9 Lineare Differentialgleichungen

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1 Mathematik für Ingenieure III, WS 29/2 Mittwoch.2 $Id: linear.tex,v.4 2/2/ :7:45 hk Exp hk $ 9 Lineare Differentialgleichungen 9.3 Differentialgleichungen mionstanten Koeffizienten Während sich allgemeine lineare Differentialgleichungen normalerweise nicht durch geschlossene Formeln lösen lassen, gibt es doch einen wichtigen speziellen Typ dieser Gleichungen bei denen dies zumindest im Prinzip immer möglich ist. Wie wir im letzten Abschnitt gesehen kann man sich weitgehend auf den homogenen Fall beschränken. Ein System linearer Differentialgleichungen erster Ordnung mionstanten Koeffizienten hat die Form y = Ay + b(t (A ist eine n n-matrix, b : I R n stetig, d.h. es liegt eine lineare Differentialgleichung vor deren Koeffizientenmatrix überhaupt nicht von t abhängt. Im homogenen Fall wird die Gleichung einfach y = Ay und wir wissen das die Lösungen auf ganz R definiert sind. Die Lösung dieser Differentialgleichung können wir nun explizit hinschreiben. Betrachten wir erst einmal den Fall n = einer einzelnen Gleichung, dann ist A eine Zahl und wir haben eine Gleichung der Form y = λy. Dies haben wir ganz zu Beginn von 7 behandelt, die allgemeine Lösung ist y(t = Ce λt. Erstaunlicherweise gilt für den n-dimensionalen Fall genau dieselbe Lösungsformel, man muss sich nur an die in 5.5 im letzten Semester eingeführte Exponentialfunktion für Matrizen erinnern. Für eine n n-matrix A über den reellen oder komplexen Zahlen hatten wir damals e A := k! Ak = + A + 2 A2 + 6 A3 + definiert, man nimmt also die gewöhnliche Exponentialreihe e z = n= zn /n! und setzt dort für z einfach die Matrix A ein. Dann erhalten wir eine Matrix e ta als Funktion von t, und ausgeschrieben bedeutet dies e ta = k! Ak. In jeder der n 2 Komponenten dieser Matrix steht eine Potenzreihe in t. Wie wir schon aus Satz 4.4 aus dem ersten Semester wissen können wir Potenzreihen gliedweise ableiten und erhalten d dt eta = k= k k! A k = k= ( (k! Ak = A 25- k! Ak = Ae ta.

2 Mathematik für Ingenieure III, WS 29/2 Mittwoch.2 Ziehen wir A auf der rechten Seite aus der Summe, so können wir dies auch als Ae ta = e ta A schreiben. Setzen wir also Y (t := e ta so wird Y (t = AY (t, und dies ist gerade die Differentialgleichung für eine Fundamentalmatrix, d.h. die Spalten der Matrix Y (t sind Lösungen der Differentialgleichung y = Ay. Wenn die Spalten von Y (t linear unabhängig sind, also wenn die Matrix Y (t invertierbar ist, so ist Y (t also eine Fundamentalmatrix des homogenen linearen Gleichungssystems y = Ay. Wie sich nun herausstellt wissen wir eigentlich schon das Y (t = e ta tatsächlich immer invertierbar ist. In 2.4 im ersten Semester hatten wir durch Rechnen mit Potenzreihen die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion hergeleitet, dies war die Gleichung e z+w = e z e w für alle z, w C. Schauen wir uns diese Rechnung ruhig noch einmal an: e z e w = ( ( z k k! w k = k! = k z l w k l l!(k l! l= ( k ( k z l w k l = k! l l= (z + w k = e z+w. k! Wir können diese gesamte Rechnung fast genauso mit Matrizen A, B anstelle der komplexen Zahlen z, w durchführen, nur das vorletzte Gleichheitszeichen, also die Umstellung zu (A + B k, funktioniert nicht. Wenn man nämlich (A + B k ausmultipliziert so müssen die Matrizen A und B miteinander vertauscht werden. Dies sieht man schon im Fall k = 2, die Rechnung ist dann (A + B 2 = (A + B (A + B = A 2 + AB + BA + B 2, und dies ist eben nur dann gleich A 2 + 2AB + B 2 wenn AB = BA ist. Man braucht also die Bedingung AB = BA, und dann haben wir tatsächlich die Binomische Formel auch für die Matrizen A und B. In diesem Fall funktioniert die Rechnung also auch mit A, B und wir haben e A+B = e A e B. Insbesondere ist damit für jede n n Matrix A auch e A e A = e A A = e = = e A ist invertierbar mit (e A = e A. Wir fassen diese Tatsachen nun in einem Satz zusammen: Satz 9.5 (Grundeigenschaften der Matrix Exponentialfunktion Seien n N und A eine n n Matrix. Dann gelten: (a Ist B eine weitere n n Matrix mit AB = BA, so gilt e A+B = e A e B. (b Die Matrix e A ist invertierbar mit der Inversen e A. (c Es gilt det e A = e tr A. 25-2

3 Mathematik für Ingenieure III, WS 29/2 Mittwoch.2 Aussage (c haben wir dabei nicht begründet, und dies wollen wir hier auch nicht tun. Damit ist Y (t = e ta tatsächlich eine Fundamentalmatrix der homogenen linearen Differentialgleichung y = Ay, und ihre Wronski-Determinante berechnet sich zu W (t = det e ta = e tr(ta = e t tr A, was wir alternativ auch mit Satz 3 begründen können. Damit haben wir die Lösungen einer homogenen linearen Differentialgleichung mionstanten Koeffizienten zumindest im Prinzip bestimmt. Auch der inhomogene Fall passt sehr schön in diesen Kontext. Betrachten wir ein Anfangswertproblem y = Ay + b(t, y(a = v so liefert die Variation der Konstanten Satz 4 sofort die Lösung y(t = Y (ty (a v + t a Y (ty (s b(s ds = e ta (e aa v + Wir fassen all dies nun in einem Satz zusammen t a = e (t aa v + e ta (e sa b(s ds t a e (t sa b(s ds. Satz 9.6 (Lineare Differentialgleichungen mionstanten Koeffizienten Seien I R, n N, A eine n n Matrix und b : I R n eine stetige Funktion. Dann ist Y (t = e ta eine für alle t R definierte Fundamentalmatrix der linearen Differentialgleichung y = Ay mit der Wronski-Determinante W (t = e t tr A. Für a I, v R n ist die Lösung des Anfangswertproblems durch die Formel für alle t I gegeben. y = Ay + b(t, y(a = v y(t = e (t aa v + t a e (t sa b(s ds Die Theorie linearer Differentialgleichungen mionstanten Koeffizienten ist durch diesen Satz vollständig geklärt. Für praktische Fragen möchte man die Formel des Satzes aber oft noch etwas weiter auswerten. Das konkrete Problem besteht dann darin die Exponentialfunktion e ta näher zu berechnen. Im letzten Semester haben wir einige Aspekte diese Problems bereits behandelt, insbesondere hatten wir den Interpolationssatz Satz 5.8, der zumindest für diagonalisierbares A eine einfache Berechnung von e A erlaubt. Für die Behandlung unserer Differentialgleichungen ist aber eine etwas andere Rechentechnik vorteilhaft. Nehmen wir einmal an wir haben einen reellen Eigenwert λ der Matrix A und einen zugehörigen, von Null verschiedenen, Eigenvektor zu diesen 25-3

4 Mathematik für Ingenieure III, WS 29/2 Mittwoch.2 Eigenwert, also v R n und Av = λv. Für jedes k N folgt dann auch A k v = λ k v, und damit ist ( e ta (λ v = k! Ak v = k! λk v = v = e λt v k! für jedes t R. Da e ta v eine Linearkombination von Spalten der Fundamentalmatrix e ta ist, ist die Funktion y : R R n ; t e λt v damit eine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung y = Ay. Ist die Matrix A also diagonalisierbar mit reellen Eigenwerten λ,..., λ n R, so wählen wir eine Basis v,..., v n des R n mit Av i = λ i v i für i =,..., n und dann bilden die Funktionen y i (t = e λ it v für i =,..., n ein Fundamentalsystem. Insbesondere ist dies der Fall wenn A eine symmetrische Matrix ist, da solche Matrizen nach Satz 6.2 aus dem letzten Semester immer diagonalisierbar mit reellen Eigenwerten sind. Als ein Beispiel betrachten wir die homogene lineare Differentialgleichung x = 9x + 4y 8z y = x + 6y 8z z = 8x 4y + 7z. Als Koeffizientenmatrix erhalten wir die 3 3 Matrix A = 6 8, und als charakteristisches Polynom ergibt sich λ χ(λ = λ λ 7 = λ λ λ 2 λ + λ + = λ λ 2 λ + λ + = (λ 2 λ λ + λ + = (λ 2((λ + (λ + 5 8(λ + = (λ 2(λ + (λ 3. Die Koeffizientenmatrix hat hier also drei verschiedene Eigenwerte λ =, λ = 2 und λ = 3. Für den Eigenwert λ = berechnet sich der Eigenraum zu , also 3 y = 3z = y = 2z und 8x = 4y 8z = 6z = x = 2z

5 Mathematik für Ingenieure III, WS 29/2 Mittwoch.2 Wir erhalten damit beispielsweise mit z = den Eigenvektor 2 v = 2 Die beiden anderen Eigenvektoren ergeben sich als 4 λ = 2 : v 2 = 3, λ = 3 : v 3 = 4 Damit erhalten wir das Fundamentalsystem 2e t 4e 2t y (t = 2e t e t, y 2 (t = 3e 2t 4e 2t, y 3 (t = e 3t e 3t e 3t Der Fall diagonalisierbarer Koeffizientenmatrizen mit nur reellen Eigenwerten ist damit auf die Bestimmung von Eigenvektoren zurückgeführt. Wir kommen damit zum nächsten, und schon etwas komplizierteren, Fall und nehmen an, dass die Koeffizientenmatrix A über den komplexen Zahlen diagonalisierbar ist. Es bezeichne dann λ,..., λ r die reellen Eigenwerte von A und µ,..., µ s, µ,..., µ s die restlichen, nicht reellen Eigenwerte von A. Da die Matrix A reell ist, treten diese in Paaren komplex konjugierter Zahlen auf. Ist v i für i r ein reeller Eigenvektor zu λ i, so erhalten wir wie oben die Lösung y i (t = e λ it v i. Jetzommen wir zu den komplexen Eigenwerten, sei also j s gegeben und bezeichne v j C n einen Eigenvektor zum Eigenwert µ j. Da der Eigenwert µ j nicht reell ist, ist auch der Eigenvektor v j nicht reell. Wie wir schon im letzten Semester bemerkt haben ist weiter v j ein Eigenvektor zum Eigenwert µ j, es gilt ja einfach Av j = A v j = Av j = µ j v j = µ j v j. Indem wir wieder einmal einfach so tun als wäre im komplexen alles so wie im reellen, so erhalten wir eine komplexe Lösung z j (t = e µ jt v j der homogenen linearen Differentialgleichung y = Ay. Die Lösung zum konjugieromplexen Eigenwert ergibt sich dann als e µ j t v j = e µ jt v j = e µ jt v j = e µ jt v j = z j (t. Insbesondere werden dann auch y r+2j (t = Re(z j (t = z j(t + z j (t 2 und y r+2j = Im(z j (t = z j(t z j (t 2i zu reellen Lösungen. Schreiben wir µ j = α j + iβ j und v j = u j + iw j mit α j, β j R, u j, w j R n, so wird z j (t = e µ jt v j = e α jt (cos(β j t + i sin(β j t (u j + iw j = e α jt (cos(β j tu j sin(β j tw j + ie α jt (cos(β j tw j + sin(β j tu j, 25-5

6 Mathematik für Ingenieure III, WS 29/2 Mittwoch.2 und wir erhalten die Lösungen y r+2j (t = e α jt (cos(β j tu j sin(β j tw j, y r+2j (t = e α jt (cos(β j tw j + sin(β j tu j. Insgesamt bilden die Funktionen y,..., y n dann ein Fundamentalsystem unserer Differentialgleichung. Auch hierfür wollen wir nun ein Beispiel rechnen, und betrachten das folgende lineare Differentialgleichungssystem x = 2x + 5y z y = x + 3y z = 4x 7y + 2z, also A = Zuerst brauchen wir wieder die Eigenwerte von A und berechnen das charakteristische Polynom χ A (λ = λ λ λ 2 = = λ 3 λ 2 5λ 3 λ λ 3 λ 2 5λ 3 = 5λ 3 + λ2 (λ 3 = λ 3 3λ 2 + 5λ 3. Wir sehen sofort die erste Nullstelle λ = und rechnen weiter λ 3 3λ 2 + 5λ 3 : λ = λ 2 2λ + 3 (3λ 3 λ 2 2λ 2 + 5λ 3 ( 2λ 2 + 2λ 3λ 3. Die Nullstellen des Quotienten ergeben sich als λ ± = ± 3 = ± i 2, schreiben wir also µ := + i 2, so hat A die Eigenwerte λ =, λ 2 = µ und λ 3 = µ. Als nächstes berechnen wir einen Eigenvektor zum Eigenwert λ = also y = z, x = 2y = 2z und wir haben den Eigenvektor 2 v = sowie die Lösung y (t = e t e t e t

7 Mathematik für Ingenieure III, WS 29/2 Mittwoch.2 Eigenvektoren zum Eigenwert λ 2 = µ = + i 2 sind komplex, und verwenden wir µ 2 = 2µ 3, so wird µ µ µ 2 µ 3 µ 2 + µ + 4µ 5 µ 2 µ 3 4 µ 4 µ, und als Eigenvektor ergibt sich y = µ 4 z = x = y z = 3 + i 2 z = 3 + i 2 ( 3 + i 2 z, z = 8 + i 2 z, also etwa v 2 = 8 i i 2 = u 2 + iw 2 mit u 2 = 8 3, w 2 = 2 Gemäß der obigen Formel ergeben sich die beiden Lösungen e t (8 cos( 2 t + 2 sin( 2 t y 2 (t = e t (3 cos( 2 t 2 sin( 2 t e t cos( 2 t und y 3 (t = e t ( 2 cos( 2 t + 8 sin( 2 t e t ( 2 cos( 2 t + 3 sin( 2 t e t sin( 2 t und damit haben wir ein komplettes Fundamentalsystem unserer Differentialgleichung gefunden. Mit den bisher diskutierten Methoden haben wir alle Fälle abgehandelt in denen es eine komplexe, aus Eigenvektoren der Koeffizientenmatrix bestehende Basis des C n gibt. Wenn wir den ganz allgemeinen Fall behandeln wollen müssen wir auf die Jordansche Normalform zurückgreifen. Nach Satz 5.5 aus dem letzten Semester gibt es eine invertierbare, komplexe n n-matrix S so, dass die transformierte Matrix S AS in Jordanscher Normalform ist, also B := S AS = J... J s mit J i = 25-7 λ i λ i λ i λ i, } {{ } n i

8 Mathematik für Ingenieure III, WS 29/2 Mittwoch.2 wobei λ,..., λ s gerade die eventuell mehrfach aufgezählten Eigenwerte der Matrix A sind. Wir wir die Jordansche Normalform und die Matrix S explizit ausrechnen hatten wir im letzten Semester in 5.4 gesehen. Die Spalten der Matrix S bilden eine Basis v,..., v,n,..., v s,..., v s,ns des C n mit Av i = λ i v i und Av ij = λ i v ij + v i,j für i s, < j n i. Bei der Berechnung der Jordanschen Normalform wurde diese Basis explizit bestimmt. Nun gilt für jedes t R die Gleichung ( S e ta S = S k! Ak S = k! S A k S = k! (S AS k = e ts AS = e tb, wir müssen also nur e tb ausrechnen. Weiter läst auch leicht einsehen, das e tb = e tj... e tjs gilt, es reicht also e tj i für die einzelnen Jordan-Kästchen J i zu berechnen. Wir wollen die Rechnung hier nicht vorführen, sondern geben nur das Ergebnis e tj i = e λ it te λ it t 2 2 eλ it t n i (n i! eλ it e λ it te λ it t n i 2 (n i 2! eλ it e λ it te λ it an. Angewandt auf unsere Basisvektoren haben wir damit ( e ta v i = e λ it v i und e ta v ij = e λ it v ij + j k= e λ it k! v i,j k für < j n i. Für die folgenden Formeln numerieren wir die Eigenwerte λ,..., λ s in der Form λ,..., λ r, µ,..., µ t, µ,..., µ q wobei λ,..., λ r die reellen Eigenwerte sind und die restlichen Eigenwerte komplex sind. Die komplexen Eigenwerte treten dabei wieder ein konjugierten Paaren auf. Für die reellen Eigenwerte λ i ist die obige Formel schon das Ergebnis, dann können wir auch die Vektoren v ij reell wählen, und die Formel gibt uns die zugehörigen Elemente des Fundamentalsystems. Die beiden Fälle j = und j > können wir dabei zusammenfassen, die Formel für j > funktioniert auch bei j = wenn die Summe von 25-8

9 Mathematik für Ingenieure III, WS 29/2 Mittwoch.2 k = bis k = als Null interpretiert wird. Numerieren wir die Fundamentallösungen wie die Einträge in der Jordanschen Normalform, so ist damit ( j y ij = e λ t i k! v i,j k für j n i. Im allgemeinen Fall haben wir leider auch die komplexen Eigenwerte µ j, µ j für j q. Wir betrachten jetzt ein j q. Ist dabei µ j = α j + iβ j, also µ j = α j iβ j, so können wir für die zu µ j gehörigen Basisvektoren auch wieder v r+j,k, k n r+j wählen, also v r+t+j,k = v r+j,k für k n r+j = n r+t+j, und genau wie oben ergeben sich die zu µ j gehörenden Fundamentallösungen dann als die komplex konjugierten der zu µ j gehörenden Fundamentallösungen. Wir können also wieder zu Real- und Imaginärteil übergehen. Mit v r+j,k = u jk +iw jk, u jk, w jk R n ergeben sich die Fundamentallösungen [ ] m y r+2j,m (t = e α t jt k m cos(β j t k! u j,m k sin(β j t k! w j,m k und y r+2j,m (t = e α jt [ cos(β j t m m k! w j,m k + sin(β j t ] k! u j,m k jeweils für m n r+j. Als ein Beispiel betrachten wir einmal das System ( x = 5x + 8y 5 8 y = 2x 3y also A =. 2 3 Das charakteristische Polynom ist χ A (λ = λ λ 3 = (λ 5(λ = λ2 2λ + = (λ 2, wir haben also nur einen einzigen Eigenwert λ =. Da A keine Diagonalmatrix ist, muss die Jordansche Normalform zu A aus einem 2 2 Kästchen bestehen, dessen zugehörige Basis wir v, v 2 nennen. Wir folgen jetzt in Vorgehen und Bezeichnungen dem Rechenschema aus 5.4 des letzten Semesters, und erhalten ( y N := A = löse Nv = durch 4 8 y y 2 y 2 + y 2 also 4x + 8y = und somit x = 2y und nehme den Eigenvektor zu y = 2 also v := ( 4, 2. Zur Bestimmung von v 2 lösen wir ( ( x! 4 N = = 4x + 8y = 4 = x = ( 4 8y = 2y, y

10 Mathematik für Ingenieure III, WS 29/2 Mittwoch.2 also etwa mit y = v = ( 4 2 (, v 2 = Unsere Lösungsformel gibt uns damit das Fundamentalsystem ( ( 4e t y (t = 2e t, y 2 (t = e t et (4t + (v 2 + tv = 2te t.. Beispiele für den komplexen Fall sind unangenehmer schon weil n für diese mindestens gleich 4 sein muss. Daher beschränken wir uns auf ein vergleichsweise überschaubares Beispiel, nämlich z = z 3 z 2, z 2 = z + z 4, z 3 = z 4, z 4 = z 3, also A = Beginnen wir wieder mit dem charakteristischen Polynom χ A (λ = λ λ λ λ = = (λ 2 + λ λ λ λ λ 2 d.h. wir haben genau zwei Eigenwerte nämlich i und i. Es ist i N := A i = i i i und λ λ = (λ2 + 2, i y i y 2 i y 3 i y 4 i y 2 i y + iy 2 i y 3 i y 4 i y 2 i y + iy 2 2 iy y 2 + y 3 2i y iy 2 + y 4 i y 2 i y + iy 2 2 iy y 2 + y 3 iy 3 + y 4, 25-

11 Mathematik für Ingenieure III, WS 29/2 Mittwoch.2 und bestimmen wir den Eigenvektor v durch Nv =, so ergibt sich x 3 = x 4 = und x = ix 2, also etwa v = (i,,,. Weiter bestimmen wir den Vektor v 2 als Lösung von Nv 2 = N x x 2 x 3 x 4! = i i, also i 2i 2 2 und wir erhalten etwa x 4 =, x 3 = i, x 2 = und x = i. Damit haben wir i i v =, v 2 = i und für Real- und Imaginärteil dieser Vektoren bedeutet dies u =, w =, u 2 =, w 2 = Setzen wir dies in unsere obigen Formeln ein, so ergibt sich für das Fundamentalsystem y (t = cos(tu sin(tw, y 2 (t = cos(tw + sin(tu, y 3 (t = cos(t (u 2 + tu sin(t(w 2 + tw, y 4 (t = cos(t(w 2 + tw + sin(t (u 2 + tu, wobei wir die Lösungen als y = y, y 2 = y 2, y 3 = y 2 und y 4 = y 22 numeriert haben. Konkret sind sin t cos t ( + t sin t y (t = cos t, y 2(t = sin t, y 3(t = ( + t cos t sin t, cos t y 4 (t = ( + t cos t ( + t sin t cos t sin t 25-