ERGEBNISSE TECHNISCHE MECHANIK III-IV Lehrstuhl für Technische Mechanik, TU Kaiserslautern

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1 ERGEBNISSE TECHNISCHE MECHANIK III-IV Lehstuhl fü Technische Mechanik, TU Kaiseslauten WS 15/16, Aufgabe: (TMIII) A g ϕ = π 3 m m 3m l ϕ y x a = 4 5 l P B h c f l Das skizziete System besteht aus zwei Stäben A und B sowie eine Punktmasse (Masse m). Stab A (Längel, Massem) ist im obeen Punkt dehba gelaget. StabB (Längel, Masse3m) ist im unteen Punkt dehba gelaget und wid duch die abgebildete Dehfede (Dehfedesteifigkeit c f ) gestützt. Stab A wid zunächst um den Winkelϕ = π 3 ausgelenkt und aus de Ruhe losgelassen. a) Emitteln Sie die Geschwindigkeitv de Punktmassem unmittelba nach dem ideal elastischen Stoß (e = 1) mit Stab A. Danach fliegt die Punktmasse unte dem Einfluss de Edbeschleunigung g (lufteibungsfei) auf de abgebildeten Bahn und tifft nach de Flugweitea = 4 l im PunktP auf den Stab B. 5 b) Beechnen Sie den Abstandh(siehe Skizze). De zweite Stoß de Punktmasse mit Stab B sei ideal plastisch (e = ). Die Punktmasse haftet dann (dauehaft) an Stab B. Beechnen Sie c) die Winkelgeschwindigkeitω, mit de sich Stab B unmittelba nach dem Stoß (e = ) deht. d) Wie goß ist die Stoßkaft ˆF y iny - Richtung beim zweiten Stoß? Gegeben:m, g, l, c f, a = 4 5 l, ϕ = π 3

2 Kuzlösung: a) v = 5 6gl b) h = l 3 c) d) ω = 1 6g 65 l F y = mv y = 5 am 6gl 1 l

3 . Aufgabe: (TMIII) ϕ 3 Θ 3 = m m = m ϕ 1 (1) Θ 1 = m ϕ () v P P mz M Auf eine homogene Scheibe (Masse m = m, Radius ) wid wie in de Skizze angedeutet eine weitee Scheibe (Masse m z, Radius 1 ) im Abstand zum Mittelpunkt de goßen Scheibe aufgeklebt. Es entsteht de stae Köpe () aus obige Abbildung. De Moto (1) (MassentägheitsmomentΘ 1 = m, Radius, AntiebsmomentM) teibt Köpe () übe ein masseloses, dehnstaes und stets gespanntes Seil an. Das Seil wid dabei ohne zu utschen übe eine Umlenkolle (MassentägheitsmomentΘ 3 = m, Radius 1 ) gefüht. Die Edbeschleunigung soll in allen Aufgabenteilen venachlässigt weden. a) Wie goß mussm z sein, damit das Massentägheitsmoment von Köpe () den WetΘ () = 5m annimmt? Hinweis: Abeiten Sie in allen folgenden Aufgabenteilen mitθ () = 5m. b) Emitteln Sie die Winkelbeschleunigung ϕ 1 in Abhängigkeit de gegebenen Gößen. Das MomentM sei nun abhängig vom Dehwinkelϕ 1 duchm(ϕ 1 ) = M ϕ 1 ϕ max gegeben. Dabei sind M > undϕ max > gegebene Wete. c) Zu Zeit t = sei de Dehwinkel ϕ 1 = und die Winkelgeschwindigkeit ϕ 1 =. Beechnen Sie fü den Fall ϕ 1 ϕ max die Winkelgeschwindigkeit ϕ 1 (ϕ 1 ) als Funktion des Dehwinkelsϕ 1. d) Wie goß ist die Geschwindigkeitv P von Punkt P (siehe Skizze) fü den Fall ϕ 1 = ϕ max? Gegeben:M, Θ 1 = Θ 3 = m, Θ () = 5m, m, m = m,, fü c) und d):m >, ϕ max >, ϕ 1 (t = ) =, ϕ 1 (t = ) =

4 Kuzösung: a) m z = 8 9 m b) ϕ 1 = M m 4 5 c) M 4 ϕ 1 = m 5 ϕ 1 ϕ max d) v p = M m 4 5 ϕ max

5 3. Aufgabe: (TMIII) 5 7 F E A D 1 B 4 y z x ω C Gegeben ist das abgebildete System, das aus zwei Walzen, zwei Kulissensteinen (E und F), zwei Stangen (AB und AF) und einem Winkel CDE besteht. Die Bauteile sind wie skizziet in den Punkten A, B, C, E und F gelenkig miteinande vebunden. Die Kulissensteine weden hoizontal gefüht. Beide Walzen ollen ohne zu gleiten. Die Walze 1 wid mit de konstanten Winkelgeschwindigkeitω gedeht. Alle gegebenen Punkte sowie die zu bestimmenden Momentanpole liegen exakt auf Keuzungspunkten des dagestellten Gittes. a) Emitteln Sie gaphisch die Momentanpole de beiden Walzen, und stellen Sie diese mit einem Keuz (+) und de Bezeichung Π 1 bzw. Π in de Aufgabenstellung da. Beechnen Sie die Geschwindigkeitsvektoen v A und v B de Punkte A und B, und zeichnen Sie die Richtungen diese Vektoen in die Aufgabenstellung ein. b) Wo liegt de Momentanpol de Stange AB? Begünden Sie ihe Antwot. c) Beechnen Sie die den Geschwindigkeitsvekto v C im Punkt C. d) Zeichnen Sie die Richtungen de Geschwindigkeitsvektoen v C und v E in die Aufgabenstellung ein, und emitteln Sie gaphisch den MomentanpolΠ CDE des Winkels CDE. Makieen Sie den MomentanpolΠ CDE mit einem Keuz (+) in de Aufgabenstellung. e) Emitteln Sie die Winkelgeschwindigkeit des Winkels CDE und den Geschwindigkeitsvekto v E des echten Kulissensteins. f) Betachten Sie nun die Stange AF. Beechnen Sie den Geschwindigkeitsvekto v F des linken Kulissensteins und zeichnen Sie die Richtung dieses Vektos in die Aufgabenstellung ein. g) Bewegen sich die beiden Kulissensteine im momentanen Zustand aufeinande zu? Keuzen Sie die ichtige Antwot an. ja nein Gegeben:, ω

6 5 7 F v F v E E y z x 1 A Π 1 ω v A Π CDE B v B C Π v C D Kuzlösung: ω 4 a) v A =, v B = v A b) De Momentanpol de Stange AB liegt in y-richtung im Unendlichen, da v A und v B paallel sind. Es liegt eine eine Veschiebung vo. c) ω = ; Π C = ω d) siehe Skizze ω v C = ω e) f) ΠCDE C = ω CDE = ; ΠCDE E = 4 ω 4ω v E = ω 4 v F = v A = g) Ja, die Kulissensteine bewegen sich im momentanen Zustand aufeinande zu.

7 4. Aufgabe: (TMIV) c 1,d 1 c 1 c 3,d 3 1 ϕ 1 M (t) c 3 s S ϕ g 1 c,d c System A System B Die in den Abbildungen skizzieten Systeme bestehen jeweils aus eine Scheibe de Dichte ρ mit dem Radius und de Dicke t, welche an dei Feden (Steifigkeiten c 1,c,c 3 ) und in System A an dei zusätzlichen Dämpfen (Dämpfungskoeffizienten d 1,d,d 3 ) aufgehängt ist. System A wid duch ein MomentM(t) = M cosωt angeegt. Die Scheibe in System B enthält eine Bohung. Beechnen Sie fü das System A: a) das MassentägheitsmomentΘ s de Scheibe und die Bewegungsgleichung fü ϕ 1, b) die Eigenkeisfequenzω und das Lehsche DämpfungsmaßD, c) die Lösung de Diffeentialgleichung fü den eingeschwungenen Zustand. Beechnen Sie fü das System B: d) den Abstand vom Schwepunkt de Scheibe zum Lage s, das MassentägheitsmomentΘ s de Scheibe bezüglich des Lages und die Bewegungsgleichung fü ϕ 1. e) die Steifigkeit c, damit das System schwingungsfähig ist. Gegeben:g,, ρ, t, M,c 1 = c, c = c,c 3 = 3c,d 1 = d,d = d, d 3 = 3d

8 Kuzlösung: a) θ s = ρπt4. (1) ϕ+ ϕ 1d 1c +ϕ ρπt ρπt = M cosωt. () ρπt4 b) 3d D = ρπtc (3) c) ω = 1c ρπt ϕ = M 6c. (4) (5) ϕ = ϕ V cos(ωt γ). (6) V = 1 (1 D ) +4D η (7) tan(γ) = Dη 1 η (8) d) s = ( ( ) π ) ( ) = π 6 π (9) θ s = 13 3 ρπt4. (1) c > 48 ρπtg. (11)

9 5. Aufgabe: (TMIV) x 1 c m 1 c ϕ 1 ψ masselos α 1 m x Auf eine masselosen, eibungsfei gelageten Spule sind auf unteschiedlichen Radien ( 1 und ) masselose Seile aufgewickelt. An einem de Seile hängt die Masse m. Das Ende des andeen Seils ist übe eine Fede (Steifigkeit c) mit eine homogenen Walze (Radius 1, Massem 1 ) vebunden. Die Walze ollt ohne zu gleiten auf eine schiefen Ebene (Neigungswinkel α) und ist übe eine weitee, baugleiche Fede mit eine Wand vebunden. Die Seile sind dabei stets gespannt. a) Geben Sie die potentielle und die kinetische Enegie des Systems in Abhängigkeit von x 1, x, ẋ 1 undẋ an. b) Leiten Sie mit den Lagangeschen Gleichungen. At die Bewegungsgleichungen fü die beiden Tanslationsfeiheitsgadex 1 undx he. c) Fü spezielle Vehältnisse von 1 / und m 1 /m und einen gegebenen Winkel α veeinfachen sich die Bewegungsgleichungen zu mẍ 1 +cx 1 cx = 1 3 mg, mẍ cx 1 +4cx = mg. Stellen Sie diese Gleichungen in Matixfom da, bilden Sie das chaakteistische Polynom und emitteln Sie die Eigenfequenzen ω 1 und ω. Hinweis: Aufgabenteil c) kann unabhängig von a) und b) gelöst weden. Gegeben:m 1, m, 1,, c,α

10 Kuzlösung: a) U = 1 cx ( ) c x 1 x 1 m gx m 1 gx 1 sinα T = 1 m 1ẋ m ẋ m 1ẋ 1 b) 3 m 1ẍ 1 +cx 1 c 1 x m 1 gsinα = m ẍ c 1 x 1 +c ( 1 ) x m g = c) ω 1 = (3 5) c m ω = (3+ 5) c m

11 6. Aufgabe: (TMIV) x,u E,A dx F N dm = ρadx N + N x dx l Abbildung 1 Abbildung De einseitig eingespannte Stab in Abbildung 1 mit de Dehnsteifigkeit EA und de Dichte ρ wid am feien Ende mit eine Kaft F belastet. Zu Zeit t = wid die Kaft entfent. a) Leiten Sie aus dem Feischnitt am unbelasteten Stab in Abbildung die Schwingungsdiffeentialgleichung fü Longitudinalschwingungen u(x, t) he und identifizieen Sie die Wellenausbeitungsgeschwindigkeit c. Vewenden Sie dazu das Elastizitätsgesetz N = EA u x des Stabes. b) Fomulieen Sie die Randbedingungen fü t > und die Anfangsbedingungen. c) Beechnen Sie die Eigenfequenzenω k und die EigenfomenU k (x) unte Vewendung des Ansatzes u(x, t) = U k (x)t k (t) mitu k (x) = A k cos ( ωk ) ( c x ωk ) +B k sin c x und k=1 T k (t) = C k cos(ω k t)+d k sin(ω k t). Gegeben:F, l, ρ, A, E

12 Kuzlösung: a) ü = E ρ u (1) c = E ρ (13) b) u(x =,t) = (14) u (x = l,t) = (15) u(x,t = ) = Fx EA (16) u(x,t = ) = (17) c) ω k = k 1 πc l (18) ( ) k 1 U k (x) = B k sin πx. (19) l