Seminar Analysis und Geometrie Professor Dr. Martin Schmidt - Markus Knopf - Jörg Zentgraf. - Fixpunktsatz von Schauder -

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Seminar Analysis und Geometrie Professor Dr. Martin Schmidt - Markus Knopf - Jörg Zentgraf. - Fixpunktsatz von Schauder -"

Transkript

1 Unverstät Mannhem Fakultät für Mathematk und Informatk Lehrstuhl für Mathematk III Semnar Analyss und Geometre Professor Dr. Martn Schmdt - Markus Knopf - Jörg Zentgraf - Fxpunktsatz von Schauder - Ncole Scheble 3. Jun

2 Inhaltsverzechns 1 Enführung 1 2 Fxpunktsatz von Brouwer und sene Verallgemenerungen 1 3 Der Fxpunktsatz von Schauder Enschränkung von K auf K k Defnton ener Hlfsfunkton Bestmmung enes Fxpunktes von T Anwendung n der Wahrschenlchketstheore 8 Lteraturverzechns 11 1 Enführung Der Schaudersche Fxpunktsatz st ene Verallgemenerung des Brouwerschen Fxpunktsatzes. Deser Satz des polnschen Mathematkers Julusz Schauder ( ) besagt, dass ene stetge Funkton auf ener kompakten und konvexen Telmenge enes Banachraumes enen Fxpunkt bestzt. Es soll vor allem auf den Bewes deses Satzes engegangen werden, welcher durch enge Verallgemenerungen des Brouwerschen Fxpunktsatzes hergeletet wrd. Anschleßend begeben wr uns n das Gebet der Wahrschenlchketstheore und sehen uns an, we der Schaudersche Fxpunktsatz dort angewandt werden kann. Natürlch st des nur ene Anwendungsmöglchket von velen. Zunächst enmal ernnern wr uns an den Fxpunktsatz des norwegschen Mathematkers Lutzen E. J. Brouwer ( ). 2 Fxpunktsatz von Brouwer und sene Verallgemenerungen Satz 1 (Fxpunktsatz von Brouwer I). Se B B 1 (0) de abgeschlossene Enhetskugel des R n mt der eukldschen Norm 2. Se weterhn T : B B ene stetge Funkton. Dann exstert en x B, so dass T (x) x, d.h. T bestzt enen Fxpunkt. Um den Schauderschen Fxpunktsatz zu bewesen, müssen wr den Brouwerschen Fxpunktsatz en weng verallgemenern. Anstatt ener Enhetskugel, nehmen wr uns ene beschränkte und konvexe Telmenge des R n, wobe de Null m Inneren deser Telmenge legen soll. Damt erhalten wr folgende Verallgemenerung: Satz 2 (Fxpunktsatz von Brouwer II). Se K R n ene Telmenge des R n, de beschränkt und konvex st. Des Weteren soll gelten: 0 nt (K). Se T : K K. Dann exstert en x K, so dass T (x) x, d.h. T bestzt enen Fxpunkt. Der Vollständgket halber werden wr zusätzlch de Begrffe der Konvextät und der nneren Menge klären. Defnton 1 (Konvextät). Ene Telmenge enes eukldschen Raums heßt konvex, wenn für je zwe belebge Punkte, de zur Menge gehören, auch stets deren Verbndungsstrecke ganz n der Menge legt. 1

3 Defnton 2 (Inneres von K). Se X en topologscher Raum. Dann heßt x 0 nnerer Punkt von K, wenn es ene Umgebung U von x 0 gbt, wobe U K und offen n X st. Das Innere von K, bzw. de nnere Menge von K, nt(k), st de Menge, welche alle nneren Punkte von K benhaltet. Wr wollen desen Satz nun en weteres Mal verallgemenern, damt wr dese letzte Verallgemenerung des Brouwerschen Fxpunktsatzes später be dem Bewes des Fxpunktsatzes von Schauder anwenden können. Zunächst muss jedoch de Dmenson ener Menge geklärt werden: Defnton 3 (Dmenson ener Menge). Se X en Banachraum. M X ene Telmenge von X. Dann st de Dmenson ener Menge folgendermaßen defnert: dm(m) : dm(span(m - M)) wobe M - M {m 1 m 2 m 1, m 2 M}. Ist dm(m) <, so heßt M endlch-dmensonal. Satz 3 (Fxpunktsatz von Brouwer III). Se X en Banachraum. Se K X ene ncht leere Telmenge von X. K se endlch-dmensonal, beschränkt, abgeschlossen und konvex. Des Weteren se T : K K ene stetge Abbldung. Dann exstert en x K, so dass T (x) x, d.h. T bestzt enen Fxpunkt. 3 Der Fxpunktsatz von Schauder Nach desen dre verschedenen Versonen des Brouwerschen Fxpunktsatzes wenden wr uns nun drekt dem Fxpunktsatz von Schauder zu und werden denselben bewesen. Satz 4 (Fxpunktsatz von Schauder). Se (X, ) en Banachraum. K X ene Telmenge von X. K se kompakt und konvex. Se T : K K ene stetge Abbldung. Dann exstert en x K, so dass T (x) x, d.h. T bestzt enen Fxpunkt. Bewesdee: Aufgrund der Komplextät des Beweses, werden wr hn n folgende Punkte untertelen: 1. Enschränkung von K auf ene konvexe, abgeschlossene, beschränkte und endlch-dmensonale Menge K k 2. Defnton ener Hlfsfunkton 3. Bestmmung enes Fxpunktes von T Bevor wr mt dem Bewes begnnen, klären wr zunächst zwe wchtge Begrffe, de wr m Verlauf des Beweses benötgen. Dabe handelt es sch um de konvexe Hülle und um de Abstandsfunkton dst(, A). Defnton 4 (Konvexe Hülle). Se K X ene Telmenge des Vektorraumes X. De konvexe Hülle conv (K) bezechnet den Durchschntt aller konvexen Telmengen von X, de K umfassen. En Element der konvexen Hülle erfüllt Folgendes: α x conv (K), x K, α R +, α 1 2

4 Defnton 5 (dst(, A)). Se (X, d) en metrscher Raum. A X ene Telmenge von X und p X en Punkt n X. Dann st der Abstand enes Punktes zu ener Telmenge folgendermaßen defnert: dst(p, A) : nf {d(p,a)} [0, ). a A Im nachhergen Bewes benötgen wr dst(, A) für de Defnton der Hlfsfunkton. Wr werden dabe benutzen, dass dst(, A) stetg st: Proposton 1. dst(, A) st stetg. Bewes. Wr zegen de folgende Glechung und damt de Lpschtzstetgket von dst(, A). Daraus folgt dann automatsch, dass dst(, A) auch stetg st. Betrachte für en a A und für alle x, y X dst(y, a) dst(x, a) d(x, y) nf a A d(y, a) d(y, x) + d(x, a) nf d(y, a) d(y, x) + nf d(x, a) a A a A Def. dst(y, A) d(x, y) + dst(x, A) dst(y, A) dst(x, A) d(x, y) (1) nf a A d(x, a) d(x, y) + d(y, a) nf d(x, a) d(x, y) + nf d(y, a) a A a A Def. dst(x, A) d(x, y) + dst(y, A) dst(x, A) dst(y, A) d(x, y) (2) aus (1), (2) und der Egenschaft des Betrags folgt de Behauptung. 3.1 Enschränkung von K auf K k Zur Ernnerung: (X, ) st en Banachraum und K ene kompakte und konvexe Telmenge desselben. Damt wr den Brouwerschen Fxpunktsatz anwenden können, müssen wr versuchen K so enzuschränken, dass K konvex, abgeschlossen, beschränkt und endlch-dmensonal st. Dazu wrd K mt glechartgen Kugeln überdeckt für de Folgendes gelten soll: k N, k > 0 belebg N N(k) N Anzahl der Kugeln, de benötgt werden um K zu überdecken B : B 1, x K, 1,..., N Kugeln mt Kugelmttelpunkten x und Radus 1 k k 3

5 Dabe soll k so groß sen, dass zur Überdeckung der Menge K mndestens zwe Kugeln notwendg snd. Um de Kugelmttelpunkte x wrd de konvexe Hülle K k : conv({x 1,..., x N }) gelegt. K k st ene Enschränkung von K. Damt wr später den Brouwerschen Fxpunktsatz III anwenden können, werden wr m Folgenden bewesen, dass K k konvex, abgeschlossen, beschränkt und endlch-dmensonal st. Lemma 1. K k st beschränkt. Bewes. Betrachte en Element der konvexen Hülle: x Def. Konst. - UG α x max x } {{ } 1 Def. α α x α >0 max α x x < α max x Lemma 2. K k st endlch-dmensonal. Bewes. Betrachte: a, b K k belebg a α x, b Subtrakton der beden Elemente ergbt: β x a b (α β ) x { N } span {a b} span (α β ) x da N endlch st, erhalten wr en endlches Erzeugendensystem dm (span {K k K k }) <. 4

6 Außerdem glt: () K k st konvex, da K k de konvexe Hülle bezechnet. () K k st abgeschlossen: Dadurch, dass de Kugelmttelpunkte en endlches Erzeugendensystem blden, folgt automatsch, dass K k abgeschlossen st. Mt desen ver Aussagen, haben wr nun K auf K k engeschränkt, so dass wr später den Brouwerschen Fxpunktsatz anwenden können. Der erste Tel des Beweses st also abgeschlossen, womt wr nun zum zweten Tel übergehen: 3.2 Defnton ener Hlfsfunkton Betrachte nun de Funkton J k : K K k, defnert durch J k (x) : dst(x, K B ) x dst(x, K B ) Damt dese Hlfsfunkton angewandt werden kann, muss se wohldefnert sen. Das bedeutet, dass der Nenner ncht Null werden darf. Des folgt sofort aus der Bedngung, dass mndestens zwe offene (!) Kugeln für de Überdeckung verwendet werden. Es wrd deutlch, dass der Nenner ncht Null werden kann, wel x zwar mmer n ener Kugel, aber ne n allen Kugeln legt. Das Zel besteht weterhn darn, den Brouwerschen Fxpunktsatz III anzuwenden. Deshalb müssen wr noch zegen, dass J k (x) ene stetge Selbstabbldung st. Wr wssen berets, dass de Abstandsfunkton dst(, A) stetg st. Wel Kompostonen stetger Abbldungen wederum stetg snd, wssen wr also auch, dass J k (x) stetg st. Lemma 3. J k bldet nach K k ab. Bewes. J k (x) : z.z. dst(x, K B ) x dst(x, K B ) ( ) dst(x, K B ) x dst(x, K B ) ( ) dst(x, K B ) dst(x, K x B ) } {{ } α ( ) dst(x, K B ) dst(x, K B ) ( ) dst(x, K B ) dst(x, K B ) α 1 J k (x) K k! 1 n dst(x, K B ) dst(x, K B ) 1 5

7 Egentlch haben wr nun den zweten Tel des Beweses abgeschlossen. Im weteren Verlauf deser Ausarbetung benötgen wr ene enfache Unglechung, welche wr nun schon m Voraus bewesen werden: Proposton 2. J k (x) x 1 k x K. Bewes. J k (x) x - UG x x 1 k x B ( dst(x, K B ) ) x N dst(x, K x B ) >0 { }} { dst(x, K B ) (x x) dst(x, K B ) } {{ } >0 dst(x, K B ) x x dst(x, K B ) x B dst(x, K B ) x x x B dst(x, K B ) x B dst(x, K B ) 1 k x B dst(x, K B ) 1 k x B dst(x, K B ) x B dst(x, K B ) 1 k 3.3 Bestmmung enes Fxpunktes von T Wr wollen ene stetge Selbstabbldung fnden, welche von K k nach K k abbldet, damt wr den Brouwerschen Fxpunktsatz anwenden können: S k : K k K T K J k K k x (J k T )(x) J k (T (x)) Wr wssen berets, dass de beden Funktonen J k und T stetg snd. Wel Kompostonen stetger Abbldungen wederum stetg snd, st auch de Funkton S k stetg. Es snd somt alle Voraussetzungen erfüllt um den Schauderschen Fxpunktsatz anwenden zu können: 6

8 S k bestzt enen Fxpunkt f k K k S k (f k ) f k (J k T )(f k ) f k Idee Wenn k größer gewählt wrd, wrd der Radus der Kugeln klener, d.h. es werden mehr Kugeln zum Überdecken von K benötgt. Wr erhalten also ene Fxpunktfolge von N nach K: k f k K k K Wr wssen, dass K kompakt, n desem Raum sogar folgenkompakt st. Jede Folge n enem metrschen Raum X, welcher folgenkompakt st, bestzt ene n X konvergente Telfolge. In unserem Fall wssen wr also: d.h. es glt f k bestzt ene konvergente Telfolge (f kj ) j N mt Grenzwert f K, lm f k j f K. j Wr können nun den letzten Tel des Beweses führen. Proposton 3. f st en Fxpunkt von T. Bewes. fkj T (f kj ) Skj (f kj ) T (f kj ) (J kj T )(f kj ) T (f kj ) J T (f ) T (f kj kj kj ) 1 } {{ } } {{ } k j x x Im letzten Schrtt wrd de zuvor bewesene Proposton 2 verwendet. Daraus folgern wr nun: lm (Jkj T )(f kj ) T (f kj ) 1 lm( ) k j lm(jkj T )(f kj ) lm(t (f kj )) 0 f lm(t (f kj )) 0 Def. Norm f lm(t (f kj )) Stetgket f T (lm(f kj )) f T (f) Der Schaudersche Fxpunktsatz st bewesen! 7

9 4 Anwendung n der Wahrschenlchketstheore Somt haben wr nun den Schauderschen Fxpunktsatz mthlfe enger Verallgemenerungen des Brouwerschen Fxpunktsatzes bewesen. Es stellt sch de Frage n welcher Hnscht sch deser Satz n den verschedenen Berechen der Mathematk anwenden lässt. In desem Kaptel werden wr en Anwendungsbespel deses Satzes für de Wahrschenlchketstheore zegen. Defnton 6 (Reguläre Markovketten). Reguläre Markovketten snd Markovketten, für de en k N exstert, so dass man von jedem Zustand n jeden anderen n genau k Schrtten kommen kann. Satz 5. Für reguläre Markovketten exstert genau ene statonäre Vertelung, welche sch be jeder Startvertelung enstellt. D.h. für de Elemente P j der Übergangsmatrx ener regulären Markovkette glt: lm k P j(k) α α > 0; α 1 α (α 1,..., α n ) : statonäre Vertelung Der Bewes des vorhergen Satzes über de statonäre Vertelung st mthlfe des Schauderschen Fxpunktsatzes relatv länglch, deshalb werden wr hn en weng auftelen und zudem auch nur den ersten Tel bewesen. Der gesamte Bewes würde den Rahmen deser Ausarbetung sprengen - außerdem soll deser Bewes nur enen klenen Enblck n de Anwendung geben. Auftelung des Beweses 1. Exstenz von Fxpunkten 2. Endeutgket von Fxpunkten 3. Konvergenz der Fxpunkte be Regulartät 1. Exstenz von Fxpunkten Lemma 4. Se A ene (n n)-übergangsmatrx und de Zelensumme betrage jewels 1. Das heßt: alle Enträge A j 0, j {1,..., n} n j1 A j 1 {1,..., n} 1 Se weter R n e.. 1 Dann glt: Ae e. 8

10 Bewes. De Zelensumme von A beträgt 1. Aufgrund der Regeln der Matrxmultplkaton erhalten wr be der Multplkaton von A mt e weder e. Deses Lemma brauchen wr um glech den ersten Tel, de Exstenz von Fxpunkten zu bewesen. Satz 6 (Exstenz von Fxpunkten). Se A ene (n n)- Übergangsmatrx und F : R n R n gegeben durch F (p) tr p tr A. Se K R n de Menge aller Zustandsvertelungen: { } K p R n : p 0 für alle 1 n; p 1 Dann bestzt F enen Fxpunkt p K. Bewes. Der Bewes deses Satzes untertelt sch n mehrere Punkte. () K st konvex: Seen p, q K und se S de Verbndungsstrecke von p nach q: Es glt: S {tp + (1 t)q : 0 t 1} t 0, 1 t 0, p 0, q 0. S K K konvex Ln. t tp + (1 t)q n tp + (1 t) Def. t + (1 t) 1 () K st kompakt: ( nach Hene/Borel: abgeschlossen und beschränkt) K st beschränkt: Se p K p p e p e p e max e p } {{ } 1 q p max e max e < 9

11 K st abgeschlossen: Betrachte: (p m ) m N Folge n K, sodass m : p m 0 1,..., n. Se: p m 1, p lm m, m p lm m m. Zu zegen: p K Aus p m 0 folgt lm m p m p 0 p lm p m m lm m p m lm m 1 1 p K K st abgeschlossen. K st abgeschlossen und beschränkt, also kompakt. Wr überprüfen nun, ob F selbstabbldend st, erst dann können wr den Schauderschen Fxpunktsatz anwenden. Im glechen Schrtt zegen wr dann, dass F enen Fxpunkt bestzt und bewesen damt Satz 6 über de Exstenz von Fxpunkten. () f st selbstabbldend. Wr blden das Skalarprodukt von F (p) und e : F (p), e Def. F (p) tr e Def. (p tr A)e Ass. (p tr )(Ae ) Ae e (p tr )(e ) Def. p 1 F (p), e F (p) tr e n F (p) 1 F (p) K, für p K F (K) K Alle Voraussetzungen für den Fxpunktsatz von Schauder snd erfüllt. Es exstert en p K, so dass F (p) p, d.h F bestzt enen Fxpunkt. Zum vollständgen Bewes des Satzes 5 gehört es dazu, de Endeutgket und de Konvergenz der Fxpunkte nachzuwesen. Dese beden Bewese erfolgen (n Anlehnung an de Bachelorarbet von J. Tené) über de Egenwerte und Egenvektoren der zugehörgen Übergangsmatrx. Be näherem Interesse wrd auf das anschleßende Lteraturverzechns verwesen. 10

12 Lteratur [1] Peters, Jörg ; Schmtz, Stephan (1999): De Fxpunktsätze von Brouwer und Schauder. Funktonalanalyss Semnar. [2] Tené, Jula (2008): Monopoly und Markovketten. Bachelorarbet m Fach Mathematk an der Ruhr-Unverstät n Bonn. 11

Analysis I. Vorlesung 17. Logarithmen. R R, x exp x,

Analysis I. Vorlesung 17. Logarithmen. R R, x exp x, Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2013/2014 Analyss I Vorlesung 17 Logarthmen Satz 17.1. De reelle Exponentalfunkton R R, x exp x, st stetg und stftet ene Bjekton zwschen R und R +. Bewes. De Stetgket

Mehr

4. Musterlösung. Problem 1: Kreuzende Schnitte **

4. Musterlösung. Problem 1: Kreuzende Schnitte ** Unverstät Karlsruhe Algorthmentechnk Fakultät für Informatk WS 05/06 ITI Wagner 4. Musterlösung Problem 1: Kreuzende Schntte ** Zwe Schntte (S, V \ S) und (T, V \ T ) n enem Graph G = (V, E) kreuzen sch,

Mehr

Das zum dualen Problem (10.2) gehörige Barriere-Problem lautet analog

Das zum dualen Problem (10.2) gehörige Barriere-Problem lautet analog 60 Kaptel 2. Lneare Optmerung 10 Innere-Punkte-Verfahren Lteratur: Geger, Kanzow, 2002, Kaptel 4.1 Innere-Punkte-Verfahren (IP-Verfahren) oder nteror pont methods bewegen sch m Gegensatz zum Smplex-Verfahren

Mehr

18. Dynamisches Programmieren

18. Dynamisches Programmieren 8. Dynamsches Programmeren Dynamsche Programmerung we gerge Algorthmen ene Algorthmenmethode, um Optmerungsprobleme zu lösen. We Dvde&Conquer berechnet Dynamsche Programmerung Lösung enes Problems aus

Mehr

Konkave und Konvexe Funktionen

Konkave und Konvexe Funktionen Konkave und Konvexe Funktonen Auch wenn es n der Wrtschaftstheore mest ncht möglch st, de Form enes funktonalen Zusammenhangs explzt anzugeben, so kann man doch n velen Stuatonen de Klasse der n Frage

Mehr

Die Leistung von Quicksort

Die Leistung von Quicksort De Lestung von Qucsort Jae Hee Lee Zusammenfassung Der Sorteralgorthmus Qucsort st als ens der effzenten Sorterverfahren beannt. In deser Ausarbetung werden wr sene Komplextät zuerst möglchst präzse schätzen

Mehr

Grundlagen der Mathematik I Lösungsvorschlag zum 12. Tutoriumsblatt

Grundlagen der Mathematik I Lösungsvorschlag zum 12. Tutoriumsblatt Mathematsches Insttut der Unverstät München Wntersemester 3/4 Danel Rost Lukas-Faban Moser Grundlagen der Mathematk I Lösungsvorschlag zum. Tutorumsblatt Aufgabe. a De Formel besagt, daß de Summe der umrahmten

Mehr

Methoden der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung

Methoden der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung Methoden der nnerbetreblchen Lestungsverrechnung In der nnerbetreblchen Lestungsverrechnung werden de Gemenosten der Hlfsostenstellen auf de Hauptostenstellen übertragen. Grundlage dafür snd de von den

Mehr

Online Algorithmen. k-server randomisiert Teil II

Online Algorithmen. k-server randomisiert Teil II Onlne Algorthmen k-server randomsert Tel II Ausarbetung für das Semnar Onlne Algorthmen Prof. Dr. Ro. Klen Anette Ebbers-Baumann Ansgar Grüne Insttut für Informatk Theorethsche Informatk und formale Methoden

Mehr

Asymptotische Stochastik (SS 2010) Übungsblatt 1 P X. 0, n.

Asymptotische Stochastik (SS 2010) Übungsblatt 1 P X. 0, n. Insttut für Stochastk PD. Dr. Deter Kadelka Danel Gentner Asymptotsche Stochastk (SS 2) Übungsblatt Aufgabe (Arten von Konvergenz reeller Zufallsvarablen und deren Zusammenhänge) Es seen X,, n N reelle

Mehr

1.1 Das Prinzip von No Arbitrage

1.1 Das Prinzip von No Arbitrage Fnanzmärkte H 2006 Tr V Dang Unverstät Mannhem. Das Prnzp von No Arbtrage..A..B..C..D..E..F..G..H Das Framework Bespele Das Fundamental Theorem of Fnance Interpretaton des Theorems und Zustandsprese No

Mehr

4.6 Das Pumping-Lemma für reguläre Sprachen:

4.6 Das Pumping-Lemma für reguläre Sprachen: Theoretsche Informatk 1 Vorlesungsskrpt vom Fretag, 30 Jun 000 Index: Erstellt von: (Matrkelnummer: 70899) Sete : 46 Das Pumpng-Lemma für reguläre Sprachen 1 Satz W 1 Zugrundelegende Idee des Pumpng-Lemma

Mehr

Stochastische Prozesse

Stochastische Prozesse INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 009 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Blatt 4 Prv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dpl.-Math. W. Lao Übungen zur Vorlesung Stochastsche Prozesse Musterlösungen Aufgabe 16: (Success Run, Fortsetzung)

Mehr

Fachbereich Mathematik Prof. K. Grosse-Brauckmann D. Frisch WS 2007/08 10./ Gruppenübung

Fachbereich Mathematik Prof. K. Grosse-Brauckmann D. Frisch WS 2007/08 10./ Gruppenübung Fachberech Mathematk Prof. K. Grosse-Brauckmann D. Frsch WS 27/8./.. 6. Übungsblatt zur Lnearen Algebra für Physker Gruppenübung Aufgabe G7 (Kern, Bld, Rang und Orthogonaltät) Gegeben se ene lneare Abbldung

Mehr

( ) γ. (t 1 ) (t 2 ) = Arg γ 2(t 2 )

( ) γ. (t 1 ) (t 2 ) = Arg γ 2(t 2 ) Funktonentheore, Woche 10 Bholomorphe Abbldungen 10.1 Konform und bholomorph Ene konforme Abbldung erhält Wnkel und Orenterung. Damt st folgendes gement: Wenn sch zwe Kurven schneden, dann schneden sch

Mehr

3.3 Lineare Abbildungen und Matrizen

3.3 Lineare Abbildungen und Matrizen 33 LINEARE ABBILDUNGEN UND MATRIZEN 87 33 Lneare Abbldungen und Matrzen Wr wollen jetzt de numersche Behandlung lnearer Abbldungen zwschen Vektorräumen beschreben be der vorgegebene Basen de Hauptrolle

Mehr

6. Übung zur Linearen Algebra II

6. Übung zur Linearen Algebra II Unverstät Würzburg Mathematsches Insttut Prof. Dr. Peter Müller Dr. Peter Fleschmann SS 2006 30.05.2006 6. Übung zur Lnearen Algebra II Abgabe: Bs Mttwoch, 14.06.2006, 11:00 Uhr n de Brefkästen vor der

Mehr

2. Spiele in Normalform (strategischer Form)

2. Spiele in Normalform (strategischer Form) 2. Spele n Normalform (strategscher Form) 2.1 Domnante Strategen 2.2 Domnerte Strategen 2.3 Sukzessve Elmnerung domnerter Strategen 2.4 Nash-Glechgewcht 2.5 Gemschte Strategen und Nash-Glechgewcht 2.6

Mehr

binäre Suchbäume Informatik I 6. Kapitel binäre Suchbäume binäre Suchbäume Rainer Schrader 4. Juni 2008 O(n) im worst-case Wir haben bisher behandelt:

binäre Suchbäume Informatik I 6. Kapitel binäre Suchbäume binäre Suchbäume Rainer Schrader 4. Juni 2008 O(n) im worst-case Wir haben bisher behandelt: Informatk I 6. Kaptel Raner Schrader Zentrum für Angewandte Informatk Köln 4. Jun 008 Wr haben bsher behandelt: Suchen n Lsten (lnear und verkettet) Suchen mttels Hashfunktonen jewels unter der Annahme,

Mehr

1 Definition und Grundbegriffe

1 Definition und Grundbegriffe 1 Defnton und Grundbegrffe Defnton: Ene Glechung n der ene unbekannte Funkton y y und deren Abletungen bs zur n-ten Ordnung auftreten heßt gewöhnlche Dfferentalglechung n-ter Ordnung Möglche Formen snd:

Mehr

3. Lineare Algebra (Teil 2)

3. Lineare Algebra (Teil 2) Mathematk I und II für Ingeneure (FB 8) Verson /704004 Lneare Algebra (Tel ) Parameterdarstellung ener Geraden Im folgenden betrachten wr Geraden m eukldschen Raum n, wobe uns hauptsächlch de Fälle n bzw

Mehr

Diskrete Mathematik 1 WS 2008/09

Diskrete Mathematik 1 WS 2008/09 Ruhr-Unverstät Bochum Lehrstuhl für Kryptologe und IT-Scherhet Prof. Dr. Alexander May M. Rtzenhofen, M. Mansour Al Sawad, A. Meurer Lösungsblatt zur Vorlesung Dskrete Mathematk 1 WS 2008/09 Blatt 7 /

Mehr

Wir betrachten in diesem Abschnitt Matrixspiele in der Maximierungsform, also endliche 2 Personen Nullsummenspiele der Gestalt

Wir betrachten in diesem Abschnitt Matrixspiele in der Maximierungsform, also endliche 2 Personen Nullsummenspiele der Gestalt Kaptel 3 Zwe Personen Spele 3.1 Matrxspele 3.2 Matrxspele n gemschten Strategen 3.3 B Matrxspele und quadratsche Programme 3.4 B Matrxspele und lneare Komplementartätsprobleme 3.1 Matrxspele Wr betrachten

Mehr

Zinseszinsformel (Abschnitt 1.2) Begriffe und Symbole der Zinsrechnung. Die vier Fragestellungen der Zinseszinsrechnung 4. Investition & Finanzierung

Zinseszinsformel (Abschnitt 1.2) Begriffe und Symbole der Zinsrechnung. Die vier Fragestellungen der Zinseszinsrechnung 4. Investition & Finanzierung Znsesznsformel (Abschntt 1.2) 3 Investton & Fnanzerung 1. Fnanzmathematk Unv.-Prof. Dr. Dr. Andreas Löffler (AL@wacc.de) t Z t K t Znsesznsformel 0 1.000 K 0 1 100 1.100 K 1 = K 0 + K 0 = K 0 (1 + ) 2

Mehr

Polygonalisierung einer Kugel. Verfahren für die Polygonalisierung einer Kugel. Eldar Sultanow, Universität Potsdam, sultanow@gmail.com.

Polygonalisierung einer Kugel. Verfahren für die Polygonalisierung einer Kugel. Eldar Sultanow, Universität Potsdam, sultanow@gmail.com. Verfahren für de Polygonalserung ener Kugel Eldar Sultanow, Unverstät Potsdam, sultanow@gmal.com Abstract Ene Kugel kann durch mathematsche Funktonen beschreben werden. Man sprcht n desem Falle von ener

Mehr

Spiele und Codes. Rafael Mechtel

Spiele und Codes. Rafael Mechtel Spele und Codes Rafael Mechtel Koderungstheore Worum es geht Über enen Kanal werden Informatonen Übertragen. De Informatonen werden dabe n Worte über enem Alphabet Q übertragen, d.h. als Tupel w = (w,,

Mehr

Elemente der Mathematik - Sommer 2016

Elemente der Mathematik - Sommer 2016 Elemente der Mathematk - Sommer 2016 Prof Dr Matthas Lesch, Regula Krapf Lösungen Übungsblatt 3 Aufgabe 9 (10 Punkte) Das Horner-Schema st ene Methode zum Auswerten enes Polynoms n a0 x an der Stelle s

Mehr

1 Differentialrechnung in mehreren Variablen

1 Differentialrechnung in mehreren Variablen 1 Dfferentalrechnung n mehreren Varablen 1.1 De Geometre eukldscher Räume Zur Ernnerung De Elemente des R n schreben wr normalerwese als Zelenvektoren: x = (x 1,..., x n ). Kommen Matrzen ns Spel, so st

Mehr

NSt. Der Wert für: x= +1 liegt, erkennbar an dem zugehörigen Funktionswert, der gesuchten Nullstelle näher.

NSt. Der Wert für: x= +1 liegt, erkennbar an dem zugehörigen Funktionswert, der gesuchten Nullstelle näher. PV - Hausaugabe Nr. 7.. Berechnen Se eakt und verglechen Se de Werte ür de Nullstelle, de mttels dem Verahren von Newton, der Regula als und ener Mttelung zu erhalten snd von der! Funkton: ( ) Lösungs

Mehr

Multilineare Algebra und ihre Anwendungen. Nr. 6: Normalformen. Verfasser: Yee Song Ko Adrian Jenni Rebecca Huber Damian Hodel

Multilineare Algebra und ihre Anwendungen. Nr. 6: Normalformen. Verfasser: Yee Song Ko Adrian Jenni Rebecca Huber Damian Hodel ultlneare Algebra und hre Anwendungen Nr. : Normalformen Verfasser: Yee Song Ko Adran Jenn Rebecca Huber Daman Hodel 9.5.7 - - ultlneare Algebra und hre Anwendungen Jordan sche Normalform Allgemene heore

Mehr

Determinanten - I. den i-ten Zeilenvektor der n n-matrix A bezeichnet.

Determinanten - I. den i-ten Zeilenvektor der n n-matrix A bezeichnet. Determnanten - I Ene Determnante st ene Abbldung, welche ener quadratschen (!) Matrx ene Zahl zuordnet. Wr verwenden n desem Zusammenhang de Schrebwese A = a 2, wobe den -ten Zelenvektor der n n-matrx

Mehr

Aufgabe 8 (Gewinnmaximierung bei vollständiger Konkurrenz):

Aufgabe 8 (Gewinnmaximierung bei vollständiger Konkurrenz): LÖSUNG AUFGABE 8 ZUR INDUSTRIEÖKONOMIK SEITE 1 VON 6 Aufgabe 8 (Gewnnmaxmerung be vollständger Konkurrenz): Betrachtet wrd en Unternehmen, das ausschleßlch das Gut x produzert. De m Unternehmen verwendete

Mehr

Weitere NP-vollständige Probleme

Weitere NP-vollständige Probleme Wetere NP-vollständge Probleme Prosemnar Theoretsche Informatk Marten Tlgner December 10, 2014 Wr haben letzte Woche gesehen, dass 3SAT NP-vollständg st. Heute werden wr für enge wetere Probleme n NP zegen,

Mehr

ERP Cloud Tutorial. E-Commerce ECM ERP SFA EDI. Backup. Preise erfassen. www.comarch-cloud.de

ERP Cloud Tutorial. E-Commerce ECM ERP SFA EDI. Backup. Preise erfassen. www.comarch-cloud.de ERP Cloud SFA ECM Backup E-Commerce ERP EDI Prese erfassen www.comarch-cloud.de Inhaltsverzechns 1 Zel des s 3 2 Enführung: Welche Arten von Presen gbt es? 3 3 Beschaffungsprese erfassen 3 3.1 Vordefnerte

Mehr

2. Nullstellensuche. Eines der ältesten numerischen Probleme stellt die Bestimmung der Nullstellen einer Funktion f(x) = 0 dar.

2. Nullstellensuche. Eines der ältesten numerischen Probleme stellt die Bestimmung der Nullstellen einer Funktion f(x) = 0 dar. . Nullstellensuche Enes der ältesten numerschen Probleme stellt de Bestmmung der Nullstellen ener Funkton = dar. =c +c =c +c +c =Σc =c - sn 3 Für ene Gerade st das Problem trval, de Wurzel ener quadratschen

Mehr

4.5 Lemma Das folgende Problem Par{ 1, 0, 1}max p ist NP-vollständig:

4.5 Lemma Das folgende Problem Par{ 1, 0, 1}max p ist NP-vollständig: 4.5 Lemma Das folgende Problem Par, 0, }max st NP-vollständg: Inut: d, m N mt m d, α N und x,...,x m, 0, } d l.u.. Frage: Exsteren κ,...,κ m, }, sodass m κ x α? Bemerkung: Beachte, dass wegen Satz 4.2

Mehr

12 LK Ph / Gr Elektrische Leistung im Wechselstromkreis 1/5 31.01.2007. ω Additionstheorem: 2 sin 2 2

12 LK Ph / Gr Elektrische Leistung im Wechselstromkreis 1/5 31.01.2007. ω Additionstheorem: 2 sin 2 2 1 K Ph / Gr Elektrsche estng m Wechselstromkres 1/5 3101007 estng m Wechselstromkres a) Ohmscher Wderstand = ˆ ( ω ) ( t) = sn ( ω t) t sn t ˆ ˆ P t = t t = sn ω t Momentane estng 1 cos ( t) ˆ ω = Addtonstheorem:

Mehr

Bachelorarbeit. Cayley s Formel und das Abzählen von Bäumen. Viktoria Piribauer. Wien, September 2013

Bachelorarbeit. Cayley s Formel und das Abzählen von Bäumen. Viktoria Piribauer. Wien, September 2013 Bachelorarbet Cayley s Formel und das Abzählen von Bäumen Vktora Prbauer Wen, September 2013 Matrkelnummer: 1007394 Studenrchtung: A 033621 Mathematk Betreuer: Mag. Dr. Bernhard Krön, Prvatdoz. Inhaltsverzechns

Mehr

Gruppe. Lineare Block-Codes

Gruppe. Lineare Block-Codes Thema: Lneare Block-Codes Lneare Block-Codes Zele Mt desen rechnerschen und expermentellen Übungen wrd de prnzpelle Vorgehenswese zur Kanalcoderung mt lnearen Block-Codes erarbetet. De konkrete Anwendung

Mehr

Der Satz von COOK (1971)

Der Satz von COOK (1971) Der Satz von COOK (1971) Voraussetzung: Das Konzept der -Band-Turng-Maschne (TM) 1.) Notatonen: Ene momentane Beschrebung (mb) ener Konfguraton ener TM st en -Tupel ( α1, α2,..., α ) mt α = xqy, falls

Mehr

9 Komplexe Zahlen ( ) ( ) 9.1 Ziele. 9.2 Warum braucht man komplexe Zahlen? 9.3 Darstellung von komplexen Zahlen. r 2. j 2. j 1.

9 Komplexe Zahlen ( ) ( ) 9.1 Ziele. 9.2 Warum braucht man komplexe Zahlen? 9.3 Darstellung von komplexen Zahlen. r 2. j 2. j 1. Mathematk I / Komplexe Zahlen 9 Komplexe Zahlen 9. Zele Am Ende deses Kaptels hast Du ene Grundvorstellung was komplexe Zahlen snd. Du kannst se grafsch darstellen und enfache Berechnungen durchführen.

Mehr

3.2 Die Kennzeichnung von Partikeln 3.2.1 Partikelmerkmale

3.2 Die Kennzeichnung von Partikeln 3.2.1 Partikelmerkmale 3. De Kennzechnung von Patkeln 3..1 Patkelmekmale De Kennzechnung von Patkeln efolgt duch bestmmte, an dem Patkel mess bae und deses endeutg beschebende physka lsche Gößen (z.b. Masse, Volumen, chaaktestsche

Mehr

Die Transzendenz der Eulerschen Zahl e

Die Transzendenz der Eulerschen Zahl e De Transzendenz der Eulerschen Zahl e nach Jean-Paul Delahaye Der n [1, Seten 21-22] skzzerte Bewes der Transzendenz der Eulerschen Zahl e wrd m folgenden ausgeführt. En alternatver Bewes, der auf Ideen

Mehr

Z Z, kurz { } Zählt die Reihenfolge der Buchstaben (ja/nein) Daraus ergeben sich wiederum vier Möglichkeiten, Wörter der Länge k zu bilden.

Z Z, kurz { } Zählt die Reihenfolge der Buchstaben (ja/nein) Daraus ergeben sich wiederum vier Möglichkeiten, Wörter der Länge k zu bilden. Kombnator. Problemstellung Ausgangspunt be ombnatorschen Fragestellungen st mmer ene endlche Menge M, aus deren Elementen man endlche Zusammenstellungen von Elementen aus M bldet. Formal gesprochen bedeutet

Mehr

Ich habe ein Beispiel ähnlich dem der Ansys-Issue [ansys_advantage_vol2_issue3.pdf] durchgeführt. Es stammt aus dem Dokument Rfatigue.pdf.

Ich habe ein Beispiel ähnlich dem der Ansys-Issue [ansys_advantage_vol2_issue3.pdf] durchgeführt. Es stammt aus dem Dokument Rfatigue.pdf. Ich habe en Bespel ähnlch dem der Ansys-Issue [ansys_advantage_vol_ssue3.pdf durchgeführt. Es stammt aus dem Dokument Rfatgue.pdf. Abbldung 1: Bespel aus Rfatgue.pdf 1. ch habe es manuell durchgerechnet

Mehr

9 Komplexe Zahlen ( ) ( ) 9.1 Ziele. 9.2 Warum braucht man komplexe Zahlen? 9.3 Darstellung von komplexen Zahlen. r 2. j 2. j 1.

9 Komplexe Zahlen ( ) ( ) 9.1 Ziele. 9.2 Warum braucht man komplexe Zahlen? 9.3 Darstellung von komplexen Zahlen. r 2. j 2. j 1. Mathematk I / Komplexe Zahlen 9 Komplexe Zahlen 9. Zele Am Ende deses Kaptels hast Du ene Grundvorstellung was komplexe Zahlen snd. Du kannst se grafsch darstellen und enfache Berechnungen durchführen.

Mehr

Stochastische Prozesse

Stochastische Prozesse INSTITUT FÜR STOCHASTIK SS 2009 UNIVERSITÄT KARLSRUHE Blatt 2 Prv.-Doz. Dr. D. Kadelka Dpl.-Math. W. Lao Übungen zur Vorlesung Stochastsche Prozesse Musterlösungen Aufgabe 7: (B. Fredmans Urnenmodell)

Mehr

Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007

Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007 Lehrstuhl für Emprsche Wrtschaftsforschung und Ökonometre Dr Roland Füss Statstk II: Schleßende Statstk SS 007 5 Mehrdmensonale Zufallsvarablen Be velen Problemstellungen st ene solerte Betrachtung enzelnen

Mehr

Lineare Optimierung Dualität

Lineare Optimierung Dualität Kaptel Lneare Optmerung Dualtät D.. : (Dualtät ) Folgende Aufgaben der lnearen Optmerung heßen symmetrsch dual zuenander: und { z = c x Ax b x } max, 0 { Z b A c } mn =, 0. Folgende Aufgaben der lnearen

Mehr

Statistik und Wahrscheinlichkeit

Statistik und Wahrscheinlichkeit Regeln der Wahrschenlchketsrechnung tatstk und Wahrschenlchket Regeln der Wahrschenlchketsrechnung Relatve Häufgket n nt := Eregnsalgebra Eregnsraum oder scheres Eregns und n := 00 Wahrschenlchket Eregnsse

Mehr

nonparametrische Tests werden auch verteilungsfreie Tests genannt, da sie keine spezielle Verteilung der Daten in der Population voraussetzen

nonparametrische Tests werden auch verteilungsfreie Tests genannt, da sie keine spezielle Verteilung der Daten in der Population voraussetzen arametrsche vs. nonparametrsche Testverfahren Verfahren zur Analyse nomnalskalerten Daten Thomas Schäfer SS 009 1 arametrsche vs. nonparametrsche Testverfahren nonparametrsche Tests werden auch vertelungsfree

Mehr

5. Gruppenübung zur Vorlesung. Höhere Mathematik 1. Wintersemester 2012/2013

5. Gruppenübung zur Vorlesung. Höhere Mathematik 1. Wintersemester 2012/2013 O. Alaya, S. Demrel M. Fetzer, B. Krnn M. Wed 5. Gruppenübung zur Vorlesung Höhere Mathematk Wntersemester /3 Dr. M. Künzer Prof. Dr. M. Stroppel Lösungshnwese zu den Hausaufgaben: Aufgabe H 6. Darstellungen

Mehr

Standortplanung. Positionierung von einem Notfallhubschrauber in Südtirol. Feuerwehrhaus Zentrallagerpositionierung

Standortplanung. Positionierung von einem Notfallhubschrauber in Südtirol. Feuerwehrhaus Zentrallagerpositionierung Standortplanung Postonerung von enem Notfallhubschrauber n Südtrol Postonerung von enem Feuerwehrhaus Zentrallagerpostonerung 1 2 Postonerung von enem Notfallhubschrauber n Südtrol Zu bekannten Ensatzorten

Mehr

Zusammenfassung der letzten LVA. Diskrete Mathematik

Zusammenfassung der letzten LVA. Diskrete Mathematik Zusammenfassung Dskrete Mathematk Chrstna Kohl Georg Moser Oleksandra Panasuk Chrstan Sternagel Vncent van Oostrom Insttut für Informatk @ UIBK Sommersemester 2017 Zusammenfassung der letzten LVA ene Telmenge

Mehr

2 Zufallsvariable und Verteilungen

2 Zufallsvariable und Verteilungen Zufallsvarable und Vertelungen 7 Zufallsvarable und Vertelungen Wr wollen uns jetzt mt Zufallsexpermenten beschäftgen, deren Ausgänge durch (reelle) Zahlen beschreben werden können, oder be denen man jedem

Mehr

Einführung in die Finanzmathematik

Einführung in die Finanzmathematik 1 Themen Enführung n de Fnanzmathematk 1. Znsen- und Znsesznsrechnung 2. Rentenrechnung 3. Schuldentlgung 2 Defntonen Kaptal Betrag n ener bestmmten Währungsenhet, der zu enem gegebenen Zetpunkt fällg

Mehr

8. MARKOVKETTEN 127. Abbildung 8.1: Reduzible und periodische Markovkette. p ji IIP[X n 1 = j] = [(IIP[X n 1 = j]) j E P ] i. j=0

8. MARKOVKETTEN 127. Abbildung 8.1: Reduzible und periodische Markovkette. p ji IIP[X n 1 = j] = [(IIP[X n 1 = j]) j E P ] i. j=0 8. MARKOVKETTEN 17 8. Marovetten Abbldung 8.1: Reduzble und perodsche Marovette 8.1. Homogene Marovetten n dsreter Zet En Prozess {X n : n IIN} hesst homogene Marovette (n dsreter Zet) mt (abzählbarem)

Mehr

Datenträger löschen und einrichten

Datenträger löschen und einrichten Datenträger löschen und enrchten De Zentrale zum Enrchten, Löschen und Parttoneren von Festplatten st das Festplatten-Denstprogramm. Es beherrscht nun auch das Verklenern von Parttonen, ohne dass dabe

Mehr

Wie eröffne ich als Bestandskunde ein Festgeld-Konto bei NIBC Direct?

Wie eröffne ich als Bestandskunde ein Festgeld-Konto bei NIBC Direct? We eröffne ch als Bestandskunde en Festgeld-Konto be NIBC Drect? Informatonen zum Festgeld-Konto: Be enem Festgeld-Konto handelt es sch um en Termnenlagenkonto, be dem de Bank enen festen Znssatz für de

Mehr

Wie eröffne ich als Bestandskunde ein Festgeld-Konto bei NIBC Direct?

Wie eröffne ich als Bestandskunde ein Festgeld-Konto bei NIBC Direct? We eröffne ch als Bestandskunde en Festgeld-Konto be NIBC Drect? Informatonen zum Festgeld-Konto: Be enem Festgeld-Konto handelt es sch um en Termnenlagenkonto, be dem de Bank enen festen Znssatz für de

Mehr

Funktionsgleichungen folgende Funktionsgleichungen aus der Vorlesung erhält. = e

Funktionsgleichungen folgende Funktionsgleichungen aus der Vorlesung erhält. = e Andere Darstellungsformen für de Ausfall- bzw. Überlebens-Wahrschenlchket der Webull-Vertelung snd we folgt: Ausfallwahrschenlchket: F ( t ) Überlebenswahrschenlchket: ( t ) = R = e e t t Dabe haben de

Mehr

6. Hilbertraum und lineare Operatoren (mathematische Grundlagen QM)

6. Hilbertraum und lineare Operatoren (mathematische Grundlagen QM) 6. Hlbertraum und lneare Operatoren (mathematsche Grundlagen QM) 6.1 Hlbertraum Raum = mathematsches Konstrukt: Vektorraum a) Der lneare komplexe Raum st de Menge von mathematschen Objekten mt folgenden

Mehr

Arbeitsgruppe Radiochemie Radiochemisches Praktikum P 06. Einführung in die Statistik. 1. Zählung von radioaktiven Zerfällen und Statistik 2

Arbeitsgruppe Radiochemie Radiochemisches Praktikum P 06. Einführung in die Statistik. 1. Zählung von radioaktiven Zerfällen und Statistik 2 ETH Arbetsgruppe Radocheme Radochemsches Praktkum P 06 Enführung n de Statstk INHALTSVERZEICHNIS Sete 1. Zählung von radoaktven Zerfällen und Statstk 2 2. Mttelwert und Varanz 2 3. Momente ener Vertelung

Mehr

Versicherungstechnischer Umgang mit Risiko

Versicherungstechnischer Umgang mit Risiko Verscherungstechnscher Umgang mt Rsko. Denstlestung Verscherung: Schadensdeckung von für de enzelne Person ncht tragbaren Schäden durch den fnanzellen Ausglech n der Zet und m Kollektv. Des st möglch über

Mehr

Für jeden reinen, ideal kristallisierten Stoff ist die Entropie am absoluten Nullpunkt gleich

Für jeden reinen, ideal kristallisierten Stoff ist die Entropie am absoluten Nullpunkt gleich Drtter Hauptsatz der Thermodynamk Rückblck auf vorherge Vorlesung Methoden zur Erzeugung tefer Temperaturen: - umgekehrt laufende WKM (Wärmepumpe) - Joule-Thomson Effekt bs 4 K - Verdampfen von flüssgem

Mehr

Die Jordansche Normalform

Die Jordansche Normalform De Jordansche Normalform Danel Hug 29. Aprl 211 KIT Unverstät des Landes Baden-Württemberg und natonales Forschungszentrum n der Helmholtz-Gemenschaft www.kt.edu 1 Zerlegung n Haupträume 2 Fazt und nächstes

Mehr

50 Matrixnormen und Eigenwertabschätzungen

50 Matrixnormen und Eigenwertabschätzungen 50 Matrxnormen und Egenwertabschätzungen 501 Motvaton De Berechnung der Egenwerte ener Matrx st aufwändg (vgl Kaptel 45, Kaptel 51) Kann man de Egenwerte ener Matrx mt gerngem Aufwand abschätzen? Des spelt

Mehr

11 Charaktere endlicher Gruppen

11 Charaktere endlicher Gruppen $Id: chaakte.tex,v.4 2009/07/3 4:38:36 hk Exp $ Chaaktee endlche Guppen W hatten gesehen, dass w fü enge Guppen G allen mt Hlfe des Satz 3 de Anzahl und de Dmensonen de eduzblen Dastellungen beechnen können.

Mehr

z.b. Münzwurf: Kopf = 1 Zahl = 2 oder z.b. 2 Würfel: Merkmal = Summe der Augenzahlen, also hier: Bilde die Summe der Augenzahlen der beiden Würfel!

z.b. Münzwurf: Kopf = 1 Zahl = 2 oder z.b. 2 Würfel: Merkmal = Summe der Augenzahlen, also hier: Bilde die Summe der Augenzahlen der beiden Würfel! Aufgabe : Vorbemerkung: Ene Zufallsvarable st ene endeutge Funkton bzw. ene Abbldungsvorschrft, de angbt, auf welche Art aus enem Elementareregns ene reelle Zahl gewonnen wrd. x 4 (, ) z.b. Münzwurf: Kopf

Mehr

Nernstscher Verteilungssatz

Nernstscher Verteilungssatz Insttut für Physkalsche Cheme Grundpraktkum 7. NERNSTSCHER VERTEILUNGSSATZ Stand 03/11/2006 Nernstscher Vertelungssatz 1. Versuchsplatz Komponenten: - Schedetrchter - Büretten - Rührer - Bechergläser 2.

Mehr

Ionenselektive Elektroden (Potentiometrie)

Ionenselektive Elektroden (Potentiometrie) III.4.1 Ionenselektve Elektroden (otentometre) Zelstellung des Versuches Ionenselektve Elektroden gestatten ene verhältnsmäßg enfache und schnelle Bestmmung von Ionenkonzentratonen n verschedenen Meden,

Mehr

Die Zahl i phantastisch, praktisch, anschaulich

Die Zahl i phantastisch, praktisch, anschaulich Unverstät Würzburg 977 Würzburg Telefon: (91 888 5598 De Zahl phantastsch, praktsch, anschaulch De Geschchte der Zahl war dre Jahrhunderte lang dadurch geprägt, dass se und damt de kompleen Zahlen n Mathematkerkresen

Mehr

Unter der Drehgruppe verstehen wir diegruppe der homogenen linearen Transformationen

Unter der Drehgruppe verstehen wir diegruppe der homogenen linearen Transformationen Darstellunstheore der SO() und SU() Powtschnk Alexander. Defnton Darstellun Ene Darstellun ener Gruppe G st homomorphe Abbldun von deser Gruppe auf ene Gruppe nchtsnulärer lnearer Operatoren auf enem Vektorraum

Mehr

Netzwerkstrukturen. Entfernung in Kilometer:

Netzwerkstrukturen. Entfernung in Kilometer: Netzwerkstrukturen 1) Nehmen wr an, n enem Neubaugebet soll für 10.000 Haushalte en Telefonnetz nstallert werden. Herzu muss von jedem Haushalt en Kabel zur nächstgelegenen Vermttlungsstelle gezogen werden.

Mehr

Lineare Algebra IIa Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Sven Balnojan

Lineare Algebra IIa Vorlesung - Prof. Dr. Daniel Roggenkamp & Sven Balnojan Lneare Algebra IIa - 04 orlesung - Pro Dr Danel Roggenkamp & Sen Balnojan 93 Untäre ektorräume hermtesche Form au enem C ektorraum sesqulnear (ant-lnear m ersten lnear m zweten Argument (, w (w, (, 2 R

Mehr

Abbildung 3.1: Besetzungszahlen eines Fermigases im Grundzustand (a)) und für eine angeregte Konfiguration (b)).

Abbildung 3.1: Besetzungszahlen eines Fermigases im Grundzustand (a)) und für eine angeregte Konfiguration (b)). 44 n n F F a) b) Abbldung 3.: Besetzungszahlen enes Fermgases m Grundzustand (a)) und für ene angeregte Konfguraton (b)). 3.3 Ferm Drac Statstk In desem Abschntt wollen wr de thermodynamschen Egenschaften

Mehr

Äquivalenzen stetiger und glatter Hauptfaserbündel

Äquivalenzen stetiger und glatter Hauptfaserbündel Äquvalenzen stetger und glatter Hauptfaserbündel Chrstoph Müller Chrstoph Wockel Fachberech Mathematk Unverstät Darmstadt 31. Süddeutsches Kolloquum über Dfferenzalgeometre Glederung 1 De Problemstellung

Mehr

Flußnetzwerke - Strukturbildung in der natürlichen Umwelt -

Flußnetzwerke - Strukturbildung in der natürlichen Umwelt - Flußnetzwerke - Strukturbldung n der natürlchen Umwelt - Volkhard Nordmeer, Claus Zeger und Hans Joachm Schlchtng Unverstät - Gesamthochschule Essen Das wohl bekannteste und größte exsterende natürlche

Mehr

Übungsklausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeit und Regression Lösungen. Übungsklausur Wahrscheinlichkeit und Regression Die Lösungen

Übungsklausur zur Vorlesung Wahrscheinlichkeit und Regression Lösungen. Übungsklausur Wahrscheinlichkeit und Regression Die Lösungen Übungsklausur Wahrschenlchket und Regresson De Lösungen. Welche der folgenden Aussagen treffen auf en Zufallsexperment zu? a) En Zufallsexperment st en emprsches Phänomen, das n stochastschen Modellen

Mehr

6.5. Rückgewinnung des Zeitvorgangs: Rolle der Pole und Nullstellen

6.5. Rückgewinnung des Zeitvorgangs: Rolle der Pole und Nullstellen 196 6.5. Rückgewnnung des Zetvorgangs: Rolle der Pole und Nullstellen We n 6.2. und 6.. gezegt wurde, st de Übertragungsfunkton G( enes lnearen zetnvaranten Systems mt n unabhänggen Spechern ene gebrochen

Mehr

SS 2017 Torsten Schreiber

SS 2017 Torsten Schreiber SS Torsten Schreber e den Ebenen unterscheden wr de und de prmeterfree Drstellung. Wenn wr ene Ebenenglechung durch dre Punkte bestmmen wollen, so müssen de zugehörgen Vektoren sen, d es sonst nur ene

Mehr

Komplexe Zahlen. Roger Burkhardt 2008

Komplexe Zahlen. Roger Burkhardt 2008 Komplexe Zahlen Roger Burkhardt (roger.burkhardt@fhnw.ch) 008 Enführung De Unvollkommenhet des Körpers der reellen Zahlen N 1,,,,... snd sowohl { } In der Menge der natürlchen Zahlen Addton we Multplkaton

Mehr

Näherungsverfahren. Wiederhole den Algorithmusbegriff. Erläutere die Begriffe: Klasse der NP-Probleme. Probleme. Probleme. Approximative Algorithmen

Näherungsverfahren. Wiederhole den Algorithmusbegriff. Erläutere die Begriffe: Klasse der NP-Probleme. Probleme. Probleme. Approximative Algorithmen Näherungsverfahren Wederhole den Algorthmusbegrff. Erläutere de Begrffe: Klasse der P-ProblemeP Probleme Klasse der NP-Probleme Probleme Approxmatve Algorthmen Stochastsche Algorthmen ALGORITHMEN Def.:

Mehr

Für wen ist dieses Buch? Was ist dieses Buch? Besonderheiten. Neu in dieser Auflage

Für wen ist dieses Buch? Was ist dieses Buch? Besonderheiten. Neu in dieser Auflage Für wen st deses Bch? Das Taschenbch der Elektrotechnk rchtet sch an Stdentnnen nd Stdenten an nverstäten nd Fachhochschlen n den Berechen Elektrotechnk Nachrchtentechnk Technsche Informatk allgemene Ingenerwssenschaften

Mehr

Praktikum Physikalische Chemie I (C-2) Versuch Nr. 6

Praktikum Physikalische Chemie I (C-2) Versuch Nr. 6 Praktkum Physkalsche Cheme I (C-2) Versuch Nr. 6 Konduktometrsche Ttratonen von Säuren und Basen sowe Fällungsttratonen Praktkumsaufgaben 1. Ttreren Se konduktometrsch Schwefelsäure mt Natronlauge und

Mehr

Standardnormalverteilung / z-transformation

Standardnormalverteilung / z-transformation Standardnormalvertelung / -Transformaton Unter den unendlch velen Normalvertelungen gbt es ene Normalvertelung, de sch dadurch ausgeechnet st, dass se enen Erwartungswert von µ 0 und ene Streuung von σ

Mehr

1 Mehrdimensionale Analysis

1 Mehrdimensionale Analysis 1 Mehrdmensonale Analyss Bespel: De Gesamtmasse der Erde st ene Funton der Erddchte ρ Erde und des Erdradus r Erde De Gesamtmasse der Erde st dann m Erde = V Erde ρ Erde Das Volumen ener Kugel mt Radus

Mehr

Seminar Einführung in die Kunst mathematischer Ungleichungen

Seminar Einführung in die Kunst mathematischer Ungleichungen Semnar Enführung n de Kunst mathematscher Unglechungen Cauchys erste Unglechung und de Unglechung vom arthmetschen und geometrschen Mttel Sopha Volmerng. prl 0 Inhaltsverzechns Cauchys erste Unglechung.

Mehr

Kreditpunkte-Klausur zur Lehrveranstaltung Projektmanagement (inkl. Netzplantechnik)

Kreditpunkte-Klausur zur Lehrveranstaltung Projektmanagement (inkl. Netzplantechnik) Kredtpunkte-Klausur zur Lehrveranstaltung Projektmanagement (nkl. Netzplantechnk) Themensteller: Unv.-Prof. Dr. St. Zelewsk m Haupttermn des Wntersemesters 010/11 Btte kreuzen Se das gewählte Thema an:

Mehr

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban

Institut für Stochastik Prof. Dr. N. Bäuerle Dipl.-Math. S. Urban Insttut für Stochastk Prof Dr N Bäuerle Dpl-Math S Urban Lösungsvorschlag 6 Übungsblatt zur Vorlesung Fnanzatheatk I Aufgabe Put-Call-Party Wr snd nach Voraussetzung n ene arbtragefreen Markt, also exstert

Mehr

Lineare Regression (1) - Einführung I -

Lineare Regression (1) - Einführung I - Lneare Regresson (1) - Enführung I - Mttels Regressonsanalysen und kompleeren, auf Regressonsanalysen aserenden Verfahren können schenar verschedene, jedoch nenander üerführare Fragen untersucht werden:

Mehr

1 = Gl.(12.7) Der Vergleich mit Gl. (12.3) zeigt, dass für die laminare Rohrströmung die Rohrreibungszahl

1 = Gl.(12.7) Der Vergleich mit Gl. (12.3) zeigt, dass für die laminare Rohrströmung die Rohrreibungszahl 0. STRÖMUNG INKOMPRESSIBLER FLUIDE IN ROHRLEITUNGEN Enführung Vorlesung Strömungslehre Prof. Dr.-Ing. Chrstan Olver Pascheret C. O. Pascheret Insttute of Flud Mechancs and Acoustcs olver.pascheret@tu-berln.de

Mehr

Alternative Beweise. Man notiere jede positive rationale Zahl im Stellenwertsystem zur Basis 2; der Bruch 5 7. zum Beispiel hat also dann die Form 101

Alternative Beweise. Man notiere jede positive rationale Zahl im Stellenwertsystem zur Basis 2; der Bruch 5 7. zum Beispiel hat also dann die Form 101 Alternatve Bewese Klaus-R. Löffler Inhaltsverzechns Vorbemerkungen De nachfolgend angegebenen Bewese oder Bewesvaranten snd n gewsser Wese der Unterhaltungsmathematk zuzurechnen: Es geht darum, zu engen

Mehr

Vorlesung Programmieren II

Vorlesung Programmieren II Hashng Vorlesung Prograeren II Mchael Bergau Fortsetzung der Stoffenhet Hashng Hashng 2 Was st Hashng? Hashng st ene Methode zur dynaschen Verwaltung von Daten, wobe de Daten durch enen Schlüssel (key)

Mehr

Die hierzu formulierte Nullhypothese H lautet: X wird durch die Verteilungsdichtefunktion h(x)

Die hierzu formulierte Nullhypothese H lautet: X wird durch die Verteilungsdichtefunktion h(x) ZZ Lösung zu Aufgabe : Ch²-Test Häufg wrd be der Bearbetung statstscher Daten ene bestmmte Vertelung vorausgesetzt. Um zu überprüfen ob de Daten tatsächlch der Vertelung entsprechen, wrd en durchgeführt.

Mehr

phil omondo phil omondo Skalierung von Organisationen und Innovationen gestalten Sie möchten mehr Preise und Leistungen Workshops und Seminare

phil omondo phil omondo Skalierung von Organisationen und Innovationen gestalten Sie möchten mehr Preise und Leistungen Workshops und Seminare Skalerung von Organsatonen und Innovatonen gestalten phl omondo Se stehen vor dem nächsten Wachstumsschrtt hrer Organsaton oder haben berets begonnen desen aktv zu gestalten? In desem Workshop-Semnar erarbeten

Mehr

1 Der Uncovering-by-bases-Algorithmus

1 Der Uncovering-by-bases-Algorithmus De Komplextät des Uncoverng-y-ases-Algorthmus Peer Hlderandt 1 Der Uncoverng-y-ases-Algorthmus 1.1 Defnton (Der Algorthmus) Se G ene Gruppe, U en Uncoverng durch Basen und w = w 1... w n en empfangenes

Mehr

d da B A Die gesamte Erscheinung der magnetischen Feldlinien bezeichnet man als magnetischen Fluss. = 1 V s = 1 Wb

d da B A Die gesamte Erscheinung der magnetischen Feldlinien bezeichnet man als magnetischen Fluss. = 1 V s = 1 Wb S N De amte Erschenng der magnetschen Feldlnen bezechnet man als magnetschen Flss. = V s = Wb Kraftflssdchte oder magnetsche ndkton B. B d da B = Wb/m = T Für homogene Magnetfelder, we se m nneren von

Mehr

Facility Location Games

Facility Location Games Faclty Locaton Games Semnar über Algorthmen SS 2006 Klaas Joeppen 1 Abstract Wr haben berets sehr häufg von Nash-Glechgewchten und vor allem von deren Exstenz gesprochen. Das Faclty Locaton Game betet

Mehr

Potenzen einer komplexen Zahl

Potenzen einer komplexen Zahl Potenzen ener komplexen Zahl 1-E1 1-E Abraham cc de Movre Abraham de Movre (17 175) französscher Mathematker Abraham de Movre der als Emgrant n London lebte glt als ener der Ponere der Wahrschenlchketsrechnung.

Mehr