Affine und projektive Ebenen, WS 2018/2019 Mittwoch 9.1. $Id: trans.tex,v /01/10 10:54:32 hk Exp $

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1 $Id: trans.tex,v /01/10 10:54:32 hk Exp $ 7 Translationsebenen Wir hatten einen Unterkörper F Kern(K des Kerns eines Quasikörpers K zentral in K genannt wenn ab = ba für alle a K, b F gilt und begonnen ein Lemma über diesen Begriff zu beweisen. Lemma 7.7 (Charakterisierung der endlichen zentralen Unterkörper Seien (K, +, ein Quasikörper und F Kern(K ein Unterkörper des Kerns von K. (a Sei F zentral in K. Dann hat die Linklsmultiplikation L a für kein a K\F einen Eigenwert in F. (b Ist F endlich und hat L a für kein a K\F einen Eigenwert in F so ist F zentral in K. Beweis: (a Dies hatten wir bereits eingesehen. (b Sei a K\F. Für jedes λ F gibt es dann wegen a 0 genau ein σ a (λ K mit aλ = σ a (λa. Dann ist L σa(λ(a = aλ, d.h. λ ist ein Eigenwert von L σa(λ und somit muss σ a (λ F sein. Damit haben wir eine Abbildung σ a : F F. Sind λ, µ F mit λ µ so ist wegen a 0 auch aσ a (λ = aλ aµ = σ a (µa, d.h. σ a (λ σ a (µ. Damit ist σ a injektiv und somit sogar bijektiv. Sei jetzt λ F gegeben. Dann ist zunächst L λ (F = λf F. Ist a K\F so existiert ein µ F mit λ = σ a (µ und wir haben L λ (a = λa = σ a (µa = aµ af, es gilt also auch L λ (af af. Damit fixiert L λ jeden eindimensionalen Untervektorraum von K und somit existiert ein µ F mit L λ = id K µ. Insbesondere ist λ = L λ (1 = 1µ = µ und wir haben L λ = id K λ gezeigt. Somit ist F zentral in K. Wir setzen unsere Vorüberlegungen zur Konstruktion von Quasikörpern fort und kommen nun zum Isomorphieproblem für diese hypothetischen Quasikörper. Angenommen wir haben zwei Quasikörper K und K die wir jeweils über einem Unterschiefkörper F Kern(K beziehungsweise F Kern(K konstruiert haben. Wir wollen dann wissen unter welchen Bedingungen K und K isomorph sind, wann es also einen Isomorphismus ϕ : K K von Quasikörpern gibt. Zunächst schränkt man sich dann meist auf Isomorphismen ein die die getroffene Wahl eines Unterschiefkörpers im Kern respektieren also mit ϕ(f = F. In diesem Fall induziert ϕ einen Isomorphismus γ := ϕ F : F F von Schiefkörpern. Für alle x, y K, λ F hat man dann ϕ(x + y = ϕ(x + ϕ(y und ϕ(xλ = ϕ(xϕ(λ = ϕ(xλ γ, 19-1

2 d.h. ϕ ist ein semilinearer Isomorphismus von Vektorräumen. Dies schränkt die Suche nach solchen Isomorphismen oftmals deutlich ein. Wir schauen uns den kleinstmöglichen nicht trivialen Fall etwas näher an, in diesem ist K zweidimensional über dem betrachteten Schiefkörper. Wie gerade festgehalten wollen wir Isomorphismen als spezielle semilineare Isomorphismen zwischen Vektorräumen konstruieren. Solche sind bereits Homomorphismen bezüglich der additiven Verknüpfung und wir können uns auf die multiplikative Verknüpfung konzentrieren. Wir zeigen nun das es im zweidimensionalen Fall bereits ausreicht Quadrate zu erhalten, zumindest solange unsere beiden Quasikörper über zentralen Unterkörpern definiert sind.. Lemma 7.8 (Konstruktion von Isomorphismen im zweidimensionalen Fall Seien K, K zwei Quasikörper und F Kern(K sowie F Kern(K zwei zentrale Unterkörper mit dim F K = dim F K = 2. Weiter sei A : K K ein semilinearer Vektorraumisomorphismus mit A(1 = 1 und A(x 2 = A(x 2 für alle x K\F. Dann ist A ein Isomorphismus von Quasikörpern mit A(F = F. Beweis: Sei γ : F F der Isomorphismus von Körpern mit A(xλ = A(xλ γ für alle x K, λ F. Für jedes λ F gilt dann auch A(λ = A(1λ = A(1λ γ = λ γ. Damit ist γ = A F und insbesondere A(F = F. Wir müssen zeigen das für alle x, y K stets A(xy = A(xA(y gilt. Seien also x, y K gegeben. Wir unterscheiden drei verschiedene Fälle. Fall 1. Zunächst sei y F. Dann gilt A(xy = A(xy γ = A(xA(y. Fall 2. Nun nehme x F an. Da F in K und F in K zentral sind haben wir dann mit dem bereits erledigten Fall A(xy = A(yx = A(yA(x = A(xA(y. Fall 3. Im verbleibenden Fall sind x, y / F. Dann ist 1, y eine Basis von K über F also existieren λ, µ F mit x = λ + yµ. Wegen x / F ist µ 0. Wir erhalten ( A(xy = A((λ + yµy = A (λ + yµ(λ + yµ λ 1 µ = ( A ( (λ + yµ 2 A((λ + yµλ 1 µ = ( A(λ + yµ 2 A(λ + yµλ γ 1 γ µ γ = A(λ + yµ (A(λ + yµ A(λ 1 = A(λ + yµa(y = A(xA(y. µ γ Damit ist A(xy = A(xA(y für alle x, y K und somit ist A ein Isomorphismus von Quasikörpern. Seien K ein Quasikörper und F Kern(K ein Unterschiefkörper. Dann hatten wir uns bereits überlegt das {ϕ Aut(K ϕ(f = F } ΓL F (K 19-2

3 gilt. Von besonderen Interesse sind nun diejenigen Automorphismen von K die sogar linear über F sind. Ist ϕ Aut(K ein Automorphismus mit ϕ(f = F so ist ϕ ein semilinearer Automorphismus des Vektorraums K über F bezüglich des Körperautomorphismus γ = ϕ F Aut(F. Damit ist ϕ genau dann linear über F wenn ϕ F = id F ist. Dies führt auf die folgende Definition. Definition 7.5 (Galoisgruppe eines Quasikörpers über einem Schiefkörper Seien K ein Quasikörper und F Kern(K ein Unterschiefkörper. Dann heißt die Galoisgruppe von K über F. Aut F (K := {ϕ Aut(K : ϕ F = id F } Tatsächlich ist Aut F (K eine Untergruppe von Aut(K, es ist Aut F (K = Aut(K GL F (K. Die eine Inklusion haben wir bereits eingesehen und ist umgekehrt ϕ Aut(K GL F (K so gilt für jedes λ F stets ϕ(λ = ϕ(1λ = ϕ(1λ = λ also ϕ F = id F. Wir spezialisieren uns nun auf den zweidimensionalen Fall, seien K ein Quasikörper und F Kern(K ein Unterkörper mit dim F K = 2. Für jedes a K ist die Linksmultiplikation L a End F (K dann ein Endomorphismus des Vektorraums K über F und wir betrachten sein charakteristisches Polynom χ a := χ La F [x]. Dies ist ein normiertes Polynom von Grad 2 explizit gilt χ a (x = x 2 tr F (L a x + det F (L a. Es gilt χ a (L a = 0 also L 2 a = L a tr F (L a det F (L a und für jedes x K gilt damit a(ax = ax tr F (L a xdet F (L a und insbesondere a 2 = a tr F (L a det F (L a. Wählen wir also eine Basis 1, t von K über F und schreiben a = x + ty mit x, y F so ist L a (1 = a = x + ty und es gibt u, v F mit L a (t = at = u + tv. Damit hat L a bezüglich dieser Basis die Matrix ( x y L a =. u v Es folgen tr F (L a = x + v und det F (L a = xv yu also sind v = tr F (L a x und yu = xv det F (L a = (x 2 x tr F (L a + det F (L a = χ a (x. Ist nun a / F also y 0 so wird u = χ a (x/y und wir haben ( x y L x+ty =. tr F (L a x χa(x y 19-3

4 Wir spezialisieren die Situation noch weiter, uns interessieren die besonders symmetrischen Fälle in denen die Gruppe Aut F (K in geeigneten Sinne groß ist. Eine mögliche Interpretation dieser Bedingung ist es zu fordern das die Wirkung auf K\F transitiv ist und diese Bedingung kann man in Termen der charakteristischen Polynome χ a interpretieren. Lemma 7.9 (Charakterisierung transitiver Galoisgruppen in Dimension 2 Seien K ein Quasikörper und F Kern(K ein in K zentraler Körper mit dim F K = 2. Dann ist Aut F (K genau dann transitiv auf K\F wenn χ a = χ b für alle a, b K\F gilt. Beweis: = Seien a, b K\F. Dann existiert ein A Aut F (K GL F (K mit A(a = b. Für jedes x K ist dann auch L b (A(x = ba(x = A(aA(x = A(ax = A(L a (x es sind also L b A = AL a und L a = A 1 L b A. Damit sind L a und L b ähnlich und wir haben χ a = χ La = χ Lb = χ b. = Sei p(x = x 2 αx + β F [x] das Polynom mit χ a = p für jedes a K\F. Für jedes x K\F gilt dann x 2 = xα β. Seien a, b K\F. Dann sind 1, a und 1, b beides Basen von K über F also existiert ein A GL F (K mit A(1 = 1 und A(a = b. Für jedes x K\F ist auch A(x K\F und wir haben A(x 2 = A(xα β = A(xα β = A(x 2 und nach Lemma 8 ist A Aut(K also sogar A Aut F (K. Dieses Lemma führt uns auf die Definition der sogenannten Hall-Quasikörper. Definition 7.6 (Hall-Quasikörper Sei F ein Körper. Ein Hall-Quasikörper über F ist ein Quasikörper K mit F Kern(K der F als zentralen Unterkörper mit dim F K = 2 enthält so, dass es ein normiertes Polynom p F [x] von Grad 2 mit χ a = p für alle a K\F gibt. Wir fassen unsere obigen Überlegungen in einem Satz zusammen. Satz 7.10 (Charakterisierung der Hall-Quasikörper Seien K ein Quasikörper und F Kern(K ein in K zentraler Unterkörper des Kerns von K. Dann ist K genau dann ein Hall-Quasikörper über F wenn dim F K = 2 ist und die Galoisgruppe Aut F (K transitiv auf K\F wirkt. In diesem Fall existiert genau ein normiertes Polynom p F [x] von Grad 2 mit χ a = p für jedes a K\F und p ist irreduzibel. Ist p(x = x 2 αx + β so gilt für jedes a K\F stets a 2 = aα β. Beweis: Die erste Aussage ist klar nach Lemma 9. Die Eindeutigkeit von p ist klar nach nach Lemma 7.(a hat p keine Nullstellen in F ist also irreduzibel. Die Aussage über Quadrate folgt dann aus unserer obigen Überlegung. Wir sprechen daher auch davon das K ein Hallscher Quasikörper über F zum Polynom p ist. Ist K endlich mit K = q 2 so muss man im obigen Satz nicht verlangen das F zentral in K ist, dies wird in Aufgabe (32 bewiesen. 19-4

5 Satz 7.11 (Existenz Hallscher Quasikörper Seien F ein Körper und p(x = x 2 αx+β F [x] ein normiertes, irreduzibles Polybom vom Grad 2 über F. Weiter sei K = F 2 und fasse F = F {0} als Teilmenge von K auf. Für x, y F mit y 0 seien L (x,0 := ( x 0 0 x ( x y und L (x,y := α x p(x y Definieren wir dann für a, b K stets a b := L a (b so ist H(F, p := (K, +, ein Hallscher Quasikörper über F zum Polynom p. Diesen Satz wollen wir in der nächsten Sitzung beweisen