Vektoralgebra. - Anwendungen: Geraden FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN PROF. DR. PETER SPARLA & DR. BRITTA FOLTZ MATHEMATIK 1 1

Transkript

1 Vektralebra - Anwendunen: Geraden FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN ROF. DR. ETER SARLA & DR. BRITTA FOLTZ MATHEMATIK 1 1

2 Achtun! Dieses Flienskript sll den Studierenden einies an mechanischer Schreibarbeit abnehmen und dazu beitraen, sich auf das eientliche Fach und seine vielfältien Themen knzentrieren zu können. Es ersetzt keinesfalls eiene, eränzende Ntizen und Aufzeichnunen zu den Lehrinhalten, die während der Vrlesunen vermittelt werden. Dieses Skript stellt kein Lehrbuch dar! Nicht alles, was in der Vrlesun erarbeitet wird, ist im Skript enthalten. FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN ROF. DR. ETER SARLA & DR. BRITTA FOLTZ MATHEMATIK 1 2

3 Vektrielle Darstellun einer Geraden Eine erade Linie hne Anfan und hne Ende nennen wir Gerade. -r r 2r Kennen wir einen unkt auf der Geraden, dann erreichen wir alle anderen unkte der Geraden, indem wir dem s enannten Richtunsvektr r entsprechend lane flen. Bemerkun: S führt uns 2r natürlich dppelt s weit auf der Geraden und r in die enteenesetzte Richtun auf der Geraden entlan. FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN ROF. DR. ETER SARLA & DR. BRITTA FOLTZ MATHEMATIK 1 3

4 Vektrielle Darstellun einer Geraden z r Q O y OQ x Um den unkt auf der Geraden zu kennen, brauchen wir seinen Ortsvektr O. Um vn aus nun beispielsweise den unkt Q zu erreichen, müssen wir die Summe OQ = O + 2r bilden. Allemein ilt für jeden unkt Q auf der Geraden : OQ = O + λr für ein λ R. FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN ROF. DR. ETER SARLA & DR. BRITTA FOLTZ MATHEMATIK 1 4

5 Vektrielle Darstellun einer Geraden z r O y x Allemein bildet man deshalb die unkt-richtuns-frm einer Geraden: Sei O dazu der Ortsvektr eines fest ewählten unktes der Geraden (Stützvektr) und sei r der Richtunsvektr der Geraden. Für den Ortsvektr eines beliebien unktes auf der Geraden schreiben wir nun (zur Vereinfachun) x. Dann ist die unkt-richtuns-frm der Geraden : x = O + λr, λ R. FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN ROF. DR. ETER SARLA & DR. BRITTA FOLTZ MATHEMATIK 1 5

6 Vektrielle Darstellun einer Geraden z r O y x unkt-richtuns-frm der Geraden: : x = O + λr, λ R. Mit x = x y z, O = darstellun der Geraden zu: p 1 p 2 und r = p 3 r 1 r 2 r 3 eribt sich die Kmpnenten- : x y z = p 1 p 2 p 3 + λ r 1 r 2 r 3, λ R. FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN ROF. DR. ETER SARLA & DR. BRITTA FOLTZ MATHEMATIK 1 6

7 Vektrielle Darstellun einer Geraden Bemerkunen: Im R 2 eht alles anal. Die Vektren haben dann nur 2 Kmpnenten. Sind und Q beliebie unkte einer Geraden mit Richtunsvektr r, dann ilt entweder OQ O r der OQ O r. In Wrten: Der Vektr vn nach Q, d.h. OQ O ist entweder parallel der antiparallel zum Richtunsvektr r. O O r OQ Q FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN ROF. DR. ETER SARLA & DR. BRITTA FOLTZ MATHEMATIK 1 7

8 Vektrielle Darstellun einer Geraden Ausblick auf die kmmenden Aufabentypen: Herleitun einer unkt-richtuns-frm einer Geraden aus zwei eebenen unkten Abstand unkt - Gerade Abstand zweier paralleler Geraden Abstand zweier windschiefer Geraden Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN ROF. DR. ETER SARLA & DR. BRITTA FOLTZ MATHEMATIK 1 8

9 unkt-richtuns-frm aus zwei unkten Eine Gerade wird durch die Anabe zweier unkte eindeuti festelet. x z O O y OQ r Q Ermittlun der unkt-richtuns-frm der Geraden: 1. Wähle einen der eebenen unkte um den Stützvektr festzuleen. Hier z.b.: O 2. Wähle als Richtunsvektr den Vektr r = Q, d.h. r = OQ O 3. Damit eribt sich: : x = O + λ OQ O, λ R FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN ROF. DR. ETER SARLA & DR. BRITTA FOLTZ MATHEMATIK 1 9

10 unkt-richtuns-frm aus zwei unkten Eine Gerade wird durch die Anabe zweier unkte eindeuti festelet. Aber die unkt-richtuns-frm der Geraden ist nicht eindeuti. z x O O y r 1. Der Stützvektr der unkt-richtuns-frm ist nicht eindeuti: Der Ortsvektr jedes unktes auf der Geraden kann als Stützvektr ewählt werden. 2. Der Richtunsvektr der unkt-richtuns-frm ist nicht eindeuti: Jedes Vielfache eines eebenen Richtunsvektrs ist ebenfalls ein Richtunsvektr. FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN ROF. DR. ETER SARLA & DR. BRITTA FOLTZ MATHEMATIK 1 10

12 Abstand d des unktes Q zur Geraden Definitin: Der Abstand eines unktes zu einer Geraden ist die Läne derjenien Verbindunsstrecke vm unkt zur Geraden, die zu der Geraden rthnal ist. Bemerkun: Diese rthnale Verbindunsstrecke ist die kürzeste vn allen mölichen Verbindunsstrecken vm unkt zur Geraden. Man bezeichnet diese kürzeste Verbindunsstrecke auch als das Lt, ihren Endpunkt auf der Geraden als den Ltfußpunkt. Wir schreiben für den Abstand d(q, ) der d, wenn der Bezu eindeuti ist. Beispiel: d Q r FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN ROF. DR. ETER SARLA & DR. BRITTA FOLTZ MATHEMATIK 1 12

13 Abstand d des unktes Q zur Geraden Geeben: Gerade in unkt-richtuns-frm : x = O + λr, λ R und ein unkt Q. ( sei der unkt auf mit Ortsvektr O.) z Q x O O y d r Gesucht: Abstand d des unktes Q zur Geraden. FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN ROF. DR. ETER SARLA & DR. BRITTA FOLTZ MATHEMATIK 1 13

14 Abstand d des unktes Q zur Geraden Gesucht: Abstand d des unktes Q zur Geraden. z Q x O O y Q d r r 1 r Herleitun: Wir betrachten das arallelramm mit den Eckpunkten Q und. Es wird aufespannt durch die Vektren 1 und Q. Dabei wählen wir 1 s, dass 1 = r r ilt. Für die Fläche A des arallelramms ilt: A = Grundlinie Höhe = 1 d = 1 Q FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN ROF. DR. ETER SARLA & DR. BRITTA FOLTZ MATHEMATIK 1 14

15 Abstand d des unktes Q zur Geraden z Q x O O y Q d r r 1 r Herleitun: Für die Fläche A ilt: A = Grundlinie Höhe = 1 d = 1 Q Daraus können wir für d ableiten: Entweder ilt 1 Q = 0, dann liet Q auf der Geraden und d = 0. Oder es ilt 1 Q 0, dann liet Q nicht auf der Geraden und d = 1 Q 1 FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN ROF. DR. ETER SARLA & DR. BRITTA FOLTZ MATHEMATIK 1 15

16 Abstand d des unktes Q zur Geraden z Q x O O y Q d r r 1 r Herleitun: Mit 1 = r r und Q = O + OQ eribt sich aus d = 1 Q 1 d = r (OQ O) r. FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN ROF. DR. ETER SARLA & DR. BRITTA FOLTZ MATHEMATIK 1 16

18 aralleler Geraden und h Definitin: Die Gerade in unkt-richtuns-frm : x = O + λr, λ R und Die Gerade h in unkt-richtuns-frm h: x = OQ + μr h, μ R heißen parallel, wenn entweder r r h der r h r ilt. Beispiel: x z O O OQ y Q r h r h FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN ROF. DR. ETER SARLA & DR. BRITTA FOLTZ MATHEMATIK 1 18

19 Abstand d(, h) zweier paralleler Geraden und h. Definitin: Der (senkrechte) Abstand zweier paralleler Geraden ist die Läne der Verbindunsstrecken der beiden Geraden, die zu den beiden Geraden rthnal sind. h d Bemerkun: Diese rthnalen Verbindunsstrecken sind alle leich lan und sie sind leichzeiti die kürzesten aller mölichen Verbindunsstrecken der beiden Geraden. Wir schreiben für den Abstand d(, h) der zur Abkürzun, falls der Zusammenhan klar ist, auch einfach nur d. FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN ROF. DR. ETER SARLA & DR. BRITTA FOLTZ MATHEMATIK 1 19

20 Abstand d zweier paralleler Geraden und h Geeben: Die Gerade in unkt-richtuns-frm : x = O + λr, λ R und die Gerade h in unkt-richtuns-frm h: x = OQ + μr h, μ R. h x z O O OQ y Q d r h r Gesucht: Abstand d zweier paralleler Geraden und h. FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN ROF. DR. ETER SARLA & DR. BRITTA FOLTZ MATHEMATIK 1 20

21 Abstand d zweier paralleler Geraden und h x z O O OQ y Q d r h r h Gesucht: Abstand d zweier paralleler Geraden und h. Herleitun: Sind Geraden parallel, dann ist der Abstand zwischen den Geraden überall leich! Deshalb ist der Abstand zwischen den Geraden und h leich dem Abstand zwischen einem unkt Q vn h und der Geraden : d, h = d(, Q) Der Einfachheit halber nutzen den Stützvektr der Geraden h, bzw. den zuehörien unkt Q, und berechnen d = d, h = d(, Q). Smit ilt für den Abstand d zwischen h und : d = r (OQ O) r FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN ROF. DR. ETER SARLA & DR. BRITTA FOLTZ MATHEMATIK 1 21.

23 Windschiefe Geraden Definitin: Zwei Geraden und h heißen windschief, wenn sie nicht parallel sind und sich auch nicht schneiden. h Q r h O r FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN ROF. DR. ETER SARLA & DR. BRITTA FOLTZ MATHEMATIK 1 23

24 Wann sind Geraden windschief? Bemerkun: h Wenn die Geraden h und windschief sind, dann sind sie nicht parallel und schneiden sich auch nicht. Q r h O r D.h. windschiefe Geraden sind nicht parallel und lieen nicht in einer Ebene. Windschiefe Geraden lieen in parallelen Ebenen. Daraus eribt sich als Kriterium für windschiefe Geraden: und h sind enau dann windschief, wenn r r h 0 (nicht parallel) und r, r h, (O OQ ) 0 (nicht in einer Ebene). FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN ROF. DR. ETER SARLA & DR. BRITTA FOLTZ MATHEMATIK 1 24

25 Abstand d zweier windschiefer Geraden und h Definitin: Der Abstand d, h zweier windschiefer Geraden und h, ist die eindeuti bestimmte Strecke kleinster Läne, die die beiden windschiefe Geraden verbindet. Sie ist die einzie Strecke, die senkrecht auf beiden Geraden steht. h N d(, h) M FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN ROF. DR. ETER SARLA & DR. BRITTA FOLTZ MATHEMATIK 1 25

26 Abstand d zweier windschiefer Geraden und h Geeben: Zwei windschiefe Geraden und h, Gerade in unkt-richtuns-frm : x = O + λr, λ R und Gerade h in unkt-richtuns-frm h: x = OQ + μr h, μ R. h Q r h O r Gesucht: Abstand d zweier windschiefer Geraden und h. FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN ROF. DR. ETER SARLA & DR. BRITTA FOLTZ MATHEMATIK 1 26

27 Abstand d zweier windschiefer Geraden und h Gesucht: Abstand d zweier windschiefer Geraden und h. h Q r h N n 0 d(, h) O r M Herleitun: Wir wissen einies mehr über die Situatin, als Sie vielleicht denken: 1. Vektradditin liefert: NM + MQ + Q + N = 0 2. n 0 = r r h r r h, denn n 0 wählen wir als den Einheitsvektr, der senkrecht auf r und r h steht. FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN ROF. DR. ETER SARLA & DR. BRITTA FOLTZ MATHEMATIK 1 27

28 Abstand d zweier windschiefer Geraden und h h Q r h N n 0 d(, h) O r M Herleitun: 3. Das Skalarprdukt liefert deshalb n 0 r = n 0 r h = 0 swie n 0 n 0 = 1 Damit erhalten wir n 0 MQ = 0, n 0 N = 0 swie n 0 NM = n 0 NM = 1 d, h = d, h. FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN ROF. DR. ETER SARLA & DR. BRITTA FOLTZ MATHEMATIK 1 28

29 Abstand d zweier windschiefer Geraden und h h Q r h N n 0 d(, h) O r M Herleitun: 4. All das lässt sich zusammenfassen zu: NM + MQ + Q + N n 0 = NM n 0 + MQ n 0 + Q n 0 + N n 0 = 0 = d, h Q n = 0. FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN ROF. DR. ETER SARLA & DR. BRITTA FOLTZ MATHEMATIK 1 29

30 Abstand d zweier windschiefer Geraden und h Gesucht: Abstand d zweier aralleler Geraden und h. h Q r h N n 0 d(, h) O r M Herleitun: Als ilt d, h = Q n 0 und mit n 0 = r r h r r h und Q = O OQ erhalten wir d, h = r r h O OQ r r h FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN ROF. DR. ETER SARLA & DR. BRITTA FOLTZ MATHEMATIK 1 30

32 Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden Sind zwei Geraden und h weder parallel nch windschief, dann schneiden Sie sich in einem unkt S. Das bedeutet insbesndere für : x = O + λ r, λ R und h: x = OQ + μ r h, μ R : S 1. Die Richtunsvektren der beiden Geraden sind weder parallel nch antiparallel. Sie können das auf zwei Arten überprüfen. Zum einen ilt dann r s r h, eal welches s R Sie einsetzen. Zum anderen können Sie dies mit Hilfe der Beziehun r r h 0 überprüfen. 2. Die beiden Geraden lieen in einer emeinsamen Ebene: Das bedeutet, dass es keinen Spat eben kann, welcher vn den Richtunsvektren und irendeinem Verbindunsvektr zwischen beiden Geraden aufespannt würde. Denn ein Spat ist ein Körper und der kann in keiner Ebene lieen! [ r, r h, (O OQ)] = 0. FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN ROF. DR. ETER SARLA & DR. BRITTA FOLTZ MATHEMATIK 1 32

33 Berechnun des Schnittpunktes zweier Geraden Geeben: Zwei sich schneidende Geraden : x = O + λ r, λ R und h: x = OQ + μ r h, μ R. S Gesucht: Der Schnittpunkt S der beiden Geraden. Berechnun: Es ibt ein bestimmtes λ und ein bestimmtes μ, s dass für den emeinsamen Schnittpunkt S und seinen Ortsvektr OS ilt: OS = O + λ r und OS = OQ + μ r h. Wir setzten die Frmeln der Geraden leich und bestimmen die arameter λ und μ s, dass die Gleichun erfüllt wird. O + λ r = OQ + μ r h Das ist eine Gleichun mit zwei Unbekannten und 3 Gleichunen. Wir wissen, wie wir s etwas lösen! FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN ROF. DR. ETER SARLA & DR. BRITTA FOLTZ MATHEMATIK 1 33

34 Schnittwinkel zweier Geraden Schneiden sich zwei Geraden und h in einem unkt S, dann ibt es natürlich auch einen Schnittwinkel φ zwischen den beiden Geraden. Für : x = O + λ r, λ R S r h φ und h: x = OQ + μ r h, μ R r Wir können mit Hilfe des Skalarprduktes den Winkel sfrt berechnen: φ = arccs r r h r r h FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN ROF. DR. ETER SARLA & DR. BRITTA FOLTZ MATHEMATIK 1 34

35 Berechnun des Schnittpunktes zweier Geraden Ein Beispiel: Geeben: : x = λ 2 1 1, λ R und h: x = μ 1 1 2, μ R. Aufabe: Untersuchen Sie, b die beiden Geraden sich schneiden. Bestimmen Sie eebenenfalls den Schnittpunkt S und den Schnittwinkel φ. FACHBEREICH BAUINGENIEURWESEN ROF. DR. ETER SARLA & DR. BRITTA FOLTZ MATHEMATIK 1 35