Algebraische Geometrie 2 Lösungen zum Langen Übungsblatt

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1 Karlsruher Institut für Technoloie (KIT) Institut für Alebra und Geometrie JProf. Dr. Gabriela Weitze-chmithüsen Dipl.-Math. André Kappes Alebraische Geometrie 2 Lösunen zum Lanen Übunsblatt Aufabe 1 (2 Punkte) Es sei pec(a) ein affines chema. eie, dass die Abbildun x {x} eine Bijektion zwischen pec(a) und den nichtleeren, abeschlossenen, irreduziblen Teilmenen von pec(a) liefert. Lösun: Es sei M die Mene der nichtleeren, abeschlossenen, irreduziblen Teilmenen von pec A. u zeien ist, dass Φ : pec A M, x {x} eine Bijektion ist. unächst ist Φ wohldefiniert, denn {x} ist irreduzibel und nichtleer, und damit auch der Abschluss von {x}. Als nächstes behaupten wir dass {x} = V(x) ilt. Denn wenn es p V(x) mit p {x} äbe, dann äbe es eine offene Umebun U pec A von p mit U {x} =. Insbesondere äbe es ein f A mit p D( f ) U. Also wäre x V( f ) und ween p V(x) würde f x p folen, ein Widerspruch. Also folt aus Φ(y) = Φ(x), dass y {x} = V(x) ist, und damit x y. Analo sieht man y x, also insesamt x = y. ei schließlich V M. Dann ist V = Φ(x) für ein x pec A, denn nach Vorlesun ist jede abeschlossene, nichtleere, irreduzible Mene von der Form V(x) = {x} für ein Primideal x A. Aufabe 3 (3 Punkte) Es sei ein chema mit einer offenen Überdeckun = i I i. Außerdem seien und chemata mit chemamorphismen f : und :. Wir setzen i = f 1 ( i ) und i = 1 ( i ). eie: ofern die Faserprodukte existieren, ilt für jedes i I i i i i. Lösun: Wir zeien zunächst folende Hilfsaussaen. Behauptun 1: Offene Immersionen sind Monomorphismen. ei i : U eine offene Immersion. Per Definition ist i also ein Isomorphismus auf sein Bild, dass ein offenes Unterschema von ist. eien a, b : U zwei weitere Morphismen mit ia = ib. i hat eine Inverse i 1 : i(u) U. Wenn wir diese auf die Gleichun ia = ib loslassen, so erhalten wir a = b. 1

2 Behauptun 2: Wenn η : ein chemamorphismus ist mit η() U und U eine offene Teilmene von ist, dann ibt es enau einen chemamorphismus θ : U mit η = i θ. Hierbei sei i : U die Inklusion und U werde zu einem chema durch die Restriktion i 1 O = O U = O U der trukturarbe von. Topoloisch definieren wir θ als η. Dann ist klar, dass θ steti ist. Weiter brauchen wir einen Garbenmorphismus θ # : O U θ O. Für eine offene Mene W U ist η 1 (U) = θ 1 (U). Also können wir θ # W : O U(W) = O (W) O (θ 1 (W)) = O (η 1 (W)) leich η # W wählen. Das liefert einen Garbenmorphismus. Da η # p für alle p lokal ist, und θ die Einschränkun von η auf U ist, ist auch θ # p für alle p lokal. Weiter ist nachzurechnen, dass η # = i (θ # ) i # ilt. Es sei W offen und s O (W). Dann ist i # W (s) = s U W O U (i 1 (W)) und i (θ # ) W (s U W ) = θ # U W (s U W) = η # U W (s U W) = η # (s) U W. Aber die Restriktion η O (W) η O (U W) ist die Identität, da η 1 (W) = η 1 (U W). Das zeit, dass η # = i (θ # ) i # ilt. Die Eindeutikeit folt mit Behauptun 1, denn i ist eine offene Immersion. Behauptun 3: i ist das Faserprodukt von mit i über. Wir müssen also zeien, dass es zu einem chema und p :, q : i mit p = ιq einen eindeutien Morphismus θ : i ibt mit ι θ = p und θ = q. θ p q i ι i ι Für z ilt q(z) i und ιq(z) = q(z) = p(z). Also ist p(z) i = 1 ( i ). Da i offen ist, erhalten wir nach Behauptun 2 einen eindeutien Morphismus θ : i, der ι θ = p erfüllt. Dieser brint auch das untere Dreieck zum Kommutieren, denn ιθ = ι θ = p = ιq. Da ι eine offene Immersion ist, ist ι nach Behauptun 1 ein Monomorphismus, also folt θ = q und wir haben Behauptun 3 ezeit. Behauptun 4: Die Verkettun zweier cartesischer Diaramme ist cartesisch. Dabei heiße ein Diaramm der Form 2

3 f cartesisch, wenn ilt. In diesem Fall macht man zuweilen auch ein in die Mitte des Diaramms. Die Behauptun lautet enauer: Wenn die beiden Diaramme q 2 W f f T cartesisch sind, dann auch q 2 W f f T um Beweis: eien ein chema A mit Morphismen r : A W und s : A eeben, so dass r = f f s ilt (siehe auch untenstehendes Diaramm). Umklammern zeit, dass f s : A und r : A W ein Paar von Pfeilen sind, auf die wir die UAE von anwenden können. Wir erhalten also enau einen Pfeil θ : A mit q 2 θ = r und θ = f s. Nun machen wir mit der UAE von weiter, was uns die Gleichun θ = f s erlaubt. Wir erhalten enau einen Morphismus ϑ : A mit ϑ = θ und ϑ = s. Also ist q 2 ϑ = q 2 θ = r. Damit ist ϑ : A ein Pfeil für die UAE von T W. Es bleibt zu zeien, dass es nicht zwei verschiedene Pfeile ϑ 1, ϑ 2 : A eben kann mit q 2 ϑ i = r und ϑ i = s für i = 1, 2. Aber dann wären ϑ i zwei Pfeile wie in der UAE von, denn und q 2 ( ϑ i ) = r ϑ i = f ϑ i = f s. Also ist ϑ 1 = ϑ 2 = θ ween der Eindeutikeit von θ. Nun schlät aber die UAE von zu. Follich ilt ϑ 1 = ϑ 2. 3

4 A θ r s ϑ W q 2 T f f Lösun der Aufabe: Nun folt die Aussae der Aufabe, indem man das Diaramm i i i i ι i i f ι betrachtet. Das linke Quadrat ist per Definition cartesisch und das rechte nach Behauptun 2. Mit Behauptun 3 folt, dass auch das esamte Rechteck cartesisch ist, d.h. links oben steht (bis auf kanonische Isomorphie) auch das Faserprodukt i, was zu zeien war. Aufabe 4 (4 Punkte) Es sei ein chema und K ein Körper. a) Extrahiere aus einem chemamorphismus pec(k) einen Punkt x und eine Körpererweiterun κ(x) K des Restklassenkörpers κ(x) = O,x /m,x. b) Konstruiere umekehrt zu jedem Paar (x, i), wobei x ein Punkt und i : κ(x) K eine Körpererweiterun ist, einen chemamorphismus pec(k). Die Mene Mor(pec(K), ) = (K) heißt die Mene der K-wertien Punkte von. Lösun: a) ei ϕ : pec K ein chemamorphismus. Da pec K = {(0)}, ist Bild(ϕ) = {x} einpunkti. Außerdem haben wir einen Garbenmorphismus ϕ # : O ϕ O K. Dieser induziert einen lokalen Morphismus ϕ # : O (0),x O K,(0) = K auf den Halmen. Also ist (ϕ # (0) ) 1 (m,x ) = (0) wobei m,x das maximale Ideal in O,x ist. Damit faktorisiert ϕ # über (0) einen Morphismus κ(x) = O,x /m,x K. Dieser ist nicht 0, sonst wäre ϕ # nicht lokal (0) ewesen, also ist er injektiv und damit eine Körpererweiterun von κ(x). b) Wir definieren einen Morphismus topoloisch durch ϕ((0)) = x. Das liefert eine stetie Abbildun. Den Garbenmorphismus ϕ # : O ϕ O K definieren wir folendermaßen. Für U mit x U ist ϕ # U : O (U) O K (ϕ 1 (U)) = O K ( ) notwendi der 0-Pfeil. Ansonsten, also für x U, sei ϕ # U die Komposition O (U) O,x O,x /m,x = κ(x) K, 4

5 wobei der letzte Pfeil durch i eeben ist. Mit der Tatsache, dass O,x der injektive Limes der O (U) (für U offen, x U) ist, folt, dass dies einen Garbenmorphismus liefert. Auf dem einzien Halm ist dieser lokal, denn O,x O K,(0) faktorisiert per Definition über κ(x) K, was bedeutet, dass (ϕ # x) 1 ((0)) = m,x ist. 5