1. Aufgabe: (ca % der Gesamtpunkte)

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1 Institut für Mechanik Prof. Dr.-In. habil. P. Betsch Prof. Dr.-In. habil. Th. Seeli Modulprüfun Dynamik 3. Auust Aufabe: (ca..5 % der Gesamtpunkte) s P 1 m h P 3 P α l Eine Punktmasse m rutscht eine schiefe Ebene mit dem Neiunswinkel α hinunter. Nach stoßfreier Umlenkun in P rutscht sie horizontal weiter. Die Beweun beinnt ohne Anfanseschwindikeit bei P 1 und ist reibunsfrei. a) Bestimmen Sie die Zeit t 1 in Abhänikeit des Neiunswinkels α, die die Punktmasse benötit um P zu erreichen. b) Bestimmen Sie die Zeit t, die die Punktmasse von P nach P 3 benötit. c) Wie roß muss der Winkel α sein, wenn die Zeit für die Beweun von P 1 bis P 3 minimal sein soll? (Es enüt zu untersuchen, bei welchem α die Zeit extremal wird). Geeben: h, l > h,, m

2 Musterlösun - Aufabe 1 a) Beweun auf schiefer Ebene msinα m α Interation m s = msin(α), s = sin(α) Zeit von P 1 nach P b) Beweun auf der Horizontalen Interation Zeit für die Beweun von P 1 nach P ṡ = sin(α)t+ṡ 0 mit ṡ 0 = ṡ(t = 0) = 0 s = 1 sin(α)t +s 0 mit s 0 = s(t = 0) = 0 s P1 = h sin(α) = 1 h sin(α)t t 1 = sin (α) mÿ = 0 ẏ = ẏ 0 = sin(α)t 1 = h y = ht+y 0 mit y 0 = 0 y P3 = l h tan(α) = ht t = 1 h (l h tan(α) ) c) Gesamtzeit Extremum h t P1 P 3 = t 1 +t = sin (α) + 1 [l h h tan(α) ] dt P1 P 3 dα = = = h h cos(α) sin (α) + h [1+ cos (α) sin (α) ] = 0 cos(α) sin (α) + h (α)+cos (α) [sin sin ] (α) h = 0 h cos(α)+ cos(α) = 1 α = 60

3 Institut für Mechanik Prof. Dr.-In. habil. P. Betsch Prof. Dr.-In. habil. Th. Seeli Modulprüfun Dynamik 3. Auust 017. Aufabe: (ca..5 % der Gesamtpunkte) r m A h 0 30 R R v C 30 h B C Eine homoene Walze (Masse m, Radius r) wird aus der Ruhe loselassen und beinnt unter dem Einfluss des Schwerefeldes auf der rauhen Bahn AC nach rechts zu rollen. a) Bestimmen Sie die Schwerpunktseschwindikeit v C im Punkt C der Walze. b) Rechts vom Punkt C soll für den Haftunskoeffizienten µ 0 = 0 elten, wobei der Überan stoßfrei erfolt. Bestimmen Sie die maximale Höhe h = h 1. c) Bestimmen Sie die maximale Höhe h = h für den Fall, das bereits ab dem Punkt B die Haftun entfällt. d) Es wird nun ein Loch in die Mitte der Walze ebohrt. Der so enstehende Hohlzylinder wird wiederum in A aus der Ruhe loselassen. Bis zum Punkt C soll der Hohlzylinder rollen. Ab C soll erneut für den Haftunskoeffizienten µ 0 = 0 elten. Ist die so erreichte maximale Höhe h = h 3 rößer oder kleiner als h 1? Beründen Sie Ihre Antwort. Geeben: m, h 0, r, R, θ Vollzylinder = 1 mr,, µ 0

4 Musterlösun - Aufabe a) Enerieerhaltunssatz E p,a +E k,a = E p,b +E k,b kinetische Enerie mit Rollbedinun v = ϕr M S v ϕ E k,b = 1 θ M ϕ B mit θ M = θ s +m = 1 mr +m = 3 mr E p,a = mh 0 Damit folt mh 0 +0 = 0+ 1 θ M ϕ B Schwerpunktseschwindikeit im Punkt B v B = v B = ϕ = m θ M h 0 m θ M h 0 = 4 3 h 0 b) Enerieerhaltunssatz mit Aufspaltun der kinetischen Enerie in rotorischen und translatorischen Anteil Da der Überan stoßfrei erfolt ilt E p,b +E T,B +E Rot,B = E p,c +E T,C +E Rot,C und es folt für den Enerieerhaltunssatz E Rot,B = E Rot,C 1 mv B = mh 1 h 1 = 3 h 0 c) da v B = v D ilt folt h = h 1 d) Geschwindikeit im Punkt B für den Hohlzylinder analo a) vb = ϕ r1 = m Hohl h 0 r1 θ M,Hohl h 3 = 1 vb = m Hohl h 0 r1 θ M,Hohl Für den Hohlzylinder ilt unter Verwendun der Dichte γ

5 m Hohl,θ Hohl m 1, θ 1 r 1 m, θ = m Hohl = m 1 m = γπt( 1 r ) θ S,Hohl = 1 m 1r1 1 m r = 1 γπt(r4 1 r4 ) = 1 γπt(r 1 r )(r 1 +r ) = 1 m Hohl(r1 +r ) θ M,Hohl = θ S,Hohl +m Hohl r1 = m Hohl[ 1 (r 1 +r )+r 1 ] Damit folt für die Höhe h 3 h 3 = m Hohl θ M,Hohl h 0 = 1 1 (r 1 +r )+r 1 h 0 1 = 3 h r 3 r1 3 h 0 = h 1 (Antwortsatz mit m Hohl θ M,Hohl n θ M und damit h 3 h 0 ebenfalls ausreichend)

6 Institut für Mechanik Prof. Dr.-In. habil. P. Betsch Prof. Dr.-In. habil. Th. Seeli Modulprüfun Dynamik 3. Auust Aufabe: (ca. 3.5 % der Gesamtpunkte) r, m 1, θ Walze c x l, m, θ Stab Ψ ϕ Das darestellte System besteht aus einer homoenen Walze (Radiusr, Träheitsmoment θ Walze, Masse m 1 ) und einem homoenen, starren Stab (Läne l, Trähheitsmoment θ Stab, Masse m ). Der Stab ist im Mittelpunkt der Walze drehbar elaert wobei eine Drehfeder (Federsteifikeit c) beide Bauteile miteinander verbindet. Mit ϕ wird die Orientierun des Stabes beschrieben, mit Ψ die Orientierun der Walze und die Auslenkun des Schwerpunktes der Walze mit x. Die Walze rollt ohne zu leiten. Die Feder ist für ϕ Ψ = 0 entspannt. Verwenden Sie ϕ und x als eneralisierte Koordinaten. a) Wieviele Freiheitsrade hat das System? b) Wie lautet die kinematische Bindun zwischen x und Ψ? c) Bestimmen Sie die kinetische Enerie des Systems. d) Bestimmen Sie die potentielle Enerie des Systems. e) Stellen Sie die Laranesche Funktion unter Verwendun der kinematischen Bindun auf und ermitteln Sie die Laraneschen Gleichunen.Art. f) Linearisieren Sie die Beweunsleichunen bezülich der Lae, die durch x = 0, ϕ = 0 und Ψ = 0 ekennzeichnet ist und stellen Sie die Beweunsleichunen in einer Matrix- Vektor-Schreibweise dar. Geeben: m 1 = m = m, r, l, c,, θ Walze, θ Stab

7 Musterlösun - Aufabe 3 a) FHG e b) x = Ψr c) kinetische Enerie inesamt eribt sich somit d) potentielle Enerie E k = 1 mv Stab + 1 θ Stab ϕ + 1 mẋ + 1 θ Ψ Walze ( ) x sin(ϕ) l r Stab = cos(ϕ) l (ẋ cos(ϕ) l ṙ Stab = ϕ ) sin(ϕ) l ϕ v Stab = ṙ Stab = ẋ cos(ϕ)l ϕẋ+ l 4 ϕ E k = 1 m(ẋ cos(ϕ)l ϕẋ+ l 4 ϕ )+ 1 θ Stab ϕ + 1 mẋ + 1 θ ẋ Walze E p = m l cos(ϕ)+ 1 c( ϕ) = m l cos(ϕ)+ 1 c(x r ϕ) e) Larane Funktion L = E k E p = 1 m(ẋ cos(ϕ)l ϕẋ+ l 4 ϕ )+ 1 θ Stab ϕ + 1 mẋ + 1 θ ẋ Walze +m l cos(ϕ) 1 c(x r ϕ) Ableitunen für Laranesche Gleichunen.Art L ϕ = m( 1 cos(ϕ)lẋ+ l 4 ϕ)+θ Stab ϕ d dt ( L ϕ ) = 1 msin(ϕ)lẋ ϕ 1 mcos(ϕ)lẍ+ml 4 ϕ+θ Stab ϕ L ϕ = 1 msin(ϕ)lẋ ϕ ml sin(ϕ)+c(x r ϕ) L ẋ ẋ = mẋ 1 mcos(ϕ)l ϕ+mẋ+θ Walze d dt ( L ẋ ) = mẍ+ 1 msin(ϕ)l ϕ 1 mcos(ϕ)l ϕ+θ Walze L x = c r (x r ϕ) Laranesche Gleichunen.Art 1 msin(ϕ)lẋ ϕ 1 mcos(ϕ)lẍ+ml 4 ϕ+θ Stab ϕ 1 msin(ϕ)lẋ ϕ+ml sin(ϕ) c(x r ϕ) = 0 mẍ+ 1 msin(ϕ)l ϕ 1 mcos(ϕ)l ϕ+θ ẍ Walze r + c r (x r ϕ) = 0 ẍ

8 f) Linearisierun mit cos(ϕ) 1, sin(ϕ) ϕ, ẋ ϕ 0, ϕ 0 Vektor-Matrix Schreibweise 1 mlẍ+ml 4 ϕ+θ Stab ϕ+m l ϕ c(x r ϕ) = 0 [ m l 4 +θ Stab 1 ml 1 ml mẍ 1 ml ϕ+θ ẍ Walze r + c r (x r ϕ) = 0 m+ θ Walze [ ][ ϕ m l + ẍ] +c c r c c r ][ [ ϕ 0 = x] 0]

9 Institut für Mechanik Prof. Dr.-In. habil. P. Betsch Prof. Dr.-In. habil. Th. Seeli Modulprüfun Dynamik 3. Auust Aufabe: (ca..5 % der Gesamtpunkte) ϕ r 1 O m 1 m m 3 m 4 d k 1 k t = 0 Zwei fest miteinander verbundene kreiszylindrische homoene Walzen der Masse m 1 und m mit Radien r 1 und sind in O reibunsfrei drehbar elaert. Über die Walzen laufen, ohne zu rutschen, zwei masselose undehnbare, bieeweiche Ketten die rechts durch zwei Federn (Federkonstanten k 1 und k ) und einem Dämpfer (Dämpfunskonstante d) mit dem Boden verbunden sind. Am linken Ende der Ketten sind zwei Massen m 3 und m 4 anebracht, welche zunächst auf einem Brett auflieen. Zu Beinn ist das System in Ruhe und die Federn sind entspannt. Das Brett wird zum Zeitpunkt t = 0 plötzlich nach unten weeschwenkt. a) Berechnen Sie mittels des Drallsatzes die Beweunsleichun des Systems in der Koordinate ϕ. b) Wie roß ist die Eienfrequenz ω 0 des Systems? c) Wie roß ist die edämpfte Eienfrequenz ω d des Systems? d) Wie roß darf die Dämpfunskonstante d maximal sein, damit das System schwinunsfähi ist? Geeben: r 1,, m 1, m, m 3, m 4, k 1, k,d,

10 Musterlösun - Aufabe 4 ϕ r 1 O S 3 S 4 θ 0 S 1 S S 3 S 4 S 1 S x 1 x x 3 x 4 m 3 m 4 d k 1 k a) Drallsatz bezülich O mit S 1 = k 1 x 1 +dẋ 1 und S = k x M0 = S 3 +S 4 r 1 k x k 1 x 1 r 1 dẋ 1 r = θ 0 ϕ mit θ 0 = 1 m m Schwerpunktsätze für die Massen m 3 und m 4 Fx,3 = m 3 ẍ 3 m 3 ẍ 3 = S 3 +m 3 Fx,4 = m 4 ẍ 4 m 4 ẍ 4 = S 4 +m 4 mit Bindunsleichunen x 3 = ϕ, x 4 = r 1 ϕ, x = ϕ, x 1 = r 1 ϕ eribt M0 = (k 1 1ϕ+k ϕ+d 1ϕ)+m 4 r 1 +m 3 m 4 1 ϕ m 3 ϕ = θ 0 ϕ b) Normalform mit N = θ 0 +m 3 +m 4 1 Eienkreisfrequenz c) Abklinkoeffizient ϕ+ k 1r1 +k r ϕ+ dr 1 N N ϕ = m 4r 1 +m 3 N ω 0 = k1 1 +k N δ = dr 1 N = Dω 0

11 Lehrsches Dämpfunsmaß d 1 D = 1 = 1 Nω 0 N dr1 k 1 r1 +k r N 1 d = r1 4 4N(k 1 r1 +k r) Kreisfrequenz der edämpften Schwinun ω d = ω 0 1 D = N(k ω0 ω0d 1 r1 +k = ) 1 4 d r1 4 N d) schwache Dämpfun D < 1 d < 4N (k r1 4 1 r1 +k r )