Differentialgleichungen

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1 Skriptenreihe zur Vorlesung Mathematik für Elektrotechnik Differentialgleichungen Institut für Analysis R Löwen, AE Schroth, K-J Wirths

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3 Inhaltsverzeichnis Einleitung D Trennung der Variablen 2 D Variablentrennung durch Transformieren der Variablen 3 D 2 Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf 9 D 3 Systeme von DGL und DGL höherer Ordnung 0 D 3 Lineare Differentialgleichungssysteme D 32 Homogene lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 2 D 33 Homogen linear, mit konstanten Koeffizienten 4 D 33 Differentialgleichungen n-ter Ordnung 4 D 332 Differentialgleichungssysteme 7 D 34 Inhomogen linear 22 D 34 Differentialgleichungssysteme 22 D 342 Differentialgleichungen n-ter Ordnung 25 D 35 Reduktionsmethoden 29 D 35 Differentialgleichungssysteme 29 D 352 Differentialgleichungen n-ter Ordnung 3 D 4 Eulersche Differentialgleichungen 33 D 4 Homogen 33 D 42 Inhomogen 35 D 5 Potenzreihenansatz 35 Index 39

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5 Einleitung Bei der mathematischen Beschreibung realer Vorgänge wird meist wie folgt vorgegangen: Zunächst wird ein mathematisches Modell entwickelt, das möglichst genau den realen Vorgang wiedergibt Ein solches Modell besteht in der Regel aus mehreren Differentialgleichungen Anschließend wird versucht, diese Differentialgleichungen zu lösen Das heißt, gesucht werden Funktionen, die den Vorgang beschreiben Sind die Lösungen bestimmt, so wird interpretiert, was sie für den realen Vorgang bedeuten Dabei wird auch deutlich, ob das gewählte Modell gerechtfertigt ist Beispiel: Wir versuchen die Kaninchenpopulation in Braunschweig zu beschreiben Unser empirischer Ansatz geht davon aus, daß es eine konstante Vermehrungsrate α gibt Das heißt, sowohl die Zahl der Geburten, als auch die Zahl der Sterbefälle hängt linear von der Größe der Population ab Mathematisch bedeutet dies κ (t) = α κ(t), wobei κ(t) die Anzahl der Kaninchen zum Zeitpunkt t angibt Diese Gleichung ist eine Differentialgleichung Sie stellt eine Beziehung zwischen der gesuchten Funktion κ und ihrer Ableitung κ her Alle Funktionen, die dieser Differentialgleichung genügen, haben die Form κ(t) = c e α t Der Faktor c kann durch Anfangsbedingungen bestimmt werden Dh ist bekannt, daß es zum Zeitpunkt t 0 genau κ 0 Kaninchen in Braunschweig gibt, so folgt c = κ 0 κ(t 0 ) = κ 0 e α t 0 Gilt α < 0, ist also die Sterberate größer als die Geburtenrate, so sterben die braunschweiger Kaninchen aus, denn in diesem Fall gilt lim t κ(t) = 0 Gilt α = 0, so bleibt die Population konstant Ist die Sterberate geringer als die Geburtenrate, gilt also α > 0, so steigt die Zahl der Kaninchen exponentiell an Ein Spaziergang durch braunschweiger Parks zeigt, daß α > 0 gilt Dennoch ist zu vermuten, daß auf Dauer die Kaninchenpopulation nicht exponentiell anwächst Das heißt, unsere Lösung beschreibt die reale Situation bestenfalls für einen beschränkten Zeitraum Der Grund liegt in unserem zu einfachen Modell Darin wurde nicht berücksichtigt, daß Ressourcen, wie etwa Nahrung und Platz, beschränkt sind Diese Vorlesung beschäftigt sich nur mit dem Lösen von Differentialgleichungen Das Aufstellen mathematischer Modelle und die Diskussion der Lösungen ist Gegenstand der mehr anwendungsorientierten Vorlesungen wie beispielsweise Physik Vorgestellt werden verschiedene Typen von Differentialgleichungen und Lösungsverfahren Grundsätzlich gibt es zwei Fragestellungen Zum einen wird die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung gesucht In der Regel hängt eine solche allgemeine Lösung von einem oder mehreren Parametern ab In dem obigen Beispiel ist dies der Parameter c Zum anderen gilt es, ein Anfangswertproblem zu lösen Außer einer Differentialgleichung sind hierbei noch Start- oder

6 2 Differentialgleichungen Anfangswerte vorgegeben Gesucht ist eine Lösung der Differentialgleichung, die diesen Anfangswerten genügt Diese Lösung ist meist eindeutig bestimmt In dem obigen Beispiel ist die Lösung eindeutig bestimmt, wenn zu einem bekannten Zeitpunkt t 0 eine Kaninchenzählung stattgefunden hat Bei vielen reellen Differentialgleichungen ist es günstig, einen Lösungsweg über die komplexen Zahlen einzuschlagen Dennoch, ein reelles Problem verlangt natürlich nach einer reellen Lösung Am Ziel eines komplexen Lösungswegs muß also immer eine reelle Lösung stehen D Trennung der Variablen Bei der Betrachtung der Differentialgleichung fällt auf, daß sie sich auch in der Form y = x2 2y 2y y = x 2 schreiben läßt Nun sind die Variablen x und y auf getrennten Seiten der Gleichung Allgemeiner nennt man eine Differentialgleichung der Gestalt y (x) = h(x) g(y(x)) eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen Für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen gibt es das folgende Lösungsverfahren: Gilt g(y 0 ) = 0, so ist y(x) y 0 eine Lösung Das Anfangswertproblem y(x 0 ) = y 0 kann jedoch auch weitere Lösungen haben 2 Alle Lösungen mit g(y) > 0 (analog g(y) < 0) erhält man wie folgt: Seien G bzw H Stammfunktionen von dg bzw h Es gilt also = g dy g(y) = h(x) Dann folgt: und dh dx y (x) = h(x) g(y(x)) y (x) g(y(x)) = h(x) d dx G(y(x)) = d dx H(x) G(y(x)) = H(x) + C Da G umkehrbar ist, läßt sich die letzte Gleichung prinzipiell nach y auflösen Die Lösung des Anfangswertproblem gibt sich aus C = G(y 0 ) H(x 0 ), oder direkt aus y du = x y 0 g(u) x 0 h(t) dt, aufgelöst nach y

7 D Trennung der Variablen 3 Kurzrezept: Für dieses Lösungsverfahren gibt es folgendes Kurzrezept: dy dx = g(y) h(x) umformen zu dy g(y) = h(x) dx 2 Integrieren: dy g(y) = ( h(x) dx) + C 3 Nach y auflösen 4 Für ein Anfangswertproblem mit y(x 0 ) = y 0 gilt: y y 0 du = x g(u) x 0 h(t) dt Beispiel: Wir lösen die eingangs vorgestellte Differentialgleichung y = x2 D Umformen: 2y dy = x 2 dx Integrieren: 2y dy = x 2 dx, also (y(x)) 2 = 3 x3 + C Auflösen: y(x) = 3 x3 + C mit 3 x3 > C Dies ist die allgemeine Lösung für y 0 Variablentrennung durch Transformieren der Variablen Die wenigsten Differentialgleichungen haben getrennte Variablen Einige Differentialgleichungen lassen sich aber durch eine geschickte Transformation in eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen umformen In diesem Abschnitt werden einige Typen von Differentialgleichungen vorgestellt, für die dies funktioniert A) Gegeben ist eine Differentialgleichung der Form y = h(a x + b y + c) mit a, b, c R, b 0 Falls b = 0 gilt, so sind die Variablen bereits getrennt! Die Transformation wird angesetzt als: Durch Ableiten erhält man: Somit gilt, nach y aufgelöst: 2y u(x) = a x + b y(x) + c () u (x) = a + b y (x) Daraus folgt: y = u a b y = h(a x + b y + c) u a = h(u) b u = b h(u) + a =: h(u)

8 4 Differentialgleichungen Die letzte Gleichung ist eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen Die Lösung u dieser Differentialgleichung läßt sich mit den Methoden des letzten Abschnitts berechnen Die eigentlich gesuchte Funktion y ergibt sich anschließend aus Gleichung Beispiel: Gegeben ist die Differentialgleichung y = (ax + y) 2 a Wir setzten u(x) = ax + y und erhalten h(u) = u 2 a Es gilt also: y = (ax + y) 2 a u = u } 2 {{ a } + a = u 2 h(u) Mit dem Lösungsverfahren für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen folgt: du u = dx 2 u = x + k u(x) = x + k Dies in die Transformation eingesetzt liefert: ( y(x) = ax + ) mit x > k oder x < k x + k B) Gegeben ist eine Differentialgleichung der Form Der Ansatz liefert y = h( y x ) u(x) = y(x) x x u = y Unter Berücksichtigung der Produktregel folgt daraus: Daher gilt: x u + u = y y = h( y ) x x u + u = h(u) u = (h(u) u) x Die letzte Gleichung ist wieder eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen Aus dieser kann u wie gehabt bestimmt werden Rücktransformation liefert schließlich y Beispiel: Gegeben ist die Differentialgleichung y = x2 +2y 2 Transformation u(x) = y(x) x xy liefert h(u) = u + 2u Es gilt also: u = x (h(u) u) = x (u + 2u u) = x u2 + u = x y + 2 y x Die

9 D Trennung der Variablen 5 Mit dem Lösungsverfahren für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen folgt: u v x u 0 v 2 + dv = x 0 t dt, also 2 ln(v2 + ) u= y x u 0 = y 0 = ln(x) ln(x 0 ), x, x 0 > 0 x 0 Auf beiden Seiten die Exponentialfunktion angewandt liefert, unter Beachtung der Exponentialgesetze: + ( y x )2 + ( y 0 x 0 ) 2 = x2 x 2 0 x2 + y 2 x y 2 0 = x4 x 4 0 y 2 = x2 0 + y2 0 x 4 0 x 4 x 2 C) Gegeben ist eine Differentialgleichung der Form ax + by + c y = h αx + βy + γ mit a b det 0 α β (Der Fall det = 0 führt zu Fall A, denn dann gilt (a, b) = d (α, β)) Da nach Voraussetzung die Determinante nicht verschwindet, gibt es x und y mit ax + by = c und αx + βy = γ Mit dem Ansatz folgt und Wegen dv dy Dies führt zu: u := x x v := y y ax + by + c = a(u + x ) + b(v + y ) + c = a u + b v = und dx du = folgt: v = h αx + βy + γ = α u + β v v = dv du = dv dy dy dx dx du = dy dx = y a u + b v = h α u + β v ( a + b v ) u α + β v = h( v ) u u Diese Differentialgleichung kann wie in Fall B gelöst werden D) Homogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung sind Differentialgleichungen der Form y = h(x) y Die Variablen sind bereits getrennt Eine von der Nullfunktion verschiedene Lösung ergibt sich aus dem Ansatz dy y = h(x) dx =: H(x)

10 6 Differentialgleichungen Integrieren liefert also ln y = H(x) + k, y = ±e H(x)+k = ±e k e H(x) mit k 0 Indem ±e k durch K R ersetzt wird gilt für die allgemeine Lösung y(x) = K e H(x) Dies schließt auch den Fall der Nullfunktion mit ein Für ein Anfangswertproblem mit y(x 0 ) = y 0 gilt ( x ) y(x) = y 0 exp h(t) dt x 0 Beispiel: Das Anfangswertproblem y = cos(x) y mit y(0) = hat die Lösung y = e sin(x) E) Inhomogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung sind Differentialgleichungen der Form y = h(x) y + g(x) (2) mit Störfunktion g und zugehöriger homogener Differentialgleichung y = h(x) y (3) Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung 2 ergibt sich aus der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung 3 plus einer speziellen Lösung der inhomogenen Differentialgleichung 2 Kann keine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung erraten werden, so kann das Verfahren der Variation der Konstanten (Lagrange) angewandt werden Dazu wird y(x) = K(x) e H(x) mit H = h wie oben angesetzt Ableiten nach der Produktregel liefert: y (x) = K (x) e H(x) + K(x) h(x) e H(x) = K (x) e H(x) + h(x) y(x) Andererseits gilt Somit folgt für K(x) also y (x) = h(x) y(x) + g(x) K (x) e H(x) = g(x), K(x) = g(x) e H(x) dx

11 D Trennung der Variablen 7 Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung lautet daher: ( ) y(x) = (K(x) + k) e H(x) = g(x) e H(x) dx + k e H(x) Die Lösung des Anfangswertproblems ergibt sich durch Einsetzen von x 0, y 0, oder direkt: ( x ( t ) ) ( x ) y(x) = g(t) exp h(s) ds dt + y 0 exp h(t) dt x 0 x 0 x 0 Beispiele: Gegeben ist das Anfangswertproblem y (x) = λ y(x) + (c x + d) e λx mit y(0) = y 0 Dies ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung Ordnung mit λ = h(x) und Störfunktion g(x) = (c x + d) e λx Die Stammfunktion zu h lautet H(x) = λ x Die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung ist daher y(x) = K e λx Für die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung wird K(x) errechnet: K(x) = (c x + d) e λx e λx dx = c }{{} 2 x2 + d x g(x) Für die Lösung des Anfangswertproblems gilt also: ( c ) y(x) = 2 x2 + d x + y 0 e λx 2 Stromkreis mit Widerstand und Selbstinduktion, Einschaltvorgang: (a) Wir nehmen an, die Spannung ist konstant Es gilt also di = a i+b mit i(0) = (0) (Anfangswertproblem) und a 0 dt Die allgemeine Lösung für b = 0, dh Spannung = 0, lautet i(t) = K e a t Für beliebiges b ist i b/a eine spezielle Lösung Daher ist i(t) = b/a + K e a t die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung Zur Lösung des Anfangswertproblems muß K = b/a gesetzt werden Die Lösung des Anfangswertproblems lautet somit i(t) = b/a ( e a t ) (b) Wir nehmen nun an, daß eine Wechselspannung anliegt Dies führt zu der Differentialgleichung di = a i(t) + b sin(c t) Für b = 0 dt lautet, wie oben, die allgemeine Lösung i(t) = K e a t Für b 0 lautet die allgemeine Lösung i(t) = (K(t) + k) e a t mit K(t) = b e a t sin(c t) dt = b e a t c 2 + a (a sin(c t) c cos(c t)) 2 Aus der Anfangsbedingung i(0) = 0 folgt 0 = (K(0) + k) e a t, also k = K(0) = c b c 2 +a 2

12 8 Differentialgleichungen F) Bernoullische Differentialgleichungen sind Differentialgleichungen der Form y = h(x) y + g(x) y α (4) Für α N ist y 0 eine Lösung Im folgenden sei stets y(x) 0 Multiplikation mit ( α) y α liefert ( α) y y α = (h(x) y α + g(x))( α) Mit der Transformation z := y α ergibt sich wegen dz dx = z = ( α) y y α die inhomogene lineare Differentialgleichung z = (h(x) z + g(x)) ( α) (5) Die Lösungen y der ursprünglichen Differentialgleichung 4 erhält man aus den Lösungen z der linearen Differentialgleichung 5 durch Rücktransformation y = z /( α) Dabei sind für α R \ Z meist nur Lösungen z > 0, y > 0 verwendbar, (Ausnahme: zb α = 2 3 : y = z/( α) = z 3 geht auch für z < 0) 2 für α gerade kann y = z /( α) auch für z < 0 gebildet werden, 3 für α ungerade sind nur positive Lösungen z verwendbar, aber für y können auch negative Wurzeln von z genommen werden Beispiel: Die Differentialgleichung y = y + y 2/3 ist eine Bernoullische Differentialgleichung mit g(x) = h(x) = Wir transformieren z = y /3, denn α = 3 Die transformierte Differentialgleichung 5 lautet somit: z = (z + ) = h(x) z + g(x) 3 Dabei gilt h(x) = g(x) = Die Stammfunktion zu h lautet H(x) = x 3 3 Somit ist ( ) z(x) = 3 e x/3 dx + k e x/3 = ( e x/3 + k) e x/3 = k e x/3 eine Lösung der transformierten Gleichung Die Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung lautet daher y(x) = z 3 = (k e x/3 ) 3

13 D 2 Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf 9 D 2 Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf Im letzten Abschnitt wurden für sehr spezielle Typen von Differentialgleichungen Lösungsverfahren angegeben In diesem Abschnitt wird untersucht, ob jedes Anfangswertproblem y = f(x, y) mit y(x 0 ) = y 0 auch eine Lösung besitzt und ob die Lösung eindeutig ist Für ganz beliebige Funktionen ist dies nicht der Fall, aber für hinreichend schöne Funktionen f gibt es eine eindeutig bestimmte Lösung Zudem kann die Lösung durch eine Iteration angenähert werden Satz (Picard-Lindelöf): Sei D R 2 offen, sei f: D R stetig und sei f y vorhanden und stetig in D Dann hat das Anfangswertproblem y = f(x, y); y(x 0 ) = y 0 für jedes (x 0, y 0 ) D eine eindeutig bestimmte Lösung Vorbereitungen: Um diesen Satz zu beweisen führen wir zunächst die Lipschitz-Konstante ein Definition: Eine Funktion f erfüllt in D die Lipschitzbedingung mit Lipschitz-Konstante L, falls für x, y, y 2 stets f(x, y ) f(x, y 2 ) L y y 2 gilt Als nächsten Schritt formen wir das Anfangswertproblem in eine Integralgleichung um Es gilt: y (x) = f(x, y(x)) x x 0 y (t) dt = y(x) = y 0 + x x x 0 f(t, y(t)) dt x 0 f(t, y(t)) dt Jetzt sind wir in der Lage, das Anfangswertproblem, bzw die Integralgleichung iterativ zu lösen: Lösung durch Iteration (Picard-Iteration): Induktiv wird definiert: y (x) := y 0 + y n+ (x) := y 0 + x x x 0 f(t, y 0 ) dt x 0 f(t, y n (t)) dt Ist (x 0, y 0 ) D mit D R 2 offen, ist f: D R stetig und erfüllt f eine Lipschitzbedingung, so konvergiert die Folge y n (x) gegen eine Lösung y(x) des Anfangswertproblems Diese Lösung ist eindeutig bestimmt Eine Funktion, deren Ableitung f in D stetig ist, erfüllt stets eine Lipschitzbedingung y

14 0 Differentialgleichungen Beispiel: Wir lösen das Anfangswertproblem y = y mit x 0 := 0 und y 0 := Es gilt also f(x, y) = y y 0 (x) y (x) = + y 2 (x) = + x 0 x 0 dt = + x + t dt = + x + 2 x2 y 3 (x) = + x + 2! x2 + 3! x3 Somit: D 3 y n (x) = n k! xk y(x) = lim n y n (x) = k! xk = e x Systeme von Differentialgleichungen und Differentialgleichungen höherer Ordnung Vorgänge in der Natur oder der Technik werden oft durch einen Satz von Differentialgleichungen, sogenannte Systeme von Differentialgleichungen, beschrieben Die Lösung eines solchen Systems besteht aus mehreren Funktionen Wenn jede der Lösungsfunktionen durch jeweils eine der Gleichungen des Systems bestimmt wird, liegt ein entkoppeltes System vor Taucht eine Funktion oder ihre Ableitungen in mehreren Gleichungen das Systems auf, so liegt ein gekoppeltes System vor Beispiele: Die Differentialgleichungen y (x) = y (x) y 2 (x) = y 2(x) bilden ein entkoppeltes System Mit den Methoden aus D D bestimmt sich die Lösung zu y = k e x und y 2 = k 2 e x 2 Die Differentialgleichungen y (x) = y 2 (x) y 2 (x) = y (x) bilden ein gekoppeltes System Die Lösung lautet y = r cos(x + a) und y 2 = r sin(x + a) (vgl: Abschnitt D 332, Beispiel 2)

15 D 3 Systeme von DGL und DGL höherer Ordnung Wir wollen nun definieren, was Differentialgleichungssysteme und Differentialgleichungen n-ter Ordnung sind Gegeben sei eine Funktion f: D R n auf einer Teilmenge D R n+ Dann ist y (x) = f(x, y(x)) (3) ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung Eine Lösung hat die Gestalt y(x) = (y (x),, y n (x)) Durch die zusätzliche Angabe y(x 0 ) = y 0 wird aus dem System ein Anfangswertproblem Für f: D R, mit D R n+, ist y (n) = f(x, y, y,, y (n ) ) (32) eine Differentialgleichung n-ter Ordnung Eine Differentialgleichung n-ter Ordnung läßt sich in ein System Ordnung umwandeln Dazu wird y = y und y k = y (k ), k = 2,, n, gesetzt Daraus folgt das zu 32 äquivalente System: y = y 2 y n = y n y n = f(x, y,, y n ) (33) Von den Lösungen y interessiert dann nur die Komponente y Die restlichen Komponenten sind, nach Konstruktion, Ableitungen von y Differentialgleichungen n-ter Ordnung können somit auf spezielle Systeme Ordnung zurückgeführt werden Der folgende Existenz- und Eindeutigkeitssatz gilt daher auch für Differentialgleichungen n-ter Ordnung Satz (Picard-Lindelöf): Erfüllt die Funktion f in 3 eine Lipschitzbedingung f(x, y ) f(x, y 2 ) L y y 2, so hat das Anfangswertproblem eine eindeutig bestimmte Lösung Der Beweis funktioniert wie für Einzeldifferentialgleichungen in D 2 D 3 Lineare Differentialgleichungssysteme Der Satz von Picard-Lindelöf gilt insbesondere für die linearen Differentialgleichungssysteme, also Systeme der Gestalt y (x) = a(x) + A(x) y(x), wobei a(x) R n gilt und A(x) eine n n-matrix ist, so daß a(x) und A(x) stetig von x abhängen Beispiele: Das System y (x) = y (x) y 2 (x) = y 2(x) führt zu der Darstellung y = 0 y 0

16 2 Differentialgleichungen 2 Das System y (x) = y 2(x) y 2(x) = y (x) führt zu der Darstellung y = 0 y 0 Sprechweisen: Gilt a 0, so liegt ein homogenes System vor Sind a und A konstant, so spricht man von einem System mit konstanten Koeffizienten Analog zu D E ergibt sich die allgemeine Lösung des inhomogenen Systems aus der allgemeinen Lösung des zugehörigen homogenen Systems plus einer speziellen Lösung des inhomogenen Systems Die Lösungen des homogenen linearen Systems y = A(x) y, mit y = (y,, y n ), bilden einen n-dimensionalen Vektorraum L Aus dem Satz von Picard-Lindelöf folgt nämlich, daß die lineare Abbildung ϕ: L R n mit ϕ( y) = y(x 0 ) bijektiv ist Daher sind folgende Aussagen äquivalent: l,, l n ist eine Basis von L, (Sprechweise: l,, l n bilden ein Fundamentalsystem des Differentialgleichungssystems) 2 Aus c l + + c n l n 0 für c i R folgt c = = c n = 0 3 l (x 0 ),, l n (x 0 ) ist eine Basis von R n Die Matrix W (x) = ( l (x) l n (x)) mit den Spalten l i heißt Wronskimatrix des Systems, ihre stets von null verschiedene Determinante heißt die Wronskideterminante Die allgemeine Lösung lautet mit c R n beliebig y(x) = W (x) c, D 32 Homogene lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung Die homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung y (n) + a n (x) y (n ) + + a 0 (x) y = 0 (34) mit stetigen Funktionen a i : R R entspricht, indem wie zu Beginn dieses Abschnitts y = y, y 2 = y,, y n = y (n ) gesetzt wird, dem System y = y 2 y n 2 = y n y n = y n y n = a 0 y a y 2 a n y n

17 D 3 Systeme von DGL und DGL höherer Ordnung 3 oder, in Matrixschreibweise, y = y a 0 a n 2 a n Die Lösungen dieses Systems und somit auch die Lösungen der Gleichung 34 bilden einen n-dimensionalen Lösungsraum L über R Einen Basis (l,, l n ) von L erkennt man an den folgenden beiden Eigenschaften: Die Funktionen l,, l n sind Lösungen der Differentialgleichung 34 2 Für ein x 0 ist die Wronskimatrix regulär W (x 0 ) = l (x 0 ) l n (x 0 ) l (x 0) l n (x 0) l n (x 0 ) l n Bedingung 2 ist äquivalent zu folgenden Bedingungen: 2a Die Wronskimatrix W (x) ist für alle x regulär 2b Für ein x 0 gilt det(w (x 0 )) 0 2c Für alle x gilt det(w (x)) 0 n (x 0 ) 2d Gilt c l (x) + + c n l n (x) 0 für alle x, so folgt c = = c n = 0 2e Aus l (x 0 ) l n (x 0 ) c + + c n = 0 l (n ) (x 0 ) l n (n ) (x 0 ) folgt c = = c n = 0 Erfüllt (l,, l n ) die Bedingungen und 2, so ist y(x) = c l (x) + + c n l n (x) die allgemeine Lösung von 34 Anfangswertprobleme für Differentialgleichungen n-ter Ordnung werden in der Form y(x 0 ) = A 0,, y (n ) (x 0 ) = A n gestellt Die Konstanten c,, c n berechnet man als Lösungen des Gleichungssystems c W (x 0 ) = c n A 0 A n

18 4 Differentialgleichungen D 33 Homogen linear, mit konstanten Koeffizienten Für lineare homogene Differentialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten und für lineare homogene Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten gibt es explizite Lösungsverfahren Obwohl Differentialgleichungen n-ter Ordnung in Systeme verwandelt werden können, ist dies für homogene lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten nicht zu empfehlen Denn die wichtigste Information, die man zur Lösung braucht, das charakteristische Polynom, steht bereits da D 33 Differentialgleichungen n-ter Ordnung Für a 0,, a n R gewinnt man ein Fundamentalsystem der linearen homogenen Differentialgleichung mit dem Ansatz y (n) + a n y (n ) + + a 0 y = 0 (35) y(x) = e λx (λ C) (36) Einsetzen von 36 in 35 liefert als notwendige und hinreichende Bedingung für λ: χ(λ) = λ n + a n λ n + + a 0 = 0 (37) Das Polynom χ ist das charakteristische Polynom der Differentialgleichung 35 Ist r χ(λ) = (λ λ k ) n k k= eine Zerlegung des Polynoms in Linearfaktoren mit Nullstellen λ k der Vielfachheit n k, wobei k =,, r und r k= n k = n, so gewinnt man daraus wie folgt ein Fundamentalsystem: Zu einer m-fachen reellen Nullstelle λ gehören die m linear unabhängigen Lösungen e λx, x e λx,, x m e λx 2 Zu einem Paar konjugiert komplexer Nullstellen λ = α + jβ, λ = α jβ, die beide m-fach auftreten, gehören die 2m linear unabhängigen reellen Lösungen e αx cos(βx), x e αx cos(βx),, x m e αx cos(βx); e αx sin(βx), x e αx sin(βx),, x m e αx sin(βx) Diese reellen Lösungen sind Real- und Imaginärteil der komplexen Lösungen, denn: x s e αx cos(βx) = Re(x s e (α+jβ)x ) = 2 (xs e (α+jβ)x + x s e (α jβ)x ) x s e αx sin(βx) = Im(x s e (α+jβ)x ) = 2j (xs e (α+jβ)x x s e (α jβ)x )

19 D 3 Systeme von DGL und DGL höherer Ordnung 5 Es ist zu beachten, daß die Lösung eines reellen Problems wieder reell angegeben werden muß, auch wenn der Lösungsweg komplex ist Beispiele: Die Differentialgleichung hat das charakteristische Polynom y (4) 8y + 32y 64y + 64y = 0 χ(λ) = λ 4 8λ λ 2 64λ + 64 = (λ 2 + 2j) 2 (λ 2 2j) 2 Diese Polynom hat die komplexen doppelten Nullstellen λ = 2 + 2j und λ 2 = λ = 2 2j Somit ist ein Fundamentalsystem 2 Die Differentialgleichung e 2x cos 2x, x e 2x cos 2x, e 2x sin 2x, x e 2x sin 2x hat das charakteristische Polynom y + y y y = 0 χ(λ) = λ 3 + λ 2 λ = (λ + ) 2 (λ ) Diese Polynom hat die reelle doppelte Nullstelle λ 3 = und die reelle einfache Nullstelle λ 4 = Somit ist e x, x e x, e x ein Fundamentalsystem 3 Schwingungsdifferentialgleichung, homogener Fall; freie Schwingung: Eine freie Schwingung wird charakterisiert durch die Differentialgleichung y + 2δ y + ω 2 y = 0 Dabei ist 2δ mit δ 0 die Dämpfung und ω > 0 die Eigenfrequenz Die Differentialgleichung führt zu dem charakteristischen Polynom λ 2 + 2δλ + ω 2 = 0 mit den Nullstellen λ,2 = δ ± δ 2 ω 2 Je nach dem Vorzeichen der Diskriminante δ 2 ω 2 folgenden drei Lösungen: erhält man eine der

20 6 Differentialgleichungen Schwingfall; δ < ω: In diesem Fall gilt ω := ω 2 δ 2 R, somit folgt für die Nullstellen des charakteristischen Polynoms λ,2 = δ ± jω / R Es liegt also ein Paar konjugiert komplexer einfacher Nullstellen vor Daher ist e δt cos(ω t), e δt sin(ω t) ein reelles Fundamentalsystem Die allgemeine Lösung lautet deshalb y(t) = c e δt cos(ω t) + c 2 e δt sin(ω t) = e δt a sin(ω t + β) Ist δ > 0, so klingt die Schwingung ab, dh lim t y(t) = 0 Liegt ein ungedämpftes System vor, gilt also δ = 0, so klingt die Schwingung nicht ab y(t) a e δt t a e δt Schwingfall mit δ > 0 Kriechfall; δ > ω: In diesem Fall sind die Nullstellen λ,2 = δ ± δ 2 ω 2 R reell und negativ Das Fundamentalsystem lautet e λ t, e λ 2t Beide Funktionen beschreiben wegen λ i < 0 ein abklingendes Verhalten Grenzfall; δ = ω: In diesem Fall ist λ = δ eine doppelte reelle Nullstelle des charakteristischen Polynoms Sie führt zu dem Fundamentalsystem e δt, t e δt Die allgemeine Lösung lautet daher und strebt für t gegen 0 y(t) = (a + b t) e δt

21 D 3 Systeme von DGL und DGL höherer Ordnung 7 D 332 Differentialgleichungssysteme Zunächst wird eine Verfahren vorgestellt, mit dem Anfangswertprobleme, denen ein lineares homogenes Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten zugrunde liegt, gelöst werden können Die allgemeine Lösung ergibt sich dann, indem für eine Basis von Anfangswerten das jeweilige Anfangswertproblem gelöst wird Für Systeme, bei denen die zugehörige Matrix diagonalisierbar ist, wird ein weiteres Verfahren zum Bestimmen der allgemeinen Lösung eingeführt Anfangswertprobleme: Gegeben sei das Anfangswertproblem y = A y, y(x 0 ) = y 0, wobei A eine konstante n n-matrix ist Wir betrachten das charakteristische Polynom χ(λ) = ( ) n (λ n + a n λ n + + a 0 ) = det(a λe n ) der Matrix A Die Nullstellen des Polynoms χ sind die Eigenwerte von A (siehe L 7) und gleichzeitig die Nullstellen des charakteristischen Polynoms der assoziierten Differentialgleichung n-ter Ordnung y (n) + a n y (n ) + + a 0 y = 0 (38) Mit Mitteln aus D 33 läßt sich ein Fundamentalsystem l (x) l(x) = l n (x) der Differentialgleichung 38 bestimmen Da sich die einzelnen Komponenten der gesuchten Lösung y(x) als Linearkombinationen der Elemente dieses Fundamentalsystems darstellen lassen, gibt es eine konstante n n-matrix C, so daß y(x) = C l(x) eine Lösung des Anfangswertproblems ist Zur Bestimmung der Matrix C berechnet man die n n-matrix ( W T (x 0 ) = l(x0 ), l (x 0 ), l (2) (x 0 ),, ) l (n ) (x 0 ), deren Inverse ( W T (x 0 ) ), sowie Y 0 = ( y 0, A y 0, A 2 y 0,, A n y 0 ) und erhält C = Y 0 (W T (x 0 ) )

22 8 Differentialgleichungen Anmerkung: In dem Fall x 0 = 0 ist es häufig günstiger mit reellen bzw komplexen Lösungen der Form xr e λx zu rechnen Denn dann gilt: r! ( d eλx) i x r i i x r (l) dx i r! x=0 ( = ) e λx (i l) l r! l=0 x=0 Wegen x r (l) r! x=0 = r (r l + ) x r l = 0 für l < r r! x=0 x r (l) 0 für l > r r! x r (l) ( x r = r! r! ) (r) = r! r! = für l = r ist nur der Summand für l = r von null verschieden Daher gilt: ( d eλx) i x r i i x r (l) ( = dx i r! x=0 ) e λx (i l) l r! = l=0 { ( 0 i < r i ) r λ i r i r x=0 Die Faktoren ( i r) lassen sich einfach aus dem Pascalschen Dreieck ablesen Beispiele: Gesucht ist die Lösung des Differentialgleichungssystems mit den Anfangsbedingungen y = y 2y 2 y 2 = 2y + y 2 y (0) = und y 2 (0) = 2 In Matrixschreibweise lautet die Aufgabe ( y 2 = 2 ) y; y(0) = 2 Für das charakteristische Polynom gilt: χ(λ) = λ 2 2 λ = λ2 2λ + 5 Die Nullstellen dieses Polynoms berechnen sich zu λ = + 2j λ 2 = 2j

23 D 3 Systeme von DGL und DGL höherer Ordnung 9 Das Fundamentalsystem für die assoziierte Differentialgleichung lautet somit l (x) = e (+2j)x, l 2 (x) = e ( 2j)x Die Ableitungen dieser Funktionen lauten Daher gilt l (x) = ( + 2j)e(+2j)x und l 2 (x) = ( 2j)e( 2j)x W T (0) = Die inverse Matrix berechnet sich zu Wegen folgt ( l (0) l (0) ) + 2j l 2 (0) l 2 (0) = 2j ( W T (x 0 ) ) = j 4 A y 0 = ( 2 2 Y 0 = ( 2j 2j ) = Somit gilt für die gesuchte Matrix C = Y 0 (W T (x 0 ) ) 3 = 2 4 = ( + j 2 2 j 2 + j 2 Die Lösung des Anfangswertproblems lautet daher 3 4 ) j ( 2j 2j 4 ) y(x) = C ( l(x) 2 = + j j ) l (x) = e (+2j)x 2 j + l (x) = e ( 2j)x ( ) = e x 2 (e2jx + e 2jx ) + j(e 2jx e 2jx ) (e 2jx + e 2jx ) 2 j(e2jx e 2jx ) cos 2x 2 sin(2x) = e x 2 cos 2x + sin(2x) 2 Gesucht ist die Lösung des Anfangswertproblems y = y, y(0) = Da λ = 3 ein dreifacher Eigenwert der Matrix 3 2 A = )

24 20 Differentialgleichungen ist, bildet l (x) = e 3x, l 2 (x) = x e 3x, l 3 (x) = x2 2 e3x ein Fundamentalsystem für die assoziierte Differentialgleichung Die Transponierte der Wronskimatrix, ausgewertet bei x 0 = 0 lautet: ( 0 ) ( ) ( ) W T ( (0) = 0 ) ( 2 ) 3 = ( ) Invertieren ergibt: ( W T (0) ) 3 9 = Außerdem gilt: A 0 = 2 und A 2 0 = A 2 = 2, woraus 0 0 Y 0 = folgt Dies induziert: C = Y 0 (W T (0) ) = = Die gesuchte Lösung des Anfangswertproblems lautet daher: 0 4 e 3x x + 2x 2 y(x) = x e 3x = e 3x 2x x e3x Allgemeine Lösung: Ein Fundamentalsystem kann mit den Methoden des letzten Abschnitts wie folgt bestimmt werden: Für i =,, n wird jeweils das Anfangswertproblem 0 0 y = A y, y(x 0 ) = e i = i-te Stelle 0 0 gelöst Da die Anfangswerte linear unabhängig sind, bilden die n verschiedenen Lösungen ein Fundamentalsystem

25 D 3 Systeme von DGL und DGL höherer Ordnung 2 Ist die Matrix A über C diagonalisierbar, so liefert folgendes Verfahren ebenfalls ein Fundamentalsystem: Ist λ R ein m-facher Eigenwert und ist { a,, a m } R n eine Basis des Eigenraums zu λ, so sind e λx a,, e λx a m insgesamt m linear unabhängige Lösungen 2 Ist λ = α + jβ, λ = α jβ ein Paar konjugiert komplexer Eigenwerte der Vielfachheit m und bildet { c,, c m } C n eine komplexe Basis des Eigenraums zu λ = α + jβ, so sind e αx (cos(βx)(re c ) sin(βx)(im c )), e αx (sin(βx)(re c ) + cos(βx)(im c )), e αx (cos(βx)(re c m ) sin(βx)(im c m )), e αx (sin(βx)(re c m ) + cos(βx)(im c m )), insgesamt 2m linear unabhängige Lösungen Dabei gilt für u + jv u v c = C n : Re c = R n ; Im c = R n u n + jv n u n v n Da Lösungen zu verschiedenen Eigenwerten stets linear unabhängig sind, erhält man, indem man Schritt bzw Schritt 2 für alle Eigenwerte durchführt, ein Fundamentalsystem, vorausgesetzt die Matrix A ist diagonalisierbar Beispiele: Gegeben ist das Differentialgleichungssystem y 0 = y 0 Die Matrix A = 0 0 hat die Eigenwerte λ = und λ 2 = und die linear unabhängigen Eigenvektoren t =, t 2 = Daher ist ( y (x) = e λ x e x t = e x ), y 2 (x) = e λ 2x e x t 2 = e x ein Fundamentalsystem Die allgemeine Lösung lautet somit c e y(x) = x + c 2 e x c e x c 2 e x

26 22 Differentialgleichungen 2 Wir betrachten das zu Beginn von D 3 erwähnte Differentialgleichungssystem Die Matrix y (x) = y 2(x) y 2 (x) = y (x) A = 0 0 hat die komplex konjugierten Nullstellen λ = j und λ 2 = j Der Vektor j c = ist ein Eigenvektor zu λ Also bilden cos x (Re c ) sin x (Im c ) = sin x (Re c ) + cos x (Im c ) = sin x, cos x cos x sin x ein Fundamentalsystem Die Wronskimatrix cos x sin x W (x) = sin x cos x ist eine Drehmatrix Die allgemeine Lösung lautet a cos x a W (x) a = 2 sin x a sin x + a 2 cos x und beschreibt den um den Winkel x gedrehten Vektor a D 34 Inhomogen linear In diesem Abschnitt werden Verfahren für die Bestimmung einer speziellen Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung höherer Ordnung oder eines inhomogenen Systems vorgestellt Wir beginnen mit der Betrachtung inhomogener Systeme Die dafür entwickelte Lösungsmethode fußt auf dem Verfahren der Variation der Konstanten Die Methode läßt sich auf Differentialgleichungen höherer Ordnung übertragen Doch für den Fall, daß die Inhomogenität von spezieller Gestalt ist, gibt es auch einen direkten Ansatz D 34 Differentialgleichungssysteme Die allgemeine Lösung eines inhomogenen Systems setzt sich aus der allgemeinen Lösung des homogenen Systems und einer speziellen Lösung des inhomogenen Systems zusammen In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie mit dem

27 D 3 Systeme von DGL und DGL höherer Ordnung 23 Verfahren der Variation der Konstanten eine spezielle Lösung bestimmt werden kann Dabei wird vorausgesetzt, daß die allgemeine Lösung des homogenen Systems bereits bestimmt wurde Gesucht ist eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems y (x) = A(x) y(x) + a(x) (39) Bekannt ist eine Wronskimatrix W (x) für das zugehörige homogene System y (x) = A(x) y(x) Es gilt also W (x) = A(x) W (x) Mit dem Ansatz gilt: Einsetzen in 39 ergibt daraus folgt y(x) = W (x) c(x), wo c(x): R R n y (x) = W (x) c(x) + W (x) c (x) = A(x) W (x) c(x) + W (x) c (x) = A(x) y(x) + W (x) c (x) W (x) c (x) = a(x), c (x) = W (x) a(x) Da die Determinante von W (x) nie verschwindet, ist die inverse Matrix W (x) stets definiert Integrieren liefert c(x) = W (t) a(t) dt Dabei ist die vektorwertige Funktion c komponentenweise zu integrieren Als spezielle Lösung von 39 erhalten wir: y s (x) = W (x) W (t) a(t) dt Die allgemeine Lösung hat die Form ( x ) y(x) = W (x) W (t) a(t) dt + d x 0 Ist ein Anfangswertproblems mit y(x 0 ) = y 0 gegeben, so wird d = W (x 0 ) y 0 gesetzt Beispiel: Wir suchen die Lösung des Differentialgleichungssystems y = 2 y + 3 y 2 + cos x y 2 = y + 2 y 2 + e 2 x

28 24 Differentialgleichungen Mit der Notation von oben gilt 2 3 A = 2 und a(x) = cos x e 2x Das charakteristisches Polynom von A lautet 2 λ 3 2 λ = λ2 + 0λ = λ 2 Die Eigenwerte von A sind daher λ = und λ 2 = Die zugehörigen Eigenvektoren ergeben sich zu 3 t = und t 2 = Daher bilden die Funktionen y = e x 3 und y 2 = e x ein Fundamentalsystem Dies ergibt die Wronskimatrix 3e x e W (x) = x e x e x Deren Inverse lautet W (x) = 2 ( e x e x e x 3e x ) Wird die Inverse mit der Inhomogenität multipliziert, folgt W (t) a(t) = ( et cos t e 3t 2 e t cos t + 3e t Integrieren liefert c(x) = W (t) a(t) dt = ( 2 (ex sin x + e x cos x) ) 3 e3x 2 2 ( e x sin x + e x cos x) + 3e x, was zu der speziellen Lösung y s (x) = W (x) c(x) = ( 2 ) sin x + cos x + e2x 2 cos x e2x führt Die allgemeine Lösung hat die Gestalt ( 3d e x + d 2 e x + sin x + cos x + e2x 2 y(x) = d e x + d 2 e x + cos x e2x ) )

29 D 342 D 3 Systeme von DGL und DGL höherer Ordnung 25 Differentialgleichungen n-ter Ordnung Auch für inhomogene Differentialgleichungen n-ter Ordnung kann zur Bestimmung einer speziellen Lösung das Verfahren der Variation der Konstanten eingesetzt werden Daneben gibt es für spezielle Störfunktionen direkte Ansätze Gesucht ist die Lösung einer Differentialglei- Variation der Konstanten: chung der Form y (n) (x) + a n (x) y (n ) (x) + + a 0 (x) y(x) = b(x) (30) Falls ein Fundamentalsystem y (x),, y n (x) der zugehörigen homogenen Differentialgleichung bestimmt wurde, kann eine spezielle Lösung von 30 durch den Ansatz n y s (x) = c k (x) y k (x) k= erarbeitet werden Um die c k (x) zu berechnen, geht man wie im homogenen Fall zu dem System y (x) = A(x) y(x)+ b(x) über Dabei gilt b(x) = (0,, 0, b(x)) Anschließend bildet man die Wronskimatrix W (x) und berechnet damit c(x) = W (t) b(t) dt wie im vorherigen Abschnitt D 34 Im Spezialfall n = 2 lassen sich die Funktionen c und c 2 einfach berechnen Für die Wronskideterminante gilt nämlich (x) := det W (x) = y (x) y 2 (x) y 2(x) y (x) Mit der Cramerschen Regel folgt daraus für die Inverse der Wronskimatrix W (x) = y (x) 2 (x) y 2 (x) y (x) y (x) Dies ergibt c (x) = x x 0 y 2 (t) b(t) (t) dt und c 2 (x) = x x 0 y (t) b(t) (t) Direkter Ansatz: Bei den Anwendungen ist häufig die Störfunktion b(x) ähnlich gebaut wie die Lösungen der homogenen Differentialgleichung Für solche Fälle kann die spezielle Lösung y s (x) wesentlich bequemer durch einen direkteren Ansatz gewonnen werden Dieser Ansatz funktioniert aber nur für Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten dt

30 26 Differentialgleichungen In der folgenden Tabelle bedeuten: λ bzw u + vj eine m-fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms, wobei,,0-fache Nullstelle heißt, daß keine Nullstelle vorliegt 2 q(x), r(x), Q(x), R(x) Polynome, die alle den gleichen Grad haben Zu einer Störfunktion b(x) der Art q(x) e λx q(x) e ux cos(vx) oder q(x) e ux sin(vx) oder e ux (q(x) cos(vx) + r(x) sin(vx)) existiert eine spezielle Lösung y s (x) der Form x m Q(x) e λx x m e ux (Q(x) cos(vx) + R(x) sin(vx)) Die Polynome Q(x) und R(x) werden durch Einsetzen in die Differentialgleichung und anschließendem Koeffizientenvergleich bestimmt Setzt sich die Störfunktion b(x) aus verschiedenen Funktionen der obigen Form zusammen, gilt also b(x) = i b i(x), so wird für jedes b i (x) eine Lösung y i (x) wie oben bestimmt, und die Summe y s (x) = i y i(x) liefert eine Lösung für b(x) Beispiele: Gesucht ist eine Lösung der Differentialgleichung y + y = x + Das charakteristische Polynom λ 2 + λ hat die einfachen Nullstellen λ = 0 und λ 2 = Daher bilden y = e 0x und y 2 = e x ein Fundamentalsystem der homogenen Differentialgleichung Für die Störfunktion gilt b(x) = x + = q(x) e 0x mit q(x) = x + Gesucht ist somit ein Polynom Q(x) = c x + d, so daß y s (x) = x (c x + d) e 0x = c x 2 + d x eine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung ist Es gilt y s = 2c x+d und y s = 2c Einsetzen in die Differentialgleichung liefert somit: }{{} 2 c + 2c } {{ x + d } = x + y y Koeffizientenvergleich liefert d + 2c = und 2c = Daraus folgt d = 0 und c = /2 Die spezielle Lösung lautet somit: y s (x) = 2 x2 + 0 x = 2 x2

31 D 3 Systeme von DGL und DGL höherer Ordnung 27 2 Schwingungsdifferentialgleichung, inhomogener Fall; erzwungene Schwingung: Gesucht ist eine spezielle Lösung der Differentialgleichung y + 2δy + ω 2 y = b(t) := c cos(νt) + d sin(νt) mit c, d R Die Störfunktion b(t) heißt in diesem Zusammenhang,,Erregung, die Frequenz ν heißt,,erregerfrequenz Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind (vgl: D 33, Beispiel 3): λ /2 = δ ± δ 2 ω 2 Falls weder ν = ω = 0 noch δ = 0 und ν = ω gilt, ist νj keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms Also gehört zu der Störfunktion c cos(νt) + d sin(νt) eine spezielle Lösung der Gestalt Es gilt y s = e cos(νt) + f sin(νt) y s = e ν sin(νt) + f ν cos(νt) y s = e ν 2 cos(νt) f ν 2 sin(νt) Einsetzen in die Differentialgleichung liefert: y s + 2δy s + ω 2 y s = eν 2 cos(νt) fν 2 sin(νt) 2δeν sin(νt) + 2δfν cos(νt) + ω 2 e cos(νt) + ω 2 f sin(νt) = ((ω 2 ν 2 )e + 2δfν) cos(νt) + ((ω 2 ν 2 )f 2δeν) sin(νt) = c cos(νt) + d sin(νt) Ein Vergleich der Faktoren bei cos(νt) und sin(νt) ergibt: (ω 2 ν 2 ) e + 2δν f = c 2δν e + (ω 2 ν 2 ) f = d (3) Daraus folgt: e = (ω2 ν 2 ) c 2δν d (ω 2 ν 2 ) 2 + 4(δν) 2, f = 2δν c + (ω2 ν 2 ) d (ω 2 ν 2 ) 2 + 4(δν) 2 Um die Lösung besser interpretieren zu können, schreiben wir das lineare Gleichungssystem 3 in Matrixform: ω 2 ν 2 2δν e c 2δν ω 2 ν 2 = f d Die Matrix M = ( ω 2 ν 2 2δν ) 2δν ω 2 ν 2

32 28 Differentialgleichungen ist die Matrix einer Drehstreckung mit Streckfaktor m = det M = (ω 2 ν 2 ) 2 + (2δν) 2 und Drehwinkel α, wobei cos α = ω2 ν 2 m = ω 2 ν 2 = (ω 2 ν 2 ) 2 + (2δν) 2 sin α = 2δν m = Es gilt also 2δν (ω 2 ν 2 ) 2 + (2δν) 2 = cos α sin α M = m sin α cos α mit m und α wie oben Daraus folgt M = cos α sin α m sin α cos α was e c = M = f d m induziert Für die spezielle Lösung gilt daher: + 2δν 2 ω 2 ν 2 + ( ω 2 ν 2 2δν c cos α d sin α c sin α + d cos α y s (t) = ((c cos α d sin α) cos(νt) + (c sin α + d cos α) sin(νt)) m = (c (cos α cos(νt) + sin α sin(νt)) m +d ( sin α cos(νt) + cos α sin(νt))) = (c cos(νt α) + d cos(νt α)) m = m (c cos(ν (t α ν )) + d cos(ν (t α ν ))) = m b(t α ν ) Das bedeutet, daß die Störfunktion, phasenverschoben und mit einer anderen Amplitude, eine spezielle Lösung ist Der Faktor kann größer als sein m In diesem Fall spricht man von Resonanz Gilt ω = ν und δ = 0 so ist νj = ωj eine einfache Nullstelle des charakteristischen Polynoms Also gehört zu der Störfunktion c cos(νt) + d sin(νt) eine spezielle Lösung der Gestalt y s (t) = t (e cos(νt) + f sin(νt)) Die Amplitude steigt linear an Man spricht von einer Resonanzkatastrophe Der Fall ω = ν = 0 ist nicht wirklich ein Schwingung Die Differentialgleichung reduziert sich zu y + 2δy = c ) 2

33 D 3 Systeme von DGL und DGL höherer Ordnung 29 Da 0 eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms λ 2 + 2δλ ist, gibt es eine spezielle Lösung der Gestalt y s (t) = a t Einsetzen in die Differentialgleichung liefert a = 2δ c D 35 Reduktionsmethoden Wir haben bis jetzt Verfahren kennengelernt, mit dem homogene Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten gelöst werden können Wir kennen außerdem Lösungsverfahren für inhomogene Differentialgleichungssysteme, die für konstante wie für nichtkonstante Koeffizienten funktionieren, jedoch voraussetzten, daß die allgemeine Lösung des homogenen Systems bekannt ist Was fehlt, ist ein Verfahren zum Lösen homogener Systeme mit nichtkonstanten Koeffizienten Ein solches Verfahren gibt es leider nicht In diesem Abschnitt wird eine Methode vorgestellt, die es erlaubt, die Dimension eines Differentialgleichungssystems bzw die Ordnung einer Differentialgleichung um eins zu vermindern, falls eine Lösung bekannt ist Diese Methode ist vergleichbar mit der Division eines Polynoms durch einen erratenen Linearfaktor D 35 Differentialgleichungssysteme Gegeben ist das homogene lineare Differentialgleichungssystem y = A(x) y (32) und eine Lösung u(x) = (u (x),, u n (x)) mit u (x) 0 Für die weiteren Lösungen setzten wir an: y(x) = u(x) f(x) + z(x), wobei z (x) 0 (33) Gesucht ist also ein Funktion z: R R n und ein Funktion f: R R, so daß die gemäß 33 gebildete Funktion y(x) ein Lösung von 32 ist Die erste Komponente der Funktionen u und z ist zunächst nicht von Bedeutung Wir setzten daher u(x) := (u 2 (x),, u n (x)) R n, z(x) := (z 2 (x),, z n (x)) R n Die Matrix A(x) schreiben wir in der Form a a(x) A(x) = A(x) a n Es gilt also a(x) T R n und A(x) ist eine (n ) (n )-Matrix Einsetzen von 33 in 32 ergibt: u f + u f + z = A u f + A z

34 30 Differentialgleichungen Weil u eine Lösung der Gleichung 32 ist, dh weil A u = u gilt, folgt daraus u(x) f (x) + z (x) = A(x) z(x) (34) Da nach Voraussetzung z (x) 0 gilt, lautet die erste Komponente von von 34: u f = a z Also folgt: f (x) = a(x) z(x) (35) u (x) Wird dies in 34 eingesetzt und wird die Komponente weggelassen, so entsteht ein System der Dimension n für z: u(x) a(x) z(x) + z (x) = A(x) z(x) u (x) Die Differentialgleichung für z lautet also: z (x) = A(x) u 2 a 2 u 2 a n u (x) z(x) (36) u n a 2 u n a n Damit hat man ein lineares System der Dimension n für z(x) Jede Lösung z(x) des reduzierten Systems 36 liefert über Gleichung 35 eine Funktion f(x), aus der mit Gleichung 33 eine Lösung y(x) der ursprünglichen Differentialgleichung 32 bestimmt werden kann Ist z 2,, z n ein Fundamentalsystem des reduzierten Systems 36, so liefert das eben geschilderte Verfahren ein Fundamentalsystem u, y 2,, y n des ursprünglichen Systems 32 Beispiel: Gesucht sind die Lösungen des Systems Mit der Notation von oben gilt: A(x) = ( 2x 2x 2 x y = 2x y + 2x 2 y 2 y 2 = y + x y 2 ), a(x) = 2x 2, A(x) = x Eine (erratene) Lösung lautet u(x) = x x 2 Somit gilt mit den Bezeichnungen von oben: u (x) = x, u(x) = x 2

35 D 3 Systeme von DGL und DGL höherer Ordnung 3 Die reduzierte Differentialgleichung 36 für z(x) hat die Gestalt z (x) = ( x ) x x2 z(x) = 2x 2 2x z(x) Dies ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung Mit Methoden aus Abschnitt D D berechnet sich die Lösung zu z(x) = e 2 ln x = x 2 Eingesetzt in Gleichung 35 folgt daraus: f (x) = u (x) a(x) z(x) = x 2x x 2 2 Für x > 0 folgt daraus f (x) = 2 x 5/2, also f(x) = 3 x 3/2 Die zugehörige Lösung des ursprünglichen Problems lautet daher: y(x) = u(x) f(x) + z(x) = Damit ist x x 2 ( 3 ) 0 x 3/2 + x /2 = x x 2, ( ) 3 x 3/2 2 3 x/2 ein Fundamentalsystem des vorgegebenen Differentialgleichungssystems 3 x 3/2 2 3 x/2 D 352 Differentialgleichungen n-ter Ordnung Eine Variation der Reduktionsmethode funktioniert auch für Differentialgleichungen höherer Ordnung Sei also y(n) + a n (x) y (n ) + + a 0 (x) y(x) = 0 (37) eine Differentialgleichung n-ter Ordnung mit nichtkonstanten Koeffizienten Sei weiterhin u(x) eine Lösung von 37 Zur Bestimmung weiterer Lösungen von 37 wählen wir den Ansatz y(x) = u(x) f(x) (38) Dies führt die Suche nach y auf eine Suche nach f zurück Wird Gleichung 38 in Gleichung 37 eingesetzt, so entsteht eine Differentialgleichung n-ter Ordnung für f Da u eine Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung ist, kann aus der Differentialgleichung für f der Term f (0) eliminiert werden Es liegt also eine Differentialgleichung der Ordnung n für f vor Ist f eine Lösung dieser Differentialgleichung, so liefert Integrieren die gesuchte Funktion f, mit der über Gleichung 38 eine Lösung y der ursprünglichen Differentialgleichung 38 gewonnen werden kann

36 32 Differentialgleichungen Beispiele: Gegeben ist die Differentialgleichung x 2 y x 2 y y = 0 Eine vorgegebene Lösung dieser Differentialgleichung ist Daraus folgt zunächst Aus dem Ansatz ergibt sich u(x) = x 2 u (x) = 2x und u (x) = 2 y := u f y = u f + u f, y = u f + 2u f + u f Einsetzen in die Differentialgleichung liefert: x 2 (u f + 2u f + u f ) x 2 (u f + u f ) u f = 0 Da u eine Lösung der ursprünglichen Differentialgleichung ist, weil also x 2 u x 2 u u = 0 gilt, folgt daraus x 2 (4x f + x 2 f ) x 2 x2 f = 0, also x 4 f x3 f = 0 Für x > 0 liefert dies die lineare Differentialgleichung erster Ordnung (f ) = 7 2x f Mit den Methoden aus D D berechnet sich die Lösung zu f (x) = c e 7 2 ln x = c x 7 2 Integrieren liefert, bei geeigneter Wahl von c: f(x) = x 5 2 Für die Lösung y der ursprünglichen Differentialgleichung folgt: y(x) = u f = x 2 x 5 2 = x 2 Somit ist ein Fundamentalsystem x 2, x 2

37 D 4 Eulersche Differentialgleichungen 33 2 Gesucht ist eine Lösung der Differentialgleichung x 3 y 3x 2 y + (x 3 + 6x) y (x 2 + 6) y = 0 Gegeben ist die Lösung u(x) = x Wir setzen an Daraus folgt: y = u f = x f y = f + x f y = 2f + x f y = 3f + x f Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt: x 3 (3f +x f ) 3x 2 (2f +x f )+(x 3 +6x)(f +x f ) (x 2 +6)(x f) = 0 Daraus folgt x 4 f + ( 6x 2 + x 4 + 6x 2 ) f = 0, was schließlich die Differentialgleichung (f ) + f = 0 für f ergibt Ein Fundamentalsystem dieser Differentialgleichung lautet f (x) = cos x, f 2 (x) = sin x Integrieren und Abändern um konstante Faktoren liefert f (x) = sin x, f 2 (x) = cos x Für die ursprüngliche Differentialgleichung ist daher ein Fundamentalsystem x, x sin x, x cos x D 4 Eulersche Differentialgleichungen In diesem Kapitel werden Differentialgleichungen höherer Ordnung mit nichtkonstanten Koeffizienten einer speziellen Form untersucht Für diese Differentialgleichungen gibt es ein Lösungsverfahren D 4 Homogen Eine homogene Eulersche Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung der Gestalt x n y (n) + a n x n y (n ) + + a x y + a 0 y = 0 (4) mit a i R konstant Zur Bestimmung der Lösungen wird schrittweise vorgegangen

38 34 Differentialgleichungen Ist y(x) eine Lösung für x > 0, so ist y( x ) eine Lösung für x 0 Daher kann für die folgenden Schritte x > 0 angenommen werden 2 Einsetzen von x = e t in die Differentialgleichung 4 ergibt für z(t) = y(e t ) eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten: d n dt n z(t) + b n dn dt n z(t) + + b 0 z(t) = 0 (42) Die konstanten Koeffizienten b i R müssen zunächst nicht ausgeschrieben werden 3 Die komplexen Fundamentallösungen von 42 haben die Gestalt z(t) = t k e λt Dabei ist λ R oder C eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms von 42 mit Vielfachheit m λ, und es gilt 0 k < m λ Als Real- und Imaginärteil von z(t) = z(ln x) erhält man mit λ = u+j v als Lösungen: y(x) = (ln x) k x u cos(v ln x) und y(x) = (ln x) k x u sin(v ln x) Die komplex konjugierte Nullstelle λ wird nicht verwendet Für reelle Nullstellen λ entfällt der cos- bzw sin-term 4 Die für Schritt 3 benötigten Nullstellen λ erhält man einschließlich ihrer Vielfachheit aus dem charakteristischen Polynom von 4, das man durch Einsetzen von ỹ = x λ C in 4 erhält Es gilt also: n n λ χ(λ) := a k λ (λ ) (λ 2) (λ k + ) = a k k! = 0 k Dabei wird a n := gesetzt Beispiele: Die Eulersche Differentialgleichung x 3 y + 2x 2 y x y + y = 0 führt zu dem charakteristischen Polynom λ (λ ) (λ 2) + 2 λ (λ ) λ + = (λ ) 2 (λ + ) Die Nullstellen dieses Polynoms sind λ = mit der Vielfachheit m = 2 und λ 2 = mit der Vielfachheit m 2 = Also ist ein Fundamentalsystem x, x ln x, x

39 D 5 Potenzreihenansatz 35 2 Die Eulersche Differentialgleichung x 2 y + 2x y y = 0 führt zu dem charakteristischen Polynom λ (λ ) + 2 λ = λ2 + λ mit den komplexen einfachen Nullstellen λ,2 = 2 ± j Es gilt also u = 2 und v = Das führt zu dem Fundamentalsystem y (x) = y 2 (x) = x cos(ln x ) x sin(ln x ) D 42 Inhomogen Zur Lösung einer inhomogenen Eulerschen Differentialgleichung wird mit dem eben geschilderten Verfahren die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung berechnet und mit den Methoden aus Abschnitt D 342 eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung bestimmt Wir betrachten nur den Fall x < 0 Hat die Störfunktion die Gestalt b(x) = x λ q(ln x), wobei λ R eine m-fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms (m 0) und q ein Polynom ist, so existiert eine spezielle Lösung der Form y(x) = x λ (ln x) m Q(ln x) mit einem Polynom Q vom selben Grad wie q Ist die Störfunktion b(x) nicht von dieser Form, so geht man zu der Differentialgleichung 42 über (x := e t ) und löst diese durch Variation der Konstanten, oder man dividiert die gegebene Differentialgleichung durch x n und löst die entsprechende lineare Differentialgleichung durch Variation der Konstanten D 5 Potenzreihenansatz Eine weitere Methode, Differentialgleichungen höherer Ordnung zu lösen, bietet der Potenzreihenansatz, den wir bereits in A 7 kennengelernt haben Ist y (n) = f(x, y,, y (n ) ) eine nicht notwendigerweise lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung, und sind die Anfangswerte y(x 0 ),, y (n ) (x 0 ) vorgegeben, so wird die Lösung als eine Potenzreihe der Form y(x) = a k (x x 0 ) k,

40 36 Differentialgleichungen mit a k = y(k) (x 0 ) k! für k n, angesetzt Einsetzen der Potenzreihe in die Differentialgleichung und anschließender Koeffizientenvergleich liefert rekursiv die Koeffizienten a k für k n Sind keine Anfangswerte vorgegeben, so erhält man die allgemeine Lösung der Differentialgleichung, indem die Koeffizienten a 0,, a n variabel angesetzt werden Beispiele: (Vergleiche A 7 ) Zum Lösen des Anfangswertproblems setzen wir y = c y, y(0) =, y(x) = mit a 0 = an Für die Ableitung gilt a k x k y (x) = i a i x i = i= (k + ) a k+ x k Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt (k + ) a k+ x k = c a k x k Koeffizientenvergleich liefert die Rekursionsgleichung aus der folgt Somit löst a k+ = c k + a k, a k = ck k! a 0 = ck k! y(x) = das Anfangswertproblem c k k! xk = (c x) k k! = e c x 2 Hypergeometrische Reihe: Gesucht ist eine Lösung der Differentialgleichung (x 2 x) y + (( + α + β) x γ) y + αβ y = 0, (5) mit α, β R und γ R \ { n n N 0 } Wir setzen die Lösung als Potenzreihe an: y(x) = a k x k