Seminararbeit. Kategorien und Funktoren

Transkript

1 Seminararbeit innerhalb des Seminars Darstellungstheorie Kategorien und Funktoren vorgelegt bei: Prof. Dr. Henning Krause Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Institut für Mathematik eingereicht von: Galina Blem Imadstraße 25, Paderborn WS 2007/2008 Paderborn,

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Kategorien und Funktoren Definition der Kategorie Definition des Funktors Definition der natürlichen Transformation Begriff der Äquivalenz Die darstellbaren Funktoren und das Yoneda-Lemma Köcherdarstellungen versus Moduln über Wegealgebren Definition des Köchers und der Wegealgebra Köcherdarstellungen und Moduln Die Darstellung von Köcher versus den Modul über einer Wegealgebra Literatur 21 2

3 1 Einleitung 1 Einleitung Die Geschichte der Theorie der Kategorien geht ins Jahr 1945, als die US-amerikanische Mathematiker S. Eilenberg und S. Mac Lane ihre Arbeit veröffentlichten, in der sie die Begriffe Kategorie, Funktor und natürliche Transformation von Funktoren einführten. Zu Beginn des zwanzigsten Jahrhunderts studierte man noch überwiegend einzelne mathematische Objekte, später wurde immer mehr die Untersuchung der zulässigen Abbildungen zwischen mathematischen Ojekten und von ganzen Klassen von Objekten von Interesse. Innerhalb der Theorie der Kategorien und Funktoren werden die Begriffe Objekt und Abbildung von den zugrunde liegenden mahematischen Gebieten, wie z. B. der Algebra oder der Topologie, abstrahiert, und es wird untersucht, welche Aussagen in einer solchen abstrakten Struktur möglich sind. In der zweiten Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts hat man angefangen, die Theorie der Kategorien und Funktoren zu verselbstständigen und außerhalb der anderen mathematischen Disziplinen zu betrachten. Der größte Wert der Kategorientheorie scheint darin zu liegen, dass sich viele verschiedene Gebiete der Mathematik als Kategorien interpretieren lassen und dass Mittel und Sätze dieser Theorie auf diesen Gebieten angewendet werden können. Das Ziel dieser Seminararbeit ist, den Leser in die Theorie der Kategorien und Funktoren einzuführen und ihm dabei die wichtigen Begriffe der Kategorientheorie und Darstellungstheorie zu erläutern. Im zweiten Kapitel werden die Begriffe der Kategorie, des Funktors, der natürlichen Transformation, der Äquivalenz der Funktoren und der Äquivalenz der Kategorien eingeführt und erklärt. Im dritten Kapitel werden die Darstellungen von Köchern, Darstellungen von Algebren (Moduln) behandelt. Außerdem wird die Äquivalenz der Kategorie der Köcherdarstellungen und der Kategorie der Moduln gezeigt. 3

4 2 Kategorien und Funktoren 2.1 Definition der Kategorie Zurzeit werden in der Mathematik außer den mathematischen Objekten auch die zwischen ihnen definierten zulässigen Abbildungen untersucht. Zum Beispiel in der Mengenlehre bilden die Mengen die mathematischen Objekte, daher sind auch die Mengenabbildungen von Interesse. Zunächst werden die Eigenschaften der mathematischen Objekte und zulässigen Abbildungen in einer Definition zusammengefasst. Definition 2.1. Sei C eine Klasse von Objekten A, B, C,... Ob C zusammen mit 1 ) einer Familie von paarweise disjunkten Mengen {Mor C (A, B)} für alle Objekte A, B C, deren Elemente f, g, h,... Mor C (A, B) Morphismen heißen und 2 ) einer Familie von Abbildungen {Mor C (A, B) Mor C (B, C) (f, g) gf Mor C (A, C)} für alle A, B, C Ob C, die Verknüpfungen genannt werden. C heißt eine Kategorie, wenn C folgende Axiome erfüllt: 1) Assoziativität: Für alle A, B, C, D Ob C und alle f Mor C (A, B), g Mor C (B, C) und h Mor C (C, D) ist h(gf) = (hg)f. 2) Identität: Für jedes Objekt A Ob C existiert ein Morphismus 1 A Mor C (A, A), Identität genannt, so dass für alle B, C Ob C und alle f Mor C (A, B) und g Mor C (C, A) gilt 4

5 f1 A = f und 1 A g = g. D. h. zu einer Kategorie C gehören immer a) die Klasse der Objekte, b) die Klasse der Morphismenmengen und c) die Verknüpfungen von Morphismen. Für die Mengen entspricht die Verknüpfung von Morphismen der Hintereinanderausführung der Mengenabbildungen. Diese Hintereinanderausführung ist assoziativ. Die identische Abbildung auf einer Menge erfüllt das Axiom der Identität. Damit bilden alle Mengen zusammen mit den Mengenabbildungen und der Hintereinanderausführung eine Kategorie, die auch mit Me bezeichnet wird. Es gibt viele mathematische Objekte, die zusammen mit Morphismenmengen und Verknüpfungen zwischen den Morphismen die Kategorien bilden, hier werden nur einige Beispiele dafür gezeigt. Beispiel 2.2. Gr-Kategorie der Gruppen: Eine Gruppe besteht aus einer nichtleeren Menge A zusammen mit einer Verknüpfung A x A (a, b) ab A, so dass folgende Axiome gelten: 1) a(bc) = (ab)c für alle a, b, c A. 2) Es existiert ein e A mit ea = ae = a für alle a A. 3) Zu jedem a A existiert ein a 1 A mit aa 1 = a 1 a = e. Ein Gruppenhomomorphismus f von einer Gruppe A in eine Gruppe B ist eine Abbildung von A in B mit f(aa ) = f(a)f(a ). Die Gruppen bilden die Objekte, die Gruppenhomomorphismen die Morphismen dieser Kategorie. Ri-Kategorie der unitären, assoziativen Ringe: Ein unitärer, assoziativer Ring besteht aus einer abelschen Gruppe A (deren Verknüpfung gewöhnlich als (a, b) a + b geschrieben wird) zusammen mit einer weiteren Verknüpfung A x A (a, b) ab A, so dass folgende Axiome gelten: (a + b)c = ac + bc für alle a, b, c A, a(b + c) = ab + ac für alle a, b, c A, 5

6 (ab)c = a(bc) für alle a, b, c A, es existiert ein 1 A mit 1a = a1 = a für alle a A. Ein unitärer Ringhomomorphismus f von einem unitären, asoziativen Ring A in einen unitären, assoziativen Ring B ist eine Abbildung von A in B mit f(a+a ) = f(a)+f(a ), f(aa ) = f(a)f(a ) und f(1) = 1. Die unitären assoziativen Ringe zusammen mit den unitären Ringhomomorphismen bilden die Kategorie Ri. RMod-Kategorie der unitären R-Moduln (für einen unitären, assoziativen Ring R ): Ein unitärer R-(Links-)Modul ist eine abelsche Gruppe A (deren Verknüpfung gewöhnlich als (a, b) a + b geschrieben wird) zusammen mit einer Verknüpfung R x A (r, a) ra A, so dass folgende Axiome gelten: 1) r(a + a ) = ra + ra für alle r R, a, a A, 2) (r + r )a = ra + r a für alle r, r R, a A, 3) (rr )a = r(r a) für alle r, r R, a A, 4) 1a = a für alle a A. Ein Homomorphismus f von einem unitären R-Modul A in einen unitären R-Modul B ist eine Abbildung von A in B mit f(a + a ) = f(a) + f(a ) und f(ra) = rf(a). Die unitären R-Moduln zusammen mit den Homomorphismen von unitären R-Moduln bilden die Kategorie R Mod. Ist R ein Körper, so heißen die R-Moduln auch Vektorräume. 2.2 Definition des Funktors Wie in der Einleitung bereits erwähnt wurde, sind zu jeder Art von mathematischen Objekten auch die zugehörigen Abbildungen zu untersuchen. Die mathematischen Objekte sind die Kategorien und die zugehörigen Abbildungen sind die Funktoren. Definition 2.3. Seien B und C Kategorien. F bestehe aus 1) einer Abbildung Ob B A F(A) Ob C, 2) einer Familie von Abbildungen 6

7 {Mor B (A, B) f F(f) Mor C (F(A), F(B))} für alle A, B Ob B. F heißt ein kovarianter Funktor, wenn F folgende Axiome erfüllt: 1) F(1 A ) = 1 F(A) für alle A Ob B. 2) F(fg) =F(f)F(g) für alle f Mor B (B, C), g Mor B (A, B) und alle A, B, C Ob B. Seien B und C Kategorien. F bestehe aus 1) einer Abbildung Ob B A F(A) Ob C, 2) einer Familie von Abbildungen {Mor B (A, B) f F(f) Mor C (F(B), F(A))} für alle A, B Ob B. F heißt ein kontravarianter Funktor, wenn F folgende Axiome erfüllt: 1) F(1 A ) = 1 F(A) für alle A Ob B. 2) F(fg) =F(g)F(f) für alle f Mor B (B, C), g Mor B (A, B) und alle A, B, C Ob B. Sind B, C und D Kategorien und F: B C und G: C D Funktoren, so sei GF: B D der Funktor, der durch Hintereinanderausführung der F bzw. G definierenden Abbildungen entsteht. Ist einer der beiden Funktoren kontravariant, so ist die Vertauschung der Reihenfolge der Morphismen zu beachten. Sind beide Funktoren gleichzeitig ko- oder kontravariant, so ist GF kovariant. Ist einer der Funktoren kovariant und der andere kontravariant, so ist GF kontravariant. Ist H: D E ein weiterer Funktor, so ist wegen der Assoziativität der Hintereinanderausführung von Abbildungen auch die Verknüpfung von Funktoren assoziativ: H(GF) = (HG)F. Mit Id C : C C bezeichnet man den Funktor, dessen definierende Abbildungen die identischen Abbildungen sind. Id C ist ein kovarianter Funktor. Außerdem gilt für Funktoren F und G folgendes: Id C F = F und G Id C = G. Man könnte jetzt annehmen, dass die Kategorien und Funktoren wieder eine Katego- 7

8 rie (der Kategorien) bilden. Aber die Kategorie ist im allgemeinen keine Menge mehr, sondern eine echte Klasse, genauso wie Funktoren im allgemeinen echte Klassen sind. Daher weder Kategorien lassen sich zu einer neuen Objektklasse, noch Funktoren zu Morphismenmengen zusammenfassen. Wenn man jedoch nur kleine Kategorien zulässt, so ist jede Kategorie eine Menge, die aus bestimmten Mengen besteht, und jeder Funktor ist eine Menge. D. h. man kann die Kategorie der kleinen Kategorien mit Funktoren als Morphismen bilden. Solche Kategorie wird Kat bezeichnet. Im Folgenden wird ein spezieller Typ von Funktoren eingeführt: Vergißfunktor. Die Kategorien Gr, Ab, Ri, RMod haben alle als Objekte Mengen, die zusätzliche Struktur tragen. Die Morphismen sind Abbildungen, die mit dieser Struktur verträglich sind. Die Verknüpfung ist immer die Hintereinanderausführung. Ordnet man jedem Objekt die zugrunde liegende Menge und jedem Morphismus die zugrunde liegende Abbildung von Mengen zu, so definiert man einen kovarianten Funktor in Me, den man auch Vergißfunktor nennt (weil man einen Teil der Struktur vergessen kann). Z. B. sind die abelschen Gruppen auch Gruppen, wobei die Homomorphismen in beiden Fällen dieselben sind. Die Ringe sind auch abelsche Gruppen und die Ringhomomorphismen sind die Gruppenhomomorphismen. Daher erhält man folgende Vergißfunktoren: Ab Gr bzw. Ri Ab. Das Beispiel Ab Gr hat eine zusätzliche Eigenschaft, d. h. eine abelsche Gruppe ist eine Gruppe mit besonderer Eigenschaft. Die Objekte und Morphismen von Ab sind auch die Objekte und Morphismen der anderen Kategorie, die Verknüpfung ist dieselbe und auch die Identitäten bleiben beim Übergang durch den Vergißfunktor erhalten. Definition 2.4. Eine Kategorie A heißt Unterkategorie einer Kategorie B, wenn 1) Ob A Ob B für alle A, B Ob A, 2) Mor A (A, B) Mor B (A, B) für alle A, B Ob A, 3) die Verknüpfungen der Morphismen in A und derselben Morphismen in B übereinstimmen, 4) die Identität eines Objektes aus A die Rolle der Identität für dasselbe Objekt in B spielt. Beispiel 2.5. Sei A eine Unterkategorie von Kategorie B. Von A in B führt ein Vergißfunktor. 8

9 2.3 Definition der natürlichen Transformation Definition 2.6. Seien F : B C und G : B C zwei ko- bzw. kontravariante Funktoren. Eine natürliche Transformation ϕ : F G ist eine Familie von Morphismen {ϕ(a) : F(A) G(A)} für alle A Ob B, so dass für alle Morphismen f : A B von B gilt ϕ(b)f(f) = G(f)ϕ(A) bzw. ϕ(a)f(f) = G(f)ϕ(B). Im Falle einer natürlichen Transformation zwischen kovarianten Funktoren kann man die Gleichung ϕ(b)f(f) = G(f)ϕ(A) folgendermaßen veranschaulichen F(A) ϕ(a) G(A) F(f) G(f) F(B) ϕ(b) G(B) Dieses Diagramm ist kommutativ. Die Kommutativität des Diagramms ist die Bedingung für die Natürlichkeit der Transformation ϕ. Definition 2.7. Seien F, G, H kovariante Funktoren von A nach B. Seien ϕ : F G und ψ : G H natürliche Transformationen. Dann ist die Familie der Morphismen ψϕ : F(A) H(A) eine natürliche Transformation des Funktors F in den Funktor H. Diese Familie heißt Komposition der Transformationen ϕ und ψ und wird mit ψϕ bezeichnet. Die Familie id F = (id F(A) ) A A ist die identische natürliche Transformation des Funktors F in sich. Also die kovariante Funktoren F : B C als Objekte und die natürliche Transformationen ϕ : F G als Morphismen zusammen mit der Komposition als Verknüpfung bilden die Funktorenkategorie Fun(B, C). Nachdem wir die natürliche Transformation der Funktoren kennengelernt haben, können wir nun zum Begriff Äquivalenz übergehen. 9

10 2.4 Begriff der Äquivalenz Definition 2.8. Die natürliche Äquivalenz des Funktors F ist eine natürliche Transformaton ϕ : F G derart, dass für jedes A A der Morphismus ϕ A ein Isomorphismus in B ist. Wenn ein solches ϕ existiert, dann heißen die Funktoren F und G natürlich äquivalent. Daraus folgt: wenn ϕ : F G eine natürliche Äquivalenz ist, dann ist die Familie ϕ 1 = (ϕ 1 A ) A A eine natürliche Äquivalenz ϕ : F G, die die Bedingungen ϕϕ 1 = id G und ϕ 1 ϕ = id F erfüllt. Tatsächlich folgt die Natürlichkeit der Transformation ϕ 1 sofort aus der Formel ϕ(b)f(f) = G(f)ϕ(A) F(f)ϕ 1 (A) = ϕ 1 (B)ϕ(B)F(f)ϕ 1 (A) = ϕ 1 (B)G(f)ϕ(A)ϕ 1 (A) = ϕ 1 (B)G(f) Daraus folgt wieder ϕ : F G, ψ : G H sind natürliche Äquivalenzen, dann ist ψϕ : F H eine natürliche Äquivalenz und es gilt (ψϕ) 1 = ϕ 1 ψ 1. Außerdem ist (id F ) 1 = id F. Definition 2.9. Ein kovarianter Funktor F : A A heißt eine Äquivalenz von Kategorien, wenn ein Funktor G : A A und natürliche Aquivalenzen ψ : 1 A GF und ϕ : 1 A FG existieren, wobei 1 A und 1 A die Identitäten auf A oder A sind. G heißt ein quasi-inverser Funktor von F. D. h., um die Äquivalenz von Kategorien zu zeigen, muss man einen quasi-inversen Funktor und natürlichen Äquivalenzen finden, was nicht immer einfach ist. Deshalb ist der folgende Satz sehr hilfreich, der besagt, dass man einige Eigenschaften eines kovarianten Funktors zeigen muss, um zu zeigen, dass dieser Funktor eine natürliche Äquivalenz ist. Satz 2.10 Ein kovarianter Funktor F : A A ist genau dann eine Äquivalenz von Kategorien, wenn F voll, treu und dicht ist. 10

11 Definition 2.11 Ein Funktor F : A A heißt dicht, wenn für jedes Objekt A A ein Objekt A A und ein Isomorphismus F(A) = A existieren. F heißt voll, wenn die Abbildung F XY : Hom A (X, Y ) Hom A (F(X), F(Y )) f F(f) surjektiv für alle X, Y Ob A ist. F heißt treu, wenn die Abbildung F XY injektiv für alle X, Y Ob A ist. Beweis von Satz Sei F voll, treu und dicht. Nach Definition 2.9. ist die Existenz von G : A A und natürliche Aquivalenzen ψ : 1 A GF und ϕ : 1 A FG zu zeigen. Definiere einen quasi-inversen Funktor G : A A von F wie folgt: Für jedes X Ob A fixiere ein Objekt X A und einen Isomorphismus ϕ X F(X) in A. Setze G(X ) = X. Zu einem gegebenen Morphismus f Hom A (X, Y ) existiert nur ein Morphismus f Hom A (X, Y ), so dass das folgende Diagramm f X ϕ X F(X) F(f) Y ϕ Y F(Y ) kommutativ ist. Setze G(f ) = f. Es ist leicht nachzurechnen, dass dieses Verfahren einen kovarianten Funktor definiert. Außerdem ist für jedes x Ob A das folgende Diagramm X ϕ X FG(X ) f FG(f ) Y ϕ Y FG(Y ) 11

12 kommutativ. Das zeigt, dass die Familie von Morphismen {ϕ X} X ObA eine natürliche Äquivalenz ϕ : 1 A FG definiert. Ferner definiere eine natürliche Äquivalenz ψ : 1 A GF wie folgt: Für jedes Z Ob A fixiere Z Ob A und setze Z = F(Z). Dann ϕ F(Z) = ϕ Z F(Z) = Z ϕ Z FG(Z ) = F(GF(Z)) Da F voll und treu ist, existiert ein Isomorphismus ψ Z : Z GF(Z), so dass gilt F(ψ Z ) = ϕ Z = ϕ F(Z). Sei g ein Morphismus in A. Zeige, dass das folgende Diagramm Z ψ Z GF(Z) g GF(g) ( ) V ψ V GF(V ) kommutativ ist. Da ϕ : 1 A FG eine natürliche Äquivalenz ist, ist das folgende Diagramm kommutativ: F(Z) ϕ F(Z) FG(F(Z)) F(g) FG(F(g)) F(V ) ϕ F(V) FG(F(V )) Für geeignete ψ Z und ψ V folgt ϕ F(Z) = F(ψ Z ), ϕ F(V) = F(ψ V ). Daraus folgt F(ψ V g) = F(ψ V ) F(g) = FG(F(g)) F(ψ Z ) = F(GF(g) ψ Z ). Da F treu ist, folgt ψ V g = GF(g) ψ Z, d. h. das Diagramm ( ) ist kommutativ. Folglich die natürliche Transformation ψ : 1 A GF ist eine natürliche Äquivalenz. Sei F : A A eine Äquivalenz und G : A A eine Quasi-Inverse von F. Seien ψ : 1 A und GF ϕ : 1 A FG natürlichen Äquivalenzen. Dann für jedes C Ob A 12

13 ist X = FG(X ) ein Isomorphismus. Folglich nach Definition ist F dicht. Außerdem für jedes Morphismus f : X Y in A ist das Diagramm X ϕ X FG(X ) f FG(f ) Y ϕ Y FG(Y ) kommutativ. Daraus folgt, dass G treu ist. Analog für jedes Morphismus g : Z V in A ist das Diagramm Z ψ Z GF(Z) g GF(g) ( ) V ψ V GF(V ) kommutativ. Daraus folgt, dass F treu ist. Es bleibt zu zeigen, dass F voll ist. Sei f Hom A (F(Z), F(V )), wobei Z, V Ob A. Sei g = ψ 1 V G(f ) ψ Z Hom A (Z, V ). Die Kommutativität von ( ) ergibt G(f ) = ψ V ψ 1 V G(f ) ψ Z ψ 1 Z = ψ V g ψ 1 Z = GF(g) Da G treu ist, folgt f = F(g), dann ist F voll. 2.5 Die darstellbaren Funktoren und das Yoneda-Lemma Sei C eine Kategorie. Seien A C und f Mor C (B, C) gegeben. Dann definiere eine Abbildung Mor C (A, f) : Mor C (A, B) Mor C (A, C) g fg für alle g Mor C (A, B) und eine Abbildung 13

14 Mor C (f, A) : Mor C (C, A) Mor C (B, A) h hf für alle g Mor C (C, A) Lemma Sei C eine Kategorie und A C. Dann ist 1) Mor C (A, ) : C Me mit Ob C B Mor C (A, B) Ob Me und Mor C (B, C) f Mor C (A, f) Mor Me (Mor C (A, B),Mor C (A, C)) ein kovarianter Funktor. 2) Mor C (, A) : C Me mit Ob C B Mor C (B, A) Ob Me und Mor C (B, C) f Mor C (f, A) Mor Me (Mor C (C, A),Mor C (B, A)) ein kontravarianter Funktor. Beweis. 1) Es ist Mor C (A, 1 B )(g) = 1 B g = g, also Mor C (A, 1 B ) = 1 Mor(A,B). Seien f, g C verknüpfbar, d. h. es existiert fg. Dann gilt Mor C (A, fg)(h) = fg(h) = f(gh) =Mor C (A, f)mor C (A, g)(h). 2) Es ist Mor C (1 B, A)(g) = g1 B = g, also Mor C (1 B, A) = 1 Mor(B,A). Seien f, g C verknüpfbar, d. h. es existiert fg. Dann gilt Mor C (gf, A)(h) = h(gf) = (hg)f =Mor C (f, A)Mor C (g, A)(h). In der Kategorientheorie sind der kovarianter Funktor Mor C (A, ) und der kontravarianter Funktor Mor C (, A) die wichtigsten Funktoren. Sie heißen darstellbare Funktoren und A heißt das darstellende Objekt. Die andere Bezeichnung für den darstellbaren kovarianten Funktor Mor C (A, ) ist h A und der darstellbare kontravariante Funktor Mor C (, A) wird als h A bezeichnet. Das Yoneda-Lemma beschreibt die allgemeine Form einer natürlichen Transformation des beliebigen Funktors G : B, B A in den Funktor F : A Me. Lemma (Yoneda-Lemma) Sei C eine Kategorie. Seien ein kovarianter Funktor F : C Me und ein Objekt A C gegeben. Dann ist die Zuordnung θ : {ϕ : h A F} F(A) ϕ ϕ(a)(1 A ) 14

15 umkehrbar. Die Umkehrung dieser Zuordnung ist θ 1 : F(A) {ϕ : h A F} α ϕ α wobei ϕ α (B) : h A (B) F(B) eine natürliche Transformation mit ϕ α (B)(f) = F(f)(α) für alle f : A B in C ist. Beweis. Wegen θ(a) : ϕ(a) = Mor C (A, A) F(A) ist θ eindeutig definiert. Für die Umkehrung θ 1 muss man zeigen, dass ϕ α eine natürliche Transformation ist. Sei f : B C in C gegeben. Dann ist das Diagramm Mor C (A, B) Mor(A,f) Mor C (A, C) ϕ α(b) ϕ α(c) F(B) F(f) F(C) kommutativ, denn für g Mor C (A, B) ist ϕ α (C)Mor(A, f)(g) = ϕ α (C)(fg) V or. = F(fg)(α) = F(f)F(g)(α) = F(f)ϕ α (B)(g) ( ) für alle g Mor C (A, B). Damit ist θ 1 eindeutig definiert. Zeige, dass ϕ α = ϕ ist. Sei ϕ α (A)(1 A ) = F(1 A )(α) = α. Sei α = ϕ(a)(1 A ). Dann ist ϕ α (B)(f) =F(f)(α) = F(f)(ϕ(A)(1 A )) ( ) = ϕ(b)mor(a, f)(1 A ) =ϕ(b)(f1 A ) =ϕ(b)(f). Also ϕ α = ϕ ist natürliche Transformation. 15

16 3 Köcherdarstellungen versus Moduln über Wegealgebren 3 Köcherdarstellungen versus Moduln über Wegealgebren 3.1 Definition des Köchers und der Wegealgebra Bei einem Köcher handelt es sich um einen orientierten Graphen, d. h. jede Kante wird mit einer ausgezeichneten Richtung versehen, daher nennt man die Kanten in einem Köcher Pfeile. Definition 3.1. Ein Köcher ist ein Tupel Γ = (V, E, α, ω), wobei (V, E) ein Graph ist. V ist eine Menge von Knoten, E ist eine Menge von Kanten (Pfeilen). α, ω : E V sind Abbildungen, wobei α(a), (a E) den Anfang und ω(a) das Ende (oder Pfeilspitze) a eines Pfeiles bezeichnet. Sei i j, dann ist α(a) = i (Anfang des Pfeils), ω(a) = j (Pfeilspitze). Schreibweise: a = (i, j) = (α(a), ω(a)). Definition 3.2. Ein (orientierter) Weg in einem Köcher Γ ist eine Folge von Pfeilen a 1,..., a s in Γ, so dass für alle i = 1,..., s 1 gilt ω(a i ) = α(a i+1 ). Es handelt sich um einen (orientierten) Kreis oder Zykel, wenn es zusätzlich ω(a s ) = α(a 1 ) gilt. Sei Γ ein Köcher mit Γ = (I, E, α, ω), wobei I = 1,..., n eine Punktmenge und E eine Pfeilmenge ist. Sei A ein K-Vektorraum mit der Basis, die aus den gerichteten Wegen in Γ besteht. Dabei gibt es die Wege ε i der Länge 0 zu jedem Punkt i I und die Wege der Länge 1, die die Pfeile in E sind. A ist genau dann endlichdimensional, wenn es endlich viele Wege in Γ gibt. Dies gilt genau dann, wenn Γ keine orientierten Kreise enthält. Die Elemente von A sind Summen ww eg α w w, wobei α w K fast alle gleich 0 sind (die Koeffizienten α w sind hier eindeutig bestimmt). Da die Addition und die Multiplikation mit Skalaren komponentenweise geschieht, bleibt es nun die Multiplikation auf A zu definieren. Für jeden Weg w sei α(w) (ähnlich wie für Pfeile) der Anfang des Weges w und ω(w) sei der Punkt, in dem w endet. Seien w 1, w 2 zwei Wege in Γ. Falls α(w 2 ) = ω(w 1 ) gilt, so kann man aus w 1 und w 2 den 16

17 3 Köcherdarstellungen versus Moduln über Wegealgebren zusammengesetzten Weg w 1 w 2 mit α(w 1 w 2 ) = α(w 1 ) und ω(w 1 w 2 ) = ω(w 2 ) bilden. Also die Multiplikation auf A wird definiert wie folgt. w 1 w 2 für α(w 2 ) = ω(w 1 ) w 1 w 2 = w 1 w 2 = 0 sonst Diese Multtplikation wird bilinear auf ganz A fortgesetzt. Sie ist assoziativ und es gelten die Distributivgesetze. Es gilt: 1) ε i w = δ i,α(w) w, 2) wε j = δ j,ω(w) w, 3) ε i ε j = δ ij ε i Sei 1 = ε ε n A, so folgt 1 w = w = w 1 für jeden Weg w, d. h. 1 ist das Einselement in A. Damit ist A ein Ring mit Einselement. Da A auch ein K-Vektorraum ist, so dass α(ab) = (αa)b = a(αb) für alle α K und alle a, b A gilt, ist A eine K-Algebra. Definition 3.3. A mit den oben genannten Eigenschaften ist die Wegealgebra von Γ über K und wird mit A = KΓ bezeichnet. 3.2 Köcherdarstellungen und Moduln Definition 3.4. Sei Γ = (I, E, α, ω) ein Köcher. Eine (endlichdimensionale) K-lineare Darstellung von Γ ist ein Tupel V = (V (i), V (a)) i I,a E, wobei 1) für jedes i I ist V (i) ein endlichdimensionaler K-Vektorraum, 2) für jedes a = (i, j) E ist V (a) : V (i) V (j) eine K-lineare Abbildung. Die Menge aller Darstellungen von Γ wird mit L K (Γ) bezeichnet. Die Darstellungen V bilden zusammen mit Homomorphismen die Kategorie L K (Γ). Ferner wird die Definition von Darstellungen von Algebren eingeführt. Die Darstellungen von Algebren heißen Moduln. Definition 3.5. Sei A eine K-Algebra. Ein K-Vektorraum M heißt ein A-Modul (Rechtsmodul), falls es eine Abbildung M A M, (m, a) m a = ma existiert, so dass 1) m(a + a ) = ma + ma, 17

18 3 Köcherdarstellungen versus Moduln über Wegealgebren 2) (m + m )a = ma + ma, 3) m(aa ) = (ma)a, 4) m1 = m für alle m, m M und alle a, a A gilt. Die endlichdimensionalen A-Moduln bilden zusammen mit den Homomorphismen eine Kategorie mod(a), die innerhalb dieser Seminararbeit mit A bezeichnet wird (A = mod(a)). 3.3 Die Darstellung von Köcher versus den Modul über einer Wegealgebra Im nächsten Satz wird die Gleichwertigkeit des Studiums der (endlichdimensionalen) Köcherdarstellung Γ und der (eindlichdimensionalen) Moduln über der Wegealgebra A = KΓ gezeigt. Satz 3.6. Sei Γ ein Köcher und A = KΓ die Wegealgebra. Dann sind die K-Kategorien A und L K (Γ) äquivalent. Beweis. Zu zeigen ist, dass F : A L K (Γ) und G : L K (Γ) A die zueinander inverse Funktoren sind. D. h. für jeden eindlichdimensionalen A-Modul M und für jede Darstellung V gibt es Isomorphismen GF(M) M und FG(V ) V. Sei M ein endlichdimensionaler A-Modul. Definiere eine Darstellung F(M) = V = (V (i), V (a)) wie folgt: Sei V (i) der K-Vektorraum Mε i für alle i I. Für jeden Pfeil E a : i j definiere V (a) : Mε i Mε j durch V (a)(mε i ) = mε i a = maε j. Da M ein A-Modul ist, ist V (a) eine K-lineare Abbildung. Sei f : M M ein Homomorphismus von A-Moduln. Wollen nun ein Morphismus F(f) : F(M) F(M ) definieren. Für alle m M gilt f(mε i ) = f(m)ε i, also gilt f(mε i ) M ε i. Folglich liefert die Einschränkung von f eine lineare Abbildung f(i) : V (i) V (i). Dann setze F(f) = (f(i)) i I, das liefert einen Morphismus F(f) : F(M) F(M ). Zu zeigen ist, dass F(f) tatsächlich ein Morphismus zwi- 18

19 3 Köcherdarstellungen versus Moduln über Wegealgebren schen den Darstellungen F(M) und F(M ) ist. Dafür ist zu zeigen, dass das folgende Diagramm f(i) V (i) V (a) V (j) f(j) V (i) V (a) V (j) kommutativ ist. Sei mε i Mε i, dann gilt (f(j) V (a))(mε i ) = f(j)(maε j ) = f(maε j ) = f(m)aε j = V (a)(f(m)ε i ) = V (a)(f(i)(mε i )) = (V (a) f(i))(mε i ). Daraus folgt (f(j) V (a)) = (V (a) f(i)), was die Kommutativität des Diagramms bedeutet. Es ist leicht nachzurechnen, dass F : A L K (Γ) ein K-linearer Funktor ist. Nun ist zu zeigen, dass ein K-linearer Funktor G : L K (Γ) A eine Inverse von F ist. Sei V = (V (i), V (a)) ein Objekt von L K (Γ). Setze G(V ) = i I V (i) und definiere eine A-Modulstruktur auf G(V ). Nach der Voraussetzung gilt A = KΓ. Dann, um eine KΓ-Modulstruktur auf G(V ) zu definieren, genügt es das Produkt mw zu definieren, wobei w Γ ein Weg ist und m = (mε i ) i I G(V ) sei. Wenn w = ε i, dann setze mw = mε i = m i. Wenn w : i j mit w = a 1 a 2... a l nicht trivial ist, dann betrachte eine K-lineare Abbildung V (w) = V (a l )... V (a 1 ) : V (i) V (j). Setze (mw) k = δ jk V (w)(m i ). Mit anderen Worten mw G(V ) = i I V (i) hat nur eine von Null verschiedene Koordinate (mw) j = V (w)(m j ) V (a). Das zeigt, dass G(V ) ist KΓ-Modul und wegen A = KΓ ist G(V ) ein A-Modul. Sei jetzt (f i ) i I ein Morphismus von V = (V (i), V (a)) nach V = (V (i), V (a)) in L K (Γ). Konstruiere einen Homomorphismus f : G(V ) G(V ) von A-Moduln. Da G(V ) = i I V (i) und G(V ) = i I V (i) als K-Vektorräume, dann existiert eine K- lineare Abbildung f = i I f i : G(V ) G(V ). Zu zeigen: f ist ein A-Modulhomomorphismus, dann gilt f(mw) = f(m)w für m G(V ) und für w KΓ. Es genügt zu zeigen, dass f(mw) = f(m)w für m = m i V (i) und Γ w : i j gilt. Dann 19

20 3 Köcherdarstellungen versus Moduln über Wegealgebren f(mw) = f(m i w) = f(j)v (w)(m i ) = V (w)f(i)(m i ) = f i (m i )w = f(m)w. Es ist offensichtlich, dass G ein K-linearer Funktor ist. Sei M ein endlichdimensionaler A-Modul. Dann gilt GF(M) = i I V (i) = i I Mε i M wegen ε ε n = 1. Es ist leicht nachzurechnen, dass dies eine Isomorphie von A-Moduln ist. Noch zu zeigen: FG(V ) = V. Sei V = (V (i), V (a)) eine Darstellung. Dann gilt FG(V ) = (W (i), W (a)), wobei W (k) = ( i I V (i))ε k = V (k). Für Pfeile a : i j mit M = G(V ) gilt W (a)(mε i ) = maε j = V (a)(mε i ), daraus folgt die Gleichheit W (a) = V (a) und FG(V ) = (W (i), W (a)) V. 20

21 4 Literatur 4 Literatur [1] I. Assem, D. Simson, A. Skowroński Elements of the Representation Theory of Associative Algebras, London Mathematical Society student texts; 65, 2006 [2] D. Kussin, Script Vorlesung Darstellungstheorie (Sommersemester 2006), Paderborn, 2006 [3] B. Pareigis, Kategorien und Funktoren, B.G. Teubner, Stuttgart, [4] Z. Semadeni, A. Wiwiger, Einführung in die Theorie der Kategorien und Funktoren, B. G. Teubner, Leipzig,