4 Funktionenfolgen und normierte Räume

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1 $Id: norm.tex,v /06/14 15:16:10 hk Exp $ $Id: jordan.tex,v /06/16 10:59:58 hk Exp $ 4 Funktionenfolgen und normierte Räume 4.7 Kompakte Mengen Zum Abschluss dieses Kapitels behandeln wir gerade einige Anwendungen des Kompaktheitsbegriffs. Wir hatten gezeigt das alle Normen im R n äquivalent sind, dass man also zur Untersuchung von Konvergenz, Stetigkeit und so weiter immer eine gerade passende Norm verwenden kann. Als eine zweite Anwendung wollen wir jetzt den Fundamentalsatz der Algebra beweisen. Bei der Integration rationaler Funktionen in 2.4 hatten wir diesen Satz zur Herleitung der allgemeinen reellen Partialbruchzerlegung verwendet, wir hatten benötigt das jedes normierte Polynom p über den komplexen Zahlen sich als ein Produkt p(x) = (x z 1 )... (x z n ) schreiben ließ, wobei z 1,..., z n dann die komplexen Nullstellen des Polynoms sind. Ebenfalls schon in 2.4 hatten wir durch schrittweises Herausziehen einzelner Nullstellen eingesehen, dass es ausreicht zu zeigen das jedes nicht konstante, komplexe Polynom eine komplexe Nullstelle besitzt. Satz 4.28 (Fundamentalsatz der Algebra) Jedes komplexe Polynom p mit grad(p) 1 hat eine Nullstelle. Beweis: Schreibe p(z) = n k=0 a kz k mit a n 0. Wir setzen µ := inf{ p(z) : z C}. Nach I. 4.Lemma 7 existiert ein r 1 > 0 mit p(z) > a n 2 z n für alle z C mit z r 1. Weiter wähle ein r 2 > 0 mit a n r2 n /2 > µ und setze r 0 := max{r 1, r 2 } > 0. Für jedes z C mit z r 0 ist dann also ist auch p(z) > a n 2 z n a n 2 rn 2 > µ, µ = inf{ p(z) : z B r0 (0)}. 17-1

2 Da p stetig ist und B r0 (0) kompakt ist, existiert nach Lemma 23.(d) ein z 0 C mit p(z 0 ) = µ. Wir müssen also nur zeigen das µ = 0 ist. Angenommen es wäre µ > 0. Dann betrachten wir das Polynom mit grad(q) = n, q(0) = 1 und q(z) := p(z + z 0) p(z 0 ) q(z) = p(z + z 0) µ 1 für alle z C. Es gibt ein 1 k n so, dass q die Form n q(z) = 1 + b k z k + b i z i i=k+1 mit b k 0 hat. Wegen b k / b k = 1 gibt es weiter einen Winkel θ R mit e ikθ b k = b k. Wegen ( ) lim (1 n k r 0 rk b k ) = 1 > 0 und lim b k b k+j r j = b k > 0 r 0 existiert ein r > 0 mit 1 r k b k > 0 und b k n k i=1 b k+i r i > 0. Setze z := re iθ. Dann ist q(z) = 1 b n k n k k r k + b k+j r k+j e i(k+j)θ 1 b k r k + b k+j r k+j j=1 j=1 ) n k n k = 1 b k r k + b k+j r k+j = 1 r ( b k k b k+j r j < 1 j=1 im Widerspruch zu q(z) 1. Dieser Widerspruch beweist µ = 0 und somit hat p eine Nullstelle. Das Vorgehen in diesem Beweis ist examplarisch für viele Kompaktheitsanwendungen, das Existenzproblem eine Nullstelle zu finden wird in das Problem umgewandelt von einer bereits konstruierten Zahl z 0 nachzuweisen das sie eine Nullstelle ist. j=1 j=1 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform Nachdem wir nun den ersten analytischen Abschnitt beendet haben, kommen wir jetzt zur linearen Algebra. In diesen Kapiteln werden wir nur die unmittelbar einzusehenden Aussagen wirklich beweisen, für die Beweise der meisten komplizierteren 17-2

3 Aussagen fehlen uns leider die notwendigen Hilfsmittel. Wir beginnen mit dem grundlegenden Begriff der Eigenwerte einer linearen Abbildung, der sich als das zentrale Hilfsmittel der folgenden Kapitel herausstellen wird. 5.1 Eigenwerte und Eigenvektoren Man kann Eigenwerte und Eigenvektoren sowohl für Matrizen als auch allgemeiner für lineare Abbildungen definieren. In diesem Abschnitt behandeln wir dabei die linearen Abbildungen. Definition 5.1 (Eigenwerte und Eigenvektoren linearer Abbildungen) Sei V ein Vektorraum über K {R, C}. Ein Endomorphismus von V ist eine lineare Abbildung T : V V. Sei nun T ein Endomorphismus von V. Ist λ K so, heißt ein Vektor v V ein Eigenvektor zu λ wenn T v = λ v gilt. Weiter heißt λ ein Eigenwert von T wenn es einen von Null verschiedenen Eigenvektor zu λ gibt. Beachte das der Nullvektor zu jedem λ K ein Eigenvektor ist, mit dieser Festlegung wird die Menge aller Eigenvektoren zu beliebigen λ K ein Untervektorraum werden, wie wir etwas weiter unten sehen werden. Wir betrachten zunächst einige Beispiele. 1. Zunächst sei T : R 2 R 2 ; (x, y) (2x, 3y), x- und y-achse werden also unabhängig voneinander umskaliert. Für jedes t R sind dann T (t, 0) = (2t, 0) = 2 (t, 0) und T (0, t) = (0, 3t) = 3 (0, t). Damit hat T zumindest die beiden Eigenwerte λ = 2 und λ = 3 und die Eigenvektoren für λ = 2 sind die Elemente der x-achse und die für λ = 3 die Elemente der y-achse. Mehr Eigenwerte gibt es nicht. Denn nehmen wir uns einen Vektor v R 2, der weder auf der x- noch auf der y-achse liegt, so ist v = (x, y) mit x, y 0 und somit ist T v = T (x, y) = (2x, 3y) kein Vielfaches von v = (x, y), d.h. v ist kein Eigenvektor. 2. Als nächstes Beispiel wollen wir die Scherung betrachten. Für jedes x R gilt dabei T : R 2 R 2 ; (x, y) (x + 2y, y) T (x, 0) = (x, 0), 17-3

4 d.h. λ = 1 ist ein Eigenwert von T mit den Elementen der x-achse als Eigenvektoren. In diesem Beispiel gibt es keine weiteren Eigenwerte oder Eigenvektoren. Denn ist v R 2 nicht auf der x-achse, so ist v = (x, y) mit y 0. Dann ist T (x, y) = (x + 2y, y) kein Vielfaches von v = (x, y). Hier haben wir also genau einen Eigenwert λ = Es kann auch passieren, dass es überhaupt keine Eigenwerte gibt. Sei etwa T : R 2 R 2 eine Drehung um einen Winkel 0 < ϕ < π. Dann wird offenbar kein von Null verschiedener Vektor auf einen Vielfachen abgebildet, und somit gibt es in diesem Beispiel keine Eigenwerte. 4. Wir betrachten den Vektorraum V = C (R) aller unendlich oft differenzierbaren Funktionen von R nach R. Als lineare Abbildung nehmen wir das Ableiten T = d dx : C (R) C (R); f f. Was sind nun die Eigenwerte von T? Die Eigenvektoren zu einer reellen Zahl λ R sind diejenigen unendlich oft differenzierbaren Funktionen f : R R mit λf = T f = f, und für jedes λ R sehen wir eine solche Funktion, nämlich f λ : R R; x e λx. Bis auf Vielfache sind dies die einzigen Eigenvektoren zum Eigenwert λ R, denn ist f : R R eine differenzierbare Funktion mit f = λf, so haben wir d dx f(x)e λx = (f (x) λf(x))e λx = 0 für alle x R, nach 1.Lemma 1 gibt es also eine Konstante C R mit f(x)e λx = C, beziehungsweise f(x) = Ce λx für alle x R. Damit ist überhaupt jede reelle Zahl λ ein Eigenwert von T und die Eigenvektoren zu λ sind genau die angegebenen Funktionen. Wie schon oben bemerkt, bildet die Menge aller Eigenvektoren zu einem Eigenwert stets einen von Null verschiedenen Untervektorraum von V. Hierzu werden wir den Begriff des Kerns einer linearen Abbildung T aus I. 9 verwenden, dieser war der Untervektorraum aller Vektoren x mit T x = 0. Lemma 5.1 (Eigenräume linearer Abbildungen) Seien K {R, C}, V ein Vektorraum über K und T ein Endomorphismus von V. Für jedes λ K ist dann die Menge E λ (T ) := {v V T v = λv} 17-4

5 der Eigenvektoren von T zu λ ein Untervektorraum von V, genannt der zu λ gehörige Eigenraum. Es ist E λ (T ) = Kern(λ T ). Beweis: Für v E ist genau dann v E λ (T ) wenn T v = λv, also wenn (λ T )v = 0, gilt. Damit ist E λ (T ) = Kern(λ T ) und dies ist nach I. 9.Lemma 9.(e) auch ein Untervektorraum. Wie im letzten Semester ist λ T eine verkürzte Schreibweise für die lineare Abbildung λ id V T. Ist unser Vektorraum V endlich erzeugt, so hatten wir in I. 9.Lemma 10 gesehen, dass auch jeder Untervektorraum U von V endlich erzeugt ist, und somit eine Dimension dim U dim V besitzt. Wenden wir dies auf die Eigenräume eines Endomorphismus an, so ergibt sich die sogenannte geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts. Definition 5.2 (Geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts) Seien K {R, C}, V ein endlich erzeugter Vektorraum über K, T ein Endomorphismus von V und λ K ein Eigenwert von K. Dann heißt die Dimension dim E λ (T ) die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ. 5.2 Eigenwerte von Matrizen Seien K {R, C} und n N mit n 1. In I. 10 hatten wir gesehen das die Endomorphismen des K n alle die Form T A x := Ax mit einer n n-matrix A über K haben. Wir übertragen die Sprechweisen des vorigen Abschnitts dann auf die Matrix A, d.h. Eigenwerte, Eigenvektoren, Eigenräume und geometrische Vielfachheiten von A sind diejenigen von T A. Im reellen Fall K = R können wir uns A auch als komplexe Matrix denken und dann von den komplexen Eigenwerten von A reden. Wie berechnet man nun die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix A? Für jede Zahl λ K bestehen die Äquivalenzen λ ist ein Eigenwert von A Es gibt ein 0 x K n mit Ax = λx Es gibt ein 0 x K n mit λx Ax = 0 Das homogene lineare Gleichungssystem (λ A)x = 0 hat eine nicht triviale Lösung Die Matrix λ A ist nicht regulär det(λ A) = 0. Die erhaltene Bedingung det(λ A) = 0 fassen wir nun als eine Gleichung für den gesuchten Eigenwert λ auf. Damit sind die Eigenwerte λ der Matrix A die Lösungen der Gleichung det(λ A) = 0, und diese wird als die charakteristische Gleichung der Matrix A bezeichnet. Als ein Beispiel wollen wir einmal die Eigenwerte und Eigenvektoren der 17-5

6 3 3 Matrix A = berechnen. Die charakteristische Gleichung ist dann λ λ λ 7 = λ λ λ 2 0 λ λ + 1 = λ λ 2 0 λ λ + 1 = (λ 2) λ λ + 1 λ + 1 = (λ 2)((λ + 1)(λ + 5) 8(λ + 1)) = (λ 2)(λ + 1)(λ 3)! = 0. Diese Gleichung hat genau die drei Lösungen λ = 1, λ = 2 und λ = 3 und dies sind damit auch die Eigenwerte von A. Wir wollen jetzt auch noch die zugehörigen Eigenräume berechnen. Starten wir mit dem Eigenwert λ = 1. Wir hatten gesehen, dass die Eigenvektoren zu einem Eigenwert λ von A genau die Lösungen x des homogenen linearen Gleichungssystems (λ A)x = 0 sind. Die Matrix λ A hatten wir schon zur Berechnung der charakteristischen Gleichung hingeschrieben, und hier müssen wir nur λ = 1 einsetzen, um zu unseren linearen Gleichungssystem zu kommen. Die Eigenvektoren zum Eigenwert λ = 1 sind damit die Lösungen des homogenen linearen Gleichungssystems 8x 4y + 8z = 0 11x 7y + 8z = 0 8x + 4y 8z = 0 Lösen wir dieses Gleichungssystem über das Gaußsche Eliminationsverfahren , so ergibt sich die Lösung als 3 y = 3z = y = 2z und 8x = 4y 8z = 16z = x = 2z. 2 Wir erhalten damit beispielsweise mit z = 1 den Eigenvektor 2 u = 2, 1 und tatsächlich gilt Au = = = u.

7 Das explizite Aufstellen des homogenen linearen Gleichungssystems (λ A)x = 0 ist dabei gar nicht nötig, denn wir schreiben anschließend ja sowieso nur seine Koeffizientenmatrix hin, und diese ist einfach die Matrix λ A, die wir zur Bestimmung der charakteristischen Gleichung bereits berechnet haben, und in ihr können wir den Wert für λ einfach einsetzen. Beispielsweise wird die Rechnung für den Eigenwert λ = 2 zu mit den Lösungen y = 3 z, 11x = 4y 8z = 11z = x = z 4 und für z = 4 haben wir den Eigenvektor v = zum Eigenwert λ = 2. Da die Rechnung für λ = 3 nichts neues bringt, notieren wir hier nur als Ergebnis den Eigenvektor w = zum Eigenwert λ = 3. In diesem Beispiel haben wir also drei verschiedene Eigenwerte und jeder dieser Eigenwerte hat einen eindimensionalen Eigenraum. Dies repräsentiert in gewisser Weise den Normalfall. Eine zufällig herausgegriffene n n Matrix hat n verschiedene (komplexe) Eigenwerte, die alle einen eindimensionalen Eigenraum haben. Dies ist aber nur der Normalfall und keinesfalls die einzige Möglichkeit. Wir wollen noch ein zweites Beispiel rechnen, in dem die Verhältnisse etwas komplizierter liegen werden, die 4 4 Matrix A =

8 Die charakteristische Gleichung dieser Matrix ergibt sich als λ λ λ λ 7 = = (λ 1) = λ λ 22 1 λ 6 λ λ 7 0 λ 3 λ λ λ 7 λ λ λ 22 1 λ 6 λ λ λ 1 = (λ 1) = (λ 1)(λ + 1) 6 λ λ 7 λ 3 λ λ 7 λ = (λ 1)(λ + 1)( 24 (λ 7)(λ + 3)) = (λ 1)(λ + 1)(λ 2 4λ + 3)! = 0. Damit haben wir bereits zwei Eigenwerte nämlich λ = 1 und λ = 1. Um zu schauen welche es sonst noch gibt, müssen wir die quadratische Gleichung λ 2 4λ+3 = 0 lösen, und erhalten die Eigenwerte λ = 2 ± 4 3 = 2 ± 1 also λ = 1 oder λ = 3. Dies gibt uns also nur noch einen weiteren Eigenwert λ = 3, und insgesamt haben wir diesmal 3 verschiedene Eigenwerte gefunden. Wir wollen jetzt auch noch den Eigenraum zum Eigenwert λ = 1 ausrechnen Nennen wir die beiden freien Variablen u und v, so wird y = 5u und x = y + 3u v = 2u v. Hier sind beim Gauss Verfahren die unteren zwei Zeilen verschwunden, also zu Null geworden, und der Lösungsraum ist somit 4 2 = 2 dimensional. Eine Basis des Lösungsraums erhalten wir indem wir für den ersten Basisvektor u = 1 und v = 0, und für den zweiten Basisvektor dann u = 0 und v = 1 setzen. Dies ergibt den zweidimensionalen Eigenraum E 1 (A) = ,

9 Bei der Berechnung der Eigenräume zu den beiden anderen Eigenwerten λ = 1 und λ = 3 passiert nichts neues, und wir notieren hier nur die Eigenvektoren 1 3 v = 1 0 für λ = 1 und w = 4 1 für λ = In diesem Beispiel hatten wir also nur drei Eigenwerte bei einer 4 4 Matrix und einer der drei Eigenräume war zweidimensional. Bei unserer 3 3 Matrix war die linke Seite der charakteristischen Gleichung ein Polynom von Grad 3 in λ, während wir bei der 4 4 Matrix links ein Polynom in λ von Grad 4 hatten. Wir wollen uns jetzt klarmachen, dass die linke Seite der charakteristischen Gleichung det(λ A) = 0 immer ein normiertes Polynom von Grad n in λ ist, das sogenannte charakteristische Polynom der Matrix A. Insbesondere folgt daraus, dass eine n n Matrix höchstens n verschiedene Eigenwerte haben kann. Satz 5.2 (Das charakteristische Polynom) Seien K {R, C} und A eine n n Matrix über K. Dann ist χ A (x) := det(x A) ein normiertes Polynom über K von Grad n, das sogenannte charakteristische Polynom der Matrix A. Für n 2 gilt dabei wobei χ A (x) = x n tr(a)x n ( 1) n det(a), tr(a) := a 11 + a a nn die sogenannte Spur der Matrix A = (a ij ) ist. Beweis: Schreiben wir δ ij := { 1, i = j, 0, i j, so ist x A die Matrix (δ ij x a ij ) 1 i,j n. Mit der Leibniz Formel für die Determinante folgt χ A (x) = π S n ( 1) π (δ 1,π(1) x a 1,π(1) )... (δ n,π(n) x a n,π(n) ), und dies ist ein Polynom von Grad höchstens n. Terme mit x n treten nur auf, wenn beim Ausmultiplizieren des obigen Produkts immer δ i,π(i) x gewählt wird, und damit haben wir nur einen von Null verschiedenen Term mit x n, nämlich denjenigen zu π = (1, 2,..., n) und dieser wird x n. Die Terme mit x n 1 entstehen wenn im obigen Produkt in genau n 1 der Faktoren das δ i,π(i) x gewählt wird. Dies kann also nur ungleich Null 17-9

10 werden, wenn π(i) = i für alle bis auf ein i gilt, und dies kommt wieder nur bei π = (1, 2,..., n) vor. Die Terme mit x n 1 sind also n ( a ii ) x n 1 = tr(a)x n 1. i=1 Schließlich ist das absolute Glied gleich χ A (0) = det( A) = ( 1) n det A. Für die anderen Koeffizienten des charakteristischen Polynoms gibt es zwar auch Formeln, aber diese sind etwas komplizierter und für praktische Zwecke auch nicht weiter wichtig. Wir wollen nun einmal die charakteristischen Polynome unserer bisherigen Beispiele durchgehen. 1. Die Abbildung T (x, y) = (2x, 3y) hat bezüglich der Standardbasis e 1, e 2 die Matrix ( ) 2 0 A = = χ 0 3 A (x) = x x 3 = (x 2)(x 3) = x2 5x + 6. Beachte das sich hier auch die Formel des Satz 2 bestätigt. Das absolute Glied 6 ist die Determinante von A und die Spur ist hier tr A = = Die Scherung T (x, y) = (x + 2y, y) hat die Matrix ( ) 1 2 A = = χ 0 1 A (x) = x x 1 = (x 1)2 = x 2 2x Nun betrachten wir die Drehung T um einen Winkel 0 < φ < π im R 2. Die Matrix von T hatten wir in Abschnitt I im letzten Semester hergeleitet, nämlich ( ) cos φ sin φ A =. sin φ cos φ Das charakteristische Polynom ergibt sich als χ A (x) = x cos φ sin φ sin φ x cos φ = (x cos φ)2 + sin 2 φ = x 2 2 cos(φ)x + 1. Wir hatten bereits festgehalten, dass diese Drehung keine reellen Eigenwerte besitzt, und dies bestätigt sich erneut über die charakteristische Gleichung λ 2 2 cos(φ)λ + 1 = 0, die wegen λ = cos φ ± cos 2 φ 1 und cos 2 φ 1 <

11 keine reellen Lösungen besitzt. Es gibt aber sehr wohl zwei komplexe Eigenwerte, nämlich λ = cos φ ± i 1 cos 2 φ = cos φ ± i sin 2 φ = cos φ ± i sin φ = e ±iφ. 4. Bei der 3 3 Matrix A = von oben ist das charakteristische Polynom einfach die linke Seite der charakteristischen Gleichung mit λ ersetzt durch x, also χ A (x) = (x 2)(x + 1)(x 3) = x 3 4x 2 + x + 6. Beachte das beim zweithöchsten Koeffizienten hier wieder die Spur = 4 steht. 5. Bei der 4 4 Matrix A = ergibt sich das charakteristische Polynom ebenso als χ A (x) = (x 1)(x+1)(x 2 4x+3) = (x 1) 2 (x+1)(x 3) = x 4 4x 3 +2x 2 +4x 3, und auch diesmal ist tr A = = 4. Dass die Eigenwerte einer n n-matrix A gerade die Nullstellen ihres charakteristischen Polynoms χ A sind, erlaubt es die sogenannte algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts einzuführen. Definition 5.3 (Algebraische Vielfachheit von Eigenwerten) Seien K {R, C}, n N mit n 1 und A eine n n-matrix über K. Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts λ K von A ist die Vielfachheit der Nullstelle λ des charakteristischen Polynoms χ A. Ist also m die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts λ, so können wir χ A (x) = (x λ) m p(x) schreiben, wobei p ein Polynom mit p(λ) 0 ist. Besonders übersichtlich ist die Lage im komplexen Fall K = C. Wie wir schon in 2.4 festgehalten und in 4.Satz 28 bewiesen 17-11

12 hatten, zerfällt über den komplexen Zahlen jedes Polynom in Linearfaktoren. Ist also A C n n, so können wir χ A (x) = (x λ 1 ) m1... (x λ r ) mr mit paarweise verschiedenen λ 1,..., λ r C schreiben und dann sind λ 1,..., λ r genau die Eigenwerte von A und für jedes 1 i r ist m i die algebraische Vielfachheit von λ i. Insbesondere ist die Summe m m r = n der algebraischen Vielfachheiten genau n. Eine weitere Sprechweise ist in diesem Zusammenhang üblich, man sagt das λ 1,..., λ }{{} 1,..., λ r,..., λ }{{} r m 1 mal m r mal und alle Umordnungen hiervon die mit Vielfachheiten aufgezählten Eigenwerte von A sind. Beachte das wir all dies auch auf die komplexen Eigenwerte einer reellen Matrix anwenden können. Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts kann von der früher eingeführten geometrischen Vielfachheit verschieden sein. In unserem Beispiel einer Scherung hatten wir den Eigenwert λ = 1 mit der algebraischen Vielfachheit 2 aber die geometrische Vielfachheit dieses Eigenwerts ist 1 da der Eigenraum aus der eindimensionalen x-achse bestand. Es gibt aber einen Zusammenhang zwischen den beiden Vielfachheiten, den wir uns nun überlegen wollen. Seien also K {R, C}, eine natürliche Zahl n N mit n 1 und eine n n-matrix A K n n gegeben. Dann haben wir schon früher die Matrix A mit der linearen Abbildung T A : K n K n ; x Ax identifiziert. Ist explizit A = (a ij ) 1 i,j n und bezeichnet e 1,..., e n wie im letzten Semester die Standardbasis des K n, so haben wir T A e i = n a ji e j, j=1 die Spalten von A sind gerade die Bilder T A e i der Standardbasis. Anstelle der Standardbasis können wir auch eine andere Basis u 1,..., u n des K n betrachten. Ein Vektor v K n hat dann bezüglich dieser anderen Basis Koordinaten x 1,..., x n, die durch die Gleichung n v = x i u i i=1 gegeben sind. Aus I. 9.4 des letzten Semesters wissen wir auch wie diese neuen Koordinaten x 1,..., x n mit den Koordinaten v 1,..., v n bezüglich der Standardbasis zusammenhängen. Wir müssen die Matrix S bilden, deren Spalten gerade die Basisvektoren u 1,..., u n sind, diese Matrix hatten wir als die Transformationsmatrix von der Basis 17-12

13 u 1,..., u n zur Standardbasis e 1,..., e n bezeichnet, und der Zusammenhang zwischen den Koordinaten bezüglich der beiden Basen ist dann durch v 1. v n = S gegeben, durch Multiplikation mit der Transformationsmatrix S werden also die Koordinaten eines Vektors bezüglich der Basis u 1,..., u n in diejenigen bezüglich der Standardbasis überführt. Nach I. 9.Satz 8 ist die Matrix S invertierbar und die Inverse S 1 ist die Transformationsmatrix von der Standardbasis e 1,..., e n zur neuen Basis u 1,..., u n. Um diesen Zusammenhang formaler zu fassen, hatten wir die Koordinatenabbildung n Ψ : K n K n ; x x i u i eingeführt, und dann galt Ψ(x) = Sx für x K n. Kommen wir wieder zu unserer Matrix A zurück, und schauen uns an wie die lineare Abbildung T A in den Koordinaten bezüglich der neuen Basis aussieht. Sei also v K n und bezeichne x 1,..., x n die Koordinaten von v bezüglich der Basis u 1,..., u n, also v = Ψ(x) = Sx. Dann ist T A v = ASx und drücken wir diesen Vektor wieder in Koordinaten bezüglich der Basis u 1,..., u n aus, so erhalten wir die Koordinaten x 1. x n i=1 Ψ 1 (T A v) = Ψ 1 (ASx) = S 1 ASx. Bezüglich der neuen Basis ist die lineare Abbildung T A also durch die Matrix S 1 AS gegeben. Die so erhaltenen Matrizen B = S 1 AS nennt man konjugiert oder ähnlich zur Matrix A. Wie die obige Überlegung zeigt, sind die Spalten von S 1 AS genau die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren u 1,..., u n unter T A bezüglich der Basis u 1,..., u n. Beim Übergang zu dieser ähnlichen Matrix ändert sich das charakteristische Polynom nicht, nach dem Determinanten-Multiplikationssatz I. 8.Satz 6 ist χ S 1 AS(x)=det(x S 1 AS) = det(s 1 (x A)S) = det(s) 1 det(x A) det(s) = χ A (x). Damit können wir jetzt den Zusammenhang zwischen den algebraischen und den geometrischen Vielfachheiten eines Eigenwerts von A herstellen. Lemma 5.3: Seien K {R, C}, n N mit n 1, A K n n und λ K ein Eigenwert von A. Bezeichne m die algebraische und t die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ von A. Dann ist t m. Beweis: Nach I. 9.Lemma 10 existiert eine Basis u 1,..., u n des K n mit E λ (A) = u 1,..., u t. Ist B die Matrix von T A bezüglich der Basis u 1,..., u n, so hat B wegen Au i = λu i für i = 1,..., t die Form ( ) λet B = B 17-13

14 mit einer (n t) (n t)-matrix B und mit I. 8.Korollar 5 folgt χ A (x) = χ B (x) = (x λ) t χ B (x) und insbesondere hat die Nullstelle λ von χ A mindestens die Vielfachheit t, d.h. m t