TU Dortmund. Vorname: Nachname: Matr.-Nr.: Aufgabe 1 (Seite 1 von 3)

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1 Vorname: Nachname: Matr.-Nr.: Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) Eine Kugel (Masse m 1 ) bewegt sich in Punkt A mit der initialen Geschwindigkeit v A unter dem Winkel γ zur Horizontalen. Nach dem Auftreffen auf die zunächst glatte Bahn in Punkt B, stößt die Kugel vollkommen elastisch auf den Körper der Masse m 2 in Punkt C. Anschließend bewegt sich dieser Körper über die Bahn zu Punkt F, wobei im Abschnitt von Punkt D bis E Reibung auftritt. Die genauen Abmessungen, sowie das zu verwendende Koordinatensystem sind der Abbildung zu entnehmen. µ=0 g µ y 1 F v A µ=0 E ϕ r B α m h 1 γ h 1 m 3 h 2 x 2 D A C b l a) Geben Sie für den Flug der Kugel von A nach B den Ortsvektor s(t)=x(t)e x + y(t)e y als Funktion der Zeit t in kartesischen Koordinaten an. (1,5 Punkte) s(t) = e x + e y Berechnen Sie die Geschwindigkeit v A in Abhängigkeit der in der Abbildung gegebenen Größen, sodass die Kugel in Punkt B von oben auf die Bahn trifft. (1,0 Punkte) v A =

2 Vorname: Nachname: Matr.-Nr.: Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit v C der Kugel unmittelbar vor dem Stoß mit dem Körper der Masse m 2. Der Höhenunterschied zwischen den Punkten B und C ist h 2. (1,0 Punkte) Hinweis: Die Geschwindigkeit v B in B ist für diesen Aufgabenteil gegeben. v C = c) Berechnen Sie die Geschwindigkeit v C des Körpers (Masse m 2 ) kurz nach dem vollkommen elastischen Stoß und bestimmen Sie das Masseverhältnis von m 1 und m 2, sodass die Kugel nach dem Stoß in Ruhe bleibt. (1,0 Punkte) Hinweis: Die Geschwindigkeit v C der Kugel kurz vor dem Stoß ist gegeben. v C = m 1 m 2 = d) Berechnen Sie den maximalen Reibungskoeffizienten µ 1 auf dem Bahnabschnitt von Punkt D nach E, sodass der Körper (Masse m 2 ) in Punkt F zum Stillstand kommt. (1,5 Punkte) Hinweis: Die Geschwindigkeit v C des Körpers (m 2 ) kurz nach dem Stoß mit der Kugel kann als gegeben betrachtet werden und muss nicht ersetzt werden. µ 1 =

3 Vorname: Nachname: Matr.-Nr.: Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) e) Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit ϕ in dem Abschnitt von E bis F. (2,0 Punkte) Hinweis: Die Geschwindigkeit v C ist erneut gegeben. ϕ = Berechnen Sie die maximale Geschwindigkeit v E des Masseklotz in Punkt E, sodass der Körper (Masse m 2 ) die Bahn im folgenden Streckenabschnitt nicht verlässt. (2,0 Punkte) Hinweis: Die Geschwindigkeit v C ist erneut gegeben. v E <

4 Vorname: Nachname: Matr.-Nr.: Aufgabe 2 (Seite 1 von 3) Das nebenstehende System befindet sich im Schwerefeld. Es besteht aus einer drehbar gelagerten Stange (Masse M, Länge L) an deren Ende ein Hohlrad (Masse m, Radius r) mit sechs Speichen (jeweils Masse m/6) gelenkig angebracht ist. Das Hohlrad rollt schlupffrei auf einer Kreisbahn (Radius R) ab. Das Stangenende ist über ein Seil mit einer ungespannten Feder (Federkonstante k, ungespannte Länge x 0 ) und einem Dämpfer (Dämpferkonstante d) verbunden. m,r m 6,r ψ g ϕ NN M,L l 0 R x k d a) Geben Sie die Koordinaten x und ψ in Abhängigkeit der Koordinate ϕ an.(1,0 Punkte) x(ϕ) = ψ(ϕ) = b) Geben Sie die kinetische EnergieE kin des Systems inklusive aller Massenträgheitsmomente in Abhängigkeit der Koordinaten ϕ, ψ und x an. (3,0 Punkte) Hinweis: Ihre Ergebnisse aus Aufgabenteil a) sollen nicht eingesetzt werden. Das auf seinen Schwerpunkt bezogene Massenträgheitsmoment eines Hohlrades der Masse M mit dem Radius R ist gegeben durch Θ Hohlrad = M R 2. E kin =

5 Vorname: Nachname: Matr.-Nr.: Aufgabe 2 (Seite 2 von 3) c) Geben Sie die potentielle Energie E pot des Systems in Abhängigkeit der Koordinaten ϕ, ψ und x bezogen auf das vorgegebene Nullniveau NN an. (2,0 Punkte) Hinweis: Ihre Ergebnisse aus Aufgabenteil a) sollen nicht eingesetzt werden. E pot = d) Geben Sie die virtuelle Arbeit δw der nichtkonservativen Kräfte in Abhängigkeit der Koordinaten ϕ, ψ und x an. (1,0 Punkte) Hinweis: Ihre Ergebnisse aus Aufgabenteil a) sollen nicht eingesetzt werden. δw = Aufgabenteil e) befindet sich auf der nächsten Seite!

6 Vorname: Nachname: Matr.-Nr.: Aufgabe 2 (Seite 3 von 3) e) Für ein anderes konservatives System sind die kinetische und potentielle Energie in Abhängigkeit der Koordinate ϕ durch E kin = 17 6 ma2 ϕ 2, E pot = 3mgacosϕ+2ca 2 (sinϕ) ca2 (sinϕ) 2, vorgegeben. Bestimmen Sie die Bewegungsgleichung für kleine Auslenkungen um die Lage ϕ=0. (2,0 Punkte) Geben Sie die Eigenkreisfrequenz ω 0 für kleine Auslenkungen um die Lage ϕ=0 an. (1,0 Punkte) ω 0 =

7 Vorname: Nachname: Matr.-Nr.: Aufgabe 3 (Seite 1 von 3) Bei dem dargestellten Motor wird die Kurbelwelle AB durch eine Pleuelstange BC sowie einen um den Winkel α geneigten Kolben in Punkt C angetrieben. Im dargestellten Zeitpunkt ist die Geschwindigkeit des Kolbensv C bekannt. Die Bezeichnungen und Abmessungen können Sie der nebenstehenden Skizze entnehmen. α 2l C v C β B e y ω l A e x a) Bestimmen Sie die Lage r M = r y M e y des Momentanpols M der Pleuelstange BC und zeichen Sie diesen in obige Skizze ein. (2,0 Punkte) r y M = Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeit ω gemäß des eingezeichneten Drehsinns für die dargestellte Lage des Systems. (2,0 Punkte) ω =

8 Vorname: Nachname: Matr.-Nr.: Aufgabe 3 (Seite 2 von 3) Der Motor ist nun zu einem anderen Zeitpunkt dargestellt. Die weiteren Bezeichnungen und Abmessungen können Sie der nebenstehenden Skizze entnehmen. α C v C 2l e y γ B A e x ω 1, ω 1 l b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit v B sowie die Beschleunigung a B in Punkt B für die dargestellte Lage des Systems. Geben Sie die Vektorkomponenten im {e x,e y }-Koordinatensystem an und nehmen Sie an, dass ω 1 und ω 1 bekannt sind. (3,0 Punkte) Hinweis: Beachten Sie den eingezeichneten Drehsinn der gegebenen Größen. v B = e x + e y a B = e x + e y

9 Vorname: Nachname: Matr.-Nr.: Aufgabe 3 (Seite 3 von 3) Der Motor ist nun erneut zu einem anderen Zeitpunkt dargestellt. Die Bezeichnungen und Abmessungen können Sie der nebenstehenden Skizze entnehmen. 45 C 2l v C, a C ω 2, ω 2 e y 45 A e x B l c) Bestimmen Sie die Winkelgeschwindigkeit ω 2 und den Betrag der Geschwindigkeit v C in Punkt C für die dargestellte Lage des Systems. Beachten Sie die eingezeichneten Richtungen/Drehsinne. Nehmen Sie dabei an, dass die Geschwindigkeit in Punkt B als v B = vb x e x +v y B e y gegeben ist. (3,0 Punkte) ω 2 = v C = v C =

10 Frühjahr 2016

11 Frühjahr 2016 Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) Eine Punktmasse (Masse m) befindet sich auf einer reibungsfreien schiefen Ebene (Neigungswinkel α) im Schwerefeld der Erde. Im Punkt A ist die Geschwindigkeit v A der Punktmasse bekannt. h y v A m x A α B g C α µ D a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit v B der Punktmasse in Punkt B. b (1,0 Punkte) v B = Wie groß muss die Geschwindigkeit v A mindestens sein, damit Punkt B erreicht wird? (1,0 Punkte) v A b) Die Punktmasse verlässt die schiefe Ebene in Punkt B mit der nun vorgegebenen Geschwindigkeit v B > 0 und überfliegt anschließend einen Spalt der Breite b. Geben sie zunächst den Ortsvektor s(t) = x(t)e x + y(t)e y als Funktion der Zeit t in kartesischen Koordinaten an. (1,5 Punkte) Hinweis: Verwenden Sie hier NICHT ihr Ergebnis für v B aus Aufgabenteil a)! s(t) = e x + e y

12 Frühjahr 2016 Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) Geben Sie den Winkel α an, für den die Punktmasse bei vorgegebener Geschwindigkeit v B exakt Punkt C erreicht. (1,5 Punkte) Hinweis: sin(2α)=2 sin(α) cos(α) α = Wie groß ist die maximale Höhe y max der Punktmasse beim Überfliegen des Spaltes? Hinweis: Das obige Ergebnis für α soll hier NICHT eingesetzt werden! (1,0 Punkte) y max = c) Es soll nun davon ausgegangen werden, dass die Punktmasse exakt in Punkt C landet und dort die vorgegebene Geschwindigkeit v C entlang der reibungsbehafteten schiefen Ebene (Neigungswinkel α) aufweist. Geben Sie den Gleitreibungskoeffizienten µ an, für den die Masse genau in Punkt D zum Stillstand kommt. (1,0 Punkte) Hinweis: v C soll NICHT eingesetzt werden! µ =

13 Frühjahr 2016 Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) d) Zwei Massen m 1 und m 2 =2m 1 bewegen sich auf einer reibungsfreien Bahn mit den Geschwindigkeiten v 1 und v 2 =v 1 /2 in horizontaler Richtung. m 1 m 2 v 1 v 2 2c l 1 l 2 > l 1 Bestimmen Sie die kinetische Energie nach einem vollplastischen Stoß beider Punktmassen. (1,0 Punkte) E kin = Bestimmen Sie die bei diesem Stoß dissipierte Energie. (1,0 Punkte) E kin = Die beiden Punktmassen treffen anschließend auf eine ungespannte Feder mit der Federsteifigkeit 2 c. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit v der Punktmassen als Funktion der Federstauchung l. (1,0 Punkte) v( l) =

14 Frühjahr 2016 Aufgabe 2 (Seite 1 von 3) Das dargestellte, im Schwerefeld der Erde befindliche System besteht aus einer abgesetzten Rolle, einer masselosen Umlenkrolle sowie einem Masseklotz, welche alle eine homogene Dichteverteilung aufweisen. Die Teilelemente sind über ein dehnstarres Seil in der gezeigten Weise miteinander verbunden. Des Weiteren besteht das System aus einer Feder (Federsteifigkeit c) sowie aus einem Dämpfer (Dämpferkonstante d). Alle weiteren Informationen bezüglich des Systems und der jeweiligen Bestandteile sind der Zeichnung zu entnehmen. Die Feder ist in der dargestellten Lage ungespannt. ϕ g r 2 x l r 1 R 1 m y c h d α M,Θ ψ N.N. a) Geben Sie die Schwerpunkts- und Winkelgeschwindigkeit, ẋ und ψ, der abgesetzten Rolle sowie die Geschwindigkeit ẏ des Masseklotzes in Abhängigkeit der Winkelgeschwindigkeit ϕ der masselosen Umlenkrolle an. (1,5 Punkte) ẋ( ϕ) = ψ( ϕ) = ẏ( ϕ) =

15 Frühjahr 2016 Aufgabe 2 (Seite 2 von 3) b) Hinweis: Für die Lösung der Teilaufgabe b) sollen NICHT die Ergebnisse aus Aufgabenteil a) verwendet werden! Bestimmen Sie die kinetische Energie des Systems E kin in Abhängigkeit der vorgegebenen Koordinaten. (1,5 Punkte) E kin = Bestimmen Sie diepotentielle Energie des Systems E pot inabhängigkeit der vorgegebenen Koordinaten bezogen auf das dargestellte Nullniveau N.N. (1,5 Punkte) E pot = Bestimmen Sie die virtuelle Arbeit δw der nichtkonservativen Kräfte in Abhängigkeit der vorgegebenen Koordinaten. (0,5 Punkte) δw = c) Im Folgenden sind die potentielle und kinetische Energie sowie die virtuelle Arbeit der nicht-konservativen Kräfte eines schwingfähigen Systems gegeben. Bei den einzelnen Größen handelt es sich um eine Masse m, ein Trägheitsmoment Θ, eine Länge l, die Erdbeschleunigung g sowie Federsteifigkeiten c und k. Der Winkel ϕ beschreibt den Freiheitsgrad des Systems, welches einem eingeprägten Moment M 0 cos(ωt) ausgesetzt ist. E kin = 2Θ ϕ 2 E pot = 5cl 2 [1 cos(ϕ)]+kϕ 3 +7mgl δw = 2M 0 cos(ϕ) cos(ωt)δϕ

16 Frühjahr 2016 Aufgabe 2 (Seite 3 von 3) Stellen Sie die Bewegungsgleichung bezüglich des Freiheitsgrades ϕ für beliebig große Auslenkungen auf. (2,0 Punkte) Geben Sie die linearisierte Form der Bewegungsgleichung für kleine Auslenkungen um die Ausgangslage (ϕ = 0) an. (1,5 Punkte) Bestimmen Sie anhand der zuvor aufgestellten linearisierten Bewegungsgleichung die Eigenkreisfrequenz ω und die Amplitude A der erregten Schwingung im eingeschwungenen Zustand. (1,5 Punkte) ω = A =

17 Frühjahr 2016 Aufgabe 3 (Seite 1 von 2) Dargestellt ist die Momentaufnahme eines kinematischen Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt, in dem die Winkelbeschleunigung ω 3 bekannt sei. Die Teilkörper des Systems weisen eine homogene Masseverteilung sowie einen konstanten Querschnitt auf. l O l e y 1 e x ω 1 A C ω 2 S 2 ω 3 3 5l B l a) Bestimmen Sie die Geschwindigkeiten v A (ω 1 ) = v Ax e x + v Ay e y und v B (ω 3 ) = v Bx e x + v By e y,diewinkelgeschwindigkeiten ω 1 (ω 3 )undω 2 (ω 3 )sowiediegeschwindigkeitv S (ω 3 ) = v Sx e x +v Sy e y des Schwerpunktes S des Stabes 2. (6,0 Punkte) Hinweis: Die unbekannten Winkelgeschwindigkeiten sind gemäß des durch das gegebene Koordinatensystem definierten Drehsinns positiv anzunehmen. v A (ω 1 ) = e x + e y v B (ω 3 ) = e x + e y ω 1 (ω 3 ) = ω 2 (ω 3 ) = v S (ω 3 ) = e x + e y

18 Frühjahr 2016 Aufgabe 3 (Seite 2 von 2) b) Für das nun gegebene System sind die Winkelgeschwindigkeiten ω 1, ω 2 und ω 3 sowie die Winkelbeschleunigung ω 3 in der dargestellten Konfigurationbekannt. Der Drehsinn dieser Größen richtet sich nach dem vorgegebenen Koordinatensystem. e y ω 1 A C O e x 1 ω ω 3, ω 3 l l l B BerechnenSiedieWinkelbeschleunigungen ω 1 und ω 2 derstäbe1und2fürdieabgebildete Konfiguration des Systems in Abhängigkeit der gegebenen Größen. (3,0 Punkte) Hinweis: Die unbekannten Winkelbeschleunigungen sind gemäß des durch das gegebene Koordinatensystem definierten Drehsinns positiv anzunehmen. ω 1 = ω 2 = Geben Sie die Position r M = r Mx e x + r My e y des Momentanpols M für Körper 2 in der gezeigten Konfiguration an. (1,0 Punkt) r M = e x + e y

19 Herbst 2015

20 Herbst 2015 Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) Das dargestellte System besteht aus einem starren Dreiecksträger sowie zwei starren Kreisscheiben A und B. Der Dreiecksträger setzt sich dabei aus drei homogenen, starren Stäben zusammen und ist im Punkt O frei drehbar gelagert. Beide Kreisscheiben bewegen sich auf einer Kreisbahn und rollen in den dargestellten Berührpunkten C und D schlupffrei ab. Die jeweiligen Abmessungen und Massen der Körper sind der nebenstehenden Zeichnung zu entnehmen. β B D m 5,r m 3 m 2 ϕ e ϕ O m 1 e r l A α C m 4,r a) Bestimmen Sie dieortsvektoren der Stabschwerpunkte im (e r,e ϕ )-System. (1,5 Punkte) r S1 = r S2 = r S3 = Bestimmen Sie das Gesamtträgheitsmoment Θ,O des aus den Stäben mit den Massen m 1, m 2, m 3 bestehenden Dreiecksträgers bezüglich des Punktes O. (1,5 Punkte) Θ,O =

21 Herbst 2015 Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) b) Geben Sie die kinetische Energie E kin ( ϕ, α, β) des Systems an. Verwenden Sie in diesem Aufgabenteil den allgemeinen Ausdruck Θ O für das Trägheitsmoment des Dreiecksträgers. Die Winkelgeschwindigkeiten α und β sollen zunächst als unabhängig angesehen werden. (2,5 Punkte) E kin ( ϕ, α, β) = c) Spezifizieren Sie die Winkelgeschwindigkeiten α und β als Funktion von ϕ. (2,0 Punkte) α( ϕ) = β( ϕ) = d) Die kinetische Energie des Gesamtsystems lässt sich in der Form E kin = 1 2 Θ sys ϕ 2 mit einem hier als bekannt vorausgesetzten Systemträgheitsmoment Θ sys darstellen. Zusätzlich greife ein konstantes Moment M 0 in positiver Drehrichtung um das Drehzentrum O an, welches das System antreibt. Geben Sie auf Basis dieser Größen die Bewegungsgleichung des Systems bezüglich ϕ an. (1,0 Punkte)

22 Herbst 2015 Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) Geben Sie die Lösung der Bewegungsgleichung für die Anfangsbedingungen ϕ(t = 0) = 0, ϕ(t = 0) = ϕ 0 an. (1,5 Punkte) ϕ(t) =

23 Herbst 2015 Aufgabe 2 (Seite 1 von 3) Eine starre Stange (Masse M, Länge l) wird aus der dargestellten Ruhelage (ω S = 0) im Schwerefeld g losgelassen und stößt im Punkt A vollkommen elastisch auf eine zylindrische Scheibe (Masse m, Radius r), welche zunächst auf der glatten Ebene zwischen A und B reibungsfrei gleitet. Zwischen den Punkten B und D ist die Bahn rauh (Reibkoeffizient µ), sodass die starre Scheibe dort ideal abrollt (Rollreibung ist zu vernachlässigen). Im Punkt D trifft die Scheibe vollkommen elastisch auf eine ideal glatte Platte, die von einer Feder (Federkonstante c) gehalten wird. l M y A ω S m,r µ = 0 x µ 0 µ 0 g h N.N. A B C c a) Geben Sie die Winkelgeschwindigkeit ω S sowie die Geschwindigkeit des Berührpunktes A der Stange unmittelbar vor dem Stoß mit der Scheibe an. (1,0 Punkte) D ω S = v A = Berechnen Sie die Geschwindigkeit v A der Scheibe unmittelbar nachdem Stoß.In welchem Verhältnis müssen die Massen m und M stehen, sodass die Stange nach dem Stoß in Ruhe verweilt? (2,0 Punkte) v A = m M =

24 Herbst 2015 Aufgabe 2 (Seite 2 von 3) b) Gehen Sie nun davon aus, dass die Geschwindigkeit der Scheibe unmittelbar nach dem Stoß durch v A = v 0 gegeben ist. Berechnen Sie die Geschwindigkeit sowie die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe in Punkt C. (1,0 Punkte) v C = ω C = c) Gehen Sie nun davon aus, dass die Geschwindigkeit der Scheibe in Punkt C durch v C gegeben ist. Berechnen Sie die maximale Stauchung l der Feder während des Kontaktes mit der Scheibe in Punkt D. (2,0 Punkte) l = d) Ein Gleitkörper (Masse m) weist in der dargestellten Lage die Geschwindigkeit v 0 auf und bewegt sich eine reibungsfreie Ebene hinauf. In Punkt A (vertikaler Abstand h 0 ) geht die Ebene in eine kreisförmige Bahn (Radius R) über. R ϕ 30 A g Welchen Wert v0 min muss die Geschwindigkeit des Körpers in der dargestellten Lage mindestens haben, damit dieser den Punkt A erreicht? (1,0 Punkte) y x v 0 h 0 m v min 0

25 Herbst 2015 Aufgabe 2 (Seite 3 von 3) Berechnen Sie den maximalen Wert v0 max des Körpers in der dargestellten Lage, sodass dieser an keinem Punkt der kreisförmigen Bahn diese verlässt. Tragen Sie auch wesentlich Zwischenschritte in das folgende Kästchen ein. (3,0 Punkte)

26 Herbst 2015 Aufgabe 3 (Seite 1 von 3) a) Für ein schwingfähiges System bestehend aus Massen m, einer Feder c und einem Dämpfer d sind die kinetische Energie, die potentielle Energie und die generalisierte Kraft Q gegeben. Die Größen l und r sind systemspezifische Abmessungen und α ein Winkel. E kin (u) = m u 2, E pot (u) = mg[(2u+l) sinα+2r cosα]+ c 2 u2, Q(u) = d u. Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Systems bezüglich u auf. (2,0 Punkte) Bestimmen Sie basierend auf obiger Bewegungsgleichung den Abklingkoeffizienten δ, die Eigenfrequenz der ungedämpften Schwingung ω, und die Eigenfrequenz der gedämpften Schwingung ω d. (1,5 Punkte) δ = ω = ω d =

27 Herbst 2015 Aufgabe 3 (Seite 2 von 3) b) Das dargestellte System besteht aus einer Masse m 2, zwei schlupffrei abrollenden Stufenrollen, einer reibungsfrei geführten starren Stange sowie einem Feder-Dämpfer-Element, welches starr im Punkt A an das System angeschlossen ist. Ein auf der linken Stufenrolle aufgewickeltes Seil ist über eine als masselos anzunehmende Umlenkrolle mit der Masse m 2 verbunden. Die linke, massebehaftete Stufenrolle setzt sich aus zwei Vollzylindern (kleinestufung:radiusr 1, Masse 1/5M;großeStufung:RadiusR 1, Masse 4/5M)zusammen. Die dargestellte Feder ist für den nicht näher spezifizierten Wert x=x 0 entspannt. Beachten Sie, dass x = 0 nicht die statische Ruhelage beschreibt! ϕ l x r 2 R 2 g M d r 1 R 1 c A m 1 m 2 y h α N.N. Geben Sie die Geschwindigkeiten ẋ und ẏ als Funktion von ϕ an. (1,0 Punkte) ẋ( ϕ) = ẏ( ϕ) =

28 Herbst 2015 Aufgabe 3 (Seite 3 von 3) Bestimmen Sie die potentielle Energie E pot des Systems in Abhängigkeit von x, y sowie den gegebenen Größen bezogen auf das dargestellte Nullniveau N.N. (3,0 Punkte) E pot = Bestimmen Sie die kinetische Energie E kin des Systems in Abhängigkeit von ẋ, ẏ, ϕ und den gegebenen Größen. Beachten Sie, dass die Massenträgheitsmomente nicht als gegeben angesehen werden können und demnach konkret bestimmt werden sollen. (2,5 Punkte) E kin =

29 Frühjahr 2015

30 Frühjahr 2015 Aufgabe 1 (Seite 1 von 2) Die dargestellte Punktmasse (Punkt C, Masse m) gleitet reibungsfrei in einer kreisförmigen Führung (Radius r). Die Punktmasse ist über zwei gelenkig in Punkt B miteinander gekoppelten, masselosen Stäben 1 und 2 mit dem Lager in Punkt A verbunden. Stab 1 weist eine zeitlich konstante Winkelgeschwindigkeit ω 1 auf. Für den gezeigten Zustand des Systems gilt ϕ 3 = π/4. Das System steht nicht unter dem Einfluss des Erd-Schwerefelds. C ω 2, ω 2 2 B e t m r e r ϕ 3 ω 3, ω 3 1 ω 1 = const. e y 2a A e x b a Hinweis: Sämtliche Lösungen zu dieser Aufgabe sind bezüglich der in obiger Skizze vorgegebenen Koordinaten-Basisvektoren e x, e y oder e r, e t anzugeben. a) Berechnen Sie in Abhängigkeit von ω 1 die Winkelgeschwindigkeiten ω 2 des Stabs 2 und ω 3 der Punktmasse um den Mittelpunkt der Kreisbahnführung sowie die Komponenten der Geschwindigkeit v C = v Cr e r +v Ct e t in Punkt C bezüglich des e r, e t -Koordinatensystems oder v C = v Cx e x + v Cy e y bezüglich des e x, e y -Koordinatensystems für die dargestellte Lage. (4,0 Punkte) Lösung in Kästchen auf der nächsten Seite eintragen!

31 Frühjahr 2015 Aufgabe 1 (Seite 2 von 2) ω 2 (ω 1 ) = ω 3 (ω 1 ) = v Cr = v Ct = oder v Cx = v Cy = b) Berechnen Sie die Winkelbeschleunigungen ω 2 des Stabs 2 und ω 3 der Punktmasse um den Mittelpunkt der Kreisbahnführung. ω 2 und ω 3 sind nun in allgemeiner Form vorgegeben. Verwenden Sie NICHT die in Aufgabenteil a) berechneten Werte. (3,0 Punkte) ω 2 (ω 1,ω 2,ω 3 ) = ω 3 (ω 1,ω 2,ω 3 ) = c) Für andere geometrische Abmessungen des Systems gilt ω 3 = 4 2ω 1 und ω 3 = 4[8+ 2]ω1 2. Berechnen Sie basierend auf diesen Vorgaben den Betrag der Auflagerreaktion in Punkt C sowie die Stabkraft S 2 in Stab 2 für den dargestellten Zustand des Systems. (3,0 Punkte) C = S 2 =

32 Frühjahr 2015 Aufgabe 2 (Seite 1 von 3) Der Boden und die Wände des dargestellten Flipperautomaten sind als reibungsfrei anzunehmen. Der Boden ist um den Winkel α geneigt. Eine dünne Zylinderscheibe der Masse m, welche als Punktmasse angenommen werden soll, soll mit Hilfe einer Feder (Federsteifigkeit c) aus dem dargestellten Schacht bewegt werden. Zwischen den Punkten A und B weist die Außenwand eine Kreisform auf (Radius r). B D r ϕ A Schnitt D-D y a a g y x z m α C x D b a) Berechnen Sie die Bedingung für die initiale, gesamte Federstauchung l, sodass die Punktmasse den Punkt A erreicht und damit den Schacht verlässt. Es gilt dabei die Annahme l a. (2,0 Punkte) l

33 Frühjahr 2015 Aufgabe 2 (Seite 2 von 3) b) DieGeschwindigkeit der Punktmasse in Punkt Aist nun durch v A > 0 vorgegeben. Stellen Sie zunächst die Kräftesätze(Impulssätze) für die Punktmasse in radialer und tangentialer Richtung für beliebige Winkel ϕ unter der Annahme auf, dass die Punktmasse stets Kontakt zur Wand hat. Spezifizieren Sie die auftretenden Beschleunigungen in Abhängigkeit der Winkelgeschwindigkeit ω = ϕ der Punktmasse um den Mittelpunkt der Kreisbahn sowie deren Winkelbeschleunigung ω. (2,0 Punkte) Geben Sie die konkreten Zusammenhänge der Winkelgeschwindigkeit ω und der Winkelbeschleunigung ω der Punktmasse entlang der Kreisbahn in Abhängigkeit der gegebenen Größen g, r, α, v A sowie des Winkels ϕ an. (3,0 Punkte) ω = ω =

34 Frühjahr 2015 Aufgabe 2 (Seite 3 von 3) c) Die als Punktmasse anzusehende Scheibe (Masse m) trifft nun mit der Geschwindigkeit v = v x e x +v y e y im Abstand d auf den linken Flipper (Massenträgheitsmoment Θ bezogen auf den Drehpunkt E) auf, dessen Winkelgeschwindigkeit in diesem Moment ω beträgt und dessen Oberkante exakt parallel zur x-achse verläuft. Der nachfolgende Stoß ist als vollkommen elastisch und die Oberfläche des Flippers als perfekt glatt anzusehen. f E ω d Θ y m x Berechnen Sie die Komponenten der Geschwindigkeit der Punktmasse v = v x e x + v y e y unmittelbar nach dem Stoßvorgang unter der Voraussetzung, dass die Abmessung f vernachlässigt und somit der Flipper als horizontaler Stab angenähert werden kann. (3,0 Punkte) v x = v y =

35 Frühjahr 2015 Aufgabe 3 (Seite 1 von 2) Das dargestellte System besteht aus einer starren Kreisscheibe (Masse M, Radius R) welche über zwei starre Stangen (Masse m, Länge l) mit einem Festlager verbunden ist und schlupffrei auf dem Untergrund abrollt. Die wie dargestellt angebundene Feder (Federsteifigkeit c) ist bei einer nicht näher spezifizierten Länge l 0 entspannt. A y x ψ m,l c B m,l g M C ξ ϕ NN R a) Geben Sie die Geschwindigkeiten ξ sowie ϕ als Funktion der Geschwindigkeit ψ sowie den gegebenen Größen an. (1,0 Punkte) ξ( ψ) = ϕ( ψ) = b) Berechnen Sie die Funktion der kinetischen Energie E kin in Abhängigkeit der Koordinaten ψ, ϕ und ξ sowie den gegebenen Größen. Verwenden Sie hier NICHT die in Aufgabenteil a) berechneten kinematischen Zusammenhänge. (3,0 Punkte) E kin ( ψ, ϕ, ξ) =

36 Frühjahr 2015 Aufgabe 3 (Seite 2 von 2) c) Bestimmen Sie die Funktion der potentiellen Energie E pot in Abhängigkeit von ψ und ξ sowie den gegebenen Größen bezogen auf das dargestellte Nullniveau NN.(1,0 Punkte) E pot (ψ,ξ) = d) Für ein anderes konservatives System mit einem Freiheitsgrad ϕ sind die Masse m, ein Radius r sowie die potentielle und kinetische Energie zu E pot (ϕ) = 2 π mgr[1 cos(ϕ)] sowie E kin(ϕ) = mr 2 ϕ 2 [ 1 2 π cos(ϕ) ] gegeben. Stellen Sie basierend auf diesen Energien die Bewegungsgleichung des Systems bezüglich ϕ für große Auslenkungen auf. (3,0 Punkte) Geben Sie die linearisierte Form der obigen Bewegungsgleichung für kleine Auslenkungen um ϕ = 0 an. (1,0 Punkte) Bestimmen Sie die Periodendauer T der Eigenschwingung des Systems basierend auf der linearisierten Bewegungsgleichung. (1,0 Punkte) T =

37 Herbst 2014

38 Herbst 2014 Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) Das dargestellte System besteht aus homogenen, starren Körpern, welche durch dehnstarre Seile miteinander verbunden sind. Die jeweiligen Massen und Abmessungen sind der Zeichnung zu entnehmen, wobei das Massenträgheitsmoment der gesamten abgesetzten Rolle 4 bezüglich des zugehörigen Schwerpunktes D durch θ 4 gegeben ist und die Rolle 2 als masselos angesehen werden soll. Der Kreisring 1 rollt dabei zu jedem Zeitpunkt schlupffrei ab und die Seile sind stets gespannt. g 2 ϕ 3 m 3 C r 3 3 β m 4, θ 4 ϕ 4 D r 4 4 M 0 B R 4 ϕ 2 1 2r 2 ϕ 1 x 1 A m 1 r 1 α y x µ 0 Erweitern Sie die folgenden Skizzen der Teilkörper 1, 3 und 4 zu vollständigen Freikörperbildern (inklusive etwaiger Auflagerreaktionen). (2,0 Punkte)

39 Herbst 2014 Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) a) Geben Sie die Impulsbilanz (Kräftesatz) des Kreisrings 1 bezüglich der x 1 -Koordinate an. (1,0 Punkte) b) Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) des Kreisrings 1 bezüglich des Schwerpunkts und der ϕ 1 -Koordinate an. Spezifizieren Sie das zu verwendende Massenträgheitsmoment mittels der gegebenen Größen. (1,0 Punkte) c) Geben Sie die Impulsbilanz (Kräftesatz) der Rolle 3 bezüglich der y-koordinate an. (1,0 Punkte) d) Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 4 bezüglich des Schwerpunkts und der ϕ 4 -Koordinate an. (1,0 Punkte)

40 Herbst 2014 Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) f) Geben Sie die folgenden kinematischen Bindungen zwischen den Geschwindigkeiten der einzelnen Koordinaten und der Geschwindigkeit des Freiheitsgrades x 1 an. (2,0 Punkte) ϕ 1 (ẋ 1 ) = ϕ 2 (ẋ 1 ) = ϕ 3 (ẋ 1 ) = ϕ 4 (ẋ 1 ) = Berechnen Sie die von dem Moment M 0 vom Zeitpunkt t = 0 bis zum Zeitpunkt t = t 1 verrichtete Arbeit W M0. Das System befindet sich anfänglich in Ruhe (x 1 (t = 0) = 0, ẋ 1 (t = 0) = 0) und es gilt x 1 (t 1 ) = a. (2,0 Punkte) W M0 =

41 Herbst 2014 Aufgabe 2 (Seite 1 von 3) Die unten gezeigte Bahn besteht aus zwei reibungsbehafteten Ebenen (Gleitreibungskoeffizient µ, Länge l) sowie zwei als reibungsfrei anzunehmenden Kreisbögen (Öffnungswinkel α). Im Punkt D befindet sich das Ende einer elastischen Feder (Federsteifigkeit c), welche in der dargestellten Lage entspannt ist. Bis zu einem Zeitpunkt t t 0 wird ein als Punktmasse anzusehender Körper (Masse m) im Punkt O in Ruhe gehalten. Dann wird dieser los gelassen, wobei vorausgesetzt werden soll, dass sich der Körper anschließend tatsächlich in Bewegung setzt (Hangabtriebskraft größer als Haftreibungskraft). O m l y µ A α B r µ NN l g r C ϕ D c x a) Geben Sie die potenzielle Energie (Lageenergie) Epot O des angegebenen Nullniveaus NN an. (1,0 Punkte) α des Körpers im Punkt O bezüglich E O pot = Geben Sie die verrichtete Reibarbeit WR OA A an. (1,0 Punkte) auf der Strecke zwischen den Punkten O und W OA R =

42 Herbst 2014 Aufgabe 2 (Seite 2 von 3) Berechnen Sie die Geschwindigkeit v B der Masse im Punkt B. (1,5 Punkte) v B = b) DieGeschwindigkeit des Körpersim Punkt B ist nun durch v B > 0 vorgegeben. Berechnen Sie die Geschwindigkeit im Punkt C. Verwenden Sie nicht den oben berechneten Wert für v B. (1,0 Punkte) v C = c) Die Geschwindigkeit des Körpers im Punkt C ist nun durch v C > 0 vorgegeben. Geben Sie zunächst die Funktion der Geschwindigkeit v(ϕ) des Körpers in Abhängigkeit des Winkels ϕ an. Verwenden Sie nicht den oben berechneten Wert für v C. (1,5 Punkte) v(ϕ) =

43 Herbst 2014 Aufgabe 2 (Seite 3 von 3) Geben Sie des Weiteren die Funktion der Normalkraft N(ϕ) zwischen Körper und Bahn in Abhängigkeit des Winkels ϕ an. (1,5 Punkte) N(ϕ) = Geben Sie die Bedingung für den Öffnungswinkel α an, so dass der Körper an keiner Stelle der kreisförmigen Bahn zwischen den Punkten C und D den Kontakt zu dieser verliert. (1,0 Punkte) α d) Die Geschwindigkeit des Körpers im Punkt D ist nun durch v D > 0 vorgegeben. Geben Sie die Gleichung zur Bestimmung der Stauchung l der Feder an. Ein Auflösen dieser Gleichung nach l ist nicht erforderlich. (1,5 Punkte)

44 Herbst 2014 Aufgabe 3 (Seite 1 von 2) Das dargestellte System besteht aus zwei starren Kreisscheiben (Masse M 1 bzw. M 2, Radius jeweils R), welche über eine starre Stange (Masse m, Länge l) verbunden sind und schlupffrei auf dem Untergrund abrollen. Die Bewegung findet auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel α) und unter Einfluss der Erdbeschleunigung g statt. Die wie dargestellt angeknüpfte Feder ist für den nicht näher spezifizierten Wert ξ = ξ 0 entspannt. Beachten Sie, dass ξ = 0 nicht die statische Ruhelage beschreibt. ξ x g M 1,R m,l α M 2,R c NN a) GebenSiedenZusammenhangzwischen dengeschwindigkeiten ξ undẋan.(1,0 Punkte) ξ(ẋ) = b) Bestimmen Sie die potentielle Energie E pot in Abhängigkeit der Koordinate ξ und den gegebenen Größen bezogen auf das dargestellte Nullniveau NN. (3,0 Punkte) E pot (ξ) =

45 Herbst 2014 Aufgabe 3 (Seite 2 von 2) c) Bestimmen Sie die kinetische Energie E kin in Abhängigkeit der Koordinate ξ und den gegebenen Größen. Beachten Sie, dass insbesondere die Massenträgheitsmomente nicht als gegeben angesehen werden können. (2,0 Punkte) E kin ( ξ) = d) Für einen nicht näher spezifizierten Sonderfall und unter Verwendung einer abweichenden Koordinate η ergeben sich im Folgenden die Energien des Systems zu E pot (η) = 3mgη sin(α)+1/2cη 2, E kin (η) = 2m η 2. Stellen Sie basierend auf diesen Energien die Bewegungsgleichung dieses Sonderfalls bezüglich η auf. (2,0 Punkte) Bestimmen Sie, basierend auf obiger Bewegungsgleichung, die Eigenkreisfrequenz ω 0 sowie die Periodendauer T der Eigenschwingung des Systems. (2,0 Punkte) ω 0 = T =

46 Frühjahr 2014

47 Frühjahr 2014 Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) Das dargestellte System besteht aus homogenen, starren Körpern, die durch dehnstarre Seile miteinander verbunden sind und sich im Schwerefeld der Erde (Erdbeschleunigung g) befinden. Die jeweiligen Massen, Massenträgheitsmomente und Abmessungen sind der Zeichnung zu entnehmen. Rolle 2 wird von dem konstanten Drehmoment M 0 angetrieben. Der Haftreibungskoeffizient zwischen der Rolle 1 welche zu allen Zeitpunkten schlupffrei abrollt und der schiefen Ebene (Neigungswinkel α) beträgt µ 0. Das Massenträgheitsmoment der gesamten abgesetzen Rolle 3 ist durch θ 3 gegeben. x 1 ϕ 2 g 1 m 1 ϕ 1 r 2 m 2 2 α r 1 µ 0 M 0 r 3 m 3, θ 3 3 ϕ 3 R 3 x 3 4 m 4 x 4 a) Tragen Sie im nachfolgenden Bild sämtliche fehlenden Kräfte bzw. Momente ein. Die Auflagersymbole sollen in der Zeichnung beibehalten und nicht freigeschnitten werden. (1,5 Punkte)

48 Frühjahr 2014 Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) b) Geben Sie die Impulsbilanz (Kräftesatz) der Rolle 1 bezüglich der der x 1 -Koordinate an. (1,0 Punkte) c) Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 1 bezüglich des zugehörigen Momentanpols und der ϕ 1 -Koordinate an. Spezifizieren Sie θ 1 mittels der gegebenen Größen. (1,0 Punkte) d) Geben Sie die Drehimpulsbilanz(Drallsatz) der Rolle 2 bezüglich ihres Schwerpunktes und der ϕ 2 -Koordinate an. Spezifizieren Sie θ 2 mittels der gegebenen Größen. (1,0 Punkte) e) Geben Sie die Impulsbilanz (Kräftesatz) der Rolle 3 bezüglich der x 3 -Koordinate an. (1,0 Punkte) f) Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 3 bezüglich ihres Schwerpunktes und der ϕ 3 -Koordinate an. (1,0 Punkte)

49 Frühjahr 2014 Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) g) GebenSie die Impulsbilanz (Kräftesatz) der Masse 4 bezüglich der x 4 -Koordinatean. (1,0 Punkte) h) Geben Sie die (Winkel-)Geschwindigkeiten ẋ 1, ϕ 1, ẋ 3, ϕ 3, ẋ 4 in Abhängigkeit von ϕ 2 an. (2,5 Punkte) ẋ 1 = ϕ 1 = ẋ 3 = ϕ 3 = ẋ 4 =

50 Frühjahr 2014 Aufgabe 2 (Seite 1 von 2) Eine Punktmasse m befindet sich auf der dargestellten Bahn und wird aus der Ruhe durch eine vorgespannte Feder (Federsteifigkeit c) auf reibungsfreiem Untergrund bis zum Punkt A beschleunigt. An dieser Stelle (Punkt A) löst sich die Masse von der Feder. Die geraden Abschnitte der Bahn sind reibungsbehaftet (Reibkoeffizienten µ 1 bzw. µ 2 ) während die kreisförmigen Abschnitte (Radien R 1 bzw. R 2 ) reibungsfrei sind. µ = 0 E y g α µ 2 D R 2 x c x m µ 1 ϕ R 1 C l 2 N.N. µ = 0 A l 1 B µ = 0 a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt A in Abhängigkeit der aufgebrachten Federstauchung x. (1,0 Punkte) v A = Geben Sie weiterhin die Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt B in Abhängigkeit von x an, nachdem diese über den rauhen (Reibkoeffizient µ 1 ) Bahnabschnitt AB der Länge l 1 geglitten ist. (1,0 Punkte) v B =

51 Frühjahr 2014 Aufgabe 2 (Seite 2 von 2) b) Berechnen Sie den Betrag der Bahngeschwindigkeit v(ϕ) der Punktmasse im Verlauf des ersten reibungsfreien Kreisbogens BC in Abhängigkeit des Winkels ϕ und einer als bekannt anzunehmenden Geschwindigkeit v B im Punkt B. (2,0 Punkte) Setzen Sie nicht die Geschwindigkeit v B aus dem vorigen Aufgabenteil ein! v(ϕ) = Geben Sie weiterhin die Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt D in Abhängigkeit von v B an, nachdem diese über den rauhen (Reibkoeffizient µ 1 ) Bahnabschnitt CD der Länge l 2 geglitten ist. (2,0 Punkte) v B = c) Die beiden Bahnabschnitte AB und CD sind nun als reibungsfrei (µ 1 = µ 2 = 0) anzunehmen, die Punktmasse wird erneut durch Stauchung der Feder am Anfang der Bahn beschleunigt. Berechnen Sie die maximale Vorspannkraft der Feder F 0 so, dass die Punktmasse im oberen Kreisbogen DE (Radius R 2 ) nicht von der Bahn abhebt. Tragen Sie dazu in dem folgenden Kästchen auch das Zwischenergebnis für die Geschwindigkeit v D im Punkt D ein. (4,0 Punkte) v D = F 0 =

52 Frühjahr 2014 Aufgabe 3 (Seite 1 von 3) Im dargestellten System wird ein Körper der Masse m reibungsfrei in einer Nut geführt und ist durch eine Feder (Federsteifigkeit c) und einen Dämpfer (Dämpfungskonstante d) innerhalb der Nut gestützt. Über eine starre, masselose Stange der Länge l ist der Körper mit einer drehbaren Scheibe (Radius R, Masse M) exzentrisch (Exzentrizität e) verbunden. Die Feder ist in der Lage ϕ = 0 ungespannt. Die Erdbeschleunigung ist zu vernachlässigen. c ϕ m x l d e R M a) Bestimmen Sie mittels der gegebenen Größen die kinetische und potentielle Energie des Gesamtsystems. Verwenden Sie dazu die Koordinaten ϕ und x. (2,0 Punkte) E kin = E pot =

53 Frühjahr 2014 Aufgabe 3 (Seite 2 von 3) b) Bestimmen Sie die virtuelle Arbeit δw der nichtkonservativen Lasten in Abhängigkeit der Koordinate x. (1,0 Punkte) δw = c) Geben Sie die kinematische Beziehung der Koordinate x als Funktion von ϕ für große Auslenkungen an. (2,5 Punkte) x(ϕ) = d) In dem unten dargestellten System rollt eine Scheibe (Masse M, Radius R) schlupffrei auf dem Untergrund ab. Eine Feder (Federsteifigkeit c) ist exzentrisch (Exzentrizität e) an der Scheibe angebracht. An ihrem äußeren Rand ist die Scheibe des Weiteren mit einem Dämpfer (Dämpfungskonstante d) verbunden. In der dargestellten Ruhelage der Scheibe ( ϕ = 0) ist die Feder ungespannt. Die Erdbeschleunigung ist zu vernachlässigen. ϕ d e y x R M c

54 Frühjahr 2014 Aufgabe 3 (Seite 3 von 3) Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung des Systems bezüglich der Koordinate ϕ unter der Annahme kleiner Auslenkungen. Geben Sie unbedingt wesentliche Zwischenschritte an, welche zur Lösung der Aufgabe notwendig sind. (3,5 Punkte) Wie lauten die Eigenkreisfrequenz ω 0 und der Abklingkoeffizient δ des Systems? (1,0 Punkte) ω 0 =

55 Herbst 2013

56 Herbst 2013 Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) Das dargestellte System besteht aus homogenen, starren Körpern, die durch dehnstarre, schlupffrei abrollende Seile miteinander verbunden sind und sich im Schwerefeld der Erde (Erdbeschleunigung g) befinden. Die jeweiligen Massen und Abmessungen der Körper sind der Zeichnung zu entnehmen. Es wird davon ausgegangen, dass die Massen 1 und 6 auf rauhen schiefen Ebenen gleiten. ϕ 2 r 2 R 2 g x 1 m 1 m 2 r 5 ϕ 5 x 6 m 5 m 6 β α x 3 R 3 C m 3 ϕ 3 x 4 m 4

57 Herbst 2013 Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) a) Zeichnen Sie ein vollständiges Freikörperbild (2 Punkte) b) Geben Sie die Impulsbilanz (Kräftesatz) der Masse 1 bezüglich der x 1 -Koordinate an. (1 Punkt) c) Geben Sie die Drehimpulsbilanz(Drallsatz) der Rolle 2 bezüglich ihres Schwerpunktes und derϕ 2 -Koordinatean.DasMassenträgheitsmoment derrolle2istdabeialsθ 2 vorgegeben. (1 Punkt) d) Geben Sie die Impulsbilanz (Kräftesatz) der Rolle 3 bezüglich der x 3 -Koordinate an. (1 Punkt)

58 Herbst 2013 Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) e) Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 3 bezüglich des Punktes C und der ϕ 3 -Koordinate an. Spezifizieren Sie θ 3 mittels der gegebenen Größen. (1 Punkt) f) Geben Sie die Impulsbilanz (Kräftesatz) der Masse 6 bezüglich der x 6 -Koordinate an. (1 Punkt) g) Es sei nun das folgende modifizierte System gegeben. Geben Sie ϕ 2, ϕ 3 und x 3 in Abhängigkeit von x 1 für das modifizierte System an. (3 Punkte) ϕ 2 ϕ 2 = r 2 R 2 g x 3 = x 1 m 1 m 2 ϕ 3 = β R 3 x 3 m 3 ϕ 3 x 4 m 4

59 Herbst 2013 Aufgabe 2 (Seite 1 von 2) Ein punktförmiger Körper der Masse m gleitet von einer Kraft F angetrieben auf einer reibungsbehafteten schiefen Ebene vom Punkt O zum Punkt A. Auf dem reibungsbehafteten Abschnitt beträgt der Gleitreibungskoeffizient µ. Die Kraft F wirkt ausschließlich im Abschnitt O A auf das System ein. Sämtliche Kreisbögen weisen den Radius r auf. g µ B C l ϕ 0 A r r D ϕ 0 c α N.N. m O l 1 α F a) Berechnen Sie die Größe der richtungstreuen, zeitlich konstanten Kraft F, derart dass der Massenpunkt im Punkt A die Geschwindigkeit v A erreicht. Der Massenpunkt befindet sich im Punkt O in Ruhe. F= 3,0 P. b) Wie groß muss der Betrag der Geschwindigkeit v A mindestens sein, damit der Massenpunkt den Punkt B erreicht? Hinweis: Es soll hier davon ausgegangen werden, dass die Kraft F nicht mehr auf die Masse einwirkt und diese ständigen Kontakt zur Bahn haben soll. v A 1,0 P.

60 Herbst 2013 Aufgabe 2 (Seite 2 von 2) c) Wie groß darf die Geschwindigkeit v A des Massenpunkts maximal sein, damit der Massenpunkt die Bahn auf seinem Weg vom Punkt A zum Punkt B nicht verlässt? v A 3,0 P. d) Der Betrag der Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt A ist nun durch v A so vorgegeben, dass beide Kriterien aus den vorherigen Teilaufgaben erfüllt sind. Geben Sie die Geschwindigkeit des Massenpunktes in Abhängigkeit der Geschwindigkeit v A im Punkt D an. v D = 1,0 P. e) Im Punkt D stößt der Massenpunkt gegen eine starre Kontaktplatte, die mit einer Feder der Steifigkeit c verbunden ist. Legen Sie die Steifigkeit der Feder c so aus, dass sich eine maximale Stauchung der Feder von l einstellt. Der Betrag der Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt D ist durch v D gegeben. c= 2,0 P.

61 Herbst 2013 Aufgabe 3 (Seite 1 von 2) Ein System aus starren, homogenen Stäben (Länge 2l und Länge l) und einer starren, homogenen Kreisscheibe (Radius l/2) ist im Punkt A drehbar gelagert. Die Komponenten sind starr aneinander befestigt und das System ist darüber hinaus mit den dargestellten Federn und Dämpfern (Materialkonstanten sind der Zeichnung zu entnehmen) verbunden. Im Punkt B wird das System durch eine zeitabhängige Kraft F(t) belastet, wobei in der gezeichneten Ausgangslage F(t = 0) = 0 gilt und die Federn ungespannt sind. Der Einfluss der Schwerkraft ist zu vernachlässigen. l l d D C c F(t) B l/2 2m 8m l y m l x ϕ c T A a) Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment θ (A) des Systems bezüglich des Punktes A. (1 Punkt) θ (A) = b) Geben Sie die horizontale Verschiebung x B des Punkte B sowie die horizontale Geschwindigkeit ẋ D des Punktes D in Abhängigkeit von ϕ und ϕ für große Auslenkungen des Systems an. (2 Punkte) x B = ẋ D =

62 Herbst 2013 Aufgabe 3 (Seite 2 von 2) c) Geben Sie die potentielle Energie E pot bezüglich des Drehwinkels ϕ für große Auslenkungen des Systems an. (1 Punkt) E pot = Das Massenträgheitsmoment des Systems ist nun als θ gegeben. Geben Sie die Bewegungs- Differentialgleichung bezüglich des Drehwinkels ϕ für große Auslenkungen des Systems an. (3 Punkte) d) Es ist nun folgende Bewegungs-Differentialgleichung für große Auslenkungen in φ gegeben: 4θ φ+3dl 2 cos(φ) φ +cl 2 [ 7 sin(φ) cos(φ)+sin(φ)+2 sin(φ) 2] = l cos(φ)f(t) Geben Sie die linearisierte Form der gegebenen Bewegungs-Differentialgleichung für kleine Auslenkungen (φ 1) an. (1 Punkt) Geben Sie für F(t) = F 0 cos(ωt) die Weg-Zeit-Funktion φ(t) für den eingeschwungenen Zustand an. Spezifizieren Sie dazu die Konstanten der allgemeinen Lösung: φ(t) = C cos(ωt φ 0 ) (2 Punkte)

63 Frühjahr 2013

64 Frühjahr 2013 Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) Das dargestellte System besteht aus homogenen, starren Körpern, die durch dehnstarre, schlupffrei abrollende Seile miteinander verbunden sind und sich im Schwerefeld der Erde (Erdbeschleunigung g) befinden. Die beiden den Freiheitsgraden ϑ 1 und ϑ 2 zugeordneten Planetenrollen (je Radius r 3, Masse m 3 ) sind an einen ortsfest drehbar gelagerten Planetenträger (Gesamtmasse M 2 ) angeknüpft und rollen in einem rauhen Hohlzylinder schlupffrei ab. Das Seil wird über eine in Punkt A gelagerte Stufenrolle (Masse M 1 ) gelenkt und von einem Masseklotz (Masse M 0 ) gezogen. R 1 ϑ 2 l s α r 1 A ψ µ r 3,m 3 r 2 eϕ R 2 er ϕ M 2 r 3,m 3 g M 0 x 0 ϑ 1 µ a) Zeichnen Sie ein vollständiges Freikörperbild, wobei Trägheitsterme vernachlässigt werden können. g

65 Frühjahr 2013 Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) b) Geben Sie die Impulsbilanz (Kräftesatz) des Klotzes (Masse M 0 ) bzgl. der x 0 -Koordinate an. Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der in Punkt A gelagerten Stufenrolle bezüglich ihres Schwerpunktes und der ψ-koordinate an. Die schwerpunktsbezogene Massenträgheit sei als θ 1 gegeben und soll hier nicht spezifiziert werden. Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) des ortsfest drehbar gelagerten Planetenträgers (Gesamtmasse M 2 ) bezüglich seines Schwerpunktes und der ϕ-koordinate an. Die schwerpunktsbezogene Massenträgheit sei als θ 2 gegeben und soll hier nicht spezifiziert werden. c) Spezifizieren Sie nun das schwerpunktbezogene Massenträgheitsmoment θ 2 des Planetenträgers.DerPlanetenträgerbestehtauseinerStufenrolle(kleineStufung:Radiusr 2,Masse 1/3M 2, große Stufung: Radius R 2, Masse 2/3M 2 ) und zwei angeschweißten Stäben (je Länge l s, Masse m s ). θ 2 =

66 Frühjahr 2013 Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) d) Geben Sie die Winkelgeschwindigkeit ϑ 1 in Abhängigkeit von ϕ an. ϑ 1 ( ϕ) = e) Geben Sie nun die Winkelgeschwindigkeiten ψ, ϕ, ϑ1 und ϑ 2 in Abhängigkeit von ẋ 0 an. ψ(ẋ 0 ) = ϕ(ẋ 0 ) = ϑ 1 (ẋ 0 ) = ϑ 2 (ẋ 0 ) =

67 Frühjahr 2013 Aufgabe 2 (Seite 1 von 2) Ein punktförmiger Körper der Masse m beginnt im Punkt O aus der Ruhelage heraus eine glatte, schiefe Ebene (Länge L, µ = 0) herunterzugleiten. Im Punkt 1 geht die schiefe Ebene tangential in eine rauhe Kreisbahn über (Gleitreibungskoeffizient µ, Radius r, Winkel θ). Die Geschwindigkeit zwischen Punkt 1 und 2 ist mittels eines äußeren Antriebs konstant gehalten, so dass in diesem Bereich v = const. und insbesondere v 1 = v 2 = v gilt. Die rauhe Kreisbahn mündet im Punkt 2 tangential in eine rauhe, schiefe Ebene (Neigungswinkel β, Länge L, µ=0). Im Punkt 3 befindet sich ein punktförmiger Körper der Masse 2m, welcher dort in Ruhe gehalten wird. Im Punkt 3 geht die glatte, schiefe Ebene tangential in eine glatte Kreisbahn über (µ=0). Im Punkt 4 befindet sich das Ende einer elastischen Feder (Steifigkeit/Federkonstante c). Das System befindet sich im Schwerfeld der Erde (Erdbeschleunigung g). m L g H O r 1 θ µ ψ α 2 β L 2m ϕ L/4 r C β 3 4 x N.N. a) GebenSiediepotentielleEnergieE O pot impunktobezüglichdesvorgegebenennullniveaus N.N. in Abhängigkeit der Größen m, g, H, r und ϕ an. E O pot =

68 Frühjahr 2013 Aufgabe 2 (Seite 2 von 2) b) Geben Sie die Reibkraft R(ψ) als Funktion von ψ unter Berücksichtigung der Vorgabe v 1 = v bzgl. des Punktes 1 an. Hinweis: Nicht mit dem Ergebnis der vorherigen Teilaufgabe weiterrechnen! R(ψ) = Berechnen Sie die auf der Strecke von Punkt 1 zu Punkt 2 verrichtete Reibarbeit W R. W R = c) Nehmen Sie an, dass nun v 3 = v am Punkt 3 vorgegeben ist. Geben Sie den Betrag der Geschwindigkeit beider Massen v 1 (für Masse m) und v 2 (für Masse 2m) unmittelbar nach dem vollplastischen Stoß an. Hinweis: Mit Ausnahme des Kraftstoßes sind alle etwaigen Kräfte während des Stoßvorgangs zu vernachlässigen! v 1 = v 2 = d) Bestimmen Sie die Federsteifigkeit/Federkonstante c derart, dass die maximale Stauchung der Feder l/5 betragen soll. Nehmen Sie hier an, dass nur ein Körper der Masse 3m Kontakt mit der Feder hat. Die Geschwindigkeit dieser Masse ist im Punkt 4 zu v 4 = v 4 = 6v vorgegeben. c =

69 Frühjahr 2013 Aufgabe 3 (Seite 1 von 2) Das dargestellte System befindet sich im Schwerefeld der Erde (Erdbeschleunigung g). Das masselose Seil rollt schlupffrei über zwei homogene Kreisscheiben (Massen M, m und Radien R, r). Dessen Ende ist mit einer Parallelschaltung einer Feder (Federsteifigkeit c) und eines Dämpfers (Dämpfungskonstante d) verbunden. Das Seil soll als stets gespannt angenommen werden. Die Feder ist in der Ausgangslage ungespannt. c d M,R g h y N.N. m,r Geg.: m, M, r, R, c, d, g. a) Geben Sie die gesamte kinetische Energie E kin sowie die gesamte potenzielle Energie E pot des Systems in Abhängigkeit des Freiheitsgrades y an. E kin = E pot =

70 Frühjahr 2013 Aufgabe 3 (Seite 2 von 2) b) Geben Sie die zugehörige Bewegungs-Differentialgleichung an. c) Bei vernachlässigter Schwerkraft und Federsteifigkeit (g = c = 0) sowie einem bestimmten, nicht näher aufgeführten Verhältnis zwischen den Massen hat die Bewegungsdifferentialgleichung die Form 5 m ÿ +d ẏ = 0. Geben Sie y(t) für die Anfangsbedingungen y(t = 0) = 0, ẏ(t = 0) = d m an. y(t) =

71 Herbst 2012

72 Herbst 2012 Aufgabe 1 (Seite 1 von 2) Ein System aus starren, homogenen Stäben ist im Punkt A drehbar gelagert und des Weiteren mit den dargestellten Federn und Dämpfern(Materialkonstanten sind der Zeichnung zu entnehmen) verbunden. Im Punkt D ist zusätzlich eine Punktmasse (Masse m) angebracht. Im Punkt E wird das System durch eine zeitabhängige Kraft F(t) belastet, wobei in der gezeichneten Ausgangslage F(t = 0) = 0 gilt und die Federn ungespannt sind. Der Einfluss der Schwerkraft ist zu vernachlässigen. y D d l F(t) ϕ m m E c B c T A 4m d C x l l 2l a) Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment θ (A) des Systems bezüglich des Punktes A. θ (A) = b) Geben Sie die vertikale Verschiebung y B des Punktes B sowie die Geschwindigkeitskoordinate ẋ D des Punktes D in Abhängigkeit von ϕ und ϕ für große Auslenkungen des Systems an. y B = ẋ D =

73 Herbst 2012 Aufgabe 1 (Seite 2 von 2) c) Das Massenträgheitsmoment des Systems sei nun als θ gegeben. Geben Sie für die Annahme kleiner Auslenkungen (ϕ 1) die Bewegungs-Differentialgleichung bezüglich des Drehwinkels ϕ an. Nennen Sie die Bedingung für die Federkonstante c, so dass sich für das gegebene System eine schwach gedämpfte Schwingung ergeben würde. Spezifizieren Sie für F(t) = F 0 cos(ωt) die Konstanten C und ϕ 0 der allgemeinen Lösung für den eingeschwungenen Zustand. ϕ(t) = C cos(ωt ϕ 0 ) C = ϕ 0 =

74 Herbst 2012 Aufgabe 2 (Seite 1 von 3) Das dargestellte System besteht aus homogenen, starren Körpern, die durch dehnstarre, schlupffrei abrollende Seile miteinander verbunden sind und sich im Schwerefeld der Erde (Erdbeschleunigung g) befinden. Die jeweiligen Massen und Abmessungen sind der Zeichnung zu entnehmen. Es wird davon ausgegangen, dass die Rollen 1 und 3 auf rauhen Ebenen schlupffrei abrollen. Dabei wird Rolle 1 von dem konstanten Drehmoment M 0 die schiefe Ebene hinauf angetrieben. Die Umlenkrolle in Punkt A ist als masselos anzusehen. 1 2 ϕ 1 ϕ 2 g R 1 M 0 3 r x m 1 3 x 1 m r α r 3 ϕ 3 m 3 A x 4 4 m 4 a) Zeichnen Sie ein vollständiges Freikörperbild

75 Herbst 2012 Aufgabe 2 (Seite 2 von 3) b) Geben Sie die Impulsbilanz (Kräftesatz) der Rolle 1 bezüglich der x 1 -Koordinate an. c) Geben Sie die Drehimpulsbilanz(Drallsatz) der Rolle 1 bezüglich ihres Schwerpunktes und der ϕ 1 -Koordinate an. Das Massenträgheitsmoment dieser Rolle bezüglich ihres Schwerpunktes (identisch mit Mittelpunkt) ist als θ 1 vorgegeben. d) Geben Sie die Drehimpulsbilanz(Drallsatz) der Rolle 2 bezüglich ihres Schwerpunktes und der ϕ 2 -Koordinate an. Spezifizieren Sie das benötigte Massenträgheitsmoment mittels der gegebenen Größen. e) Geben Sie die Impulsbilanz (Kräftesatz) der Rolle 3 bezüglich der x 3 -Koordinate an. f) Geben Sie die Drehimpulsbilanz(Drallsatz) der Rolle 3 bezüglich ihres Schwerpunktes und der ϕ 3 -Koordinate an. Spezifizieren Sie das benötigte Massenträgheitsmoment mittels der gegebenen Größen. g) Geben Sie die Impulsbilanz (Kräftesatz) der Masse 4 bezüglich der x 4 -Koordinate an.

76 Herbst 2012 Aufgabe 2 (Seite 3 von 3) h) Geben Sie die (Winkel-)Geschwindigkeiten ẋ 1, ϕ 2, ẋ 3, ϕ 3 und ẋ 4 in Abhängigkeit von ϕ 1 an. ẋ 1 ( ϕ 1 ) = ϕ 2 ( ϕ 1 ) = ẋ 3 ( ϕ 1 ) = ϕ 3 ( ϕ 1 ) = ẋ 4 ( ϕ 1 ) =

77 Herbst 2012 Aufgabe 3 (Seite 1 von 2) Eine punktförmiger Körper der Masse m rutscht aus seiner Ruhelage (Höhe h bezüglich N.N.) im Punkt O eine reibungslose Ebene hinab. Auf seinem Weg über die Punkte A bis H passiert er 2 reibungsbehaftete Teilabschnitte mit den Gleitreibungskoeffizienten µ 1 und µ 2. Sämtliche Kreisbögen weisen den Radius r auf. y O m g x I D l 2 E h µ 1 C α r r α F µ 2 N.N. α r θ A B l 1 l 3 α γ γ r G φ H a) Berechnen Sie den Betrag der Geschwindigkeit der Punktmasse zwischen den Punkten A und B als Funktion des Winkels θ. v(θ) A B = b) Berechnen Sie den Betrag der Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt C. v C =

78 Herbst 2012 Aufgabe 3 (Seite 2 von 2) c) DerBetragderGeschwindigkeit derpunktmasse impunktc istnundurchv C vorgegeben, wobei diese als groß genug vorausgesetzt ist, um Punkt D zu erreichen. Geben Sie die Geschwindigkeit der Punktmasse in Abhängigkeit der Größe v C in den Punkten F und G an. v F = v G = d) Im Punkt G stößt die Punktmasse mit dem gegebenen Geschwindigkeitsbetrag v G gegen einen masselosen Stab, welcher mit einer Drehfeder (Federkonstante c T ) verbunden ist. Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit der Punktmasse zwischen den Punkten G und H. φ=

79 Frühjahr 2012

80 Frühjahr 2012 Aufgabe 1 (Seite 1 von 2) Ein starrer Stab (Länge 2l, Masse m) ist wie dargestellt gelagert. Die im Punkt A befindliche Drehfeder weist die Federsteifigkeit (Federkonstante) c T, der im Punkt B angeschlossene viskose Dämpfer die Dämpferkonstante d auf. Im Punkt C ist ein System aus parallel und seriell geschalteten Federn (Federsteifigkeiten bzw. /-konstanten c 1 bis c 4 ) angebracht. Zudem wird das unter dem Einfluss des Schwerefelds (Erdbeschleunigung g) stehende System im Punkt C durch eine zeitabhängige Kraft F(t) belastet. Für den Zeitpunkt t = t 0 = 0 gelte F(t 0 ) = 0 sowie, dass sämtliche Federn ungespannt sind. l F(t) g C B m c 2 c 1 d c 3 c 4 l ϕ y c T x A a) Geben Sie die effektive Steifigkeit (Federkonstante) c eff des Federsystems in Abhängigkeit der Werte c 1, c 2, c 3 und c 4 an. c eff = b) Berechnen Sie das Massenträgheitsmoment θ (A) des Stabes bezüglich des Punktes A. θ (A) =