Die Determinante ist nur für beliebige quadratische Matrizen (n = m) definiert: a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22. det. a nn.

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1 Die Determinante ist nur für beliebige quadratische Matrizen (n = m) definiert: Definition 1.2 (Leibniz-Formel) Die Determinante einer n n-matrix ist a 11 a 12 a a 1n a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22. a 21 a 22. det a n a n a nn a nn := π S n sign(π)a 1π(1) a 2π(2) a 3π(3) a nπ(n), (1.9) wobeidiesummeüberallemöglichenpermutationenπ derzahlen1,2,...,n läuft und sign(π) das Vorzeichen der jeweiligen Permutation ist. Wir wollen uns den Begriff der Permutation noch etwas näher ansehen. Definition 1.3 Gegeben sei die Menge I n = {1,2,...,n}, n N. Eine eineindeutige Abbildung π von I n auf I n heißt Permutation von M. Die Menge aller Permutationen auf I n wird als S n bezeichnet. (S n := {eineindeutige Abbildungen I n I n }) Das Vorzeichen der Permutation π ist durch definiert. sign(π) := i<j π(j) π(i) j i Bemerkung S n besitzt n! = n (n 1) (n 2) Elemente. Bemerkung Das Vorzeichen einer Permutation lässt sich auch über der Anzahl von Transpositionen bestimmen, welche notwendig sind, um diese Permutation zu erzeugen. Transpositionen sind einfach Vertauschungen von 2 Elementen. Eine gerade Anzahl liefert ein positives Vorzeichen, eine ungerade Anzahl ein negatives Vorzeichen. 4

2 Bemerkung Eine Permutation π S n wird üblicherweise in der zweizeiligen Form n ( ) n π =... =, π(1) π(2) π(3)... π(n) π(1) π(2) π(3)... π(n) oder auch verkürzt in der einzeiligen Form ( ) π = π(1),π(2),π(3),...,π(n) geschrieben. Beispiel 1.5 Permutationen von 3 Elementen (I n = {1,2,3}): {( ) ( ) ( ) S 3 =,,, }{{}}{{}}{{} π 1 π 2 π 3 (1.10) ( ) ( ) ( )} ,,, }{{}}{{}}{{} π 4 π 5 π 6 sign(π 1 ) = sign(π 2 ) = sign(π 3 ) = 1, sign(π 4 ) = sign(π 5 ) = sign(π 6 ) = 1. Das Ergebnis der Leibniz-Formel für die Determinante einer 3 3-Matrix kann man sich mit Hilfe der Regel von Sarrus merken: Man schreibe die erste und zweite Spalte der Matrix nochmals als vierte und fünfte Spalte hin. Dann bilde man die Produkte längs der gepunkteten Linien, addiere sie und ziehe die Produkte längs der durchgezogenen Linien ab. a 11 a 12 a 13 a 11 a a 21 a 22 a 23 a. 21 a 22 = (1.11) a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33. 5

3 Diese Merkregel verallgemeinert jene, die wir zur Berechnung der Determinante einer 2 2-Matrix eingeführt haben. Für Determinanten von Matrizen höherer Dimension (n 4) gibt es keine derartigen Regeln mehr. Berechnungen von Determinanten höherdimensionaler Matrizen mittels Leibniz-Formel werden sehr schnell unpraktikabel. Die Determinanten einer allgemeinen Matrix würde etwa Terme aufweisen. Für die praktische Berechnung von Determinanten einer höherdimensionalen Matrix verwendet man eher den Laplace schen Entwicklungssatz in Kombination mit Umformungen der Matrix, welche den Wert der Determinante nicht verändern. Satz 1.1 (Laplace scher Entwicklungssatz) Die Determinante einer n n- Matrix  = (a ij) kann folgendermaßen berechnet werden: n detâ = a ij C ij (Entwicklung nach i ter Zeile) = j=1 n a ij C ij (Entwicklung nach j ter Spalte) (1.12) i=1 Die Größen C ij sind die sogenannten Kofaktoren von a ij. Um den Kofaktor C ij zu berechnen, bildet man zuerst den Minor M ij von a ij. Der MinoristdieDeterminanteeiner(n 1) (n 1)-Matrix,dieausÂdurchStreichender i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht. Der Minor versehen mit einem entsprechenden Vorzeichen ist dann der Kofaktor: C ij = ( 1) i+j M ij. (1.13) Auf diese Weise wird also die Berechnung der Determinante einer n n-matrix auf die Berechnung von n Determinanten von (n 1) (n 1)-Matrizen zurückgeführt. Verschwinden in der Zeile oder Spalte, nach der entwickelt wird, mehrere Matrixelemente a ij, so reduziert sich die Zahl der zu berechnenden Kofaktoren. Beispiel 1.6 Entwicklung der Determinante einer 3 3-Matrix nach 2. Spalte + + a 11 a12 a13 + a 21 a22 a23 a 21 a 23 = a 12 + a 31 a 33 +a a 11 a a 31 a 33 a a 11 a a 21 a 23 a 31 + a32 a33 6

4 Bemerkung Der Beweis des Laplace schen Entwicklungssatzes läuft über die Definition von Detrminanten mittels Leibniz-Formel (siehe etwa Satz im Buch von Kowalsky). Bemerkung Der Laplace sche Entwicklungssatz kann auf die Entwicklung nach mehreren Zeilen oder Spalten verallgemeinert werden. Wichtigste Anwendung davon ist die Berechnung der Determinante einer oberen oder unteren n n-blockmatrix ) (ˆP ˆD  = ˆ0 ˆQ ( ) ˆP ˆ0 oder  = ˆD ˆQ, wobei ˆP eine p p-matrix, ˆQ eine (n p) (n p)-matrix, ˆD eine p (n p)-matrix, ˆD eine (n p) p-matrix und ˆ0 die Nullmatrix ist. Es gilt dann detâ = det ˆP det ˆQ. Mit Hilfe der Leibniz-Formel und des Laplace schen Entwicklungssatzes lassen sich nun verschiedene Eigenschaften von Determinanten einer n n-matrix  beweisen: (D1) detâ = 0, wenn a) eine Zeile oder eine Spalte identisch Null ist, b) zwei Zeilen oder zwei Spalten gleich oder proportional sind. (D2) Wenn alle Elemente einer Zeile oder einer Spalte der Matrix  mit einer Konstanten λ multipliziert werden, so wird auch die Determinante von  mit λ multipliziert (d.h. detâ λdetâ). (D3) Vertauscht man in der Determinante.  zwei Zeilen oder Spalten, so ändert sich das Vorzeichen (D4) a) Definiertmandietransponierte MatrixÂT alsmatrix,inderdiespalten vonâalszeilengeschriebenwerden(d.h.wennât = (a ij)undâ = (a ij), dann gilt a ij = a ji ), so ist detât = detâ. b) Der Wert von detâ ändert sich auch nicht, wenn zu einer Zeile oder Spalte das Vielfache einer anderen Zeile oder Spalte addiert wird. 7

5 (D5) Unterscheiden sich zwei n n-matrizen  und ˆB nur in einer Zeile oder Spalte, so ist die Summe der Determinanten gleich die Determinante einer Matrix Ĉ, die in der betreffenden Spalte die Summe der beiden verschiedenen Einträge enthält. Oder etwas formaler, wenn a a 1j... a 1n a b 1j... a 1n a  = a 2j... a 2n und a ˆB = b 2j... a 2n , a n1... a nj... a nn a n1... b nj... a nn dann ist detâ+det ˆB = detĉ mit Analoges gilt für die jte Zeile. a a 1j +b 1j... a 1n a Ĉ = a 2j +b 2j... a 2n a n1... a nj +b nj... a nn 8