Grundlagen der Gruppentheorie

Transkript

1 Grundlaen der Gruppentheorie Eine Gruppe G besteht entsprechend ihrer Ordnun aus Elementen a, b, c,..., zwischen denen eine Multiplikationsoperation so definiert ist, 1. dass das Produkt beliebi zweier Elemente a b wieder Element von G ist. 2. dass das Assoziativesetz ilt, d.h. a (b c) = (a b) c 3. dass es ein einzies Einselement e ibt, für dass e a = a e = a ilt, für jedes a aus G. 4. und dass zu jedem Element a aus G enau ein inverses Element a 1 existiert, für das ilt a a 1 = a 1 a = e. Weitere Eienschaften: - Falls für beliebi zwei Elemente a, b die Gruppenmultiplikation kommutativ ist, also a b = b a ilt, so heißt die Gruppe kommutativ oder abel sch. - Eine Gruppe H, deren Elemente alle in G enthalten sind und deren Ordnun h < ist, heißt Unterruppe von G, H G. - In endlichen Gruppen bilden die Potenzen eines jeden Elementes a p eine Unterruppe von G. Als Periode (Ordnun) eines Elementes a bezeichnet man das kleinste p, für das a p = e ilt. - Zwei Elemente a, a die mit einem dritten Element b der Gruppe G so verknüpft sind,dass ilt b a b 1 = a heißen zueinander konjuiert. - Alle zueinander konjuierten Elemente a, a, a,... bilden eine soenannte Klasse K konjuierter Elemente. Alle Elemente der leichen Klasse K sind von leicher Ordnun. Die Zahl der Elemente der Klasse K wird mit K bezeichnet. - Die Produkte aller Elementepaare zweier Klassen K i und K j lassen sich wieder in anze Klassen mit anzzahlien Klassenmultiplikationskoeffizienten c ijl 0 zerleen, so dass ilt K i K j = es in der Gruppe G ibt. n K l=1 c ijl K l. Dabei ist n K die Gesamtzahl der Klassen die Jede endliche Gruppe wird eindeuti durch ihre Gruppenmultiplikationstafel bestimmt! Für die Gruppe C 3v ist dies die folende: Gruppenmultiplikationstafel für C 3v C 3v E C 3 C3 2 σ v (1) σ v (2) σ v (3) E E C 3 C3 2 σ v (1) σ v (2) σ v (3) C 3 C 3 C3 2 E σ v (3) σ v (1) σ v (2) C3 2 C3 2 E C 3 σ v (2) σ v (3) σ v (1) σ v (1) σ v (1) σ v (2) σ v (3) E C 3 C3 2 σ v (2) σ v (2) σ v (3) σ v (1) C3 2 E C 3 σ v (3) σ v (3) σ v (1) σ v (2) C 3 C3 2 E 1

2 Grundlaen der Darstellunstheorie Ein System quadratischer Matrizen, für das bei der Zuordnun D(a) a mit der Matrixmultiplikation die leiche Gruppenmultiplikationstafel resultiert, heißt Darstellun der Gruppe G. Das System der Darstellunsmatrizen D(a) kann durch eine Ähnlichkeitstransformation M D(a) M 1 immer in ein System unitärer Matrizen überführt werden, so dass ohne Beschränkun der Allemeinheit anenommen werden kann, dass D(a) D (a) = E immer ilt, mit der Einheitsmatrix E des d-dimensionalen Matrixsystems. - Ein System von Darstellunsmatrizen heißt reduzibel, wenn es sich durch eine Ähnlichkeitstransformation blockdiaonalisieren lässt. Die Matrixsysteme der einzelnen Blöcke, die sich nicht weiter verkleinern lassen, stellen die soenannten irreduziblen Darstellunen der betreffenden Gruppe dar. - Ähnliche Matrixsysteme heißen auch äquivalent. Sie haben leichen Spuren, Determinanten, Eienwerte, charakteristische Polynome etc.. Von besonderer Wichtikeit sind die Spuren der Darstellunsmatrizen, die auch Charakter enannt werden: χ(a) = Spur D(a) = Tr[D(a)] = d µ i=1 D ii (a) = D ii (a) Konjuierte Elemente haben offenbar den leichen Charakter (Beweis!). Der Charakter ist eine Klassenfunktion Satz von Burnside: Die Zahl n irrep der irreduziblen Darstellunen einer Gruppe G ist endlich und leich der Zahl ihrer Klassen konjuierter Elemente n irrep = n K = n - 2. Satz von Burnside: Die Quadrate der Dimensionen aller irreduziblen Darstellunen summieren sich zur Gruppenordnun: d 2 µ = n - Für die irreduziblen Darstellunen einer Gruppe ilt das Große Orthoonalitätstheorem(der Darstellunsmatrizen:) d µ D µ ij (a)dν kl(a 1 ) = δ µν δ il δ jk - Spurbildun führt hier zur kleinen Orthoonalitätsrelation der Charaktere: n χ µ (a)χ ν (a 1 ) = K χ µ (K)(χ ν (K)) = δ µν Wobei K die Klassenordnun der Klasse K ist. - Die Orthoonalitätsrelation der Charaktere wird eränzt durch eine Vollständikeitsrelation (2. Orthoonalitätsrelation): n K χ µ (K)(χ µ (K )) = δ KK 2

3 - Eine reduzible Darstellun zerfällt in ihre irreduziblen Bestandteile, so dass für die Charaktere ilt: n χ(a) = c µ χ µ (a). Die anzzahlien Zerleunskoeffizienten c µ lassen sich mit Hilfe der Winer schen Schlüsselformel der Ausreduktion berechnen: c µ = 1 n K (χ µ (K)) χ(k) - Handelt es sich nun um eine irreduzible Darstellun, so dass ilt χ µ (K) = χ(k), dann ist der Ausreduktionskoeffizient leich 1 und man erhält somit das soenannte Reduzibilitätskriterium: n K χ(k) 2 = Charaktertafel von C 2v C 2v (2mm) E C 2 σ v σ v x 2, y 2, z 2 z A xy R z A zx R y, x B yz R x, y B Wassermolekül H 2 O Charaktertafel von C 3v C 3v (3m) E 2C 3 3σ v x 2 + y 2, z 2 z A R z A (x 2 y 2, xy) (x, y) E (zx, yz) (R x, R y ) Ammoniakmolekül NH 3 Charaktertafel von C 4v C 4v (4mm) E 2C 4 C4 2 = C 2 2σ v 2σ d x 2 + y 2, z 2 z A R z A x 2 y 2 B xy B (x, y) E (zx, yz) (R x, R y ) Brompentafluorid BrF 5 3

4 Produktdarstellunen und ihre Zerleun Transformieren sich zwei Sätze soenannter Darstellunsfunktionen der irreduziblen Darstellunen D µ, D ν einer Gruppe G, P a f µ i = f µ j Dµ ji (a) (Summenkonvention beachten!) P a l ν = nd ν nl ν (a) dann transformieren sich ihre Produkte entsprechend der Produktdarstellun P a f µ i ν l = f µ j ν nd µ ji (a)dν nl (a) = f µ j ν nd Es folt der Satz: (µ x ν) ji,nl (a) Die Charaktere der Produktdarstellun D (µ x ν) = D (µ) x D (ν) sind eeben durch die Produkte der Charaktere ihrer irreduziblen Bestandteile D (µ), D (ν) : χ (µ x ν) (a) = χ (µ) (a) χ (ν) (a) Falls die zu multiplizierenden Darstellunen übereinstimmen, also µ = ν ilt, lässt sich die Produktbasis des Darstellunsquadrates D (µ x µ) in eine symmetrische und eine antisymmetrische Fole zerleen {f i j } symm = {f i j + f j i } mit i j {f i j } antisymm = {f i j f j i } mit i > j Die Dimensionen der entsprechenden Darstellunen sind d (symm) µ x µ = 1 2 d µ(d µ + 1) und d (antisymm) µ x µ = 1 2 d µ(d µ 1). Für die Charaktere folt: (µ x µ) χ symm (a) = 1 2 [(χ(µ) (a)) 2 + χ (µ) (a 2 )] bzw. (µ x µ) χ antisymm (a) = 1 2 [(χ(µ) (a)) 2 χ (µ) (a 2 )] Falls es sich bei µ = ν auch noch um identische Funktionensätze {f i } { i } handelt, so ibt es keine antisymmetrischen Produktkombinationen, weshalb in den Multiplikationstafeln die antisymmtrischen Darstellunen in eckie Klamern esetzt werden (s.u.) Multiplikationstafeln C 2v A 1 A 2 B 1 B 2 C 3v A 1 A 2 E A 1 A 1 A 2 B 1 B 2 A 1 A 1 A 2 E A 2 A 1 B 2 B 1 A 2 A 1 E B 1 A 1 A 2 E A 1 + [A 2 ] + E B 2 A 1 C 4v A 1 A 2 B 1 B 2 E A 1 A 1 A 2 B 1 B 2 E A 2 A 1 B 2 B 1 E B 1 A 1 A 2 E B 2 A 1 E E A 1 + [A 2 ] + B 1 + B 2 4

5 Überanswahrscheinlichkeiten Auswahlreeln Welche Überäne ein Quantensystem unter Einfluß bestimmter Wechselwirkun vollführen kann, wird entscheidend durch die Symmetrie von Anfanszustand ψ i, Endzustand ψ f und Wechselwirkunsoperator Ŵ bestimmt. Die Wahrscheinlichkeit (Überansrate) für einen entsprechenden Überan i f wird durch das entsprechende Matrixelement bestimmt (Fermis Goldene Reel): w i f = 2π h ψ f Ŵ ψ i 2 ρ(e f ) Dabei ist ρ(e f ) die Zustandsdichte der Endzustände f, deren Enerie E f in uter Näherun den Eneriesatz (mit Unschärfe) erfüllen. Auswahlreeln die auf der Symmetrie basieren werden dadurch efunden, ob das Matrixelement ψ f W ψ i verschwindet oder eben nicht. Das Volumeninteral über irendeine Funktion Q( r) ist eenüber einer beliebien unitären Transformation der Koordinaten invariant. Q( r)dv r = Q( r )dv r. (mit r = Û r, dv r = dv r, falls ÛÛ+ = ˆ1) Symmetrieoperationen sind unitär, so dass für die Elemente a einer Symmetrieruppe G mit ˆP a Q( r) = Q(a 1 r) folt: 1 Q( r)dv r = ˆP a Q( r)dv r = ˆP a Q( r)dv r Nun ist aber 1 ˆP a enau der Projektionsoperator zur Eins-Darstellun A 1 der betrachteten Gruppe G. Das Interal ist also nur dann von Null verschieden, wenn der Interand Q( r) einen A 1 Symmetrieanteil enthält! Für quantenmechanische Überäne ist also festzustellen, ob in dem Interanden Q( r) = ψ f ( r)ŵ ψ i( r) eine A 1 Symmetrie enthalten ist. Man muss demnach das direkte Produkt der (irreduziblen) Darstellunen von Anfansund Endzustand sowie des Ŵ Operators berechnen und es anschließend in seine irreduziblen Bestandteile zerleen, oder wenistens den Zerleunskoeffizienten c 1 für die A 1 Darstellun bestimmen. Da der Wechselwirkunsoperator oft ein Tensor ist und deshalb zu keiner irreduziblen Darstellun von G ehört, ist es manchmal vorteilhafter, zuerst die irreduziblen Bestandteile von Ŵ zu finden und diese dann mit der irreduziblen Darstellun von ψ i zu multiplizieren. Die anschließende Ausreduktion ist danach zu bewerten, mit welchen irreduziblen Darstellunen von G für den Endzustand ψ f ein von Null verschiedenes Matrixelement erwartet werden kann. Falls die Charaktertafel der Gruppe nicht nur reelle Zahlenwerte enthält, ist darauf zu achten, dass die Charaktere des Endzustandes komplex zu konjuieren sind! 5