Darstellungstheorie III

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1 Darstellunstheore III Jasper Hasenkamp Sebastan Jakobs Inhaltsverzechns 1 Das Fundamentale Orthoonaltätstheorem 2 2 Orthoonaltät der Charaktere 3 3 Zerleun reduzerbarer Darstellunen De reuläre Darstellun De Konstrukton der Charaktertafel 4.1 Charaktertafel der C Charaktertafel der D Drekte Produkte und Clebsch-Gordan-Rehe 9 sjakobs@physnet.un-hambur.de 1

2 1 Das Fundamentale Orthoonaltätstheorem Aus dem besprochenen Lemma von Schur lassen sch nun ene nteressante Eenschaften der Darstellunen endlcher, oder kompakter Gruppen herleten. Zunächst betrachten wr den folenden Operator ˆB := T (µ) ()ÂT (ν) ( 1 ) (1) Herbe snd de T (µ) de rreduzblen näquvalenten Darstellunen der Gruppe und  ene belebe lneare Abbldun. Be ener kompakten Gruppe wäre de Summe durch en Interal mt enem eeneten Maÿ ersetzt worden. Wr multplzeren nun von lnks mt T (µ) (h): T (µ) (h) ˆB = = = T (µ) (h)t (µ) ()ÂT (ν) ( 1 ) (2) T (µ) (h)ât (ν) ( 1 ) (3) T (µ) ( )ÂT (ν) ( 1 h) (4) wobe wr m letzten Schrtt = h esetzt haben. Nach Cayley's Theorem kann man de Summe weder umschreben als ene Summe über. Man erhält dann = T (µ) ()ÂT (ν) ( 1 )T (ν) (h) (5) Damt haben wr nun ezet, dass T (µ) (h) ˆB = ˆBT (ν) (h) () der oben denerte Operator mt den rreduzblen, näquvalenten Darstellunen verträlch st. Aus dem Lemma von Schur folt dann, dass ˆB en Velfaches der Ens st, wenn µ = ν, oder null, wenn µ ν. Kompakt eschreben B := D (µ) ()AD (ν) ( 1 ) = λ (µ) A δµν 1 (7) Wr snd be desem Schrtt berets zur Matrx-Schrebwese der Darstellunen übereanen. Nun lt es de Konstante zu bestmmen. De Konstante λ hänt zum enen von der ewählten Matrx A und zum anderen von der Darstellun ab. Wr wählen A nun so, dass alle Matrxelemente null snd bs auf enes. Se A lm = δ lr δ ms (8) damt folt dann D r ()D sj ( 1 ) = λ (µ) rs δ µν δ j (9) 2

3 Herbe wurde de Ens als en Kronecker-delta eschreben. Wr betrachten den Ausdruck nun für µ = ν und blden de Spur bzl. j (D (µ) ( 1 )) sr = n µ λ (µ) rs (10) (D(e)) rs = n µ λ (µ) rs (11) [] δ rs = n µ λ (µ) rs (12) Herbe st n µ de Dmensonaltät von D (µ) und [] st de Anzahl der Elemente n der zu Grunde leenden Gruppe 1. Mt deser Konstanten erhalten wr nun das Fundamentale Orthoonaltätstheorem 2 Orthoonaltät der Charaktere D (µ) r ()D(ν) sj ( 1 ) = [] δ µν δ j δ rs (13) n µ Aus der Orthoonaltät der rreduzblen näquvalenten Darstellunen kann man nun de Orthoonaltät der zuehören Charaktere zeen. Dazu blden wr be (13) de Spur bzl. r und sj, d.h. wr kontraheren mt δ r und δ sj. Man erhält dann: χ (µ) ()χ (ν) ( 1 ) = [] n µ δ µν δ j δ j (14) Mt δ j δ j = δ = n µ erhält man schleÿlch de Orthoonaltätsrerlaton der Charaktere: 1 χ (µ) ()χ (ν) ( 1 ) = δ µν (15) [] Dese Relaton hat starke Ähnlchket mt dem Skalarprodukt von []-zelen Spaltenvektoren. Daher deneren wr das Skalarprodukt zwschen Charakteren: ϕ, χ := 1 [] ϕ()χ( 1 ) = χ, ϕ (1) De Orthoonaltätsrelaton lautet dann χ (µ), χ (ν) = δ µν. De Orthoonaltätsrelaton lässt sch noch weter verenfachen, wenn man berückschtt, dass der Charakter konstant st auf den Konjuatonsklassen. Se nu k de Anzahl der Elemente n der Konjuatonsklasse K und χ der Charakter auf deser Konjuatonsklasse. Wr nummereren de 1 Be kompakten Gruppen wäre [] = R dµ, mt µ dem Maÿ auf der Gruppe G 3

4 Konjuatonsklassen durch und erhalten schleÿlch für de Orthoonaltätsrelaton 2 : 1 [] k χ (µ) χ (ν) = δ µν (17) Des kann nun als de Orthoonaltät zwschen r verschedenen Vektoren k χ (µ) elesen werden. r st de Anzahl der rreduzblen näquvalenten Darstellunen. Wenn k de Anzahl der Konjuatonsklassen st, dann snd dese Vektoren Elemente enes k- dmensonalen Raumes. Es kann aber nur maxmal k verschedene orthoonale Vektoren eben. Damt haben wr r k (18) Man kann auch noch ene Orthoonaltätsrelaton bzl. µ herleten 1 [] µ k χ (µ) χ (µ) j = δ j (19) Des st de Orthoonaltät von k verschedenen r komponenten Vektoren. Es kann aber maxmal nur r solcher Vektoren eben. Damt erhalten wr Damt erhalten wr schleÿlch k r (20) #(Darstellunen) = #(Konjuatonsklassen) (21) 3 Zerleun reduzerbarer Darstellunen Mt dem bsher ezeten Rüstzeu können wr nun daran ehen allemene Darstellunen n ene Summe aus rreduzblen näquvalenten Darstellunen zu zerleen. Wenn de Darstellun D (ν) be deser Zerleun a ν mal vorkommt, dann lt D() = ν a ν D (ν) () (22) De nteressante Frae lautet nun de Koezenten der Zerleun zu nden. Dazu blden wr de Spur auf beden Seten und erhalten χ() = ν a ν χ (ν) () (23) 2 Wr nehmen an deser Stelle an, dass de Darstellunen alle untär snd, n der Physk st des fast ausnahmslos der Fall. Dann lt χ (µ) ( 1 ) = tr{d (µ) j ( 1 )} = tr = χ (µ) () j ff 1 D (µ) j () = tr{d (µ) j ()} 4

5 de Tensorsumme eht dabe n ene normale Summe über, was man lecht ensehen kann, wenn man sch ernnnert, dass man be der Tensorsumme de Darstellunen n Blockdaonalform aneordnet hat, und be der Spur de Summe über de Daonalelemente bldet. Wenn wr jetzt mt χ (µ) ( 1 ) mutlplzeren und über summeren, erhalten wr schleÿlch a µ = 1 χ()χ (µ) ( 1 ) (24) [] Mt dem oben denerten Skalarprodukt kann man auch schreben a µ = χ (µ), χ (25) 3.1 De reuläre Darstellun Aus dem Theorem von Cayley folt, dass jede endlche Gruppe mt [] Elemente somorph st zu ener Unterruppe der S []. Damt können wr de Lnksmultplkaton mt ener Permutatonsmatrx (D M([] [])) darstellen: = j D j () j (2) Dese Darstellun D wrd auch reuläre Darstellun enannt. st nun enau en Element n der Gruppe. Damt folt aber, dass de Matrx D kene Elemente n der Daonalen hat und n jeder Spalte und jeder Zele enau ene 1 steht, wenn e. Wenn = e, so st D = 1 3. Betrachten wr das Bespel C 3 = {e, c, c 2 }. Her lautet de reuläre Darstellun: D(c) = D(e) = Betrachten wr m Weteren nun weder den allemenen Fall. Da D für e kene Daonalelemente bestzt und sonst de Enhetsmatrx st, folt: { 0 e χ() = [] = e (27) Wr wssen jedoch, dass χ (µ) (e) = T r(d(e)) = T r(1) = n µ (28) 3 1=Enhetsmatrx 5

6 herbe st n µ de Dmenson der Darstllun D (µ). Für de Entwcklunskoezenten erhalten wr dann: a µ = 1 [] χ()χ (µ) ( 1 ) (29) = χ (µ) (e) = n µ (30) Setzen wr jetzt n (23) = e, so erhält man für de reuläre Darstellun: χ(e) = ν a ν χ (ν) (e) (31) [] = ν n ν n ν = ν n 2 ν (32) Durch de letzte Bezehun und (21) wrd de Anzahl und de Art der rreduzblen näquvalenten Darstellunen eneschränkt. 4 De Konstrukton der Charaktertafel Um de Zerleun beleber Darstellunen durchzuführen benött man den Charakter der rreduzblen näquvalenten Darstellunen. Desen schrebt man überschtlch n ener so. Charaktertafel. Herbe werden de Spalten mt den verschedenen Konjuatonsklassen bezechnet, und de Zelen mt den rreduzblen näquvalenten Darstellunen. Ween (21) st de Charaktertafel mmer quadratsch. Um ene solche Charaktertafel zu konstrueren bedent man sch der folenden Hlfsmttel: 1. #(Darstellunen) = #(Konjuatonsklassen) 2. µ n2 µ = [] 3. Orthoonaltät der Charaktere: k χ (µ) χ (ν) = [] δ µν 4. Alle weteren Informatonen über de Gruppe Zu desen Informatonen zählt bspw., dass be 1-dmensonalen Darstellunen der Charakter de Gruppeneenschaften erfüllt 4. Des lt z.b. be abelschen Gruppen, wo alle rreduzblen näquvalenten Darstellunen 1-dmensonal snd. 4.1 Charaktertafel der C 3 Als en Bespel betrachten wr de C 3, dese Gruppe st abelsch. Damt snd aber auch alle Darstellunen 1-dmensonal, damt st χ (µ) (e) = 1, µ. De erste Spalte bt de Dmenson der betrachteten Darstellun an. In der ersten Spalte stehen damt nur Ensen. 4 Da de Darstellun selbst de Gruppeneenschaft erfüllt und be 1-dmensonalen Darstellunen der Charakter lech der Darstellun selbst st, erfüllt auch der Charakter de Gruppeneenschaft

7 Da de trvale Darstellun ebenfalls unter den rreduzblen näquvalenten Darstellunen sen muss, wählen wr nun D (1) als de trvale Darstellun, deren Charakter st mmer 1. Damt stehen n der ersten Zele ebenfalls nur Ensen. Da der Charakter de Gruppeneenschaft haben muss, st und χ(c 2 ) = (χ(c)) 2 (33) (χ(c)) 3 = χ(c 3 ) = χ(e) = 1 (34) Damt st χ(c) ene der drtten Enhetswurzeln: 1, ω = e 2π/3, ω 2 = e 4π/3. C 3 e c c 2 D (1) D (2) 1 ω ω 2 D (3) 1 ω 2 ω Tabelle 1: De Charaktertafel der C Charaktertafel der D 3 Jetzt berechnen wr en weteres Bespel; de Charaktertafel der D 3. D 3 bestzt dre Konjuatonsklassen. Dese snd K 1 = {e}, K 2 = {c, c 2 }, K 3 = {b, bc, bc 2 }. Wobe m Untersched zur C 3 als zusätzlches ruppenbldendes Element de Drehun b auftaucht. b steht für ene 180 -Drehun um ene Setenhalberende (=Wnkelhalberende) des Dreecks (sehe früheren Vortra). Ween #(Darstellunen) = #(Konjuatonsklassen) erbt her de Bednun µ n2 µ = [] also enfach n n n 2 3 = (35) Man ernnere sch, dass mt D 3 = {e, c, c 2, b, bc, bc 2 } de Anzahl der Gruppenelemente eeben st. Es st [] =. Da de trvale Darstellun mt n 1 = 1 mmer exstert, reduzert sch Glechun (35) zu n n 2 3 = 5 (3) Mt den beden Löunen: n 2 = 2; n 3 = 1 n 2 = 1; n 3 = 2 De Indexerun st an deser Stelle allerdns nur ene Notatonsfrae, da noch kene Darstellun zueordnet wurde. Damt st de erste Spalte efunden. Als D (1) leen wr weder de trvale Darstellun fest, womt wr auch de erste Zele n de Charaktertafel (Tabelle 2) entraen können. Für 1-dmensonale Darstellunen müssen de Charaktere χ (µ) de Gruppeneenschaft erfüllen, also χ(b c) = χ(b) χ(c) (37) 7

8 Da b und bc n der selben Konjuatonsklasse leen lt also: χ(bc) = χ(bc) χ(c) (38) Woraus sofort folt, dass χ(c) = 1 st. Auÿerdem lt unter Ausnutzun der Eenschaften der Gruppe: χ 2 3 = (χ(b)) 2 = χ(b 2 ) = χ(e) = 1 χ 3 = ±1 (39) De Lösun χ 3 = 1 st schon für de trvale Darstellun realsert, also st χ (2) 3 = 1. Es bleben noch zwe Enträe α und β zu bestmmen. Mt Hlfe der Orthoonaltät der Charaktere (Glechun 17), her also k χ (1) χ (3) = 0 und k χ (2) χ (3) = 0 mt = 1, 2, 3 erhalten wr zwe Glechunen fr de beden Unbekannten. Es st: 2 + 2α + 3β = α 3β = 0 } β = 0, α = 1 (40) D 3 K 1 K 2 K 3 D (1) D (2) z D (3) 2 α = 1 β = 0 x,y Tabelle 2: De Charaktertafel der D 3 Wr möchten erne wssen we de Darstellun, de auf enen Vektor wrkt, n verschedene rreduzble Darstellunen zerfällt. Wr betrachten: x x y = v v = y (41) z z De Matrx von enem b (her o.b.d.a. Drehun um x-achse) st: D(b) = Also st χ(b) = 1. Rechnen wr de Koezenten a µ durch ensetzen n Glechun 24 aus: a 1 = 1 ( ( 1) 3) = 0 a 1 = 0 (42) 1 a 2 = ( ( 1) ( 1) 3) = = 1 a 2 = 1 (43) a 3 = 1 (3 2 + ( 1) ( 1)) = 1 a 3 = 1 (44) χ = χ (2) + χ(3) (45) 8

9 und de esuchte Zerleun st: D = D (2) + D (3) (4) Zur Vollständket st de Charaktertafel der D 3 nochmals mt ener veränderten Notaton aneeben. De Bezechnunen der Konjuatonsklassen kann motvert werden. E steht naheleend für de Konjuatonsklasse der Enhet. De restlchen Bezechnunen bestehen aus ener Zahl, de de Anzahl der Elemente n der Konjuatonsklasse anbt, und enem Bezechner für den Typ der Unterruppe. De Konjuatonsklasse st dann z.b. ene 2-elemente C 3 -Unterruppe (herbe würde de Enhet e Element jeder Unterruppe sen). De Bezechnunen der rreduzblen Darstellunen enstprechen den üblchen Bezechnunen n der Festkörperphysk. D 3 E 2C 3 3C 2 A A z E x,y Tabelle 3: De Charaktertafel der D 3 (veränderte Notaton) 5 Drekte Produkte und Clebsch-Gordan-Rehe In der N-Telchen Quantenmechank beschrebt man den Zustand des Ensembles mt ener Wellfunkton, de sch als Produkt von En-Telchen-Wellenfunktonen darstellen lässt. Der Enfachhet halber noreren wr her Fraen bzl. Symmetrserun, oder Antsymmetrserun. Betrachten wr nun en Zwe-Telchenproblem, be dem de Zustände der enzelnen Techen endeut durch de Ortsraum-Wellenfunktonen ϕ a (x), bzw. ψ b (x) betsmmt snd. Auf den beden Vektorräumen deser Wellenfunktonen snd de rreduzblen näquvalenten Darstellunen berets bekannt, und de Transformatonen seen eeben über: ψ a(x) = D (µ) ba ()ψ b(x) (47) ϕ c(x) = D (ν) dc ()ϕ d(x) (48) De Produkt-Wellenfuntkon st dann Ψ ac = ψ a (x) ϕ c (x) V V. Auf dem Produktraum wrd dann durch Ψ ac(x) = D (µ) ba ()D(ν) dc ()Ψ bd(x) (49) ene Darstellun erzeut. Lemma 1. Se G ene Gruppe und G, und seen weter de rreduzblen näquvalenten Darstellunen der Gruppe durch D (µ) ab ene Darstellun der Gruppe G erzeut. D (µ ν) ba;dc () = D(µ) ba () eeben. Dann wrd durch D(ν) dc () (50) 9

10 Bewes. Für den Bewes bemerken wr, dass das Matrxprodukt auf dem Produktraum eeben st über: E (µ ν) AB F (µ ν) BC = E (µ) a E(ν) cj F (µ) F (ν) jd (51) mt den Indexpaaren A = (ac), B = (j) und C = (bd) 1. Gruppeneenschaft D (µ ν) AC ( 1 2 ) = D (µ) ab ( 1 2 ) D (ν) cd ( 1 2 ) 2. Ens wrd auf Ens abebldet = D (µ) a ( 1)D (µ) b ( 2) D (ν) cj ( 1)D (ν) jd ( 2) = D (µ) a ( 1) D (ν) cj ( 1)D (µ) b ( 2) D (ν) jd ( 2) b = D (µ ν) AB ( 1)D (µ ν) BC ( 2) D (µ ν) (e) = D (µ) (e) D (ν) (e) = 1 (µ) 1 (ν) = 1 (µ ν) Herbe st 1 (µ ν) de Ens auf dem Produktraum V V. De efundenen neue Darstellunen st m Allemenen ncht mehr rreduzbel, und man kann weder schreben D (µ) D (ν) = σ a σ D (σ) (52) Dese Rehe st auch bekannt als Clebsch-Gordan-Rehe. Um nun de Zerleun anzueben se bemerkt, dass der Charakter der Produktdarstellun über das Produkt der enzelen Charaktere eeben st: { } χ (µ ν) () = tr D (µ ν) bd;ac () (53) = D (µ) bb D cc (ν) () (54) = χ (µ) () χ (ν) () (55) Damt erhalten wr de Zerleuns-Koezenten über a σ = χ (σ), χ (µ) χ (ν) (5) Als en Bespel betrachten wr nun de Zerleun der Produktdarstellun E E der Gruppe D 3. Aus Tabelle Tab. 3 lesen wr ab, dass der Charakter der Darstellun D (3) = E 10

11 χ(e) = (2, 1, 0) st. Damt st χ(e E) = (4, 1, 0). Damt lautet de Zerleun ([] = ): a 1 = 1 ( ) = 1 (57) a 2 = 1 ( ( 1) 0) = 1 (58) a 3 = 1 ( ( 1) ) = 1 (59) (0) Wr haben also efunden E E = A 1 A 2 E (1) 11