Lösungen zu Übungsblatt 3

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1 PN1 Einführun in die Physik 1 für Chemiker und Bioloen Prof. J. Lipfert WS 2017/18 Übunsblatt 3 Lösunen zu Übunsblatt 3 Aufabe 1 Paris-Geschütz. a) Unter welchem Abschusswinkel θ hat das Geschütz seine maximale Reichweite (d.h. unter welchem Abschusswinkel schießt es am weitesten)? Hinweis: Sie können hier die Herleitun aus der Vorlesun benutzen. Lösun: Diese Lösun ist analo zu der Herleitun der Vorlesun. Wir formulieren die Anfanseschwindikeit abhäni von unserem Abschusswinkel θ jeweils in x und in y Richtun v 0,x = v 0 cos(θ) v 0,y = v 0 sin(θ) Unsere Anfansbedinunen für den Abschuss sind x 0 = 0, y 0 = 0 und t = 0. Für die Beweun in y ilt y = v 0 sin(θ) t 1 2 t 2 Nun ermitteln wir den Punkt, an dem die Kuel auf dem Boden auftrifft, dies eschieht bei y = 0. Für die Zeit folt dann Für die Strecken in x Richtun ilt t = 2v 0sin(θ) x = (v 0 cos(θ))t Nun können wir unsere Zeit t einsetzen, bei der die Kuel auftrifft, es folt x = 2v 2 0 sin(θ)cos(θ) Mit der der Identität sin(α)cos(α) = 1 sin(2α) folt schließlich 2 x = v 2 0 sin(2θ) Die Distanz wird maximal, wenn der Sinus maximal wird. Dies ist der Fall für 2θ = 90, also ist θ = 45 der Abschusswinkel, mit dem die Reichweite maximal wird. b) Wir ehen nun davon aus, dass eine Granate in einem Winkel von θ = 45 abefeuert wird. Mit welcher Mündunseschwindikeit v 0 muss die Granate das Geschütz verlassen, um das 130 km entfernte Paris zu erreichen? 1

2 Lösun: Die Entfernun lässt sich mithilfe des Winkels und der Mündunseschwindikeit v 0 formulieren als Umstellen liefert d = v 2 0 sin(2θ) d v 0 = sin(2θ) Nach einfachen Einsetzen erhält man schließlich v 0 = 1, m s = 1130 m s c) Welche maximale Höhe erreicht die Granate aus der letzten Teilaufabe? Verleichen Sie diese Höhe mit einer eeieneten Bezuröße (z.b. Höhe des Eiffelturmes, Fluhöhe eines Passaierfluzeus). Lösun: Die Höhe kann formuliert werden als y = v 0 sin(θ) t 1 2 t 2 y muss maximal werden das heißt, das Extremum ist esucht Umstellen liefert dy dt = v 0 sin(θ) t = 0 t = v 0 sin(θ) Das t bezeichnet nun das Extremum, dies muss wieder einesetzt werden in die Ausansleichun, um eine Gleichun für die maximale Höhe zu bekommen y(t ) = v 0 sin(θ)v 0 sin(θ) Vereinfachen und Einsetzen leifert schließlich 1 2 v 0 2 sin 2 (θ) 1 2 v 2 0 sin 2 (θ) 2 = m = 32, 5 km Dies ist ca. 3 mal höher als die Fluhöhe eines Passaierfluzeus. Die Granate erreicht den oberen Teil der Stratosphäre! d) Wie lane fliet die Granate, bis sie Paris erreicht? Lösun: Wir starten wieder mit der Gleichun y = v 0 sin(θ) t 1 2 t 2 2

3 Auflösen der Höhe nach der Zeit liefert (Quadratische Gleichun) v 0 sin(θ) ± v 2 0 sin 2 (θ) t = 2 v 0 sin(θ) Einsetzen liefert 2 1, m s sin(45 ) 9, 8 m s 2 = 163 s 3 min Aufabe 2 Fehlerrechnun und Dioden. a) Zeichnen Sie den Zusammenhan von Strom I (in µa) als Funktion der aneleten Spannun (in V) für die oben beschriebene Diode. Lösun: Die Shockley Gleichun für die beschriebene Diode ist mit der in Aufabe 2 des 1. Übunsblattes diskutierten Funktion identisch. Eine raphische Darstellun ist unten ezeit. Man sieht, dass der fließende Strom für neative Spannunen klein und fast konstant ist - dies ist die soenannte Sperrrichtun der Diode. Im Geensatz dazu steit der Strom für positive Spannunen, in der Durchlassrichtun der Diode, schnell mit der aneleten Spannun an. b) Sie leen eine Spannun von U = 2,0 V ± 0,1 V an. Was ist der entsprechende Strom und sein Messfehler nach der Gaußschen Fehlerfortpflanzun? 3

4 Lösun: Nach der Gaußschen Fehlerfortpflanzun ist der Fehler im Strom eeben durch den Fehler in der aneleten Spannun multipliziert mit der Ableitun des funktionellen Zusammenhans zwischen Strom und Spannun, evaluiert für die jeweils anelete Spannun. Berechne zunächst die Ableitun von I (U ) I (U ) U = I S U T e U U T Da wir nur den Fehler der Spannun berücksichtien, ist direkt σ I = I (U ) U σ U = I S e U U T σ U U T Einsetzen von U = 2,0 V und σ U = 0,1 V eribt I (U ) = 160 µa ± 33 µa. c) Jetzt leen Sie eine Spannun U = 2,0 V ± 0,1 V an (die Spannun ist neativ!). Was ist der entsprechende Strom, mit Messfehler nach der Gaußschen Fehlerfortpflanzun? Lösun: Gleiche Rechnun wie in der letzten Teilaufabe. Einsetzen von U = 2,0 V und σ U = 0,1 V eribt I (U ) = 2.9 µa ± 0.01 µa. d) Warum sind die Messfehler für den Strom in den letzten zwei Teilaufaben so unterschiedlich, obwohl die Fehler in der Spannunsmessun identisch sind? Lösun: Der entscheidende Punkt ist, dass der Fehler der Input Variable (U in unserem Fall) in der Gaußschen Fehlerfortpflanzun mit der Ableitun der Funktion, die die ewünschte Messröße anibt, an der Stelle, für die der Messwert berechnet werden soll, multipliziert wird. Konkret in unserem Fall ist I (U ) für neative Spannunen fast konstant (nämlich I S ); da sich I (U ) für neative Spannunen kaum mit U ändert (mit anderen Worten: da die Ableitun fast Null ist), führt ein Fehler in U kaum zu einem Fehler in I (U ). Im Geensatz dazu steit I (U ) für positive U schnell an, d.h. die Ableitun ist roß, und selbst ein kleiner Fehler in U führt zu einem roßen Fehler in I (U ). Aufabe 3 Die Atwood -sche Fallmaschine. a) Zeien Sie, mithilfe des zweiten Newton sche Axiom, dass für die Zukraft im Seil ilt: F S = 2m 2 + m 2 (1) 4

5 Lösun: Auf die Massen wirkt einerseits die Schwerkraft und ihr enteen die Kraft des Seils. Das zweite Newton sche Axiom F = m a kann nun auf beide Massen anewandt werden. Es ereben sich zwei Gleichunen mit der Seilkraft F S und der Beschleuniun a im Betra und F S m 2 = m 2 a 2 F S = a 1 Nun können diese zwei Gleichunen addiert werden und man erhält ( m 2 ) = ( + m 2 )a wobei a 1 = a 2 ist, da die beiden Massen mit einem Seil verbunden sind. Nun kann man die Gleichun nach a umstellen a = m 2 + m 2 diesen neuen Ausdruck für die Beschleuniun kann man nun in eine der beiden Startleichunen einsetzen und man erhält schließlich F S = 2m 2 + m 2 b) Liefert diese Gleichun für den Fall = m 2, sowie für die Grenzfälle m 2 und m 2 ein sinnvolles Erebnis? Lösun: Ist = m 2, so eribt sich für die Zukraft loischerweise F S = m Nun zum Grenzfall m 2, es ist hilfreich die Gleichun für die Beschleuniun und Zukraft umzuformen also m 2 im Nenner auszuklammern a = Für diesen Grenzfall folt dann m 2 1 m F S = 2 m a = F S = 2 Für den Fall m 2 kann man wieder die Gleichunen umformen und ausklammern, es folt Daraus folt dann a = 1 m m F 2 S = 2m m 2 a = F S = 2m 2 5

6 c) Es sei eine der beiden Massen 1,7 k. Welche Masse muss das andere Gewicht haben, damit der Betra der Verschiebun relativ esehen in der ersten Sekunde nach dem Loslassen 0,2 m beträt? Hinweis: Nehmen Sie eine leichförmie Beschleuniun beider Massen in y- Richtun an. Lösun: Aus der ersten Teilaufabe wissen wir, dass sich die Beschleuniun formulieren lässt als a = m 2 + m 2 Dies lässt sich auflösen nach einer der beiden Massen zu = m 2 ( + a a ) Nun kann die Gleichun für die leichförmie Beschleuniun benutzt werden mit der Anfanseschwindikeit v 0 = 0 y = v 0 t a( t)2 = 1 2 a( t)2 Nun können wir auflösen und einsetzen, für die Beschleuniun erhält man dann a = 2 y 2 (0, 20 m) = = 0, 400 m ( t) 2 (1, 0 s) 2 s 2 Nun können wir unsere Beschleuniun in die vorherie Gleichun einsetzen und man erhält = m 2 ( 9, 81 m s 2 + 0, 400 m s 2 9, 81 m s 2 0, 400 m s 2 ) = 1, 09 m 2 Ist nun = 1, 7 k, dann ist m 2 = 1, 6 k oder falls m 2 = 1, 7 k, dann ist = 1, 9 k 6