Outline. 1 Anwendungen. 2 Trennung der Variablen. 3 Variation der Konstanten. 4 Differentialgleichungssysteme

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1 Outline 1 Anwendungen 2 Trennung der Variablen 3 Variation der Konstanten 4 Differentialgleichungssysteme 5 Lösungsansatz vom Typ der rechten Seite Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 19

2 Variation der Konstanten Gegeben sei eine Differentialgleichung 1. Ordnung vom Typ Schrittweise Lösung der DGL: y + f (t) y = b(t). 1 Lösung der homogenen DGL y + f (t) y = 0 durch Trennung der Variablen: y homogen = c e R f (t)dt 2 Variation der Konstanten: Die Integrationskonstante c wird durch eine Funktion K (t) ersetzt. Mit dem Ansatz y partikulär = K (t) e R f (t)dt geht man in die inhomogene DGL und erhält eine DGL 1. Ordnung für die Funktion K (t).. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 19

3 Allg. Lösung einer inhomogenen DGL 1. Ordnung Die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen DGL 1. Ordnung vom Typ y + f (t) y = b(t). ist als Summe der allgemeinen Lösung der homogenen DGL und einer beliebigen partikulären Lösung der inhomogenen linearen DGL darstellbar: y allgemein (t) = y partikulär (t) + y homogen (t). Unter Verwendung der Variation der Konstanten ergibt sich: [ ] y allgemein (t) = b(t) f (t)dt er dt e R f (t)dt + c e R f (t)dt } {{ } =K (t) mit c IR. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 19

4 Reaktionskinetik 2-stufige chemische Folgereaktion A k 1 B k 2 C Liefert ein System von 3 DGLen: [A] (t) = k 1 [A], [B] (t) = k 1 [A] k 2 [B], [C] (t) = k 2 [B]. Die 3 DGLen lassen sich nacheinander lösen unter anderem mit einer Variation der Konstanten (vgl. Vorlesung). Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 19

5 Outline 1 Anwendungen 2 Trennung der Variablen 3 Variation der Konstanten 4 Differentialgleichungssysteme 5 Lösungsansatz vom Typ der rechten Seite Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 19

6 Differentialgleichungssysteme Man betrachte ein inhomogenes lineares System von n Differentialgleichungen 1. Ordnung: Y (t) = A Y (t) + B(t). Bei A IR n n handelt es sich um eine Matrix und bei Y, B : IR IR n um vektorwertige Funktionen. Analog zum skalaren Fall läßt sich die allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems darstellen als: Y allgemein (t) = Y partikulär (t) + Y homogen (t). Zur Bestimmung von Y homogen (t) verwendet man den Ansatz Y homogen (t) = e λt c mit c IR n. Dies führt auf die Lösung eines Eigenwertproblems: λ e λt c = A e λt c λ c = A c. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 19

7 Reaktionskinetik 2-stufige chemische Folgereaktion A k 1 B k 2 C Liefert ein gekoppeltes System von 3 DGLen (s.o.): [A] (t) = k 1 [A], [B] (t) = k 1 [A] k 2 [B], [C] (t) = k 2 [B]. Die explizite Lösung dieses gekoppelten Systems sollte als Übungsaufgabe durchgerechnet werden. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 19

8 Differentialgleichungssysteme Man beachte, dass sich eine DGL n-ter Ordnung der Form a n y (n) (t) + a n 1 y (n 1) (t) + + a 1 y (t) + a 0 y(t) ( ) = f t, y(t), y (t),..., y (n 1) (t) überführen läßt in ein System von Differentialgleichungen 1. Ordnung Y (t) = A Y (t) + B(t) mit Y (t) = y(t) y (t). y (n 2) (t) y (n 1) (t) und geeignet gewählten A IR n n und vektorwertiger Funktion B(t). Zur Übung gebe man die explizite Gestalt von A und B(t) an. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 19

9 Outline 1 Anwendungen 2 Trennung der Variablen 3 Variation der Konstanten 4 Differentialgleichungssysteme 5 Lösungsansatz vom Typ der rechten Seite Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 19

10 Ansatz vom Typ der Störfunktion Man Betrachte die lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung vom Typ a n y (n) (t) + a n 1 y (n 1) (t) + + a 1 y (t) + a 0 y(t) = b(t), wobei a n,..., a 0 IR mit a n 0. Analog zu den linearen Differential(gleichungssystemen) 1. Ordnung läßt sich die allgemeine Lösung darstellen als: y allgemein (t) = y partikulär (t) + y homogen (t). Zur Bestimmung von y homogen (t) verwendet man den Ansatz y homogen (t) = e λt mit λ C. Dieser Ansatz liefert die charakteristische Gleichung der DGL: a n λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 = 0 y homogen (t) = n c i e λ i t i=1. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 19

11 Ansatz vom Typ der Störfunktion Idee: (Partikuläre) Lösungen der inhomogenen DGL sollen dieselbe Gestalt wie die rechte Seite b(t) aufweisen. Störfunktion Lösungsansatz b 0 + b 1 t + + b m t m 1. A 0 + A 1 t + + A m t m, falls P λ (0) 0 2. t ν (A 0 + A 1 t + + A m t m ), falls 0 ν-fache Nullstelle von P λ. (b 0 + b 1 t + + b m t m ) 1. (A 0 + A 1 t + + A m t m ) e αt, e αt falls P λ (α) 0 2. t ν (A 0 + A 1 t + + A m t m ) e αt, falls α ν-fache Nullstelle von P λ. Hierbei sei P λ (λ) = n i=0 a iλ i. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 19

12 Ansatz vom Typ der Störfunktion etc.... Störfunktion Lösungsansatz (b 0 + b 1 t + + b m t m ) 1. (A 0 + A 1 t + + A m t m ) cos(βt) cos(βt) + (B 0 + B 1 t + + B m t m ) sin(βt), falls P λ (iβ) 0 2. t ν [(A 0 + A 1 t + + A m t m ) + (B 0 + B 1 t + + B m t m ) sin(βt)], falls iβ ν-fache Nullstelle von P λ. (b 0 + b 1 t + + b m t m ) 1. (A 0 + A 1 t + + A m t m ) cos(βt) sin(βt) + (B 0 + B 1 t + + B m t m ) sin(βt), falls P λ (iβ) 0 2. t ν [(A 0 + A 1 t + + A m t m ) + (B 0 + B 1 t + + B m t m ) sin(βt)], falls iβ ν-fache Nullstelle von P λ. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 19

13 Molekülschwingungen Wir betrachten ein zweiatomiges Molekül der Form AB, wobei die beiden Atome A, B gegeneinander schwingen können. Basierend auf der klassischen Mechanik ergibt sich aus dem Hookeschen Gesetz die DGL Hierbei bezeichne m die Masse, m r (t) = κ (r(t) r G ). r(t) den Abstand der beiden Atome, κ die Feder- bzw. Molekülkonstante und r G den Abstand der beiden Atome im Gleichgewichtszustand. Die Lösung obiger DGL bei vorgegebenen Anfangsbedingungen r(0) = r 0 und r (0) = v 0 wurde explizit in der Vorlesung berechnet. Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester / 19