9.4 Lineare gewöhnliche DGL

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1 9.4 Lineare gewöhnliche DGL Allgemeinste Form einer gewöhnlichen DGL: Falls linear in ist, sprechen wir von einer "linearen" DGL: und eine Matrix zeitabhängigen Komponenten ein zeitabhängiger Vektor In Komponenten: Falls : "homogene DGL" Falls : "inhomogene DGL", dann wird die "Inhomogenität" der DGL genannt. Beispiel 1: Gedämpfter harmonischer Oszillator Rückstellkraft Reibungskraft Oszillatorfrequenz Dämpfungsrate Antriebskraft Rückführung auf zwei gekoppelte DGL 1. Ordnung: (linear in und ) In Matrixschreibweise: Im Folgenden stellen wir Lösungstrategien für solche Gleichungen vor, zunächst für homogene, danach für inhomogene lineare DGL.

2 Homogene DGL für n = 1 Trennung der Variablen liefert allgemeine Lösung: Trennung und Integration: Umkehrfunktion liefert gesuchte Lösung: Check: Beispiel 2: Lösung: Superpositionsprinzip: (nun wieder für ) Seien und zwei Lösungen einer homogenen linearen DGL, d.h. (j ist kein Komponentenindex, sondern unterscheidet zwei Lösungen!) (ohne Spezifizierung der Anfangsbedingungen), dann ist die "Linearkombination" ebenfalls eine Lösung! Beweis:

3 Das Superpositionsprinzip ermöglicht die Konstruktion von Lösungen der homogenen DGL Anfangsbedingung: Strategie: Finde zunächst die Lösungen j-te Position für die n unabhängigen Anfangswertprobleme: Anfangsbedingung Dann ist die Lösung für das homogene Anfangswertproblem (1), (2), gegeben durch Check: DGL: (4) erfüllt (1), laut Superpositionsprinzip Anfangsbedingung: Beispiel 3: harmonischer Oszillator (ohne Dämpfung, ohne Antrieb) (20.7) Lösung für Lösung für gut geratener Ansatz (systematischer Lösungsweg für lineare DGL konstanten Koeff.: siehe Seite ) Allgemeine Lösung für

4 Allgemeinere Aussage: die homogene DGL hat i.a. d.h. falls linear unabhängige Lösungen, (Definitionsbereich der Lösungen) (analog zur Definition von "linearer Unabhängigkeit" von Vektoren). Satz: Die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen DGL kann geschrieben werden als Summe der allgemeinen homogenen Lösung und einer "speziellen" oder "partikulären" inhomogenen Lösung, Check: Rezept zur Lösung einer inhomogenen linearen DGL: (i) Finde allgemeine homogene Lösung (ii) Finde eine partikuläre Lösung -- Methode hierzu: "Variation der Konstanten" (iii) Addiere (i) + (ii) Methode der Variation der Konstanten (zunächst für n=1) Angenommen, Lösung der homogenen Gleichung ist bekannt: Gesucht: partikuläre Lösung der inhomogenen DGL: Ansatz: (der Vorfaktor c, normalerweise konstant, sei nun t-abhängig, d.h. "variabel") (3) eingesetzt in die inhomogene DGL (2): Produktregel: Wir erhalten DGL für : Elementar zu lösen, siehe (8.3):

5 Beispiel 4: (aufbauend auf Beispiel 2) Homogene Lösung bereits bekannt, (21.7): Variation der Konstanten: (3) eingesetzt in (1): entspricht siehe (26.6) Gesuchte partikuläre Lösung: Allgemeine Lösung: durch Anfangsbedingung festgelegt Check: Beispiel 5: RC Schaltkreis Spannung am Kondensator: Spannung am Widerstand: Spannungsquelle: Lineare DGL: (5.A) Betrachte zunächst konstante Spannung: Dann lässt sich eine partikuläre Lösung per Inspektion finden: Ansatz: eine Konstante! Eingesetzt in (4):

6 Bestimme nun homogene Lösung: Lösung bereits bekannt: Exponentieller Zerfall (siehe (5.6)]: ( hat Dimension einer Zeit, heißt "RC-Zeitkonstante") Allgemeine Lösung: Anpassen der Konstanten : Auflösen: Gesuchte Lösung von (28.4) für, : (6) in (4): (eindeutig) (5.B) Betrachte nun beliebige Spannung: Homogene Lösung bereits bekannt, (29.2): Suche partikuläre Lösung von (28.4), tels Variation der Konstanten: Ansatz: (3) eingesetzt in (2): Elementar zu lösen, siehe (8.3): Partikuläre Lösung: (7) in (3)

7 Allgemeine Lösung: neue Konstante: Anpassen der Konstanten : Gesuchte eindeutige Lösung: homogen: freie Lösung inhomogen:getriebene Lösung Betrachte nun dann fällt erster Term weg. Stufenfunktion = Faltung von Antrieb "Antwortfunktion" (jede DGL hat eine entsprechende AF) ist die "Antwortfunktion" für Gl. (28.4) 8.4 Lineare DGL konstanten Koeffizienten Variation der Konstanten für Also betrachten wir nun möglich, aber i.a. schwierig. Ausnahme: zeitunabhängige Matrix zeitabhängige Inhomogenität (i) Lösung für homogene DGL per Exponential-Ansatz Für n=1, lautet die homogene DGL, Lösung Für allgemeines n machen wir analogen e-ansatz für die Lösung der homogenen DGL: e-ansatz: Zeitabhängigkeit nur im Exponenten! zeitunabhängiger Vektor, Homogene DGL: (3) in (4): Für nicht-triviale Lösung ( ) muss ein Eigenvektor von sein! ein Eigenwert von sein!

8 Sei diagonalisierbar (andere Fälle diskutieren wir hier nicht). Dann existiert ein Satz von dazugehörigen Eigenwerten linear unabhängigen Eigenvektoren d.h. Allg. Lösung der homogenen DGL (laut Superpositionsprinzip): Summe über alle Eigenlösungen: durch Anfangsbed. bestimmt (ii) Partikuläre Lösung für inhomogene DGL: per Variation der Konstanten Ansatz: Inhomogene DGL (32.1): (3) in (4): Trick: Zerlege in Eigenbasis von : (1) = (2): Elementar zu lösen, siehe (8.3): (iii) Allgemeine Lösung von (32.1): Anpassen der Konstanten: Da sind die eindeutig bestimmt, da die linear unabhängig sind.

9 Beispiel 6: Harmonischer Oszillator Kompaktnotation: (i) Homogene Lösung per Exponentialansatz: Eigenwertproblem: Charakteristisches Polynom: Eigenwerte = Nullstellen: Fallunterscheidung: (a) Keine Dämpfung: reine Oszillationen (b) Unterdämpft: (c) Überdämpft: