Anwendung: gedämpfter harmonischer Oszillator (ohne Antrieb) Exponentialansatz: Eigenwertproblem: Charakteristisches Polynom: Zwischenbemerkung:

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1 Anwendung: gedämpfter harmonischer Oszillator (ohne Antrieb) Exponentialansatz: Eigenwertproblem: Charakteristisches Polynom: Zwischenbemerkung: (3q.6) folgt auch direkt, wenn ein exp-ansatz für x(t), eingesetzt wird in die homogene Bewegungsgl. (3g.1), Aber bei so einem Zugang ist zugrundeliegende Struktur des Eigenwertproblems nicht ersichtlich. Eigenwerte = Nullstellen: Lösungen von (6):

2 Qualitatives Verhalten der Lösung hängt vom Verhältnis ab: (a): "frei, ungedämpft": (b): "unterdämpft": (c): "kritische Dämpfung": (d): "überdämpft": Reibung führt unterdämpft: überdämpft: zu exponentiellem Zerfall der Amplitude: zu einer Reduktion der Winkelfrequenz nach welche verschwindet für zu völligen Abwesendheit von Schwingungen! (b) Unterdämpfter Fall: (anderen Fälle: Übungen!) "reduzierter Frequenz" Dazugehörigen EV erfüllen: Lösung v. (3) z.b.: Check: (4) in (3): Allgemeine homogene Lösung: Anmerkung: Die Struktur der EV gewährleistet, dass d.h. (3g.1) ist erfüllt

3 (v) Komplexe Lösungen als Hilfstel zur Konstruktion reeller Lösungen Betrachte zunächst nur Ortskomponente: (3t.1) in (3t.4): Da reell ist, brauchen wir komplexe(!) Amplituden: Dann Anpassen der Konstanten tels Anfangsbedingung: z.b.: Skizze für Periode: Dämpfungszeit Amplitude zerfällt nach Zeit auf

4 Die anderen Fälle (qualitativ und in aller Kürze) (a) Keine Dämpfung: reine Oszillationen: (c) Kritisch gedämpft: enthält i.a. linearen Anteil nur eine Lösung! Finde andere tels "Variation der Konstanten" (siehe S. C7.4c) (d) Überdämpft: gar keine Oszillationen: C7.5 Inhomogene lineare DG 1.Ordnung Inhomogene lineare DG 1. Ordnung hat folgende allgemeine Form: 'Inhomogenität' Satz: Lösung v. (1) kann geschrieben werden als Summe der allgemeinen homogenen Lösung und einer "speziellen" oder "partikulären" inhomogenen Lösung, Check: Rezept zur Lösung einer inhomogenen linearen DGL 1. Ordnung: (i) Finde allgemeine homogene Lösung (ii) Finde eine partikuläre Lösung -- Methode hierzu: 'Variation der Konstanten' (iii) Addiere (i) + (ii)

5 Homogene DG für n = 1 Trennung der Variablen liefert allgemeine Lösung: Trennung und Integration: Umkehrfunktion liefert gesuchte Lösung: Check: Beispiel 2: Lösung: Inhomogene Lösung: Methode der 'Variation der Konstanten' (zunächst für n=1) Angenommen, Lösung der homogenen Gleichung ist bekannt: Gesucht: partikuläre Lösung der inhomogenen DGL: Ansatz: (der Vorfaktor c, normalerweise konstant, sei nun t-abhängig, d.h. "variabel") (3) eingesetzt in die inhomogene DGL (2): Produktregel: Wir erhalten DGL für : Elementar zu lösen, siehe (C7h.3): erfüllt

6 Beispiel 3: (aufbauend auf Beispiel 2) Homogene Lösung bereits bekannt, (c.7): Variation der Konstanten: (3) eingesetzt in (1): entspricht (4c.6): Gesuchte partikuläre Lösung: Allgemeine Lösung: durch Anfangsbedingung festgelegt Check: Beispiel 3: RC Schaltkreis Spannung am Kondensator: Spannung am Widerstand: Spannungsquelle: Lineare DGL: Bestimme zunächst homogene Lösung [d.h., setze V(t)=0] Lösung bereits bekannt: Exponentieller Zerfall [siehe (C7.1b)]: ( hat Dimension einer Zeit, heißt "RC-Zeitkonstante")

7 Nächster Schritt: suche eine partikuläre Lösung von (4e.4): (4e.4): Variation der Konstanten: Ansatz: Elementar zu lösen, siehe (C7.3'a.5): Partikuläre Lösung: (4) in (2) Allgemeine Lösung: neue Konstante: Anpassen der Konstanten : Gesuchte eindeutige Lösung: homogen: freie Lösung inhomogen: getriebene Lösung Spezialfall: zeitunabhängige Spannung: dann

8 C7.5 Inhomogenes System von linearen DG 1.Ordnung konst. Koeff. Variation der Konstanten für Also betrachten wir nun Anfangsbedingung: möglich, aber i.a. schwierig. Ausnahme: zeitunabhängige Matrix zeitabhängige Inhomogenität (i) Lösung für homogene DG per Exponential-Ansatz (bereits bekannt) durch Anfangsbedingungen bestimmt Eigenwertproblem! Diagonalisierende Ähnlichkeitstransformation: (ii) Partikuläre Lösung für inhomogene DG: per Variation der Konstanten Ansatz: [analog zu (4c.3)] Inhomogene DG (4h.1): Trick: Zerlege in Eigenbasis von Eigenvektoren sind linear unabhängig, also folgt aus (4): (5) ist elementar lösbar, siehe (C7.3'a.5):

9 (iii) Allgemeine Lösung von (4h.1): Bestimme Konstanten tels Anfangsbedingung: (4i.7) i-komponente: Invertiert: [vergleiche C7.3p.9)] Beispiel: Harmonischer Oszillator Antrieb Matrix-Form: Unterdämpfter Fall: (C7.3s.2) (i) Homogene Lösung: (C7.3t.4) (bereits bekannt, siehe Seite C7.3t)

10 (ii) Konstruktion einer partikulären Lösung, tels Var. d. Konstanten: Ansatz laut (4h.5): Zerlegung v. Antrieb in Eigenbasis von A, laut (4i.4) Lösung für laut (4i.7): Für partikuläre Lösung, setze (4k.4) in (4k.1): Orts (1.)-Komponente hiervon liefert: Einfluss der Antriebskraft zum Zeitpunkt auf das Verhalten der Lösung zum Zeitpunkt klingt exponentiell ab

11 Zusammenfassung: Inhomogene lineare DG 1. Ordnung Lineare DG: falls =0: homogen falls =0: inhomogen Allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen DG: Allgemeine homogene Lösung: (irgendeine) Partikuläre Lösung: 1D (n=1): homogene Lösung (Trennung d. Variablen): partikuläre Lösung (Variation d. Konstanten): : Zusammenfassung: Inhomegene lineare DG konstanten Koeffizienten (i) Suche Lösung für homogene DGL per Exponential-Ansatz: e-ansatz: Zeitabhängigkeit nur im Exponenten! zeitunabhängiger Vektor, Ergebnis: Allg. Lösung der homogenen DGL ist Summe über alle Eigenlösungen: durch Anfangsbedingungen bestimmt Eigenwertproblem! (ii) Partikuläre Lösung für inhomogene DGL: per Variation der Konstanten (zerlegt in Eigenbasis von ) und (iii) Allgemeine Lösung: