1. Eine kleine Masse rutscht vom höchsten Punkt einer großen Halbkugel vom Radius R reibungsfrei ab.

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1 TU Chemnitz Institut fü Physik Physikübunen fü Witschaftsinenieue WS003 Lösunsvoschläe fü das 3. Übunsblatt 1. Eine kleine Masse utscht vom höchsten Punkt eine oßen Halbkuel vom adius eibunsfei ab. a) In welche Höhe übe de Untelae hebt sie auf Gund de zunehmenden Geschwindikeit von de Kuel ab? b) Statt eine Masse ollt eine kleine Kuel eibunsfei auf de Halbkuel ab. In welche Höhe übe de Untelae löst sie sich von de Kuel? a N α h α Abb. 1 Abb. a) Betachtun in veschiedenen Bezussystemen Inetialsystem: Die Zentipetalkaft, die die Masse auf de Keisbahn hält, wid eade eben duch die Nomalkomponente m N aufebacht. Bei weitee Ehöhun de Geschwindikeit eicht m N nicht meh aus und die Masse velässt die Keisbahn. F zentipetal = m N Mitbewetes System: Die Zentifualkaft wid duch die von außen einepäte Nomalkomponente m N de Schwekaft kompensiet. Die Käfte heben sich eenseiti auf und die Masse bewet sich nicht elativ zu dem mitbeweten Bezussystem. Bei weitee Ehöhun de Geschwindikeit eicht m N nicht meh aus und die Masse bewet sich elativ zum Bezussystem, d.h., sie velässt die Keisbahn. F zentifual = m N (= F zentipetal ) Bedinun fü das Abheben F = m a = m N a = N ( N : Nomalkomponente von ) siehe Abb. : Aus Abb. entnimmt man cos α = N N = cos α

2 Fü die Zentifualkaft F ilt: F = m v Damit ist die Bedinun fü das Abheben: F = m v = m N v = N Sowohl v als auch N sind von de Höhe h abhäni, es müssen also v(h) und (h) beechnet weden. Eine Lösun de Beweunsleichun fü die Masse wüde v(h) liefen, ist abe seh kompliziet; wesentlich einfache ist de We übe die Eneie als Ehaltunsöße! Die Geschwindikeit v(h) de Kuel eibt sich aus dem Eneieehaltunssatz (Abb. 1) E esamt = E potentiell + E kinetisch = mh + 1 mv = const. Zu Beinn ist h = und v = 0, d.h. E esamt = m. Somit eibt sich: m = mh + m v v = ( h) Einesetzt in a = v ehält man: a = ( h) Damit wid aus de Bedinun fü das Abheben a = a N (siehe Abb. ): ( h) = cos α cos α eibt sich aus Abb. 1 zu: cos α = h/ Damit ist: und nach Auflösen nach h: h = 3 ( h) = h h = h b) Die Bedinun fü das Abheben ist wiede a = N, es ändet sich hineen die Geschwindikeit in Abhänikeit von de Höhe. Mit Beücksichtiun de otationseneie de ollenden Kuel lautet de Eneiesatz: E esamt = E potentiell + E kinetisch = E potentiell + E Tanslation + E otation E Tanslation = 1 mv E otation = 1 Jω mit dem Täheitsmoment J. Das Täheitsmoment eine Kuel um die Schwepunktachse ist: J Kuel = 5 m

3 somit eibt de Eneiesatz: m( h) = 1 mv + 1 Jω De Zusammenhan zwischen de Geschwindikeit v und de Winkeleschwindikeit ω ist beim Abollen eeben duch: Damit lautet de Eneiesatz: ω = v ω = v m = mh + 1 mv + 5 mv = mh mv Analo zum Teil a) beechnet man daaus v: v = 10 ( h) 7 Einesetzt in die Bedinun des Abhebens a = N bzw. v / = cos α eibt sich: v = 10( h) 7 = cos α = h h = 7 7 h 10 7 = 17 7 h Somit ist die Höhe, in de die Kuel abhebt h = Ein mathematisches Pendel schwint nach echts een einen Stift, de sich im Abstand s untehalb des Aufhänepunktes befindet (Abb. 3). a) Man beechne die Schwinunsdaue T des Pendels fü s = l/. wobei l = 1m sein soll. b) In welchen Genzen ist T duch die Veändeun von s vaiieba? s l Abb. 3

4 a) Fü das mathematische Pendel de Läne l ilt: l T l = π Die Daue de halben Schwinun nach links ist demnach 1T links = 1 π l de halben Schwinun nach echts 1T echts = 1 π l s Daaus eibt sich die Gesamtdaue T esamt = 1 T links + 1 l l s T echts = π + π Speziell fü s = l/, d.h. l s = l l/s = l/: b) Genzen: s = 0: (das ist das unestöte Pendel!) s = l: l l l T esamt = π + π = π (1 + 1 ) l l l T esamt = π + π = π l l l l T esamt = π + π = π (halbe Schwinunsdaue, da die Kuel diekt umkeht) und die Daue 3. Ein Bolzen mit eine Masse von m B = 5 fällt auf einen Holzklotz de Masse m K = 1k, de auf eine Schaubenfede mit de Fedekonstante k = 500 N/m befestit ist. E bleibt im Holz stecken und dückt die Fede s = 15cm zusammen. (Die Masse de Fede und de Einfluß de Schwekaft auf die Beweun nach den Zusammenstoß sei venachlässiba.) a) Mit welche Fequenz schwint die Anodnun? b) Wie oß ist die Auslenkun 1,1 s nach Eeichen de esten maximalen Auslenkun? c) In de wievielten Peiode befindet sich die Schwinun? d) Wie oß sind die Maximalwete de Geschwindikeit und Beschleuniun? a) Fü die Schwinun eine Masse m an eine Fede de Fedekonstanten k ilt: ω = k m bzw.: m T = π k

5 0 -y o m B m K k s mit f = 1 T und m = m B + m K eibt sich: f = 1 T = 1 k π m = 3.515Hz b) Ansatz fü die Auslenkun y(t) in Abhänikeit mit de Zeit (s = y m ): y(t) = y m cos ωt = y m cos k m t Anfansbedinun (t = 0): y(0) = y m = 15cm Zum Zeitpunkt t 1 =1.1 s: ( ) y(t 1 ) = y m cos k m t 500N 1 = 15cm cos ( )Km 1.1s = 13.67cm c) Die Schwininsdaue betät T = 1/f =0.845 s Anzahl de Schwinunen: n = t 1 /T =3.87, d.h. die Schwinun befindet sich kuz vo de Vollendun de 4. Peiode d) de sin ist maximal 1, d.h.: v max = ωy m = de cos ist maximal 1, d.h.: v(t) = dy(t) dt = y m ω sin ωt k m 15cm = 500N ( )Km 0.15m = 3.313m s a(t) = dv(t) dt a max = ω y m = k m 15cm = = y m ω cos ωt 500N ( )Km 0.15m = 73.17m s

6 4. In welche Höhe übe de Edobefläche muß ein Satellit otieen, damit e von de Ede aus betachtet zu stehen scheint (eostationäe Bahn)? Edadius e = 6378 km, Edbeschleuniun an de Edobefläche = 9,81m/s. Welchen Winkel muß ω zu Edachse haben? ω e ω S B B 1 1 ω ω e S B B 1 S 1 S Bedinun fü eine Keisbahn: F = F z (Käfteleichewicht zwischen Zentifual- und Gavitationskaft) Gavitationswechselwikun: F = G m 1m Da in diese Aufabe G nicht eeben ist, muss es zunächst aus dem bekannten an de Edobefläche bestimmt weden. Auf de Edobefläche ( = e ) wid ein Köpe de Masse m von de Edmasse m e mit de Kaft F anezoen: F = G m em e = m G = e m e Fü beliebie Abstände ilt dann: d.h.: Zentifualkaft: F = G m em = e mem m e F = e = = m ( ) e e m e m = e m ( ) e m ( ) e F z = mω Käfteleichewicht F z = F : F z = mω = 3 = e ω ( ) e m

7 = 3 e ω Um zu eeichen, daß de Satelit übe einem Ot auf de Ede zu stehen scheint, muß ω leich de Winkeleschwindikeit de Eddehun sein. ω = π/t (T = 3h56min =86160 s!) = 3 e ω = 3 e T 4π (6378 = m) (86160s) 9.81m/s 4π Daaus eibt sich die Höhe übe de Edobefläche: = km h = e = 4179km 6378km = 35771km 36000km 5. (modifiziete Aufabenstellun) Das Täheitsmoment eine eisenen (ρ Fe = 7.86 /cm 3 ) zylindischen Schwunscheibe um ihe Symmetieachse J = m /, soll a) duch Paallelveschiebun de Dehachse und b) duch Anbinen eine Bleiummantelun (Dichte ρ Pb = 11.4 /cm 3 ) vedoppelt weden. Zu beechnen sind: a) die Göße de Veschiebun, b) die efodeliche Dicke des Bleimantels. a) Satz von STEINE: J = J Schwepunkt + ms J Schwepunkt : Täheitsmoment fü die Achse duch den Schwepunkt J: Täheitsmoment bezoen auf einen Punkt, de einen Abstand s zu de Achse besitzt Das Täheitsmoment eines Zylindes des adius ist: J Zylinde = 1 m Vedopplun des Täheitsmoments duch Veschiebun um s: Umstellen nach s: J Schwepunkt = 1 m = J S.v.Steine = s = 1 m + ms b) Gesucht: Täheitsmoment eines Hohlzylindes ( a : äußee adius; i = : innee adius, Höhe H) Lösun duch Inteation: J Hohlzylinde = dm mit: dm = ρ Pb dv = πhd V

8 a J Hohlzylinde = π 3 hρ Pb d = π4 hρ Pb a i 4 i = 1 ρ Pbπh(a 4 i 4 ) Eine einfachee Beechnun ist duch Subtaktion de Täheitsmomente fü Zylinde mölich: J Hohlzylinde = 1 m a a 1 m i i Die Massen eeben sich aus den Dichten: ρ = m/v m = ρ V = ρ π h J Hohlzylinde = 1 ρ Pbπh(a 4 i 4 ) Vedopplun des Täheitsmoments: J Schwepunkt + J Hohlzylinde = J Schwepunkt 1 m Fe + 1 ρ Pbπh(a 4 i 4 ) = 1 m Fe = i 1 ρ Pbπh(a 4 i 4 ) = 1 m Fei mit: ρ = m/v m = ρ V = ρ π h eibt sich: ρ Pb πh(a 4 i 4 ) = ρ Fe πi 4 h a = ρ Fe 4 4 i + ρ Pb i 4 = 4 4 ρ Fe + ρ Pb i ρ Pb ρ Fe 4 a = i 1 + ρ Fe ρ Pb 4 a = i = 1.14 i