Kapitel 1. Vektoren und Matrizen. 1.1 Vektoren

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1 Kapitel 1 Vektoren und Matrizen In diesem Kapitel stellen wir die Hilfsmittel aus der linearen Algebra vor, die in den folgenden Kapiteln öfters benötigt werden. Dabei wird angenommen, dass Sie die elementaren Regeln für das Rechnen mit Vektoren und Matrizen beherrschen. Grundsätzlich wird für diesen Kurs gelten, dass auf mathematische Strenge verzichtet wird und stattdessen genauer auf die numerischen Algorithmen sowie ihre Implementierung in C++ eingegangen wird. 1.1 Vektoren In einem n-dimensionalen Vektorraum R n wird ein Vektor durch die Menge aller n-tupel von reellen Zahlen a = a 1 a 2. a n, bzw. a = (a 1, a 2,..., a n ) T (1.1) bestimmt. Mit der Bezeichnung e i für die Einheitsvektoren in Richtung i können wir auch schreiben a = a 1 e 1 + a 2 e a n e n, (1.2) wobei die a i als Koordinaten des Vektors bezeichnet werden. Offensichtlich läßt sich diese Definition auch auf komplexe Zahlen ausweiten (was wir an dieser Stelle nicht explizit machen wollen). 1

2 2 KAPITEL 1. VEKTOREN UND MATRIZEN Normierung Bei numerischen Rechnungen benötigt man häufig Abschätzungen für die Beträge von a. Als solche wird man in der Regel die natürliche euklidsche Länge n a 2 i (1.3) i=1 verwenden. Es gibt jedoch Fälle, wo die Verwendung dieses Abstandes nicht möglich oder nicht zweckmäßig ist, sodass es wünschenswert ist, den Abstand allgemeiner zu definieren. Hierbei wird jedem a eine reelle Zahl a mit folgendne Eigenschaften zugeordnet: 1. a > 0 für a 0 (0 ist der Nullvektor); 2. a + b a + b für beliebige a und b; 3. αa = α a für jede Zahl α. Zur Unterscheidung kennzeichnet man die Normen häufig durch Indizes 1. a 1 = i a i... Summennorm; 2. a 2 = i a i 2... euklidsche Norm; 3. a = max i a i... Maximumnorm. Diese Normen sind Spezialfälle der Norm a p = n p a i p 1 p, p ganz. (1.4) i=1 Skalarprodukt Je zwei Elementen a und b können wir die Zahl a b = i a i b i (1.5) zuordnen. Wir bezeichnen sie als skalares Produkt von a und b. Diese Definition stimmt offenbar mit der Definition des skalaren oder inneren Produktes in der elementaren Vektoralgebra überein. Es gilt demnach

3 1.2. MATRIZEN 3 a 2 = a a (1.6) Das skalare Produkt genügt der sogenannnten Cauchyschen Ungleichung a b a 2 b 2. (1.7) Lineare Abhängigkeit Insbesondere bei der Untersuchung numerischer Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme benötigt man den Begriff der linearen Unabhängigkeit oder Abhängigkeit von Vektoren. Die Vektoren a 1, a 2,... a k heißen linear abhängig, wenn es k Zahlen c 1, c 2,... c k ungleich Null gibt, sodass c 1 a 1 + c 2 a c k a k = 0 (1.8) gilt. Andernfalls heißen die Vektoren a 1, a 2,... a k linear unabhängig. 1.2 Matrizen Wir betrachten die quadratische n n Matrix a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = a n1 a n2... a nn, (1.9) deren Elemente a ij reelle oder komplexe Zahlen sind. Wir bezeichenen n als die Ordnung der Matrix A. Matrixmultiplikation Zwei Matrizen A und B derselben Ordnung n werden bezüglich der Vorschrift C = AB, c ij = n a ik b kj (1.10) miteinander multipliziert. Manchmal schreibt man die Summe über k nicht explizit an; diese vereinfachende Schreibweise wird als Einsteinsche Summenkonvention bezeichnet. k=1

4 4 KAPITEL 1. VEKTOREN UND MATRIZEN Einheitsmatrix Eine n n-matrix deren Diagonalemente gleich Eins und alle anderen Elemente gleich Null sind II = (1.11) heißt Einheitsmatrix. Wir werden sie mit II bezeichen. Für eine n n-matrix A gilt AII = IIA = A. Determinante Jeder n-reihigen quadratischen Matrix A läßt sich auf eindeutige Weise eine reelle oder komplexe Zahl zuordnen, die man als Determinante von A bezeichnet (siehe Kapitel 3). Inverse Matrix Existiert zu einer Matrix A eine Matrix mit der Eigenschaft so heißt A 1 die inverse Matrix zu A. AA 1 = A 1 A = II, (1.12) Bezeichnung von Matrizen Mit A T bezeichnen wir die zu A transponierte Matrix (a T ij = a ji), mit A die zu A konjugierte transponierte Matrix (a ij = a ji ). Eine Matrix A heißt symmetrisch, wenn A = A T hermitesch, wenn A = A orthogonal, wenn A T = A 1 unitär, wenn A = A 1 gilt. Eigenwerte Die (reellen oder komplexen) Wurzeln des charakteristischen Polynoms

5 1.2. MATRIZEN 5 p(λ) = det(a λii) (1.13) heißen Eigenwerte von A. Eine reell-symmetrische oder hermitesche Matrix besitzt nur reelle Eigenwerte Matrixnormen Jeder Matrix A wird eine reelle Zahl A mit folgenden Eigenschaften zugeordnet: 1. A > 0 für A 0 (0 ist die n n-nullmatrix); 2. A + B A + B für alle A und B; 3. αa = α A für jede Zahl α; 4. A B A B (Submultiplikativität). Dann heißt A Norm oder Matrixnorm von A. Eine Matrixnorm heißt verträglich mit einer Vektornorm a wenn Aa A a (1.14) für beliebige A und a gilt. Dies kann durch die zugeordnete Matrixnorm A = max Ax (1.15) x =1 gewährleistet werden. Die zu den Vektornormen a 1, a 2 und a zugeordneten Matrixnormen sind die folgenden: 1. A 1 = max j ( n i=1 a ij )... Norm der maximalen Spaltenbetragssumme; 2. A 2 = größter Eigenwert von A A... Spektralnorm; 3. A = max i ( n j=1 a ij )... Norm der maximalen Zeilenbetragssumme.

6 6 KAPITEL 1. VEKTOREN UND MATRIZEN Spektralradius Das Maximum der Beträge der Eigenwerte von A bezeichnen wir als den Spektralradius ρ(a) = max k λ k (A) der Matrix. Ist A eine hermitesche bzw. reell-symmetrische Matrix, so gilt A = A und A 2 = größter Eigenwert von A A = [ρ(a)] 2 = ρ(a). (1.16) Positiv definite Matrix Eine hermitesche Matrix A heißt positiv definit, wenn gilt. x T Ax > 0 für alle x (1.17) Durch Glg. (1.13) haben wir bereits die Eigenwerte einer quadratischen Matrix A definiert. Eine vom Nullvektor verschiedene Lösung von x Ax = λx (1.18) heißt ein zum Eigenwert λ gehöriger Eigenvektor von A. Hieraus folgt weiter x T Ax = λx T x. (1.19) Ist A positiv definit, so gilt demzufolge λ > 0, d.h. eine positiv definite Matrix besitzt nur positive Eigenwerte.