c(t) = exp p (tv). Definition 3.55 (Exponentialabbildung). Die Abbildung exp p : D p S heißt Exponentialabbildung.

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1 3.6. Exponentialabbildun. Sei S eine reuläre Fläche mit riemannscher Metrik. Sei p S ein Punkt. Zu eimen Tantialvektor v T p S betrachten wir die eindeutie Geodätische c : I S mit c0 p, c 0 v und maximalem Definitionsintervall I. Falls c noch zur Zeit t 1 definiert ist, d.h. falls 1 I, setzen wir 14 exp p v : c1. Ist exp p für v T p S definiert und δ 0,1], so ist 4exp p für δv T p S definiert. Diese Überleun zeit, dass der Definitionsbereich D p T p S von exp p eine bzl. sternförmie Teilmene von T p S ist und zwar c v t exp p tv. Nach dem Satz über die Abhänikeit der Lösun ewöhnlicher Differentialleichunen von den Anfanswerten ist D p eine offene Teilmene von T p S und ist exp p : D p S eine latte Abbildun. Definition 3.55 Exponentialabbildun. Die Abbildun exp p : D p S heißt Exponentialabbildun. Beispiel Sei S R 2 {0} die x y Ebene mit der ersten Fundamentalform als riemannsche Metrik. Sei p S und v T p S R 2 {0}. Die eodätische c in S mit c0 p und c 0 v ist die Gerade ct p+tv. Also ilt D p T p S 2 R 2 {0} und exp p v p+v. Beispiel Sei S S 2 die Sphäre, wiederum mit der ersten Fundamentalform als riemannscher Metrik. Sei p S und v T p S p. Schreibe v δw, wobei w T p S ein Einheitsvektor ist, w 1 und δ v 0. Die Geodätische c ist in S mit c0 p und c 0 v ist eeben durch den Großenkreis ct cosδtp + sinδtw. Also ilt D p T p S und exp p v { cos v p+sin v v v, v 0 p, v 0. Lemma Das Differential der Exponentialabbildun an der Stelle 0 ist die Identität, d 0 exp p id : T p S T p S. Beweis: Sei v T p S. Gemäß 14 ist die Geodätische c mit c0 p und c 0 v eeben durch ct exp p tv. 98

2 Setze τ tv. τ ist eine Kurve in T p S mit τ0 0 und τ 0 0. Nach der Definition des Differentials haben wir d 0 exp p v d dt exp p ct d t0 dt exp ptv 0 t d dt ct t0 c 0 v Nach dem Umkehrsatz ibt es eine Umebun W von 0 D p, so dass exp p W : W exp p W S ein Diffeomorphismus ist. Für eine lokale Parametrisierun U 1,F 1,V 1 der Tanentialebene T p S erhalten wir durch die Wahlen U : F1 1 W, F : exp p F 1 U und V R 3 offen mit V S exp p W eine lokale Parametrisierun U,F,V von S. Beispiel Sei S eine reuläre Fläche mit riemannscher Metrik. Sei p S, und sei X 1, X 2 eine Orthonormalbasis der Tanentialebene T p S. Wir nehmen die Parametrisierun durch kartesische Koordinaten für T p S, nämlich U 1 R 2 und F 1 u 1,u 2 u i X i. Die entsprechende lokale Parametrisierun von S, Fu 1,u 2 exp p u i X i, heißt Parametrisierun durch riemannsche Normalkoordinaten um Punkt p. Satz Sei S eine reuläre Fläche mit riemannscher Metrik. Sei p S, sei F eine lokale Parametrisierun durch riemannsche Normalkoordinaten um den Punkt p. Dann ilt für die zuehörie Komponentenfunktionen der Metrik und die Christoffel-Symbole i F0,0 p ii ij 0,0 δ ij, i,j 1,2 iii ij 0,0 0 und Γ k u k ij 0,0 0, i,j,k 1,2. Beweis: Aussae i ist klar und Aussae ii besat erade, dass d 0 exp p eine Identität ist. Nun brauchen wir nur noch iii zu zeien. Nach der Definition der Exponentialabbildun wissen wir, dass für beliebies x R 2, t tx eine Geodätische in riemannschen Normalkoordinaten ist, d.h. Γ k ij txxi x j 0 k 1,2. i,j Speziell für t 0 ilt somit Γ k ij0x i x j 0, k 1,2 i,j 99

3 für alle x. Ween der Symmetrie Γ k ij 0 Γk ji 0, folt Γ k ij 0,0 0 für alle i,j,k. Aus der Gleichun folt u i jm k Γ k ij km +Γ k im kj ij u k 0,0 0 für alle i,j,k. Beispiel Sei wie oben S eine beliebie reuläre Fläche mit einer riemannschen Metrik, sei p S, und sei X 1, X 2 eine Orthonormalbasis von T p S. Wir nehmen diesmal Polarkoordinaten für T p S, F 1 r,ϕ r cosϕx 1,sinϕX 2. Die zuehörie lokale Parametrisierun von S Fr,ϕ exp p r cosϕx 1,sinϕX 2 ist die Parametrisierun durch eodätische Polarkoordinaten um den Punkt p. Satz 3.62 Gauß-Lemma. Sei S eine reuläre Fläche mit einer riemannschen Metrik. Sei p S, und sei F eine lokale Parametrisierun durch eodätische Polarkoordinaten r,ϕ. Dann hat bzl. dieser lokalen Parametrisierun die riemannsche Metrik die Form ij r,ϕ ij 0 f 2 r,ϕ mit einer positiven Funktion f, die erfüllt. lim fr,ϕ 0 und lim r r,ϕ 1 Beweis: Für festes ϕ 0 ist die Kurve cr Fr,ϕ 0 nach Definition der Exponentialabbildun die Geodätische mit c 0 cosϕ 0 X 1 + sinϕ 0 X 2. Wir haben schon bewiesen, dass Geodätische proportional zur Boenläne parametrisiert sind. Da c 0 ein Einheitsvektor ist, so ist 11 r,ϕ 0 c r,c r

4 Da die riemannsche Metrik positiv definit ist, ist 22 > 0 und kann in der Form 22 f 2 eschrieben werden. Ähnlich wie früher berechnen wir lim f2 22 r,ϕ 0 Außerdem ilt d Fr,ϕ0 exp p r,ϕ 0 ϕ 0 d Fr,ϕ0 exp pry 1,d Fr,ϕ0 exp pry 2 d 0 exp p 0,d 0 exp p 0 0. lim r,ϕ fr,ϕ 0 0 r,d Fr,ϕ0 exp p 22 r,ϕ 0 r 2 r,ϕ 0 ϕ 0 d Fr,ϕ0 exp py 2,d Fr,ϕ0 exp py 2 d 0 exp p Y 2,d 0 exp p Y 2 Y 2,Y 2 1. Lemma Seien die Bezeichnunen wie in Satz Dann ilt für die Gauß-Kümmun KFr,ϕ 1 2 f fr,ϕ 2r,ϕ. Beweis: Gemäß Satz 3.62 hat die riemannsche Metrik in eodätischen Polarkoordinaten die Form ij r,ϕ ij 0 f 2. r,ϕ Die inverse Matrix ist ij r,ϕ ij 0 f 2 r,ϕ Man berechnet durch die Formel Γ k ij m1. jm u i + im u j ij u m Γ 1 22 f und 101 Γ f ϕ,

5 die Christoffel-Symbole, die nicht verschwinden. Ferner ilt r,ϕ 0 r,ϕ 12, ϕ r,ϕ 0, ϕ r,ϕ 0 r c r, }{{} ϕ r,ϕ 0 + r,ϕ 0, 0 r,ϕ 0, ϕ r,ϕ ϕ, 0. }{{} r,ϕ0 1 + r,ϕ 0, ϕ r,ϕ 0 ϕ r,ϕ 0 Somit ist für festes ϕ ϕ 0 die Funktion 12 konstant in r. Setze Y 1 : cosϕ 0 X 1 + sinϕ 0 X 2 und Y 2 : sinϕ 0 X 1 + cosϕ 0 X 2. Dies ist auch die Orthonormalbasis von T p S. Setze Fr,ϕ rcosϕx 1 +sinϕx 2. Klar ist r,ϕ 0 Y 1 und ϕ r,ϕ 0 ry 2. Wir berechnen lim 12r,ϕ 0 r,ϕ 0, d Fr,ϕ0 exp p ϕ r,ϕ 0 r,ϕ 0,d Fr,ϕ0 exp p d Fr,ϕ0 exp py 1,d Fr,ϕ0 exp pry 2 d 0 exp p Y 1,d 0 exp p 0 0. ϕ r,ϕ 0 Da 12 konstant ist, ist Also ij ij

6 Die Vektoren und 1 f ϕ bilden eine Orthonormalbasis der Tanentialebene. Nach dem Theorema Ereium ist die Gauß-Krümmun eeben durch κ R, 1 1 f ϕ f ϕ, 1 f 2R f 2 1 f 2 1 f 2 1 f Γ 1 22 Γ1 12 ϕ +Γ1 1k Γk 22 Γ1 2k Γk 22 2 f 2 f Γ1 22Γ f 2 f f 2. Bemerkun. In eodätischen Polarkoordinaten ist die esamte Information über die riemannsche Metrik in der Funktion f enthalten. Falls die Gauß- Krümmun k κ konstant ist, d.h., κ 1 2 f fr,ϕ 2r,ϕ, mit den Anfansbedinunen f0,ϕ 0 und 0,ϕ 1 erhalten wir 1 sin κr, κ > 0 κ fr,ϕ r, κ 0, 1 sinh κr, κ < 0. κ Korollar Sind S 1 und S 2 zwei reuläre Flächen mit derselben konstanten Gauß-Krümmun κ, so sind S 1 und S 2 lokal isometrisch. Es ibt noch Koordinaten, die besonders an eine voreebene Kurve auf der Fläche anepasst sind. Lemma Sei S eine reuläre Fläche mit riemannscher Metrik. Sei c : I S eine nach Boenläne parametrisierte Kurve. Sei n : I R 3 ein Vektorfeld läns c mit nt 1 und c,n 0. Dann ibt es zu jedem t 0 I ein ε > 0, so dass F : ε,ε ε,ε S, Ft,s : exp ct snt, 103

7 eine lokale Parametrisierun von S ist. Läns c hat die riemannsche Metrik bezülich dieser Parametrisierun die Gestalt ij t,0 ij. 0 1 Beweis: Wir berechnen t t,0 d dt exp ct0 c t und s t,0 d ctexp ct nt nt. Die Vektoren t t,0 und s t,0 bilden eine Orthonormalbasis von T cts. Nach dem Umkehrsatz ist F nach eeineter Einschränkun eine lokale Parametrisierun. Ween der Orthoonalität ist die Behauptun über ij t,0 klar. 104