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1 Beipiel 4: Iteratives Lösen von Gleichungen Kepler-Gleichung: Finde Lösung für bis inklusive! Physikalische Anwendung im Kepler-Problem: Gl. (1) bestimmt den Zusammenhang zwischen Laufzeit t und der "exzentrischen Anomalie" E. Laufzeit: Umlaufzeit: "mittlere Anomalie": Fokus "wahre Anomalie": (= Winkel bzgl. Fokus) "exzentrische Anomalie": const = "Exzentrizität der Ellipse": Kreisbahnen werden gleichmäßig durchlaufen: Elliptische Bahnen wird periodisch moduliert, wegen Flächensatz: "Radiusvektor überstreicht gleiche Flächen in gleichen Zeiten": Lösungsansatz: sind zu bestimmende Funktionen v. M: Lösung bis zur 2. Ordnung inklusive: (1) eingesetzt in (21.1): Vorfaktor, also reicht 1. Ordnung! Taylorentwicklung von mit Vergleiche Koeffizienten von Potenzen von : Gesuchte Lösung:

2 7.3 Satz v. Taylor für Funktion von n Variablen Sei ein offener Quader mit und ein Vektor, so dass Weiter sei eine K+1 mal stetig differenzierbare Funktion. Dann lautet d. Taylor-Entw. v. um für mit Restglied: wobei Speziell in kommt von Beispiel 1: Coulomb-Potential Kettenregel

3 Beispiel 2: Potential eines Dipols "Dipol" = Ladung +Q und -Q im Abstand h voneinander: "Dipolmoment": Was ist das Potential eines Dipols im Limes "Punktdipol" Elektrisches Feld eines Dipols für : Potential eines Punktdipols Elektrisches Feld Punktdipols Äquipotentiallinien Feldlinien ( zu Äquipotentiallinien)

4 7.4 Extrema unter Nebenbedingungen Problemstellung: Betrachte Funktionen Suche Extrema von unter der Nebenbedingung Beispiel 1: Nebenbedingung: [besagt: (x,y) liegt auf Einheitskreis] Lösungstrategie A: Auflösung der Nebenbedingung und einsetzen in f: Suche nun Extrema von Lösungen: Lösungstrategie A ist oft unpraktisch: Auflösen der Nebenbedingung von Hand ist häufig nicht möglich; oder, falls mehrere Lösungen existieren, wird es aufwendig... Lösungstrategie B: Lagrange-Multiplikator Geometrische Betrachtung: Wie findet man Extremum von f(x,y) falls es keine Nebenbedingung gibt? Laufe in Richtung der maximalen Steigung, d.h. von, Wie findet man Extremum von f(x,y) falls eine Nebenbedingung vorhanden ist? Wie oben, aber mit der Einschränkung, dass nur "entlang" oder "parallel zu" der (g=0)-linie" gelaufen wird, d.h. senkrecht zu, d.h. in Richtung, wobei Nebenbedingung: (g=konstant)-linien die Zerlegung von in Komponenten und zu ist. Ein Extremum v. f, unter der Nebenbedingung g=0, ist erreicht wenn An diesem Punkt gilt somit

5 Formale Formulierung: "Lagrange-Multiplikator" Betrachte die Funktion Notwendige Bedingungen für Extremum v. f mit g=0: [äquivalent zu (28.6)] [äquivalent zu ] Beispiel 1 nochmal, mit Lösungstrategie B: Eliminiere : (5) - (6): (8) in (7): Beachte: es ist nicht nötig zu bestimmen!, explizit Allgemeine Formulierung: mit Nebenbedingungen Finde Extrema von, wobei Lösungstrategie: Führe Lagrange-Multiplikatoren ein, und betrachte Kandidaten für Extrema müssen folgende Gl. erfüllen: Beispiel 2: Was ist maximales Volumen eines Zylinders gegebener Oberfläche? Volumen: Oberfläche: Decke + Boden Mantel

6 Betrachte Maximales Volumen: Check: Konventionell, eliminiere Anwendung aus d. Statistischen Physik: Entropiemaximierung Ein Quantensystem mit N möglichen Zustanden, befinde sich mit Wahrscheinlichkeit in Zustand,wobei Die "Entropie" des Systems ist: Aufgabe 1: bestimme die Wahrscheinlichkeiten, für die maximal ist! Lösung: Betrachte Nebenbedingung alle p's sind gleich: Fazit: Entropie ist maximal falls alle Wahrscheinlichkeiten gleich sind.

7 Aufgabe 2: Weitere Nebenbedingung: vorgegebene Energie Sei die Energie des Quantensystems im Zustand Der Mittelwert der Energie ist dann: Für gegebenes E, bestimme die Wahrscheinlichkeiten, für die maximal ist! Lösung: Betrachte Nebenbedingung 1 Nebenbedingung 2 (33.3) liefert: "Boltzmann- Faktor" Definiere: T = "Temperatur", = "Boltzmann-Konstante" (33.4) liefert: "Zustandsumme": (33.5) liefert: Gl. (5) legt die Variable T so fest, dass mittlere Energie den gewünschten Wert E hat. Die Zustandsumme Z in Gl. (4) ist dann ein Normierungsfaktor, so dass Die Form heisst Boltzmann-Verteilung.

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