Lineare Algebra IIa Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Sven Balnojan

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1 Lneare Algebra IIa - 04 orlesung - Pro Dr Danel Roggenkamp & Sen Balnojan

2 93 Untäre ektorräume hermtesche Form au enem C ektorraum sesqulnear (ant-lnear m ersten lnear m zweten Argument (, w (w, (, 2 R C Denton 98 ( Ene hermtesche Form au enem C-ektorraum heßt post dent (man schrebt > 0, alls (, > 0ür alle (2 Ene post dente hermtesche Form nennt man auch en Skalarprodukt (3 En Paar (, bestehend aus enem endlch-dmensonalen C-ektorraum ener post denten hermteschen Form nennt man enen untären ektorraum (4 Ene hermtesche Matrx H 2 Mat(n, n; C nenntmanpostdent(h>0, alls se de Matrxdarstellung ener post denten hermteschen Form st, dh alls x H x>0ür alle x 2 Mat(n, ; C Analog zum Eukldschen Fall glt auch n untären ektorräumen 93 Untäre ektorräume

3 Cauchy-Schwarz Unglechung: Satz 99 Se en Skalarprodukt au enem C-ektorraum Danngltür alle u, 2 (u, 2 apple (u, u (,, bzw (u, applekukkk, wobe kuk : p (u, u Beachte den Absolutbetrag! Bemerkung 90 Da (u, 2 C k k :! R 0, st ken natürlcher Wnkel zwschen ektoren denert denert aber ene Norm d :! R 0 (u, 7! ku k ene Metrk! 93 Untäre ektorräume

4 Satz 9 (Gram-Schmdtsches Orthogonalserungserahren Jeder untäre ektorraum (, bestzteneorthonormalbassdeformelnür das Gram-Schmdt erahren erhält man aus denen n Satz 829 ndem man durch ersetzt Korollar 92 (Matrx-erson IstH 2 Mat(n, n; C enepostdentehermtesche Matrx, dann gbt es ene obere Dreecksmatrx P 2 GL n (C mtp H P I n We m Eukldschen: U U? ür alle U Selbstjungerte Endomorphsmen dagonalserbar: Satz 93 Se (, en untärer ektorraum 2 Hom(, selbstjungert Dann bestzt ene Orthonormalbass aus Egenektoren on 93 Untäre ektorräume

5 Untäre Matrzen: Analog zu orthogonalen Matrzen m Kontext Eukldscher ektorräume, überühren untäre Matrzen n untären ektorräumen Orthonormalbasen n Orthonormalbasen Denton 94 Ene Matrx U 2 Mat(n, n; C nenntmanuntär, alls glt U U I n De Menge U n (C :{U 2 Mat(n, n; C U U I n } GL n (C der untären Matrzen st ene Untergruppe on GL n (C Man nennt se de untäre Gruppe 93 Untäre ektorräume

6 Analog zum Eukldschen Fall: Für jede hermtesche Form au enem untären ektorraum gbt es ene Orthonormalbass, de bzgl der hermteschen Form orthogonal st Für jede hermtesche Matrx H 2 Mat(n, n; C gbt es en U 2 U n (C, sodass U H U dagonal st! Hermtesche Matrzen snd dagonalserbar! In der Tat gbt es ür Endomorphsmen untärer ektorräume en enaches Krterum ür de Dagonalserbarket Zur Ernnerung: Satz 725 Se endlch-dmensonaler K-ektorraum 2 Hom(, Dann snd de olgenden Aussagen äqualent: mmer der Fall über K C ( st dagonalserbar (2 Das charakterstsche Polynom (t zerällt n Lnearaktoren ür de Multplztäten µ x ( aller sener Nullstellen x glt µ x ( dm( x ( nde m olgenden enaches Krterum daür 93 Untäre ektorräume

7 93 Normale Endomorphsmen (, untärer ektorraum Denton 95 En Endomorphsmus 2 Hom(, enes untären ektorraums heßt normal, alls er mt senem jungerten ertauscht, dh Entsprechend heßt ene komplexe Matrx F 2 Mat(n, n; C normal, alls se mt hrem hermtesch transponerten ertauscht: F F F F 93 Untäre ektorräume

8 de Induktonserankerung Nehme nun n > an denere (2 Analogzulk Denton 2 Hom(, unta r, l 94 lman normal k k nennt k kenen k Endomorphsmus 099 (,Dann ( (, Korollar Se 2C 2 Hom(, (,( W: ( (C? alls glt ( Unta renormal Endomorphsmen sndglt normal hermtesch Au der anderen Sete olgt aus (72 ( ( hermtesch (, ( ( (, (, ( ( (, Da ncht ausgeartet st, glt C W Falls nun, Proposton 98 Se 2 Hom(, normal Dann (W glt W W normal st, gbt es nach der Induktonsannahme ene Bass aus Egenektoren, de dann lk des den + on Endomorphsmus +Wlker(, Bewes Da st normal st, glt auch u r g : on d, wobe kgenau k dann k (lwenn k k daher 2 ker( 2 ker( Bass soort ker( a nzung des Nach Egenektors zu98 ener on komplettert wrd Dann st also d st gdurch Erg Proposton olgt dagonalserbar Es erblebt daher zu zegen daher genau dannwenn ( (, ( 0 Nun Bewes Da ncht ausgeartet st, st ker( 2 ker( ( ker( d d ( ( 2 Hom(, ( k 0 glt Korollar 99 Se normal k l + + k lk 2 C k Dann (W W st normal glt aber W Nach Annahme st {,, k } lnear unabh a ngg, daher ( k l 0 u r alle ( ( normal Se 2 Wde Dann glt dazu < k olgt < k, damt 0w Da ( (, erscheden ( (snd (,l 0, u r alle ( (, paarwese wegen (72Da lknormal 0 Also st auch {w a ren, ( lnear unabh a ngg enes auch hermtesch (, hermtesch,auch k}u r g de Satz 920 Se Endomorphsmus unt ektorraums Bewes st, glt des den Endomorphsmus :olgen (,d, wobe ( ( (,, w ( w Dann 0 ( snd, (w (, ( ( (, (, (, den g Aussagen a qualent: d st Nach Proposton 98 olgt soort Daher (w? 2ker( damt (w 2W Analog zegt man (W W Aus der Nor ( daher st stnormal st genau dann wenn 2 ker( Korollar Hatdann en Endomorphsmus a t: n-dmensonalen d ( ektorraums malt on724 olgt soort Normalt on! W enes (2 a t st dagonalserbar ( de ker( d ker( n erschedene Egenwerte, so st dagonalserbar Bewes (2( st o enschtlch, denn se {,, n } ene Bass on bestehend aus Korollar 99 Se 2 Hom(, normal 2 C Dann glt Korollar 92 (Matrx-erson Matrxglt A wegen 2 Mat(n, C st dagonalserbar Bewes Se en K-ektorraum, Korrolar 2n;Hom(, en Egenektoren onn-dmensonaler mt ( Ene 99 (Endomorphs genau Also Dann jewels Egenektoren zu desen dann wenn A A A AEgenwerten musu r mt n erschedenen, ( glt alle Bassektoren, n Seen n 2 (, Egenwerten 723 st {enes n } lnear unabha ngg, damt ene Bass,,unt Satz 920 Nach SeProposton Endomorphsmus a ren ektorraums (, Dann snd de olgen ( ( ( ( on Bewes Da normal st, glt des auch u r den Endomorphsmus g : d, wobe den Aussagen a qualent: 0 Jordansche Normalorm Zum erglech: ür allgemene Körper K glt g d st Nach Proposton 98 olgt soort ( st normal Zel st es, ene Normalorm u r Endomorphsmen :! Dann on endlch (2deses stkaptels dagonalserbar Satz 725 Se endlch-dmensonaler K-ektorraum 2 Hom(, snd de ( ker( d ker( d ( dmensonalen ektorr a umen zu nden In Kaptel 74 hatten wr dskutert, unter welchen olgenden Aussagen a qualent: Bewes (2( o enschtlch,dagonalserbar denn se {, (sehe, n }Denton ene Bass onst, dh bestehend aus Umst en solcher st Endomorphsmus 72 ( a nden st dagonalserbar Also wann es ene Bass B on gbt, so dass de entsprechende Matrxdarstellung Mat ( on Egenektoren on mt ( Dann glt wegen Korrolar 99 ( B B (2 Das charakterstsche Polynom (t zera llt n Lnearaktoren u r de Multplglt ene stsener Das,Resultat war Satz 725: stdm( dagonalserbar genau dann zt u rdagonalmatrx alle µbassektoren n a ten ( aller Nullstellen x glt µ ( ( x x x wenn das charakterstsche Polynom n Lnearaktoren zer a llt, MulSatz 920 Se Endomorphsmus enes unta ren ektorraums (,außerdem Dannde snd de olgen den es tplzt a ten ((2 : µx (a qualent: sener Dmensonen, der Ist Nullstellen dm( (Bass { x( Bewes ( dagonalserbar,, entsprechenden n}( on (mt so gbt ene aus den Aussagen Egenr u berenstmmt Egenektoren Seen x de erschedenen Egenwerte on Dann glt nach Bespel 720( 93 Untäre ektorräume ( a ume st normal