Kategorientheorie. 1 Kategorien

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1 Kategorientheorie 1 Kategorien Eine Kategorie C besteht aus den folgenden Daten: (1) Einer Klasse (Menge) Ob(C) von Objekten. (2) Einer Menge Mor(C, D) zu jedem geordneten Paar (C, D) von Objekten C, D von C. Die Elemente von Mor(C, D) heißen Morphismen der Kategorie von C nach D. Ein Morphismus von C nach D wird oft in der Form f: C D geschrieben und Pfeil der Kategorie genannt. In diesem Fall heißt C die Quelle und D das Ziel von f. Ein Morphismus bestimmt Quelle und Ziel, das heißt aus Mor(C, D) Mor(E, F ) folgt C = E und D = F. (3) Einem Morphismus id(c) = id C = 1 C Mor(C, C) für jedes Objekt C, genannt Identität von C. (4) Einer Abbildung Mor(B, C) Mor(A, B) Mor(A, C), (g, f) g f = gf für jedes geordnete Tripel (A, B, C) von Objekten, genannt Komposition, Verknüpfung oder Verkettung von Morphismen. Diese Daten sollen die folgenden Axiome erfüllen: (5) Für Morphismen f: A B, g: B C und h: C D gilt (hg)f = h(gf). (6) Für jeden Morphismus f: A B gilt f = f id(a) = id(b) f. Statt Mor(C, D) wird zur Verdeutlichung auch Mor C (C, D) oder C(C, D) geschrieben. Auch Hom(C, D) oder Hom C (C, D) ist für diese Menge in Gebrauch, in Anlehnung an die Homomorphismenmengen der Algebra. Ist Ob(C) eine Menge, so sprechen wir von einer kleinen Kategorie. Das Musterbeispiel einer Kategorie ist die Kategorie MEN der Mengen. Die Objekte sind die Mengen. Die Morphismen sind die Mengenabbildungen. Die Identität ist die identische Abbildung. Die Komposition ist die Nacheinanderausführung von Abbildungen. Viele weitere Kategorien werden aus Mengen mit zusätzlichen Strukturen gewonnen. Die Kategorie GRU der Gruppen (Objekte) und Gruppenhomomorphismen (Morphismen). Die Kategorie K-Vek der Vektorräume über einem Körper K (Objekte) und K-linearen Abbildungen (Morphismen). Die Kategorie AB der abelschen Gruppen und Homomorphismen. Die Kategorie R-Mod der linken R- Moduln über dem Ring R. Die Kategorie TOP der topologischen Räume und stetigen Abbildungen. In allen vorstehend genannten Kategorien und weiteren analogen, denen Mengen mit weiterer Struktur zugrundeliegen, ist, wenn nichts anderes gesagt wird, die Komposition diejenige der Mengenabbildungen. Ein Morphismus f: C D einer Kategorie heißt Isomorphismus, wenn er einen Umkehrmorphismus g: D C besitzt, g f = id(c) und f g = id(d). Dieser ist dann eindeutig durch f bestimmt und wird auch mit f 1 bezeichnet. Gibt es einen Isomorphismus f: C D, so heißen die Objekte C und D isomorph. Ein Morphismus f: C C heißt Endomorphismus von C. Ein Isomorphismus f: C C heißt Automorphismus von C.

2 (1.1) Monoide und Gruppen. Eine Kategorie mit einem einzigen Objekt C ist durch die Menge M = Mor(C, C) und eine assoziative Verknüpfung mit neutralem Element auf M gegeben. Eine Menge M zusammen mit einer assoziativen Verknüpfung mit neutralem Element heißt Monoid. Eine Kategorie mit einem Objekt C, in der jeder Morphismus ein Isomorphismus ist, wird durch eine Gruppenstruktur auf M = Mor(C, C) gegeben, denn die Existenz des Umkehrmorphismus besagt die Existenz des Inversen. Eine Kategorie, in der jeder Morphismus ein Isomorphismus ist, heißt Gruppoid. Für jede Kategorie und jedes ihrer Objekte A ist Hom(A, A) mit der Komposition ein Monoid. (1.2) Duale Kategorie. Sei C eine Kategorie. Die duale Kategorie C entsteht aus C durch Umkehren der Pfeile. Das bedeutet: Die Objektklassen beider Kategorien sind gleich. Es ist C (C, D) = C(D, C). Die Identitäten bleiben dieselben. Die Komposition in C ist durch Umkehrung der Reihenfolge definiert: f g ist genau dann definiert, wenn g f definiert ist, und gleich dem zu g f in C gehörenden Morphismus. (1.3) Produktkategorie. Seien C und D Kategorien. Die Produktkategorie C D hat als Objekte die Paare (C, D) von Objekten C aus C und D aus D. Die Morphismen (C 1, D 1 ) (C 2, D 2 ) sind die Paare von Morphismen f: C 1 C 2, g: D 1 D 2. (1.4) Kategorie der Pfeile. Sei C eine Kategorie. Die Kategorie P C der Pfeile von C hat als Objekte die Morphismen von C. Ein Morphismus von f: C 1 C 2 nach g: D 1 D 2 ist ein Paar von Morphismen ϕ j : C j D j, die gϕ = ϕ 2 f erfüllen. (1.5) Kategorie der Endomorphismen. Die Objekte von END(C) sind die Endomorphismen f: C C in C. Ein Morphismus von f nach g: D D ist ein Morphismus ϕ: C D, der gϕ = ϕf erfüllt. (1.6) Objekte über und unter B. Sei B ein Objekt aus C. Ein Morphismus f: E B heißt Objekt über B. Die Kategorie C B habe als Objekte die Objekte über B. Ein Morphismus von f: E B nach g: F B ist ein Morphismus ϕ: E F, der gϕ = f erfüllt. Ebenso für Objekte f: B E unter B. Allgemein kann man in analoger Weise offenbar aus Diagrammen fester Form Kategorien bilden. 2 Funktoren. Natürliche Transformationen Seien C und D Kategorien. Ein Funktor F : C D von C nach D ist eine Vorschrift, die jedem Objekt C von C ein Objekt F (C) von D und jedem Morphismus f: C D von C einen Morphismus F (f): F (C) F (D) von D zuordnet. Diese Daten sollen die folgenden Eigenschaft haben: (2.1) F (id(c)) = id(f (C)), F (g f) = F (g) F (f). Ein kontravarianter Funktor U: C D ist eine Vorschrift, die jedem Objekt C 2

3 von C ein Objekt U(C) von D zuordnet und jedem Morphismus f: C D von C einen Morphismus U(f): U(D) U(C) von D. Diese Daten sollen die folgende Eigenschaft haben: (2.2) U(id(C)) = id(u(c)), U(g f) = U(f) U(g). Funktoren nennt man zur Unterscheidung auch kovariante Funktoren. Man sagt: Ein kontravarianter Funktor dreht die Richtung der Pfeile um. Eine unmittelbare Folgerung aus den Axiomen (2.1) und (2.2) ist: Ein (kontravarianter) Funktor bildet Isomorphismen auf Isomorphismen ab. Ein kontravarianter Funktor F : C D ist im wesentlichen dasselbe wie ein Funktor C D in die duale Kategorie oder wie ein Funktor C D. Ein Funktor F : C D E von einer Produktkategorie wird auch als Funktor in zwei Variablen angesehen. (2.3) Dualraum. Jedem Vektorraum V über dem Körper K werde der Dualraum V = Hom K (V, K) der K-linearen Abbildungen V K zugeordnet und jeder linearen Abbildung f: V W die duale Abbildung f : W V, α α f. Dadurch wird ein kontravarianter Funktor Dualraum von der Kategorie K-Vek in sich definiert. Zweimalige Anwendung liefert den Funktor Bidualraum. (2.4) Vergißfunktoren. Die in Rede stehenden Funktoren lassen Struktur weg (vergessen sie). Wird einer Gruppe G die ihr zugrundeliegende Menge G und jedem Homomorphismus dieselbe Mengenabbildung zugeordnet, so erhalten wir einen Vergißfunktor GRU MEN. (2.5) Gruppen. Wir fassen eine Gruppe als Kategorie mit einem Objekt auf. Ein Funktor G H ist dann dasselbe wie ein Gruppenhomomorphismus f: G H. Durch g g 1 wird ein kontravarianter Funktor G G definiert. (2.6) Hom-Funktoren. Jede Kategorie produziert durch ihre Morphismenmengen Funktoren. Sei D ein Objekt der Kategorie C. Der kontravariante Hom- Funktor Hom(, D) = Hom(?, D): C MEN ordnet einem Objekt C die Morphismenmenge Hom(C, D) zu und einem Morphismus ϕ: C 1 C 2 die Abbildung Hom(ϕ, D): Hom(C 2, D) Hom(C 1, D), f f ϕ. Die Funktoraxiome sind leicht nachzurechnen. Analog gibt es zu jedem Objekt C den kovarianten Hom-Funktor Hom(C, ): C MEN. Betrachtet man beide Variablen gleichzeitig, so wird der Hom-Funktor ein Funktor Hom(, ): C C MEN in zwei Variablen. Sind F : A B und G: B C Funktoren, so ist die Komposition G F der Funktor A C, der durch (2.7) (G F )(C) = G(F (C)), (G F )(f) = G(F (f)) 3

4 auf Objekten C und Morphismen f definiert ist. Es gibt den identischen Funktor Id C : C C, der auf Objekten und Morphismen die Identität ist. Komposition von Funktoren ist assoziativ. Sind A und B kleine Kategorien, so bilden die Funktoren von A nach B eine Menge, denn ein Funktor ist durch eine Abbildung der Objektmengen und Morphismenmengen gegeben. Deshalb bilden die kleinen Kategorien zusammen mit den Funktoren zwischen ihnen und der eben genannten Komposition selbst wieder eine Kategorie KAT. Die Komposition zweier kontravarianter Funktoren ist analog definiert und liefert einen kovarianten Funktor. Auch lassen sich ko- und kontravariante Funktoren komponieren. Da KAT eine Kategorie ist, haben wir den Begriff einer Isomorphie von (kleinen) Kategorien. Es stellt sich jedoch heraus, daß dieser Begriff zum Vergleich zweier Kategorien zu starr ist. Wir werden alsbald den Begriff einer Äquivalenz von Kategorien erklären. (2.8) Natürliche Transformation. Seien F, G: C D Funktoren. Eine natürliche Transformation Φ: F G von F nach G besteht aus einer Familie Φ C : F (C) G(C) von Morphismen in D, indiziert durch die Objekte C von C, so daß für jeden Morphismus f: C D in C das Diagramm F (C) F (f) F (D) Φ C Φ D G(C) G(f) G(C) in D kommutativ ist. Sind alle Φ C Isomorphismen in D, so heißt Φ natürlicher Isomorphismus, in Zeichen Φ: F G. Analog wird eine natürliche Transformation und ein natürlicher Isomorphismus zwischen kontravarianten Funktoren definiert. Die Inversen Φ 1 C eines natürlichen Isomorphismus bilden ebenfalls einen. (2.9) Beispiel. Seien D und E Objekte einer Kategorie, und sei f: D E ein Morphismus. Durch Komposition mit f erhalten wir eine natürliche Transformation f : Hom(?, D) Hom(?, E) zwischen Hom-Funktoren, indem f C : Hom(C, D) Hom(C, E), g f g gesetzt wird, und eine natürliche Transformation f : Hom(E,?) Hom(D,?), indem fc: Hom(E, C) Hom(D, C), h h f gesetzt wird. Sind Φ: F G und Ψ: G H natürliche Transformationen zwischen Funktoren C D, so wird durch (2.10) (Ψ Φ) C = Ψ C Φ C eine natürliche Transformation Ψ Φ: F H definiert. Diese Komposition von 4

5 natürlichen Transformationen ist assoziativ. Es gibt immer die identische natürliche Transformation Id F : F F. Sind C und D (kleine) Kategorien, so bilden wir die Funktorkategorie [C, D]: Deren Objekte sind die Funktoren C D, und die Morphismen von F nach G sind die natürlichen Transformationen Φ: F G. Die Komposition haben wir durch (2.10) definiert. Ein Funktor F : C D heißt Äquivalenz von diesen Kategorien, wenn es einen Funktor G: D C und natürliche Isomorphismen GF Id C und F G Id D gibt. Es ist dann auch G eine Äquivalenz von Kategorien. Kategorien C und D heißen äquivalent, wenn es eine Äquivalenz zwischen ihnen gibt. Sind F : C D und G: D E Äquivalenzen von Kategorien, so ist auch G F eine Äquivalenz. Eine Unterkategorie einer Kategorie C besteht aus einer Teilmenge von Objekten und Morphismen, so daß mit der gegebenen Komposition diese Teilmengen eine Kategorie bilden. Eine Unterkategorie heißt voll, wenn für je zwei ihrer Objekte die Hom-Menge dieselbe ist wie in der großen Kategorie. Eine volle Unterkategorie D ist genau dann äquivalent zur ganzen Kategorie C, wenn zu jedem ihrer Objekte ein isomorphes in D existiert. (2.11) Yoneda-Lemma. Sei C eine Kategorie. Eine natürliche Transformation des Hom-Funktors Hom(, D) in einen kontravarianten Funktor G: C MEN ist durch den Wert auf id(c) G(C) bestimmt und dieser Wert kann beliebig vorgeschrieben werden. Die Funktoren Hom(, D) und Hom(, E) sind genau dann natürlich isomorph, wenn D und E isomorph sind. 3 Summe. Produkt. Pushout. Pullback Sei X = (X j j J) eine Familie von Objekten der Kategorie C. Eine Familie (p j : X X j j J) von Morphismen in C heißt Produkt der Familie X, wenn für jedes Objekt Y von C die Abbildung (3.1) Hom(Y, X) j J Hom(Y, X j), f (p j f j J) bijektiv ist. In (3.1) ist das mengentheoretische Produkt. Das Urbild von (f j ) bei (3.1) werde ebenfalls mit (f j ) bezeichnet. Ein Produkt bezeichnen wir häufig wie in der Mengensprache durch das Symbol X = j J X j, nehmen also die p j nicht mit in die Notation auf, und nennen p j = pr j die Projektion auf den Faktor X j. Ebenso wird ein Produkt der Objekte X 1, X 2 durch X 1 X 2 bezeichnet. Ist Y = (Y j j J) eine weitere Familie, (q j : Y Y j ) ein Produkt von Y und (f j : X j Y j ) eine Familie von Morphismen, so gibt es genau einen Morphismus f: X Y mit der Eigenschaft q j f = f j p j, j J. Wir wählen dafür die Bezeichung f = j J f j und nennen f das Produkt der Morphismen f j. Das übliche cartesische Produkt von Mengen ist ein Produkt im eben genannten Sinne in MEN. Wir sagen, eine Kategorie besitzt (endliche) Produkte, wenn zu jeder (endlichen) Familie von Objekten ein Produkt existiert. Haben je zwei Objekte ein Produkt, so auch je endlich viele. Die Produktbildung ist assoziativ. 5

6 Insbesondere läßt sich ein Produkt von drei Objekten durch (X 1 X 2 ) X 3 und X 1 (X 2 X 3 ) gewinnen, und es gibt einen eindeutigen Isomorphismus zwischen diesen Produkten, der mit den Projektionen auf die Faktoren verträglich ist. Das ist die Assoziativität (analog für beliebige Klammerungen). Wird ein kategorientheoretischer Begriff nur durch Eigenschaften von Pfeilen definiert, so erhält man einen neuen Begriff, indem man die Richtungen aller Pfeile umkehrt (Dualitätsprinzip; Verwendung desselben Begriffs in der dualen Kategorie). Der duale Begriff zum Produkt ist die Summe, zur Betonung der Dualität auch Koprodukt genannt. (Ein dualer Begriff wird oft mit der Vorsilbe Ko- gekennzeichnet.) Eine Summe einer Familie X = (X j j J) ist eine Familie (i j : X j Z j J) von Morphismen, so daß für alle Objekte Y die Abbildung (3.2) Hom(Z, Y ) j J Hom(X j, Y ), f (f i j j J) bijektiv ist. Das Urbild von (f j ) bei (3.2) werde mit f j bezeichnet. Wir schreiben Z = j J X j und nennen i j die Injektion des j-ten Summanden. Die Summenbildung ist assoziativ. Ist eine Menge X die disjunkte Vereinigung der Teilmengen (X j j J), so bilden die Inklusionen i j : X j X ein Summe in MEN. Um eine Summe in MEN einer beliebigen Familie von Mengen (X j j J) zu erhalten, muß man die Mengen künstlich disjunkt machen und sie dann vereinigen, etwa wie durch j J {j} X j angedeutet. Seien f: X B und g: Y B Morphismen einer Kategorie C. Ein kommutatives Diagramm in C F P Y (3.3) G g f X B heißt Pullback von (f, g) (oder cartesisches Quadrat), wenn es die folgende universelle Eigenschaft hat: Zu jedem Paar von Morphismen F : Z Y, G : Z X mit gf = fg gibt es genau einen Morphismus ϕ: Z P mit den Eigenschaften Gϕ = G und F ϕ = F. Die Definition eines Pushout ergibt sich durch Dualisierung (Umdrehen der Pfeile): Das kommutative Quadrat (3.3) heißt Pushout (oder kocartesisches Quadrat) von (G, F ), wenn es die folgende universelle Eigenschaft hat: Zu jedem Paar g : Y T und f : X T von Morphismen mit f G = g F gibt es genau einen Morphismus Ψ: B T mit Ψf = f und Ψg = g. Seien f: X B und g: Y B Mengenabbildungen. Sei P = X B Y = {(x, y) X Y f(x) = g(y)}. Wir haben Abbildungen F : P Y, (x, y) y und G: P X, (x, y) x. Mit diesen Daten ist (3.3) ein Pullback in MEN. 6