingung. a) Wie goß sind die Fequenz und Amplitude de esultieenden Schwingung fü δ 1 = π und 3 δ = π (ohne Taschenechne). 6 b) Wie goß muss die Phasenveschiebung sein, damit die Amplitude de esultieenden Schwingung de Ausgangsamplitude de beiden Einzelschwingungen entspicht? Man kann wiede das Additionstheoem von oben anwenden. Addiet man beides zusammen egibt sich ξ 1 (t) = Acos ωt ξ (t) = Acos (ωt + δ) δ ξ(t) = Acos cos ωt + δ }{{} =A 6

7 a) Die Fequenz de esultieenden Schwingung bleibt also die gleiche wähend die Amplitude sich ändet A δ A = cos Fü φ 1 sollte man cos 30 = wissen ode bei beiden Phasenveschiebungen die Kleinwinkelnäheung cos x = 1 x 3 vewenden (mit π 3) φ 1 = = 1.7 φ = = b) Hie soll A = A gelten, also cos δ = 1. Man weiß natülich auswendig, dass cos 60 = 1 ist, woaus sich diekt die gesuchte Phasenveschiebung egibt δ = 10 = 3 π Aufgabe 7 Ich lass mich doch nicht veschaukeln Die kleine Maia lässt sich von ihem Papa auf eine Schaukel so anschubsen, dass die Amplitude gleich bleibt. Ein unbeteiligte Beobachte misst dabei eine Schaukelpeiode von T = 3 s und eine Geschwindigkeit am niedigsten Punkt von v = m/s. Maia wiegt zusammen mit de Schaukel 30 kg. a) Wie goß ist die Gesamtenegie des Systems aus Kind und Schaukel? b) De Gütefakto de Schaukel ist Q = 0. Wie goß ist de Enegievelust po Peiode? c) Welche mittlee Leistung muss Maias Vate bingen? Hinweis: Da die Amplitude konstant bleibt und man nu am Enegievelust übe eine Peiode inteessiet ist, kann man den Anschubsvogang wie eine Sinusfömige Anegung behandeln. Diskutiet das in de Guppe. a) Wi setzen die potentielle Enegie im untesten Punkt auf 0. Dann ist dot E = E kin = 1 mv = 60 J b) De Gütefakto ist π Enegie/Enegievelust po Peiode Q = π E E E = π E = 6π J 19 J Q 7

8 c) (Mittlee) Leistung ist Enegie/Zeit P = E T = π W 6 W Die tatsächliche Leistung ist natülich deutlich göße, da man nu wähend eine kuzen Zeit schubst (ich wüde eine Gößenodnung schätzen). Aufgabe 8 Wellen am Seil Ein 5 m langes Seil ist an einem Ende an eine Wand befestigt, das andee Ende ist lose. Wellen laufen auf dem Seil mit eine Ausbeitungsgeschwindigkeit von 0 m/s. Bestimme Wellenlänge und Fequenz de Gundschwingung sowie de esten und zweiten Obeschwingung. Fü die veschiedenen Moden auf dem beschiebenen Seil gilt l = λ n (Dabei ist n = 0 die Gundschwingung, n = 1 die este Obeschwingung usw.) Fü die Fequenz eine Schwingung gilt ν = c λ Damit kann man fü alle dei Fälle Wellenlänge und Fequenz beechnen Gundschwingung 1. Obeschwingung. Obeschwingung 0 λ 0 m m 4 m 3 ν 1 Hz 3 Hz 5 Hz 8