Ergebnis: Allg. Lösung der homogenen DGL ist Summe über alle Eigenlösungen: mit

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1 Zusammenfassung: Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten (i) Suche Lösung für homogene DGL per Exponential-Ansatz: e-ansatz: Zeitabhängigkeit nur im Exponenten! zeitunabhängiger Vektor, Ergebnis: Allg. Lösung der homogenen DGL ist Summe über alle Eigenlösungen: mit durch Anfangsbedingungen bestimmt Eigenwertproblem! (ii) Partikuläre Lösung für inhomogene DGL: per Variation der Konstanten (zerlegt in Eigenbasis von ) mit und (iii) Allgemeine Lösung: Anwendung: Gedämpfter, getriebener harmonischer Oszillator Unendlich viele Anwendungen in der Physik, auch außerhalb der Mechanik! Bewegungsgleichung: Dämpfungsrate: Einheit: Kreisfrequenz des Oszillators: Einheit: Antriebskraft: Einheit: Einschub: Wo kommt Gl. (1) her? Einige Beispiele aus der Physik 1. Beispiel: Feder Rückstellkraft proportional zur Auslenkung: Federkonstante Verschobene Koordinaten: (4) hat HO-Form (1), mit Gleichgewichtsposition

2 Die Rückstellkraft (36.2) entspricht einem quadratischen Potential: Wichtig: Quadratisches Potenzial HO Allgemeiner: Oszillationen um Potentialminimum sei Potential mit lokalem Minimum bei : Def. eines Extremums: Taylor-Entwicklung um In Koordinaten: HO-Schwingungen um mit Frequenz: Beispiel für Dämpfung: Definierende Gleichung: Reibungskraft: zeigt immer gegen die Geschwindigkeit: Reibungskonstante: (hängt von Details des Reibungsmechanismus ab). Beispiel: Kugel mit Radius r in Flüssigkeit: Für "Stokes-Reibung" der Flüssigkeit an Kugel gilt: Viskosität

3 Lösungstrategie: Harmonischer Oszillator ist äquivalent zu: Matrixnotation: Kompaktnotation: (i) Homogene Lösung per Exponentialansatz: Eigenwertproblem: Charakteristisches Polynom: Beobachtung: mit einem e-ansatz, eingesetzt in homogene Bewegungsgl. (36.1), folgt sofort dass char. Polynom verschwindet: Eigenwerte = Nullstellen: Lösungen von (6):

4 Qualitatives Verhalten der Lösung hängt vom Verhältnis ab: (a): "frei, ungedämpft": (b): "unterdämpft": (c): "kritische Dämpfung": (d): "überdämpft": Reibung führt unterdämpft: überdämpft: zu exponentiellem Zerfall der Amplitude: zu einer Reduktion der Winkelfrequenz nach welche verschwindet für zu völligen Abwesendheit von Schwingungen! (b) Unterdämpfter Fall: (anderen Fälle: Übungen!) mit "reduzierter Frequenz" Dazugehörigen EV erfüllen: Lösung v. (3) z.b.: Check: (4) in (3): Allgemeine homogene Lösung: Anmerkung: Die Struktur der EV gewährleistet, dass d.h. (39.1) ist erfüllt

5 Betrachte also zunächst nur Ortskomponente: (42.1) in (42.4): Damit reell ist, brauchen wir komplexe(!) Amplituden: Dann mit Falls keine externe Kraft vorliegt, : Anpassen der Konstanten mittels Anfangsbedingung: z.b.: Skizze für Periode: Dämpfungszeit Amplitude zerfällt nach Zeit auf

6 Die anderen Fälle (qualitativ und in aller Kürze) (a) Keine Dämpfung: reine Oszillationen: (c) Kritisch gedämpft: nur eine Lösung! Finde andere mittels "Variation der Konstanten" enthält i.a. linearen Anteil (d) Überdämpft: gar keine Oszillationen: Unterdämpfter Fall (b) mit Antrieb: (ii) Konstruktion einer partikulären Lösung, mittels Var. d. Konstanten: (Seite 33-34) (1) eingesetzt in inhomogene Gl. (39.3): Zerlegung in Eigenbasis von A: (da EW und EV Vergleiche Koeffizienten von EV: Elementar integrierbar:

7 Für partikuläre Lösung, setze (46.6) in (46.2): Ortskomponente hiervon liefert: mit "Antwortfunktion": [Faltung von Inhomogenität mit Antwortfunktion, gleiche Struktur wie (31.6)] "Suszeptibilität", werden wir im Kapitel "Fourier-Entwicklungen" näher kennenlernen! 8.7 Qualitatives Verhalten von Lösungen von DGL Betrachte die autonome DGL: Vektorfeld: Frage: wie verhalten sich Lösungen für lange Zeiten, Antwort: es gibt drei typische Szenarien 1) Fixpunkte: Bewegung kommt zum Stillstand 2) Grenzzyklen (für Dimension ) Eine geschlossene Trajektore, zu der alle Trajektorien in ihrer Nähe hinlaufen ("stabiler GZ") von der " " " " " weglaufen ("instabiler GZ") 3) Chaos (für Dimension ) Sensitivität auf Anfangsbedingungen: infinitesimale Änderung führt zu komplett anderem Langzeitverhalten Wir diskutieren hier nur kurz Fall 1: Fixpunkte.

8 Fixpunkte: Sei eine Nullstelle von, also Dann ist eine offensichtliche Lösung der DGL (48.1): konstant Beispiel: RC-Schaltkreis mit konstanter Spannung: (siehe S. GD28-29) Explizite Lösung bereits bekannt: Langzeitlimes: Wird exponentiell schnell erreicht, mit Zeitkonstante Das Langzeitverhalten ist "stabil": Änderung der Anfangsbedingung irrelevant; und Änderung der Parameter ändert Langzeitlimes nicht qualitativ (nur quantitativ). Geometrische Lösung: Schreibe mit Nullstelle: Für Für [Pfeile deuten an, wie sich Q(t) mit zunehmender Zeit ändert.] Offensichtlich läuft immer auf zu, unabhängig von Anfangsbedingung! ist ein "stabiler Fixpunkt" des Systems

9 Allgemeiner generischer ( = nichtpathologischer) eindimensionaler Fall: Fixpunkte: Steigung am Fixpunkt: instabile Fixpunkte: stabile Fixpunkte: Stabile und instabile Fixpunkte wechseln sich ab. Leichtes "wackeln" an f(x) ändert nicht viel am qualitativen Langzeitverhalten. (Wie muss f(x) beschaffen sein, damit das Langzeitverhalten sensitiv auf "wackeln" ist? Theorie der "Bifurkationen".) Qualitative Folgerungen für eindimensionalen Fall: - monotone Annäherung an Fixpunkt (oder Weglaufen ins Undendliche): - keine unendlich sich wiederholenden Oszillationen - kein Chaos Lineare Stabilitätsanalyse: Frage: Wie verhält sich die Bewegung in der Nähe eines Fixpunkts? Entwickle DGK in Abweichung vom Fixpunkt ("Linearisieren"): Taylor-Entwicklung: (sinnvoll falls ) Lösung elementar: mit charakteristischen Zeitskala: wächst nimmt ab Fixpunkt instabil Fixpunkt stabil

10 Stabilität von Fixpunkten in höheren Dimensionen Betrachte mit Fixpunkt "Linearisieren": Kleine Abweichung vom Fixpunkt Eingesetzt in (1), für -Komponente: Taylor-Entwicklung: (ES über i) Wir erhalten lineare homogene DGL mit konstanten Koeffizienten: [Vergleiche (35.1) mit ] betrachte als Elemente einer Matrix Allgemeine Lösung: Summe über Eigenmoden: Dabei sind: Eigenwerte der Matrix, mit Eigenvektoren Um generisches Verhalten zu untersuchen, sollten alle sein. nur falls für alle Eigenwerte gilt: (d.h., nur falls "negativ definit" ist) (5) ist ein allgemeines Kriterium für die Stabilität von Fixpunkten!