Bewegungen - Freier Fall eines Massenpunktes

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1 Beweunen - Freier Fall eines Massenpunktes Daniel Wunderlich Ausarbeitun zum Vortra im Proseminar Analysis (Wintersemester 008/09, Leitun PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassun: Diese Ausarbeitun behandelt den Fall eines Massenpunktes entlan einer Kurve. Ausehend von den Grundlaen der Mechanik im vorherien Vortra des Proseminars [3] dient dieses rundleende Thema als weiterer Einstie in die physikalische Anwendun der Mathematik. In diesem Kontext lässt sich sehr ut erkennen, dass die (vereinfachte) mathematische Beschreibun von Beweunen unserer Umwelt nicht notwendi kompliziert sein muss. Zu Beinn leiten wir einie allemeine, wichtie und vor allem nützliche Formeln im Zusammenhan mit Fallbeweunen her und fassen rundsätzliche Folerunen aus diesen Formeln zusammen. Anschlieÿend betrachten wir als einfaches Beispiel einer solchen Fallbeweun ein ewöhnliches Pendel und dessen Schwinunsdauer. Das (unbefriediende) Resultat dieser Betrachtun bildet die Überleitun zum zweiten Beispiel einer Fallbeweun: Das Zykloidenpendel. Auch hier werden wir die Schwinunsdauer enauer analysieren - und das mit interessantem Erebnis: Im Verleich zum mathematischen Pendel ist die Schwinunsdauer beim Zykloidenpendel vom Ausschlawinkel unabhäni.

2 Inhaltsverzeichnis Einleitun 3 Allemeine Herleitunen 4. Formel zur Berechnun der Geschwindikeit Was bereits bekannt ist Herleitun Formel zur Berechnun der Zeit Herleitun Diskussion der Beweun 7 3. Hin- und Rückwe Geschwindikeitsänderun Wendepunkt Schwinunsdauer Das ewöhnliche Pendel 8 4. Vorbereitun Formel zur Berechnun der Schwinunsdauer Das Zykloidenpendel 5. Vorbereitun Formel zur Berechnun der Schwinunsdauer Resümee 4 Abbildunsverzeichnis. Achterbahn Schaukelndes Kind Beispielkurve Beispielkurve mathematisches Pendel Zykloide Zykloidenpendel

3 Einleitun Schaukelnde und rutschende Kinder auf dem Spielplatz, die Achterbahn auf dem Volksfest, das Pendel einer Uhr oder Skateboardfahrer auf einer Halfpipe. Alle diese Voräne unserer Umwelt haben auf den ersten Blick keine Gemeinsamkeit. Bei enauerer Betrachtun ist jedoch zu erkennen, dass sie alle einem Muster entsprechen: Ein Objekt bewet sich im (röÿtenteils) freien Fall entlan einer fest voreebenen Kurve. Vor allem am Beispiel einer Achterbahn lässt sich ut erkennen, dass der Zu als Objekt (vereinfacht darestellt als Massenpunkt) und der Schienenstran als Kurve aufefasst werden können. Ähnlich verhält es sich mit einem Kind auf einer Schaukel. Lässt man die körperliche Beweun des Kindes auÿer Acht, leicht die Schaukelbeweun der Schwinun eines ewöhnlichen Pendels. Ein ewöhnliches Pendel wiederum kann ebenfalls als eine Fallbeweun eines Massenpunktes entlan einer Kurve verstanden werden. Zwar ist die Kurve hierbei im Verleich zur Achterbahn nicht explizit eeben, die Beweun die ein pendelndes Objekt (z.b. eine Metallkuel) vollzieht entspricht jedoch der Beweun eines Massenpunktes auf einem Kreis unter Ein uss der Schwerkraft. Die Umsetzun dieser Beweunen in mathematische Modelle ist nicht notwendi kompliziert! Nach einem Einstie in die Grundlaen der Mechanik im letzten Vortra [3] sind wir in der Lae, einie einfache Beweunen dieser Form zu mathematisieren. Bemerkun: Um den Einstie in dieses Thema zu vereinfachen, wird die auf das Ob- jekt einwirkende Reibun nicht berücksichtit. Hieraus resultiert z.b., dass ein Pendel unendlich lane pendelt, sofern es nicht manuell anehalten wird. Abbildun.: Achterbahn Abbildun.: Schaukelndes Kind 3

4 Allemeine Herleitunen Zu Beinn betrachten wir den freien Fall eines Massenpunktes entlan einer beliebien Kurve. Diese Kurve sei in Parameterdarstellun mit Parameter ϑ durch x x(ϑ), y y(ϑ) eeben. Ein Stück dieser Kurve ist in Abbildun. darestellt. Die Schwerkraft wirkt enteenesetzt der y-richtun in jedem Punkt der Kurve auf den Massenpunkt mit der Stärke m ( : 9, 8 m/s ). Es sei der Winkel zwischen dem Vektor der Schwerkraft und dem Vektor der Kraft, die in Richtun der Kurve auf den Massenpunkt einwirkt. Abbildun.: Beispielkurve Zu den wichtisten Formeln für den Uman mit einer solchen Beweun ehören Formeln zur Berechnun der Geschwindikeit in einem beliebien Punkt der Kurve und zur Berechnun der Zeit, die der Massenpunkt benötit, um eine beliebie Strecke der Kurve zurückzuleen.. Formel zur Berechnun der Geschwindikeit.. Was bereits bekannt ist Es ist bekannt [3], dass die Kraft G, die in Richtun der Kurve auf den Massenpunkt einwirkt, G m cos beträt. Weiterhin ist bekannt [4, Denition..], dass für cos ilt: y cos x + y 4

5 Wichti ist hierbei, dass die mit einem Strich notierten Ableitunen nach dem jeweilien Parameter erfolen. Es ist also Somit eribt sich die Gleichun x x (ϑ) dx und y y (ϑ) dy. G m cos m x + y. y.. Herleitun Allemein ilt für eine Kurve in Parameterdarstellun mit x x(s) und y y(s) nach [, Kapitel 5, Ÿ ] ( ) ds x + y. (.) dt Hierbei ist s(t) die von einem festen Anfanspunkt der Kurve in der Zeit t zurückelete Boenläne und x bzw. y jeweils die Ableitun nach s. Führen wir also nun die zurückelete Boenläne s(t) (statt ϑ) als neuen Parameter der Kurve ein, kann man folern: m cos my x + y }{{} my m dy ds Das. Newton'sche Gesetz [3] besat, dass die Kraft, die bei der Beweun eines Massenpunktes entlan einer Kurve auf diesen Punkt in Richtun der Kurve einwirkt m s beträt. In unserer Betrachtun entspricht dies G m cos : m s m cos m dy ds s dy ds Nach der obien Denition von s(t) entspricht ṡ der Geschwindikeit und s der Beschleuniun des Massenpunktes. Durch Multiplikation mit ṡ kann man eschickt fortfahren: ṡ s ṡ dy ds d dt ( ṡ ) ds dt dy ds d dt ( ṡ ) y d dt y ist eine Funktion von s, welches wiederum eine Funktion von t ist. Somit ist es nun mölich y nach t zu interieren und es folt: ṡ y + c Die Interationskonstante c kann bestimmt werden, indem man die Beweun zum Zeitpunkt t 0 betrachtet. Zu diesem Zeitpunkt mit dem Parameterwert ϑ 0 bendet sich der Massenpunkt mit der Geschwindikeit ṡ 0 am Punkt mit den Koordinaten x 0 x(ϑ 0 ) und y 0 y(ϑ 0 ). Es ilt somit 0 y 0 + c c y 0, 5

6 woraus wir schlieÿlich allemein folern können: Formel zur Berechnun der Geschwindikeit ṡ ± (y 0 y) (.). Formel zur Berechnun der Zeit.. Herleitun Es ist ebenso nützlich ermitteln zu können, wie lane der Massenpunkt benötit, um eine ewisse Strecke s zurückzuleen. Diese Zeit kann man ermitteln, indem man die Umkehrfunktion t(s) von s(t) bildet. ṡ ± (y 0 y) dt ds ± (y0 y) t c ± (y0 y) ds Die Interationsrenzen ereben sich aus den Parametern der Punkte, zwischen denen die Zeit ermittelt werden soll. Der Interand ist als Funktion des Parameters ϑ bekannt, da die Kurve mit diesem Parameter eeben ist. Somit ist es sinnvoll ϑ als Interationsvariable einzuführen. t c ± ϑ ϑ 0 ds (.) c ± (y0 y) ϑ ϑ 0 x + y (y 0 y) Somit sind x und y als Funktionen von ϑ zu verstehen. Abschlieÿend kann die Interationskonstante c bestimmt werden. Hierzu betrachten wir erneut den Zeitpunkt t 0, zu dem der Parameterwert ϑ 0 sein soll. Aus t 0 c ± eribt sich die allemeine Formel: ϑ0 Formel zur Berechnun der Zeit x + y ϑ 0 (y 0 y) }{{} 0 t ± ϑ ϑ 0 c 0 x + y (.3) (y 0 y) 6

7 Mir dieser Formel kann nun die Zeit bestimmt werden, die der Massenpunkt benötit, um die Strecke zwischen den Punkten mit den Parametern ϑ 0 und ϑ zurückzuleen. 3 Diskussion der Beweun Als nächstes betrachten wir eine konkretere Kurve. Diese sei vom Typus der in Abbildun 3. darestellten Kurve. Ein Massenpunkt wird an der Stelle A mit dem Parameterwert ϑ 0 und den daraus resultierenden Koordinaten x 0 x(ϑ 0 ) und y 0 y(ϑ 0 ) loselassen. Abbildun 3.: Beispielkurve 3. Hin- und Rückwe 3.. Geschwindikeitsänderun Der Massenpunkt nimmt an Geschwindikeit zu, bis er den tiefsten Punkt der Kurve erreicht hat. Danach nimmt die Geschwindikeit des Punktes wieder ab. Dieser Voran ist durch Betrachtun des folenden Ausdrucks für die Beschleuniun s ersichtlich: dy ds s dy ds beschreibt, ob die Höhe y des Massenpunktes mit wachsender zurückeleter Strecke s (d.h. wachsendem ϑ) zu- oder abnimmt. Zwischen A und dem tiefsten Punkt der Kurve nimmt y mit wachsendem s ab, die rechte Seite der Gleichun wird positiv und induziert eine steiende Geschwindikeit. Zwischen dem tiefsten Punkt der Kurve und B nimmt y zu, die rechte Seite der Gleichun wird neativ und die Geschwindikeit nimmt ab. An B anekommen, wechselt die Beschleuniun wieder das Vorzeichen und analo zur 7

8 Beweun von A nach B bewet sich der Punkt nun von B nach A. Da bei der Betrachtun die Reibun auÿer Acht elassen wird, wiederholt sich der Voran unendlich oft. 3.. Wendepunkt Aus (.) folt: ṡ (y 0 y) 0 y y 0 Der Massenpunkt steht also enau dann still, wenn er wieder die Höhe erreicht, in der er loselassen wurde. Dies ist im Punkt B der Fall. Bemerkun: Dies ist natürlich nur mölich, da wir die Reibun unberücksichtit lassen. 3. Schwinunsdauer Sei die Zeit, die der Massenpunkt für den Hin- und Rückwe von A nach B benötit T - die so. Schwinunsdauer - und die zu A und B ehörenden Parameterwerte ϑ 0 und ϑ. Aus (.3) kann man direkt folern: Formel zur Berechnun der (halben) Schwinunsdauer T ϑ x + y y 0 y ϑ 0 (3.) Die obere Interationsrenze ϑ i ist unter der Bedinun ϑ 0 ϑ i ϑ frei wählbar. Möchte man z.b. die Fallzeit T F ermitteln, die der Punkt von A bis zum tiefsten Punkt der Kurve mit dem Parameterwert ϑ F benötit, erhält man diese durch 4 Das ewöhnliche Pendel 4. Vorbereitun T F ϑf ϑ 0 x + y y 0 y. Ein Massenpunkt wird an einem Faden der Läne l aufehänt und bei espanntem Faden in einer beliebien Höhe loselassen. Der Massenpunkt pendelt nun durch Einuss der Schwerkraft; die Kurve, die der Massenpunkt beschreibt entspricht einem Kreis. Sei nun ϑ der (positive) Winkel zwischen der Ausanslae des Pendels (dem tiefsten Punkt der Kurve) und der aktuellen Position. x und y sind dann durch x l sin ϑ, y l cos ϑ eeben. Zum Zeitpunkt t 0 wird das Pendel mit der Geschwindikeit ṡ 0 in einem Winkel mit 0 π (Boenmaÿ), dem so. Ausschlawinkel, loselassen. 8

9 Abbildun 4.: mathematisches Pendel Diese Konstruktion wird ewöhnliches Pendel (auch mathematisches Pendel oder Fadenpendel) enannt und liefert einen simplen Spezialfall der im vorherien Abschnitt behandelten Kurve (vl. Abbildun 3.). 4. Formel zur Berechnun der Schwinunsdauer Eine wichtie Eienschaft eines Pendels ist dessen Schwinunsdauer, welche wir nun allemein herleiten möchten. Aus dem allemeinen Ausdruck zur Ermittlun der (halben) Schwinunsdauer (3.) erhält man: T ϑ l ϑ 0 x + y y 0 y (l sin ϑ) + ( l cos ϑ) l cos ( l cos ϑ) l cos ϑ + l sin ϑ l (cos ϑ cos ) l / ( sin ϑ + cos ϑ ) l/ (cos ϑ cos ) cos ϑ cos Nun verwendet man die folende Formel über Produkte für Winkelfunktionen [6]: sin x sin y (cos(x y) cos(x + y)) cos(x + y) cos(x y) sin x sin y (4.) 9

10 Nach dieser Formel ilt für den Ausdruck im Zähler ( cos ϑ cos cos ϑ + ) ( cos ϑ + ) Somit erhalten wir l T (4.) cos 0 sin ϑ cos 0 + sin ( sin ϑ ) sin. (sin ) sin ϑ Nun kann man eschickt substituieren. Sei dazu u sin ϑ sin du cos ϑ sin l sin ϑ u sin sin cos ϑ Hieraus ereben sich die Interationsrenzen zu und es folt: u( ) sin sin du. und u() sin sin l T sin u sin l sin du sin u cos ϑ l l sin sin ϑ sin cos ϑ ( u ) (cos ϑ ) du ( u ) ( sin ϑ ) du du. Verwendet man nun die Beziehun sin ϑ ( sin sin sin ϑ ) sin, }{{} u 0

11 erhält man l T ( u ) ( u sin ) du. Trotz der Einfachheit einer Schwinunsbeweun ist dieses Interal elementar nicht lösbar und erfordert Kenntnisse über elliptische Interale. Unter der Annahme, dass der Ausschlawinkel sehr klein ist und somit sin ϑ 0, kann der Ausdruck jedoch wie folt approximiert und die Schwinunsdauer näherunsweise berechnet werden: l T ( u ) du l [arcsin l u] arcsin () arcsin ( ) }{{}}{{} π π Formel zur Berechnun der Schwinunsdauer eines ewöhnlichen Pendels l T π (4.) 5 Das Zykloidenpendel 5. Vorbereitun Die Abhänikeit der Schwinunsdauer vom Ausschlawinkel eines ewöhnlichen Pendels wirft die Frae nach Kurven auf, bei denen diese Abhänikeit nicht existiert. Eine Antwort auf diese Frae liefert die Zykloide, welche bereits im Vortra [5] behandelt wurde. Zur Erinnerun: Die Zykloide ist in Parameterdarstellun durch x r(ϑ sin ϑ), y r( cos ϑ) eeben, wobei der Parameter ϑ als Abrollwinkel des Kreises verstanden wird, der die Zykloide erzeut und r der Radius dieses Kreises ist. Abbildun 5.: Zykloide

12 Um eine Zykloide als eeinete Kurve zur Beschreibun einer Pendelbeweun verwenden zu können, muss sie nach oben eönet sein. Dies erreicht man durch Spieelun an der x-achse. Damit sich die Zykloide oberhalb der x-achse bendet, wird sie um r in positiver y-richtun verschoben. Somit erhält man die Kurve des Zykloidenpendels in Parameterdarstellun durch x r(ϑ sin ϑ), y r( + cos ϑ) (0 < ϑ < π) x r( cos ϑ), y r sin ϑ. Abbildun 5.: Zykloidenpendel Nun lässt man einen Massenpunkt an einem beliebien Punkt der Höhe mit einem Ausschlawinkel los. y 0 r( + cos ) (0 < < π) 5. Formel zur Berechnun der Schwinunsdauer Um die Schwinunsdauer des Zykloidenpendels zu berechnen, betrachten wir zuerst die aus der allemeinen Formel (3.) resultierende Fallzeit zum tiefsten Punkt der Kurve. Dieser Punkt wird bei einem Abrollwinkel von 80 erreicht, welcher im Boenmaÿ π entspricht. T 4 r r x + y y 0 y r ( cos ϑ) + r sin ϑ r( + cos ) r( + cos ϑ) r / ( cos ϑ + cos ϑ + sin ϑ) r/(cos cos ϑ) cos ϑ cos cos ϑ cos ϑ cos cos ϑ

13 Ohne Beweis verwenden wir folende Gleichunen aus [, Kapitel 5, Ÿ 5] und [6]: cos cos ϑ (cos cos ϑ ) (5.) Somit folt: T r 4 (5.) (5.) sin ϑ cos ϑ r r cos ϑ cos cos ϑ cos ϑ (cos cos ϑ ) sin ϑ cos cos ϑ (5.) Nun substituiert man mit u cos ϑ cos du sin ϑ cos cos ϑ u cos sin ϑ cos du und erhält für das unbestimmte Interal sin ϑ cos cos ϑ cos cos u cos du du. u }{{} arcsin u Durch Rücksubstitution kann man somit die Schwinunsdauer T ermitteln: [ r T 8 arcsin cos ϑ ] π r r cos 8 [arcsin }{{ 0 } arcsin }{{ } ] 4π 0 π Die Schwinunsdauer T eines Zykloidenpendels ist also tatsächlich unabhäni vom Ausschlawinkel. Formel zur Berechnun der Schwinunsdauer eines Zykloidenpendels r T 4π (5.3) 3

14 6 Resümee Nach diesen rundleenden Betrachtunen haben wir nun einen weiteren Einblick in den Uman mit physikalischen Anwendunen der Mathematik ewonnen. Die anfänlichen Feststellunen waren hierbei oensichtlich und nicht sonderlich überraschend. Der erste bemerkenswerte Aspekt ist die Tatsache, dass die Berechnun der Schwinunsdauer eines mathematischen Pendels über ein Interal eschieht, das elementar nicht lösbar ist, obwohl die beschriebene Beweun eine der einfachsten Beweunen dieser Art ist. Den wohl interessantesten Sachverhalt stellt die Schwinunsdauer des Zykloidenpendels dar. Es ist zwar nach näherer Betrachtun plausibel und auch beründbar, dass die Schwinunsdauer unabhäni vom Ausschlawinkel ist, widerspricht jedoch meiner Meinun nach der menschlichen Intuition. Schlieÿlich sollte man annehmen, dass die Schwinunsdauer mit steiendem Ausschlawinkel zunimmt, da auch die zurückelete Strecke läner wird. Für interessierte Leser könnte ein nächster Schritt darin bestehen, die Betrachtunen, die wir für Kurven in der Ebene etätit haben, auf Kurven im Raum zu übertraen. Im Anschluss an die Themen in diesem Vortra, denen das entsprechende Kapitel in Vorlesun über Dierential- und Interalrechnun von R. Courant [] zurunde liet, ist hierbei die Fortsetzun dieses Werkes [] zu empfehlen. 4

15 Literatur [] R. Courant: Vorlesunen über Dierential- und Interalrechnun, Spriner Verla, 4. Auae, 97 [] R. Courant: Vorlesunen über Dierential- und Interalrechnun, Spriner Verla, 4. Auae, 97 [3] Barbara Kurz, Nadine Bär: Mechanik (Vortra zum Proseminar Analysis), Universität Heidelber, Wintersemester 008/009, Leitun: PD Dr. Gudrun Thäter [4] Vanessa Steiner: Darstellun von Kurven (Vortra zum Proseminar Analysis), Universität Heidelber, Wintersemester 008/009, Leitun: PD Dr. Gudrun Thäter [5] Simone Kopp: Hyperbelfunktionen (Vortra zum Proseminar Analysis), Universität Heidelber, Wintersemester 008/009, Leitun: PD Dr. Gudrun Thäter [6] Diverse: Formelsammlun Trionometrie (Wikipedia) (Stand: ), Abbildunen Sämtliche mathematischen Abbildunen wurden selbst erstellt. Für Graken auf der Titel- und Einführunsseite wurden Bilder von folenden Webseiten verwendet: (Stand: ) 5