Darstellungstheorie II - Reduzibilität, Maschkes Theorem, Schurs Lemma, Orthogonalität

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1 Darstellunstheorie II - Reduzibilität, Maschkes Theorem, Schurs Lemma, Orthoonalität Tom Weber Inhaltsverzeichnis 1 Reduzibilität G-Modul Orthonormalbasen Vollständie Reduzibilität Maschkes Theorem 4 3 Schurs Lemma 5 4 Das Orthoonalitätstheorem Theorem und Beweis Wichtie Folerun

2 1 Reduzibilität 1.1 G-Modul Wiederholun Denition Sei G ein Gruppe. Ein G-Modul ist eine abel'sche Gruppe (M, +) mit der Bedinun, dass die Abbildun G M M, (, m) m homomorph ist. Ein Vektorraum V ist insbesondere eine abel'sche Gruppe bezülich der Addition und somit ein G-Modul, wenn die Abbildun (G V ) V, (, u) T ()u homomorph ist, wobei T () eine Darstellun von G ist. Reduzibilität und G-Modul Eine Darstellun heiÿt reduzibel, wenn es ein Submodul ibt, also einen Untervektorraum U V, welcher eschlossen ist unter den Operationen der Gruppe bzw. ihrer Darstellun: u U V T ()u U Sei nun {e i }, i = 1,..., m eine Basis von U. Wir können diese durch Basisvektoren {e i }, i = m + 1,..., m + n zu einer Basis von V erweitern, wobei diese Vektoren einen Unterraum W mit Dimension n aufspannen. Bezülich dieser Basis ist die darstellende Matrix D() zu einer linearen Transformation T eeben durch T ()e j = D ij ()e i Da U ein Submodul und damit eschlossen ist, haben die Basisvektoren aus U keine Komponenten in W. Die darstellende Matrix hat also die Einträe D ij = 0, wenn sowohl j = 1,..., m und i = m + 1,..., m + n ilt. Damit eribt sich, was wir über die Matrix D() bereits wussten: ( ) A() C() D() = 0 B() Wir werden später sehen, dass C() für endliche Gruppen null sein muss. 1.2 Orthonormalbasen Denitionen 1. Ein Vektor v V heiÿt Einheitsvektor, wenn v = Eine Basis {e i } von V aus Einheitsvektoren heiÿt Orthonormalbasis, wenn e i, e j = δ ij 2

3 Bemerkun Die Matrixelemente D ij einer linearen Transformation T, deniert durch die Gleichun T e j = D ij e i (siehe Vortra "Darstellunstheorie I "), sind eeben durch Weiterhin ilt: D ij = e i, T e j u, T v = u i D ij v j u, T v = u Dv bzw. wobei u = (u ) T 1.3 Vollständie Reduzibilität Zunächst wollen wir nun noch einmal zum Submodul und zur Reduzibilität zurückkommen. Wir können die Basis unserer Unterräume U V, W V orthonormal wählen. Dadurch würde jeder Vektor w W orthoonal zu jedem u U lieen. Insbesondere ist W damit das orthoonale Komplement von U, es ilt also: W = {w V w, u = 0 u U} Wenn nun nicht nur U eschlossen ist unter Gruppenoperationen, sondern auch W, so ist T () vollständi reduzibel. Bemerkunen 1. Wenn T () bezülich des ewählten Skalarprodukts unitär ist für alle G, so ist die Darstellun reduzibel, denn T ()w, u = w, T 1 ()u. Weiterhin ist T 1 () = T ( 1 ) und U unter Gruppenoperationen eschlossen, sodass mit T ( 1 )u = u U ilt: T ()w, u = w, u = 0 T ()w = w W Für unitäre T () ist als auch W eschlossen und damit T () eine vollständi reduzible Darstellun. Wir stellen weiterhin fest, dass damit D ij () = 0 für j = m + 1,..., m + n und leichzeiti i = 1,..., m. Also ist die Matrix C() = 0. 3

4 2 Maschkes Theorem Maschkes Theorem. Alle reduziblen Darstellunen von endlichen Gruppen sind vollständi reduzibel. Beweis. Für reduzible unitäre Darstellunen haben wir bereits esehen, dass sie vollständi reduzibel sind. Wir wollen nun zeien, dass wir für jede endliche Gruppe ein Skalarprodukt nden können, bezülich dessen die Darstellun unitär ist. Dieses Skalarprodukt werden wir im Folenden mit, G bezeichnen. Wir denieren es wie folt: v, v G := 1 [] mit v, v V. Sei nun h G. Dann ist T (h)v, T (h)v G = 1 [] = 1 [] T ()v, T ()v G T ()T (h)v, T ()T (h)v T (h)v, T (h)v Da h G, schreibe h =. Da die Summen und leich sind, ilt: T (h), v, T (h)v G = 1 T ( )v, T ( )v [] = v, v G Bemerkunen 1. Wenn wir wieder Martizen betrachten, so können wir T (h) darstellen durch eine unitäre Matrix D (h). Dazu wählen wir eine Orthoonalbasis {f i } bezülich unseres denierten invarianten Skalarprodukts (Gram-Schmidt). Die ersten m Basisvektoren sollen dabei U aufspannen. Es ilt nun: D (h) = SD(h)S 1, wobei S den Basiswechsel zwischen {f i } und {e i } beschriebt. D ist also äquivalent zu einer vollständi reduziblen Darstellun D. 2. Das Theorem ilt ebenso für unendliche, aber kompakte Gruppen. 4

5 3 Schurs Lemma Wir werden im Folenden sowohl mit Matrizen als auch mit linearen Operatoren im Allemeinen arbeiten. In der Notation unterscheiden sich diese wie folt: Matrizen: B Lineare Operatoren: ˆB Schurs erstes Lemma. Eine Matrix B, die mit allen Matrizen D() einer irreduziblen Darstellun kommutiert, muss ein Vielfaches der Einheitsmatrix sein: (BD() = D()B G) B = λ1 Alternativ: ( ˆBT () = T () ˆB G) ˆB = λe Beweis. Wir werden das Lemma in der zweiten Form beweisen, da Matrizen eine Teilmene der linearen Operatoren sind. Sei b ein Eienvektor von ˆB mit Eienwert λ: ˆBb = λb Dann ilt aufrund der vorausesetzten Kommutativität: ˆB(T ()b) = T () ˆBb = T ()λb = λt ()b Mit b ist also auch immer T ()b ein Eienvektor von ˆB und hat insbesondere denselben Eienwert. Die Eienvektoren b spannen nun einen Unterraum von U auf, welcher eschlossen ist unter den Operationen T () der Gruppe, also ist der Unterraum ein G-Modul. Da wir aber irreduzible Darstellunen efordert haben, existiert kein Submodul auÿer (a) U selbst und (b) dem Raum aus dem Nullvektor. Mit letzterem Fall müssen wir uns nicht beschäftien, da er unmölich ist, denn eine lineare Abbildun hat immer mindestens einen nicht-trivialen Eienvektor (auÿer der Nullabbildun, die wir aber nicht betrachten). Kommen wir also zum Fall (a): Wenn der Raum der Eienvektoren der anze Raum U ist, so ilt für alle u U: ˆBu = λu. Damit ilt ˆB = λe. 5

6 Schurs zweites Lemma. Für zwei inäquivalente irreduzible Darstellunen D,D ilt: (BD() = D ()B G) B = Ô bzw. für lineare Operatoren: ( ˆBT () = T () ˆB G) ˆB = Ô wobei Ô der Nulloperator bezülich U ist. Beweis. Wir müssen beim Beweis von Schurs zweitem Lemma verschiede Fälle von Dimensionen betrachten. Seien n := dim U und n := dim U. Fall n < n : Wenden wir T () ˆB auf einen beliebien Vektor u U an, dann ist nach Voraussetzun: T () ˆBu = ˆBT ()u Weiterhin wissen wir, dass U ein G-Modul ist, also T ()u U. Darum muss elten: T ()( ˆBu) ˆBU ˆBU ist also ein Submodul von U. Da wir efordert haben, dass die Darstellunen irreduzibel sind und deshalb auch U nicht weiter reduziert werden kann, muss nach den ersten Lemma ˆBU entweder der anze Raum U oder der Nullvektor 0 sein. Da dim U < dim U ist, kann das Bild von ˆB nicht der anze Raum sein. Also muss das Bild von ˆB der Nullvektor sein und somit ˆB = Ô. Fall n > n : In diesem Fall müssen wir für den Beweis den Kern K := {k U ˆBk = 0 } betrachten. Dieser Raum ist ein Submodul von U, denn ˆB (T () k) = T () ˆBk = 0 Weiterhin muss aufrund der Irreduzibilität der Darstellun auch U irreduzibel sein. Damit aber ist der Kern K entweder der anze Raum U oder der Nullvektor. Da die Dimension unter ˆB aber verrinert wird, kann der Kern nicht trivial 0 sein. Also ist der Kern K = U und damit ˆB = Ô Fall n = n : Wieder muss K ein Submodul von U sein. Jetzt ist der Fall K = 0 auseschlossen, weil die Darstellunen nicht äquivalent sein sollen. Also muss wieder K = U elten und damit ˆB = Ô 6

7 4 Das Orthoonalitätstheorem 4.1 Theorem und Beweis Orthoonalitätstheorem. Seien und D (ν) die Matrizen zweier irreduzibler Darstellunen. Dann ilt: ir ()D(ν) sj ( 1 ) = [] δ µν δ rs δ ij n µ Beweis. Seien zunächst U ν und U µ die G-Module zweier nicht äquivalenter, irreduzibler Darstellunen. Ohne Beschränkun der Allemeinheit seien die Indizes ν und µ positiv und anzzahli. Sei weiterhin  : U ν U µ eine lineare Abbildun. Wir denieren ˆB := T (µ) ()ÂT (ν) ( 1 ) Sei nun h G. Wir betrachten die Wirkun von T (µ) (h) auf ˆB: T (µ) (h) ˆB = = T (µ) (h)t (µ) ()ÂT (ν) ( 1 ) T (µ) (h)ât (ν) ( 1 ) Nun sei h =:. Damit können wir das Arument von T (ν) umschreiben zu 1 = 1 h. Dabei wechselt der Index der Summe einfach von zu, da über jedes Gruppenelement summiert wird: T (µ) (h) ˆB = T (µ) ( )ÂT (ν) ( 1 h) = T (µ) ( )ÂT (ν) ( 1 )T (ν) (h) T (µ) (h) ˆB = ˆBT (ν) (h) Wir sehen direkt, dass ˆB damit die Voraussetzun für Schurs zweites Lemma erfüllt und damit ˆB = Ô ilt, es sei denn, µ = ν. In dem Falle wären also die Darstellunen T (ν) und T (µ) leich und die Bedinun für Schurs erstes Lemma erfüllt, also würde elten ˆB = λe. In Matrixschreibweise erhalten wir also: B := () AD (ν) ( 1 ) = λ (µ) A δµν 1 (1) 7

8 Der Faktor λ (µ) A hänt nun noch von der Darstellun sowie der Wahl der Matrix A ab. Seien nur alle Einträe von A Null, auÿer A rs = 1. Wir können diese Eienschaft umschreiben zu A lm = δ lr δ ms. Weiterhin benennen wir λ (µ) A um zu λ rs (µ). Das Matrixelement B ij aus Gleichun (1) wird dann wie folt berechnet: B ij = ir ()D(ν) sj ( 1 ) = λ (µ) rs δ µν δ ij (2) Wir wollen nun noch λ (µ) rs alle i, j:,i bestimmen. Dazu setzen wir ν=µ und sumieren über ir ()D(µ) si ( 1 ) = ( ( 1 ) () ) sr = n µ λ (µ) rs (3) wobei n µ die Dimension der Matrix ist. Da aber ( 1 ) () = 1 ist, ilt für den sr-ten Eintra: ( ( 1 ) () ) sr = δ sr (4) Damit eribt die Summe über alle Gruppenelemente G entweder die Anzahl der Gruppenelemente [] oder 0, je nach s und r: ( ( 1 ) () ) = []δ sr rs Wenn wir nun (3) und (4) verleichen, so erhalten wir: []δ rs = n µ λ (µ) rs Füen wir unser Erebnis in (2) ein, so kommen wir zur Aussae des Theorems: ir ()D(ν) sj ( 1 ) = [] δ µν δ rs δ ij n µ 8

9 4.2 Wichtie Folerun Wir wollen das Orthoonalitätstheorem nun auf unitäre Darstellunen anwenden. Wie sehen zunächst: ir ()D(ν) sj ( 1 ) = [] δ µν δ rs δ ij n µ ir ()D(ν) js () = [] n µ δ µν δ rs δ ij (5) Betrachten wir die linke Seite dieser Gleichun. Wir stellen fest, dass wir die Summe über unsere [] Gruppenelemente unter der Annahme, dass wir die Indizes i und r konstant lassen, mit einem komplexen Skalarprodukt identizieren können zwischen den zwei Vektoren { ir ( 1), ir ( 2),..., ir ( [])} und {D (ν) js ( 1), D (ν) js ( 2),..., D (ν) js ( [])}. Da jeder Index n µ verschiedene Werte annehmen kann, ibt es insesamt n 2 µ verschiedene Vektoren, die aufrund von (5) alle orthoonal sind. Ebenso sehen wir anhand von (5), dass alle Vektoren der Darstellun orthoonal sind zu jedem Vektor einer anderen Darstellun D (µ ). Addieren wir die Anzahl aller mölichen orthoonalen Vektoren, so erhalten wir n 2 µ. In einem Raum der Dimension [] kann es aber maximal [] orthoonale µ (und damit linear unabhänie) Vektoren eben, sodass wir für die Dimensionen unserer Darstellunen folende Beschränkun erhalten: n 2 µ [] µ 9

10 Literatur [1] H.F. Jones, Groups, Representations and Physics, Adam Hiler Ltd.,