Ferienkurs Experimentalphysik Übung 1 - Musterlösung

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1 Feienkus Expeimentalphysik 1 1 Übung 1 - Mustelösung 1. Spungschanze 1. Die maximale Höhe nach Velassen de Spungschanze kann übe die Enegieehaltung beechnet weden, de Bezugspunkt sei im Uspung am Abspungpunkt. Am Umkehpunkt, dem Punkt de maximalen Höhe wähend des Fluges hat die Geschwindigkeit de Spingein keine z-komponente. Dahe gilt fü die maximale Höhe h max : E Umkehpunkt = E Abspungpunkt (1) mgh max + 1 mv x = 1 mv Absp = 1 m (v x,absp + v z,absp) () Laut Angabe, schließt die Geschwindigkeit de Spingein im Zeitpunkt des Abspungs einen Winkel von α = 5 mit de Hoizontalen ein. Damit gilt fü die maximale Höhe: h max = 1 g v z,absp = 1 g sin α v Absp (3) De Betag de Geschwindigkeit am Abspungpunkt lässt sich auch aus de Enegieehaltung beechnen: E Stat = E pot,stat + E kin,stat = mgh Stat (4) Diese Enegie wid duch die Edbeschleunigung bis zum Abspungpunkt vollständig in kinetische Enegie umgewandelt: E Absp = E pot,absp + E kin,absp = 1 mv Absp = E Stat (5) Daaus kann man schließlich die maximale Höhe beechnen: aus (4): 1 v Absp = 1 m E Stat = gh Stat (6) und damit: h max = 1 g sin α gh Stat = sin αh Stat = 3, 57m (7) 1

2 . Um die Weite zu beechnen vewendet man, dass man die beiden, senkecht zueinande stehenden, Geschwindigkeitskomponenten v x und v z getennt behandeln kann. Die Weite ist also: s = v x T = v cos α T (8) Man benötigt also die Flugdaue T. Diese ist die Zeit, die die Spingein benötigt um vom Abspungpunkt wiede bei z = zu landen. Die z-komponente in Abhängigkeit von de Zeit kann man duch zweimaliges Integieen nach de Zeit de Bewegungsgleichung fü die z-richtung beechnen: m z = mg (9) Da die Gavitationskaft unabhängig von de Zeit ist, sind die beiden Integale leicht zu beechnen und es egibt sich mit v z () = v,z und z() = : Die Flugdaue T ist also: z(t) = 1 gt + v,z t = 1 gt + v sin α t (1) z(t ) = 1 gt + v,z T! = (11) Damit betägt die Weite s: T = v,z g = v sin α g (1) s = cos α sin α v g = 4 cos α sin αh Stat = 3, 64m (13) 3. Man sieht, dass in 1. und. die Masse de Spingein keine Rolle gespielt hat. Daum fliegt ih Feund genauso weit und hoch wie sie.. Schäge Wuf mit Stokessche Reibung 1. Die auf das Teilchen wikenden Käfte sind die konstante Gewichtskaft F G = mgê z und die geschwindigkeitsabhängige Luftwidestandskaft F R = σ. Damit lautet die vektoielle Bewegungsgleichung: In Komponenten zelegt: m = F G + F R = mgê z + σ (14) mẍ = σẋ (15) mÿ = σẏ (16) m z = σż mg (17)

3 . Daaus kann man die Bewegungsgleichungen fü die Geschwindigkeitskomponenten v x, v y, v z gewinnen: m v x = σv x (18) m v y = σv y (19) m v z = σv z mg () Die esten beiden Gleichungen kann man sofot lösen: v x (t) = v x e σ m t (1) v y (t) = v y e σ m t () Laut Angabe zeigt die Anfangsgeschwindigkeit des Teilchens in die xz-ebene und hat den Winkel α zu Hoizontalen. Das heißt Also v x = v cos α und v y =. Damit: v cosα v = v sinα (3) v x (t) = v cos αe σ m t (4) v y (t) = (5) Gleichung (17) ist die inhomogene lineae Diffeentialgleichung fü die z-komponente. Ihe Lösung ist die Summe aus de allgemeinen homogenen (m v z + σv z = ) und eine speziellen de inhomogenen Diffeentialgleichung. Die Lösung de homogenen ist analog zu denen de x- und y-komponenten: Eine inhomogene Lösung kann man aten: v z,hom = Ce σ m t (6) Also v z,inh = mg σ (7) v z (t) = Ce σ m t mg σ (8) Um die Integationskonstante C zu emitteln setzt man in Gleichung (3) die Anfangsbedingung v z () = v z ein. Damit ehält man letztendlich fü v z (t): v z (t) = v sin αe σ m t mg σ 3 ( 1 e σ m t) (9)

4 3. Die Bahnkuve ehält man aus de Geschwindigkeit übe die Integation nach t und de Anfangsbedingung x = y = z = : t x(t) = x + dt v cos αe σ m = mv cos α ( 1 e σ t) m (3) σ y(t) = y = (31) t ( dt v sin αe σ m t mg ( )) 1 e σ m (3) σ z(t) = z + ( mv sin α = σ + m g σ ) (1 e σ m t) mg σ t (33) 3. Leite an eine Wand Auf die Leite wiken dei Käfte: Die Gewichtskaft G (die wi uns bei eine homogenen Leite im Mittelpunkt angeifend denken können) und die Käfte, die Boden bzw. Wand auf die Endpunkte de Leite ausüben. Die Wandkaft F 1 zeigt aufgund de Voaussetzung eine utschigen Wand senkecht zu Wand, die Bodenkaft F hat sowohl eine Hoizontal- als auch eine Vetikalkomponente, so wie in de Abbildung angedeutet. Die Angiffspunkte de Käfte sind l x lcosα cos α 1 = y = l sin α, = =, M = l sin α (34) Damit die Leite sich nicht in Bewegung setzt, muss sowohl das Gesamtdehmoment (wi wählen den Uspung als Bezugspunkt) als auch die Gesamtkaft veschwinden. Das bedeutet: 4

5 M = 1 F 1 + M G + F (35) l F 1x cos α l cos α F x = l sin α + l sin α mg + F y (36) = lf 1x sin αê z l mg cos αê z + lf y cos αê z! = (37) Aus de Bedingung, dass die Gesamtkaft veschwinden muss: F = F 1x + mg + F x F y! = (38) folgt, F y = mg und F x = F 1x ist. Damit egibt sich aus de Dehmomentbedingung die gesuchte Wandkaft F 1x : F 1x = G tan α (39) Das scheint plausibel: Fü α = 9 ist F 1x =, wie man es ewatet. Die Kaft, die die Leite auf die Wand ausübt, ist natülich genau die Gegenkaft, also F W = G (4) tanαêx Die Kaft mit de de Boden das Wegutschen de Leite vehindet, ist die Hoizontalkomponente von F, also 4. Kuvenabschnitt eine Staße F B = G tan αêx (41) Um die Efüllung beide Vogaben zu gaantieen muss eineseits die Kaft paallel zu Staße auf ein stehendes Auto veschwinden und nötige Zentipetalkaft aufgebacht weden. 1. Auf ein stehendes Auto auf eine schägen Ebene wiken die Gewichtskaft in -z Richtung, die Nomalkaft senkecht zu Ebene und die Hafteibungskaft entlang de Ebene entgegen de Zugkaft, also de Hangabtiebskaft. Die Bedingung, dass die Kaft paallel zu Ebene veschwinden muss füht also zu: 5

6 mg sin α = µ H F N = mgµ H cos α (4) Dabei wude die maximal mögliche Hafteibungskaft eingesetzt. Fü den Winkel α folgt: tanα = µ H α = actan(µ H ) = 4, 57 (43). Um einen Köpe auf eine Keisbahn zu halten, muss man ihn in Richtung Keismittelpunkt beschleunigen. Im voliegenden Fall muss nu die Komponente de Zentipetalkaft paallel zu Ebene aufgebacht weden. Ohne Reibung ist die einzige Kaft paallel zu Ebene die sogenannte Hangabtiebskaft. Damit ist die Bedingung an den Radius : F Z cos α F G sin α (44) mv cos α mg sin α (45) v g tan α = 353.9m (46) Die Hafteibung wikt est sobald de Köpe schnelle ode langsame als 6km/h fäht. Sie wikt solange de nach außen (schnelle als 6km/h)/ nach innen (langsame als 6km/h) geichteten Kaft entgegen bis de maximale Wet F H,max = µ H F N eeicht ist. Übesteigt die Kaft diesen Wet beginnt das Auto nach außen bzw. nach innen zu utschen. 5. Spannung und Dehimpuls 1. Die Spannung T in de Schnu ist genau die Zentipetalkaft also T = mv R (47). De Uspung befinde sich im Keismittelpunkt, de Dehimpuls de Masse ist L = p. Da Geschwindigkeit und Otsvekto senkecht zueinande stehen, lässt sich de Betag des Dehimpulses übe das gewöhnliche Podukt beechnen und seine Richtung übe die echte-hand-regel: L = mr v ê z (48) Wobei die z-achse senkecht auf de Ebene stehen soll, und die positive Richtung so gewählt ist, dass sie paallel zu Winkelgeschwindigkeit de Masse ist. 6

7 3. Die kinetische Enegie ist einfach zu beechnen: E kin = 1 mv (49) 4. Die Kaft F die nötig ist um den Radius de Keisbahn zu halbieen veläuft paallel zum Otsvekto. Daduch gibt es kein Dehmoment, de Dehimpuls bleibt also ehalten. L R = L R (5) mr v ê z = m v ê z = m R v ê z (51) Daaus folgt, dass die Geschwindigkeit nun v = v betägt. Die kinetische Enegie hat sich also veviefacht: E kin = 1 mv = mv = 4E kin (5) Die Enegie de Masse bleibt hie nicht ehalten, da duch das veküzen des Radius Kaft aufgewendet weden muss. Es wid Abeit geleistet, die in de kinetischen Enegie de Masse gespeichet wid. 6. Rotieende Masse am Faden 1. Bei hoizontale Bewegung ist die nach außen wikende Zentifugalkaft bei konstante Winkelgeschwindigkeit ω konstant. F Zf = mω ω = FZf m (53) Die Winkelgeschwindigkeit, bei de de Faden eißt, ist die bei de die Zentifugelkaft F Zf > 1N. ω max = 14, 14s 1 (54). Rotiet de Köpe um eine hoizontale Achse im Schweefeld de Ede, so ist ω nicht konstant. Die Tangentialbeschleunigung ist a t = g sin ϕ(t) (55) wobei ϕ de Winkel zwischen Radiusvekto und z-achse ist. Die Winkelgeschwindigkeit ist dann 7

8 ω = ω + g t sin ϕ(t )dt (56) Die maximale Winkelgeschwindigkeit wid am unteen Punkt eeicht, wobei ω = ω(ϕ = ) die Winkelgeschwindigkeit am obeen Punkt de Bahn ist. De maximale Wet ω max wid fü ϕ = π zu Zeit t = T im unteen Punkt de Bahn eeicht. Es gilt: ω max = ω + g T Mit ϕ = ω egibt sich dann: sinϕ(t )dt = ω + g π sinϕ ϕ dϕ = ω + g cos ϕ ϕ π (57) ω max = ω + g g + (58) ω ω max ω max = 1 ) ( ω + gω ± 1 ω + 8g + g (59) ω Die gößte Kaft auf den Faden titt im unteen Punkt auf. Die Bedingung, dass de Faden nicht eißt, ist dann: F = mω max + mg = 1N (6) ω max = 13, 8s 1 (61) Die maximal zulässige Winkelgeschwindigkeit ω an obeen Punkt ehält man entwede aus Gleichung(58) ode einfache aus dem Enegiesatz: 1 mv = 1 mv max mgmitv = ω (6) Einsetzen de Zahlenwete egibt ω = 1, 3s 1. De Unteschied zwischen de Geschwindigkeit v min im obeen Punkt und v max im unteen Punkt ist: v min + g = v max ω max ω min = 4g (63) 7. Pendel Damit die Masse einen Umlauf um den Nagel ausfüht muss zu jedem Zeitpunkt die Schnu gespannt sein. Das heißt die Zentifugalkaft muss göße sein, als die Komponente de Gewichtskaft in Richtung Nagel. Am gößten ist diese im obesten 8

9 Punkt de Umlaufbahn. Die Bedingung lautet also F Zf > F G (64) Mv > Mg (65) v > g (66) Die Geschwindigkeit de Masse im höchsten Punkt kann man mit de Enegieehaltung emitteln. Wobei als Bezugspunkt de potentiellen Enegie de unteste Punkt de Schwingung gewählt wid. E Stat = E unten = E oben (67) Mgl = 1 Mv unten = 1 Mv oben + Mg (68) Damit gilt fü die Geschwindigkeit am höchsten Punkt: v oben = g(l ) (69) Setzt man diese Geschwindigkeit in die Umlaufbedingung ein, so entsteht die Bedingung fü die Position des Nagels: g < g(l ) (7) 5 < l (71) < 5 l (7) 8. Gavitation 1. Das Gavitationspotential de Ede ist gegebene duch: E pot = GM Em (73) Um dies in den Gößen g und R E auszudücken, muss man siche übelegen, wohe die Edbeschleunigung g kommt. In de Nähe de Edobefläche, fasst man die Gavitationskaft mit F G = mg zusammen. F G = d d E pot() = GM Em =! mg (74) 9 g = GM E R E (75)

10 Das Gavitationspotential eine Masse in de Entfenung vom Edmittelpunkt ist damit: E pot = gr E m (76) Die Bedingung fü eine stabile Keisbahn ist, dass die Gavitationskaft die Zentipetalkaft aufbingen muss, die beiden Käfte also gleich goß sein müssen. GM E m = mv v = GM E Die kinetische Enegie auf eine stabilen Keisbahn betägt dann: (77) (78) E kin = 1 mv = 1 GM Em = 1 E pot (79). Die Fluchtgeschwindigkeit ist dann eeicht, wenn die kinetische Enegie göße ist, als die potentielle Enegie. E pot + E kin > (8) a) De Mond befindet sich auf eine stabilen Keisbahn, seine Geschwindigkeit betägt, wie in 1. beechnet: v = GM E (81) Seine kinetische Enegie enspicht dann de halben potentiellen Enegie. Um die Bedingung fü die Flucht zu efüllen, muss diese vedoppelt weden. Die Geschwindigkeit des Mondes müsste um den Fakto göße weden. b) Um aus dem Gavitationsfeld des Mondes heauszukommen, muss wiede die Fluchtbedingung efällt sein. Die Fluchtgeschwindigkeit betägt also: v GMM M =, 38km/s (8) 9. Klotz auf otieende Scheibe Bei eine Radialgeschwindigkeit von v, = 1m/s baucht de Klotz t = 1 s, um an den Rand de Scheibe zu gelangen. Wenn die Scheibe sich nicht deht, wüde de Klotz im Labosystem und im System de Scheibe geadeaus gleiten mit de Geschwindigkeit v = (v, v ϕ ) und den Rand de Scheibe bei 1

11 Rϕ = t v ϕ = 5 1 m =, 5mϕ =, 5 ˆ=14, 5 (83) eeichen. Nun deht sich die Scheibe mit ω = π 1s 1, ih Rand deht sich in de Zeit t also um ϕ = ω t = 39 (84) Bei ein adiale Geschwindigkeit des Klotzes (v ϕ = ) wüde de Klotz bei ϕ = 39 am Rande de Scheibe ankommen. Mit v ϕ = 5m/s eeicht de Klotz den Rand bei ϕ = 14, 5 39 = 4, 5 (85) Wähend de Klotz vom Standpunkt des uhenden Betachtes geade aus utscht, macht sie vom Standpunkt des sich mit de Scheibe dehenden Betachtes eine gekümmte Bahn mit de Tangentialbeschleunigung a ϕ = v ω (86) Die Bahn auf de otieenden Scheibe ist dahe eine Paabel. Die Geschwindigkeit ist: v = (v, v ϕ v ωt), wobei v, v ϕ die Geschwindigkeitskomponenten im uhenden System sind und v, v ϕ v ωt Wete im System de Scheibe. 1. Auto am Äquato Die Zentifugalkaft zeigt adial nach außen, die Coioliskaft adial nach innen, wie man leicht an den Fomeln fü die beiden Käfte sehen kann: F C = m( ω v) (87) F Zf = m ω ( ω ) (88) Die Geschwindigkeit, Radius und Winkelgeschwindigkeit stehen senkecht aufeinande. Die Betäge de Käfte kann man also mit dem gewöhnlichen Podukt beechnen: F C > F Zf (89) mωv > mω R E (9) v > 1 ωr E (91) Diese Zusammenhang ist leicht aus den Fomeln fü die beiden Käfte einzusehen und wa deshalb zu ewaten. ωr E ist übigens die Geschwindigkeit mit de sich ein Punkt auf dem Äquato bewegt. 11

12 11. Zentifugal- und Coioliskaft 1. Die Beschleunigung zeigt in Richtung Dehachse de Ede. Ih Betag ist ( a = v = ω = ω cos θr E = π 4 36s ) R E cos θ = 3, 37 cm s (9). Duch diese Zentipetalbeschleunigung efäht eine Masse im mitbewegten System die Zentifugalkaft (Scheinkaft), die nach außen zeigt, und somit de Gavitationsbeschleunigung entgegen. Die Masse escheint also leichte. 3. Am Äquato zeigt die Zentifugalkaft adial nach außen, also antipaallel zu Gewichtskaft. g θ= = 9, 87 m s ω R E = 9, 83 m s (93) Beim Beitengad θ = 45 ist die Zentipetalkaft nicht meh antipaallel zu Gewichtskaft. Ihe Radialkomponente betägt F Zf, = F Zf cos θ. Damit: g θ=45 = 9, 81 m s ω R E cos θ = 9, 79 m s (94) 4. Die z-achse ist so gewählt, dass sie mit de Winkelgeschwindigkeit ω zusammenfällt. x- und y-achse so, dass die Osten genau in y-richtung liegt. R E cos 45 a Zf = (95) π π R 4 36s 4 36s E sin 45 ( ) π = R E cos 45 ê x =, 4 m (96) 4 36s s a C = 7 m (97) s π 4 36s π = 4 36s 7m s êx = 1, 18 m (98) s 1