6 Symmetrische und hermitesche Matrizen

Transkript

1 Mathematik für Physiker II, SS 7 Freitag 3.6 $Id: quadrat.tex,v.3 7/6/3 :8:3 hk Exp $ 6 Symmetrische und hermitesche Matrizen 6. Symmetrische und hermitesche Matrizen Wir kommen jetzt zu den symmetrischen Matrizen über R beziehungsweise den hermiteschen Matrizen über C zurück. Wir hatten bereits gesehen, dass diese bezüglich des jeweiligen Skalarprodukts im R n beziehungsweise C n die Gleichung Ax y = x Ay für alle Vektoren x, y erfüllen. Dabei verwenden wir jetzt die im vorigen Abschnitt eingeführte Schreibweise für das Skalarprodukt. Im folgenden Satz werden wir die wesentlichen Eigenschaften derartiger Matrizen herleiten. Beachte dabei das wir den komplexen Fall als den allgemeinen Fall auffassen können, eine reelle, symmetrische Matrix ist als komplexe Matrix hermitesch. Satz 6.7 (Hauptsatz über symmetrische und hermitesche Matrizen Seien K = R und A eine symmetrische n n-matrix über R oder K = C und A eine hermitesche n n-matrix über C. Dann gelten: (a Die Matrix A ist diagonalisierbar und hat nur reelle Eigenwerte. (b Sind λ, µ zwei verschiedene Eigenwerte von A und u E λ (A, v E µ (A zugehörige Eigenvektoren, so ist u v =. (c Es gibt eine aus Eigenvektoren von A bestehende Orthonormalbasis des K n. Beweis: Sei λ C ein Eigenwert von A. Dann gibt es einen Vektor u C n mit Au = λu und u. Da die Matrix A in beiden Fällen hermitesch ist, folgt λ u = λ u u = λu u = Au u = u Au = u λu = λ u, also λ = λ und somit λ R. Damit sind alle Eigenwerte von A reell und insbesondere zerfällt das charakteristische Polynom χ A über K in Linearfaktoren. Sind λ, µ R zwei verschiedene Eigenwerte von A mit zugehörigen Eigenvektoren u, v, so rechnen wir λ u v = λu v = Au v = u Av = u µv = µ u v also (λ µ u v = und wegen λ µ folgt u v =. Nun zeigen wir, dass die Matrix A über K diagonalisierbar ist, und hierzu wollen wir 5.Lemma 9 verwenden. Sei also λ R ein Eigenwert von A. Dann ist auch (A λ = A λ = A λ, d.h. auch A λ ist im Fall K = R symmetrisch und im Fall K = C hermitesch. Sei u Kern(A λ, also (A λ u =. Dann haben wir auch (A λu = (A λu (A λu = u (A λ u =, -

2 Mathematik für Physiker II, SS 7 Freitag 3.6 also ist (A λu = und somit u Kern(A λ. Dies zeigt Kern(A λ Kern(A λ. Nach 5.Lemma 9 ist A diagonalisierbar, es gibt also eine aus Eigenvektoren von A bestehende Basis des K n. Bezeichnet λ,..., λ r die verschiedenen Eigenwerte von A und ist n i für jedes i r die geometrische Vielfachheit von λ i, so gibt es also eine Basis v,..., v,n,..., v r,..., v r,nr des K n so, dass v ij E λi (A für i r, j n i gilt. Ist i r, so ist v i,..., v i,ni eine Basis des Eigenraums E λi (A und durch Gram-Schmidt Orthonormalisierung erhalten wir eine Orthonormalbasis u i,..., u i,ni von E λi (A. Damit ist auch u,..., u,n,..., u r,..., u r,nr eine aus Eigenvektoren bestehende Basis des K n mit u ij = für alle i r, j n i. Wir behaupten das es sich sogar um eine Orthonormalbasis des K n handelt. Ist i r und sind k, l n i mit k l, so ist u ik u il =, und sind i, j r mit i j, k n i, l n j so ist wegen λ i λ j, u ik E λi (A, u jl E λj (A ebenfalls u ik u jl =. Es gibt nicht nur eine aus Eigenvektoren bestehende Orthonormalbasis des K n, wir können auch eine berechnen. Die Berechnung einer solchen Orthonormalbasis des K n ist mit uns schon bekannten Rechenverfahren einfach möglich. Die Rechnung läuft in den folgenden Schritten ab: Gegeben: Eine symmetrische oder hermitesche n n Matrix A. Gesucht: Eine aus Eigenvektoren von A bestehende Orthonormalbasis des K n. Verfahren: Die Rechnung läuft in den folgenden Schritten ab:. Berechne die Eigenwerte λ,..., λ s von A. Diese sind alle reell.. Für jeden Eigenwert λ = λ i ( i s löse das homogene lineare Gleichungssystem (λ Ax = und bestimme eine Basis v i,..., v ini seines Lösungsraums. Anders gesagt soll eine Basis des Eigenraums E λ (A berechnet werden. Dies kann man beispielsweise wie üblich durch Gauß Elimination tun. 3. Wende auf jede der in Schritt ( gefundenen Basen v i,..., v ini ( i n der jeweiligen Eigenräume das Gram Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren an, und erhalte eine Orthonormalbasis u i,..., u ini des Eigenraums E λi (A. 4. Setze die in Schritt (3 für λ = λ i, i =,..., s gefundenen Basen zu einer Orthonormalbasis u,..., u n,..., u s,..., u srs des K n zusammen. Dies ist die gesuchte Orthonormalbasis u,..., u n. -

3 Mathematik für Physiker II, SS 7 Freitag 3.6 Da dieses Verfahren sich nur aus uns schon bekannten Einzelschritten zusammensetzt, wollen wir hier nur ein Beispiel rechnen, nämlich die symmetrische Matrix A = Wir suchen eine aus Eigenvektoren von A bestehende Orthonormalbasis des R 4. Zur Bestimmung der Eigenwerte berechnen wir das charakteristische Polynom χ A (x =. x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 9 x 8 x 8 = x 8 x 8 x 8 x 8 = x 8 x 8 x 8 x 8 x 9 x 9 x 9 x 8 x 8 x 9 x 8 x 8 5 x = (x 8 = (x 8 x 9 x 9 = (x 8 (x 9 x 9 + x 8 x 8 5 x = (x 8 ((x 9 x 8 5 x = (x 8 ((x x = (x 8 (x x + 96 = (x 8 3 (x. Wir haben also zwei Eigenwerte λ = 8 und λ =. Beginnen wir mit λ =. Die Gauß Elimination läuft dann als

4 Mathematik für Physiker II, SS 7 Freitag 3.6 Die Lösungsmenge ist also gegeben durch und somit u = v, y = v, x = y + u + 3v = v E (A =. Zur Orthonormalisierung muss dieser Basisvektor nur normiert werden, also u 4 :=. Dass wir nur einen Eigenvektor zu normieren haben, ist glücklicherweise der Normalfall, wir bereits mehrfach erwähnt hat eine zufällig gewählte Matrix in der Regel lauter verschiedene Eigenwerte, die damit alle einen eindimensionalen Eigenraum haben. Für λ = 8 ergibt sich für den Eigenraum dagegen = x = y + u v. Eine Basis des Eigenraums E 8 (A ist gegeben durch v =, v =, v 3 = Hier sind wir also im untypischen Fall und müssen noch etwas weiter rechnen. Auf die Vektoren v, v, v 3 müssen wir nun die Gram Schmidt Orthonormalisierung anwenden. Diesmal suchen wir dabei keine Orthonormalbasis des gesamten R 4 sondern nur eine Orthormalbasis des von v, v, v 3 aufgespannten Teilraums. Wir rechnen w := v =, w w =, w = v w = w 3 = v 3 + w + 3 w =., w w = 3, 3 3 3, w 3 w 3 = 4 3-4

5 Mathematik für Physiker II, SS 7 Freitag 3.6 und normieren u =, u = 3 w = 6 6 6, u 3 = 3 w 3 = Damit haben wir die gesuchte Orthonormalbasis des R 4 berechnet. Wir wollen den Satz 7 noch ein klein wenig umformulieren und ihn in Termen von Matrizen angeben. Hierzu benötigen wir einen weiteren kleinen Begriff. Definition 6.7 (Orthogonale und unitäre Matrizen Sei n N mit n. Eine reelle n n-matrix A heißt orthogonal wenn AA t = A t A = gilt, d.h. wenn A invertierbar mit A = A t ist. Eine komplexe n n-matrix A heißt unitär wenn AA = A A = ist, d.h. wenn A invertierbar mit A = A ist. Eine reelle n n-matrix A ist offenbar genau dann orthogonal wenn sie als komplexe Matrix unitär ist, in diesem Sinne sind unitäre Matrizen der allgemeine Fall. Nach I. 8.Korollar 3 ist eine Matrix A R n n auch genau dann orthogonal wenn AA t = oder A t A = gilt, denn dann ist A bereits invertierbar und durch Multiplikation mit A von links oder rechts folgt A = A t. Entsprechend ist eine komplexe Matrix A C n n bereits unitär wenn AA = oder A A = gilt. Beachte weiter das A genau dann orthogonal beziehungsweise unitär ist wenn die transponierte Matrix A t dies ist. Im reellen Fall K = R ist dies trivial. Im komplexen Fall beachte (A t = A, also (A t A t = AA t = AA und analog A t (A t = A A, also ist genau dann (A t A t = A t (A t = wenn AA = A A = ist, wenn also A unitär ist. Wir stellen jetzt den Zusammenhang zwischen orthogonalen beziehungsweise unitären Matrizen und Orthonormalbasen her. Lemma 6.8 (Charakterisierung orthogonaler und unitärer Matrizen Seien K {R, C}, n N mit n und A K n n. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (a Es ist K = R und A ist orthogonal oder K = C und A ist unitär. (b Für alle x, y K n gilt Ax Ay = x y. (c Die Spalten von A bilden eine Orthonormalbasis des K n. (d Die Zeilen von A bilden eine Orthonormalbasis des K n. Beweis: (a= (b. Es reicht den Fall K = C zu behandeln, die reellen Matrizen sind dann ein Spezialfall. Seien also x, y C n. Dann gilt Ax Ay = (Ax t Ay = x t A t Ay = x t A Ay = x t y = x y. -5

6 Mathematik für Physiker II, SS 7 Freitag 3.6 (b= (c. Bezeichne u,..., u n die Spalten von A, d.h. für i n ist u i = Ae i wenn e,..., e n wie immer die Standardbasis des K n ist. Für i, j n mit i j gilt dann u i u j = Ae i Ae j = e i e j = und für i n ist auch u i = u i u i = Ae i Ae i = e i e i =. Damit ist u,..., u n eine Orthonormalbasis des K n. (c= (a. Seien wieder u,..., u n die Spalten von A = (a ij i,j n. Für i, j n ist dann n (A A ij = a ki a kj = u t ju i = u j u i = δ ij, k= also ist A A =. Wie bereits bemerkt, folgt hieraus das A im reellen Fall orthogonal und im komplexen Fall unitär ist. (a (d. Die Zeilen von A sind die Spalten von A t, also sind die Zeilen von A genau dann eine Orthonormalbasis des K n wenn A t orthogonal beziehungsweise unitär ist, und wie schon angemerkt ist dies genau dann der Fall wenn A orthogonal beziehungsweise unitär ist. Wir hatten eine reelle qudratische Matrix A orthogonal genannt wenn AA t = A t A = gilt, und entsprechend ist eine komplexe quadratische Matrix unitär wenn AA = A A = ist. Gleichwertig hierzu ist das die Spalten von A eine Orthonormalbasis des K n bilden, wobei wieder K = R oder K = C ist je nachdem ob wir reelle oder komplexe Matrizen betrachten. Ist also u,..., u n eine Orthonormalbasis des K n, so ist die Transformationsmatrix S von der Basis u,..., u n zur Standardbasis des K n, d.h. die Matrix deren Spalten u,..., u n sind, im reellen Fall orthogonal und im komplexen Fall unitär. Damit ist S = S. Ist also weiter A eine n n-matrix über K, so wird die ähnliche Matrix bezüglich der Basis u,..., u n zu S AS = S AS. Unser Satz 7 wird zu Korollar 6.9: Seien K {R, C}, n N mit n und A K n n symmetrisch im Fall K = R und hermitesch im Fall K = C Dann existiert für K = R eine orthogonale Matrix S R n n und für K = C eine unitäre Matrix S C n n mit S t AS = λ... für K = R und S AS = λ... für K = C λ n λ n wobei λ,..., λ n die mit Vielfachheit aufgezählten Eigenwerte von A sind. Beweis: Klar nach Satz 7. -6

7 Mathematik für Physiker II, SS 7 Freitag 3.6 Im oben gerechneten Beispiel der symmetrischen 4 4-Matrix 9 A = ist S die orthogonale Matrix S = mit St AS = Quadratische Formen und Hauptachsentransformation Wir wollen die bisher vorgestellte Theorie nun zur Untersuchung quadratischer Funktionen in mehreren Variablen nutzen, also Funktionen wie beispielsweise f(x, y = x + y xy x y +. Allgemein ist eine quadratische Funktion in n Variablen eine Funktion der Form f : R n R; x n a ij x i x j + b i x i + c i,j n i= mit Konstanten a ij, b i, c R ( i, j n. Für n = sieht die allgemeine quadratische Funktionen also ausgeschrieben wie folgt aus a x + a xy + a yx + a y + b x + b y + c. Für unsere obige Beispielfunktion könnten wir 4 4 etwa a = a = c =, a = b = b = und 4 4 x y a = setzen. Da die definierende Summenformel etwas unhandlich ist, geht man nun zu einer Matrixbeschreibung der quadratischen Funktion f über. Hierzu setzt man A := a a n..... a n a nn und b := b. b n 4 3 und hat für jedes x R n a ij x i x j = i,j n ( n n a ij x i x j = j= i= -7 n (A t x j x j = (A t x y j=

8 Mathematik für Physiker II, SS 7 Freitag 3.6 und n i= b ix i = b x. Die quadratische Funktion f in n Variablen können wir damit in der kompakten Form f(x = (A t x x + b x + c schreiben. Für i, j n mit i j taucht das Produkt x i x j zweimal auf, einmal als a ij x i x j und ein anderes Mal als a ji x j x i = a ji x i x j. Diese beiden Summanden können wir zusammenfassen und als a ij x i x j + a ji x j x i = (a ij + a ji x i x j = a ij + a ji x i x j + a ij + a ji x j x i schreiben. Diese neuen Koeffizienten (a ij + a ji / sind symmetrisch in i und j. Damit können wir immer erreichen, dass die Matrix A symmetrisch ist. In unserer Beispielfunktion werden A = ( und b = (. Die offizielle Definition einer quadratischen Funktion wird jetzt zu: Definition 6.8: Sei n N. Eine quadratische Funktion in n Variablen ist eine Funktion der Form f : R n R; x (Ax x + b x + c wobei A eine symmetrische n n Matrix über R ist, b R n ein Vektor ist und c R eine reelle Zahl ist. Ist dabei b = und c =, so nennt man f auch eine quadratische Form. Zum besseren Verständnis von f ist es hilfreich sich die Niveaumengen M t := {x R n f(x = t} für verschiedene Werte von t anzuschauen. Für unsere Beispielfunktion f(x, y = x + y xy x y + haben diese Mengen die Form -8

9 Mathematik für Physiker II, SS 7 Freitag y.5 y x.5.5 x Niveaumengen Die Niveaumenge f(x, y = Wie Sie sehen sind die Niveaumengen hier allesamt Ellipsen. Für die Niveaumenge M haben wir auch die beiden Hauptachsen der Ellipse eingezeichnet, d.h. die Achsen auf denen die Ellipse minimalen oder maximalen Abstand von ihrem Schwerpunkt hat. Als Hauptachsentransformation bezeichnet man jetzt die Koordinatentransformation bei der der Nullpunkt des Koordinatensystems in den Schwerpunkt der Ellipse gelegt wird und die beiden Hauptachsen der Ellipse als Koordinatenachsen verwendet werden. Bezüglich eines Koordinatensystem mit Schwerpunkt im Nullpunkt bei dem die beiden Hauptachsen die Koordinatenachsen sind, hat eine Ellipse mit den Halbradien a, b > die Form b a x a + y b =. Wir suchen also ein Koordinatensystem in dem unsere Niveaumenge M diese Form annimmt. Insbesondere können wir dann auch die beiden Halbradien unserer Ellipse berechnen. Es stellt sich heraus, dass man dann auch für allgemeinere quadratische Funktionen eine Hauptachsentransformation durchführen kann, dass das ganze also im Allgemeinen mit Ellipsen eigentlich nichts zu tun hat. Kommen wir also zur allgemeinen Situation f(x = (Ax x + b x + c -9

10 Mathematik für Physiker II, SS 7 Freitag 3.6 in n Variablen zurück. Als erstes Ziel wollen wir den Nullpunkt unserer angestrebten Hauptachsentransformation finden. Wir untersuchen dazu erst einmal wie sich das Verschieben des Nullpunkts auf die quadratische Funktion auswirkt. Nehmen wir einmal an wir legen den Nullpunkt in den Punkt u R n. Sei x R n. Denken wir uns x bezüglich des neuen Koordinatenursprungs u, so sind die Koordinaten von x bezüglich des alten Nullpunkts gleich x + u. Setzen wir dies in die quadratische Funktion ein, so wird f(x + u = (A(x + u (x + u + b (x + u + c = (Ax + Au (x + u + b (x + u + c Setzen wir also = (Ax x + (Ax u + (Au x + (Au u + b x + b u + c = (Ax x + (Au + b x + c + (Au u + b u. b := Au + b und c := c + (Au u + b u = f(u, so wird f(x := f(x + u = (Ax x + b x + c. Wie müssen wir u wählen damit f möglichst einfach wird? Hier gibt es zwei mögliche Fälle, die wir gleich durchgehen werden. Fall. Es ist b Bild A. Dann können wir ein u R n mit Au = b = b = Au + b = wählen und haben den linearen Anteil eliminiert. Fall. Es ist b / Bild A. Dann zerlegen wir den Vektor b in eine Summe b = b + b mit einem Teil b Bild(A und einem Vektor b der senkrecht auf dem Bild von A steht, d.h. b ist die Orthogonalprojektion von b auf das Bild von A. Wegen b / Bild A ist b b, also b. In diesem Fall wählen wir u R n mit Au = b = b = Au + b = b, und wir haben den linearen Anteil senkrecht zum Bild von A gemacht. Weiter vereinfachen können wir in diesem Fall leider nicht, zumindest nicht durch Wahl des Koordinatenursprungs. Untersuchen wir einmal die Situation in unserem Beispiel f(x, y = x + y xy x y +. Hier ist die Matrix A invertierbar mit A = ( und für den Nullpunkt u erhalten wir u = A b = 3 = A = 4 3 ( - ( ( = (.

11 Mathematik für Physiker II, SS 7 Freitag 3.6 Der Vektor u ist also tatsächlich genau der Mittelpunkt unserer Ellipse, wie man im obigen Bild der Niveaumenge M tatsächlich sehen kann. Wegen f(u = wird damit f(x = (Ax x beziehungsweise f(x, y = x + y xy. Bei der Transformation auf die Hauptachsen der Ellipse als Koordinatenachsen bleibt der Nullpunkt unverändert. Da der konstante Term keine Rolle spielt, müssen wir also nur noch eine quadratische Form f(x = (Ax x mit einer symmetrischen n n Matrix A betrachten. Nach Korollar 9 existiert eine orthogonale n n Matrix S mit λ S t AS =... =: D wobei λ,..., λ n die Eigenwerte von A sind. Diese Matrix existiert nicht nur, sondern wir hatten auch gesehen wie man sie ausrechnen kann. Die Matrix S ist die Transformationsmatrix von einer aus Eigenvektoren von A bestehenden Orthonormalbasis u,..., u n zur Standardbasis des R n, d.h. die Matrix deren Spalten die Vektoren u,..., u n sind. Bezeichnet x Koordinaten bezüglich der Basis u,..., u n, so ist Sx der entsprechende Vektor in den Standardkoordinaten. In diesen transformierten Koordinaten wird die quadratische Form also zu f(x := f(sx = (ASx (Sx = (S t ASx x = (Dx x = λ x + + λ n x n. An dieser Formel sehen wir insbesondere das die geometrische Form der quadratischen Funktion von den Vorzeichen der Eigenwerte der Matrix A bestimmt wird. Nehmen wir einmal das zweidimensionale Beispiel f(x, y = λ x + λ y. λ n x y x 3 3 λ, λ > λ λ < 3 y -

12 Mathematik für Physiker II, SS 7 Freitag 3.6 Sind beide Eigenwerte λ, λ positiv, so haben wir bis auf Skalierungen der x- und y-achse das Rotationparaboloid f(x, y = x + y. Sind λ, λ beide negativ, so liegt analog ein nach unten geöffnetes Rotationsparaboloid vor. Haben λ und λ verschiedene Vorzeichen, also λ λ <, so hat unsere Funktion nach Umskalieren und eventuellen Spiegeln an der Diagonalen die Form von f(x, y = x y, ist also eine Sattelfläche. Wir setzen jetzt das Beispiel der quadratischen Funktion f(x, y = x + y xy x y + fort. Wir hatten bereits gesehen, dass wir u = (, als Koordinatenursprung nehmen sollten, und das dann f(x, y = f(x +, y + = x + y xy ist. Nach unserer eben angestellten Überlegung erfordert die Berechnung der Hauptachsen die Bestimmung einer aus Eigenvektoren von A bestehenden Orthonormalbasis des R. Rechnen wir dies einmal für unsere quadratische Form f(x, y = x + y xy durch. Das charakteristische Polynom wird zu ( A = = χ A (x = x tr(ax + det(a = x x und die Eigenwerte sind damit λ = ± Die Berechnung von Eigenvektoren liefert also v = für λ = ( (, v = 3 4 = ±, also λ = und λ = 3. = x = y und für λ = 3 und normiert u = (, u = = x = y, (. Wir verwenden jetzt ein Koordinatensystem mit Ursprung in u = (, und den Koordinatenachsen u, u, die wir eben ausgerechnet haben. Ist dann S die Transformationsmatrix ( S :=, so entspricht der Punkt x im neuen Koordinatensystem dem Punkt Sx + u im alten Koordinatensystem, und wir haben mit f(x = f(sx + u nun f(x, y = λ x + λ y = x + 3 y. Damit haben wir die Hauptachsentransformation in diesem Beispiel durchgeführt. An der obigen Formel kann man auch noch die Radien der beiden Hauptachsen unserer Ellipse f(x, y = ablesen. Es ist ja f(x, y = x a + y b mit a := und b := - 3 = 6 3

13 Mathematik für Physiker II, SS 7 Freitag 3.6 der kleinere Radius der Ellipse ist also b = 6/3 und der große ist a =. Damit haben wir zum einen die Hauptachsentransformation für die quadratische Funktion f(x, y = x + y xy x y + durchgeführt und zum anderen die beiden Halbradien der durch f(x, y = gegebenen Ellipse ausgerechnet. Letzterer geometrischer Aspekt spielt für uns keine große Rolle, das Entscheidende ist die Bestimmung des zur Hauptachsentransformation verwendeten Koordinatensystems. Wir wollen uns auch noch anschauen wie der obige Fall zu behandeln ist, also wenn b / Bild(A gilt. Da die Matrix A symmetrisch ist, haben wir für alle x R n und alle y Kern A stets (Ax y = x (Ay =, d.h. Bild und Kern von A stehen senkrecht aufeinander. Dies können wir auch leicht in Satz 7 ablesen, ist u,..., u n eine aus Eigenvektoren bestehende Orthonormalbasis, so ist das Bild gleich dem Erzeugnis der Eigenvektoren u i zu von Null verschiedenen Eigenwerten und der Kern ist der Eigenraum zu λ = also das Erzeugnis der restlichen u i. Haben wir also f(x = (Ax x + b x + c mit b senkrecht auf dem Bild von A, so ist auch Ab =. In anderen Worten ist b ein Eigenvektor zum Eigenwert von A. Es gibt nun wieder eine orthogonale Matrix S mit D := S t AS = λ... wobei λ,..., λ n die Eigenwerte von A sind. Dabei numerieren wir die Eigenwerte von A so durch, dass die ersten r := rang A Eigenwerte von Null verschieden sind λ,..., λ r während die hinteren n r Eigenwerte alle gleich Null sind λ r+ = = λ n =. Bei der Berechnung des zum Eigenwert gehörenden Teils der aus Eigenvektoren von A bestehenden Orthonormalbasis des R n, hatten wir zuerst eine Basis v r+,..., v n dieses Eigenraums bestimmt, und auf diese dann das Gram Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren angewandt. Wegen Ab =, b können wir die Basis dann mit v r+ = b wählen, und es wird u r+ = v r+ / v r+ = b/ b. Damit ist b = µu r+ mit µ := b. Es folgt λ n, f(x := f(sx = (ASx (Sx + b (Sx + c = (S t ASx x + (S t b x + c für alle x R. Dabei gilt Se r+ = u r+, also auch Insgesamt ist somit S t b = µs t u r+ = µs u r+ = µe r+. f(x,..., x n = λ x + + λ r x r + µx r+ + c. = (Dx x + (S t b x + c Damit haben wir den linearen Anteil unserer quadratischen Funktion zwar nicht zum Verschwinden gebracht, haben ihn aber zumindest zu einer einfachen Standardform -3

14 Mathematik für Physiker II, SS 7 Freitag 3.6 normiert. Auch zu dieser Situation wollen wir ein dreidimensionales Beispiel rechnen. Wir betrachten die quadratische Funktion f(x, y, z = x + y + z xy + yz + x + y In der Vektordarstellung haben wir dann f(x = (Ax x + b x + c mit A =, b = und c =. Es stellt sich heraus, dass es genau wie im schon behandelten Fall sinnvoll ist, zunächst einmal die Eigenwerte von A zu berechnen. Das charakteristische Polynom ergibt sich als x χ A (x = x x = (x x x x ( = (x x x + (x = x(x (x, und wir haben die drei Eigenwerte λ =, λ = und λ 3 =. Als nächsten Schritt bestimmen wir eine aus Eigenvektoren von A bestehende Orthonormalbasis des R 3. Hierzu suchen wir zunächst einmal Eigenvektoren für die von Null verschiedenen Eigenwerte. Für λ = ist die Rechnung also y =, x = z mit dem normierten Eigenvektor Für λ = haben wir u =. -4

15 Mathematik für Physiker II, SS 7 Freitag 3.6 also y = z, x = ( /y = z mit dem normierten Eigenvektor u =. Das Bild von A wird jetzt von den beiden Vektoren u, u aufgespannt, und wir müssen nun die Orthogonalprojektion des Vektors b auf dieses Bild berechnen, also b u = und b u = (, und die Orthogonalprojektion b von b wird b := (b u u + (b u u = u + (3 ( 4 u = ( 4 ( + 4 Die Zerlegung von b hat jetzt die Form b = b + b mit b := b b = ( + 4 ( + 4 ( Wegen b zeigt diese Rechnung insbesondere das b / Bild(A ist, wir sind also im obigen Fall. Im nächsten Schritt berechnen wir einen passenden Nullpunkt u und hierfür suchen wir einen Vektor u mit Au = b /. Zur Bestimmung von u müssen wir erfreulicherweise kein lineares Gleichungssystem mehr lösen, wir haben schon alle nötigen Daten beisammen. Die Vektoren u, u sind ja Eigenvektoren von A mit Au = λ u und Au = λ u, d.h. wir haben auch b = (b u u + (b u u = b u λ (λ u + b u λ (λ u = b u λ Au + b u = A Au λ ( b u u + b u u λ λ. Folglich können wir als Lösung von Au = b / beispielsweise u := ( b u u + b u u = λ λ ( u + 4 ( u = verwenden. Mit u als Koordinatenursprung ist dann wegen (5 6 ( 6 (3 + 6 f(u = 3 ( 39-5

16 Mathematik für Physiker II, SS 7 Freitag 3.6 auch f(x = (Ax x + b x + 3 ( 39. Wir brauchen noch einen Eigenvektor zum Eigenwert, und hierfür können wir unseren schon berechneten Vektor b verwenden. Es ist b = 6 ( + 8 = 4 (3 + = 4 ( + = µ := b = ( + also wird u 3 = b b = und die endgültige orthogonale Matrix ist S =. Für die transformierte Funktion f(x = f(sx + u ist damit f(x, y, z = x + y + ( + z + 3 ( 39. Wir wollen jetzt das vollständige Verfahren zur Herstellung der Hauptachsentransformation angeben. In unserem Fall hatten wir eine Lösung u von Au = b / direkt in Termen des Skalarprodukts hingeschrieben, und dieselbe Überlegung funktioniert ebenso in Fall. Damit ist es gar nicht nötig explizit ein lineares Gleichungssystem zu lösen und wir erhalten ein gemeinsames Verfahren für beide Fälle. Das Verfahren zur Berechnung der Hauptachsentransformation läuft wie folgt ab: Gegeben: Eine quadratische Funktion f(x = (Ax x+b x+c mit einer symmetrischen n n Matrix A, einem Vektor b R n und einer Zahl c R. Gesucht: Ein Koordinatenursprung u R n und eine Orthonormalbasis u,..., u n des R n so, dass die transformierte Funktion f(x = f(sx + u entweder die Form f(x = λ x + + λ n x n + c oder die Form f(x = λ x + + λ r x r + µx r+ + c hat. Dabei ist S die orthogonale Matrix deren Spalten die Vektoren u,..., u n sind. Verfahren: Die Rechnung läuft in den folgenden Schritten ab.. Berechne die Eigenwerte λ,..., λ n von A aufgezählt entsprechend ihrer jeweiligen Vielfachheit. Die Numerierung erfolge so, dass λ,..., λ r und λ r+ =... = λ n = ist, wobei r := rang(a der Rang von A ist. Dabei muss r nicht extra ausgerechnet werden, sondern ergibt sich durch Zählen der Eigenwerte ungleich Null. -6

17 Mathematik für Physiker II, SS 7 Freitag 3.6. Berechne für jeden der von Null verschiedenen Eigenwerte λ von A eine Orthonormalbasis des Eigenraums E λ (A. Dies geschieht wieder indem zuerst durch Lösen des homogenen linearen Gleichungssystems (A λx = irgendeine Basis von E λ (A berechnet wird, und dann auf diese die Gram Schmidt Orthonormalisierung angewandt wird. 3. Fasse die in Schritt ( berechneten Orthonormalbasen zu einer Orthonormalbasis u,..., u r des Bildes von A zusammen. 4. Berechne b := (b u u + + (b u r u r und verwende u := ( b u u + + b u r u r λ λ r als den Koordinatenursprung. 5. Ist r < n, so löse das homogene lineare Gleichungssystem Ax = um eine Basis v,..., v n r des Kerns von A zu erhalten. Im Fall b b wähle die Basis mit v = b b und setze µ := b b. Weiter wende die Gram Schmidt Orthonormalisierung auf v,..., v n r an, und bezeichne die erhaltene Orthonormalbasis des Kerns von A mit u r+,..., u n. 6. Der Koordinatenursprung ist der in Schritt (4 berechnete Punkt u und die aus den Hauptachsen bestehende Orthonormalbasis entsteht durch Zusammensetzen der in den Schritten (3 und (5 berechneten Teilbasen, also u,..., u n. Im Fall b = b hat die transformierte quadratische Funktion keinen linearen Anteil mehr und im anderen Fall b b tritt ein linearer Anteil mit dem in (5 berechneten µ auf. Dieses Verfahren erlaubt es allgemein jede quadratische Funktion in n Variablen entweder auf die Gestalt f(x = λ x + + λ n x n + c oder auf die Gestalt f(x = λ x + + λ r x r + µx r+ + c für ein r < n zu transformieren. Beispiele zur Anwendung des Verfahrens werden in Aufgabe (48 behandelt. Wir fassen dieses Ergebnis noch in einem Satz über die Hauptachsentransformation zusammen. Satz 6. (Hauptachsentransformation quadratischer Funktionen Seien A eine symmetrische n n Matrix über R, b R n und c R. Seien λ,..., λ n die mit Vielfachheit aufgezählten Eigenwerte von A, wobei im Fall r := rang(a < n die Numerierung mit λ,..., λ r und λ r+ = = λ n = erfolge. Dann existieren ein Punkt u R n und eine orthogonale n n Matrix S so, dass entweder f(sx + u = λ x + + λ n x n + f(u für alle x R n ist, oder es ist r < n und es existiert eine reelle Zahl µ > mit f(sx + u = λ x + + λ r x r + µx r+ + f(u -7

18 Mathematik für Physiker II, SS 7 Freitag 3.6 für alle x R n. Beweis: Dies haben wir bereits eingesehen. -8