9 Komplexe Zahlen ( ) ( ) 9.1 Ziele. 9.2 Warum braucht man komplexe Zahlen? 9.3 Darstellung von komplexen Zahlen. r 2. j 2. j 1.

Transkript

1 Mathematk I / Komplexe Zahlen 9 Komplexe Zahlen 9. Zele Am Ende deses Kaptels hast Du ene Grundvorstellung was komplexe Zahlen snd. Du kannst se grafsch darstellen und enfache Berechnungen durchführen. Du kennst we Möglchketen, ene komplexe Zahl mathematsch darustellen. 9. Warum braucht man komplexe Zahlen? Vele mathematsche und physkalsche Aufgabenstellungen führen häufg auf Probleme de schenbar kene Lösung haben,.b. - =?. Zumndest haben wr das bs anhn gedacht! Genauer muss man sagen: Solche Probleme haben kene reelle Lösungen, d.h. es gbt kene reellen Zahlen, de solche Probleme lösen. Wer schon enmal ene reelle Zahlengerade geechnet hat, wrd sch vellecht gefragt haben, ob es auch noch Zahlen gbt de sch ncht auf deser Geraden befnden, d.h. oberhalb oder unterhalb, bldlch gesprochen. Und we würde man denn dese neuen Zahlen beschreben? Tatsächlch st es so, dass sch jensets der reellen Zahlengerade noch sehr vel mehr andere Zahlen befnden, und denen sagt man komplexe Zahlen. Komplexe Zahlen lösen sehr vele mathematsche Probleme, welche kene Lösung haben, wenn man sch nur auf den reellen Zahlenberech beschränkt. 9. Darstellung von komplexen Zahlen Ene komplexe Zahl lässt sch als Punkt n ener Zahlenebene darstellen. Deser Zahlenebene sagt man auch Gauss sche Zahlenebene oder eben Komplexe Zahlenebene. De Darstellung von Punkten n ener Ebene kennst du berets aus der Geometre. Anstatt von x-achse und y-achse sprcht man nun von der reellen Achse (Re-Achse) und der magnären Achse (Im-Achse). De Zahlen auf der magnären Achse Im tragen de Enhet. Bespel: ( ) = - 4 =- 4+ r j Im r j ( ) = = + Re Kartessche Notaton: å å = + =- 4+ Versor Form: ç ç Ê = + Á + Ë = 4.R66.0 = x+ y = rrj Ê ˆ = + Rarctan Á Ë =.6R56. 4 R 80 arctan Ê ˆˆ Á Ë-4 5

2 Mathematk I / Komplexe Zahlen Es st lecht enschtlch, dass sch en Punkt n ener Ebene auf we möglche Arten darstellen lässt: Entweder durch Angabe des Real- und Imagnärtels (Komponentenangabe, Kartessche Notaton) oder durch Angabe des Abstandes vom Ursprung (Radus) und enen Wnkel (Versor-Form). Kartessche Notaton: = x+ y x... Realtel Bsp.: = + =- 4 + y... Imagnärtel Versor-Form: In technschen Fächern trfft man häufg de sogenannte Versor-Form an. Anstatt Real- und Imagnärtel wrd der Abstand vom Ursprung (Radus) und der Wnkel (relatv ur postven x-rchtung m Gegenuhregersnn) angegeben. Bem Berechnen des Wnkels muss man etwas aufpassen: Da arctan mehrdeutg st, muss man aufgrund der geometrschen Lage ene Wnkelkorrektur durchführen (sehe Bespel S. 5). De Wnkelberechnung st ene ren geometrsche Angelegenhet. Am besten skert man sch unächst de Lage der Zahlen. = rrj r... geometrscher Abstand vom Punkt um Ursprung j... Wnkel n Grad wschen pos. x-achse und Radus, gemessen m Gegenuhregersnn (math. pos. Umlaufsnn) Bsp.: = 6. R56 = 4. R660 Umrechnung Kartessche Notaton Versorform De Umrechnung wschen den beden Notatonen basert auf normaler, rechtwnklger Geometre. We oben erwähnt muss be der Wnkelberechnung von Kartesscher Notaton n de Versor-Form aufgepasst und allenfalls manuell korrgert werden: kartessche Notaton: Versorform r = x + y Ê yˆ * j = arctan Á Ë x = x + y = rrj x= r cos y = r sn ( j ) ( j ) Ê y ˆ * j = arctaná + 80,falls x < 0 Ë x 54

3 Mathematk I / Komplexe Zahlen 9.4 Rechnen mt komplexen Zahlen Bs anhn hatten Ausdrücke we = - 9 oder Glechungen we =- 4 kene Lösungen. Erwetert man jedoch den Zahlenraum von den reellen Zahlen u den komplexen Zahlen, so besten auch solche Probleme plötlch Lösungen. Dese waren bsher verborgen, wel se sch ncht auf der reellen Zahlengeraden befnden. Um solche Probleme lösen u können, brauchen wr noch ene Egenschaft von (n der Technk häufg auch als j geschreben). Se lässt sch aus der Multplkaton von komplexen Zahlen plausblseren (sehe nächste Sete). Es glt nämlch: =- Bespele: = - 9 = 9 ( - ) = 9 = 9 = =- 4 = 4 f =± 4 =± Komplexe Addton/Subtrakton Zwe komplexe Zahlen werden addert/subtrahert, n dem hre Real- und Imagnärtele separat addert/subtrahert werden. Grafsch bedeutet das komplexe Adderen/Subtraheren das Adderen/Subtraheren der entsprechenden Vektoren = ± = x + y ± x + y = x ± x + y ± y Bsp.: = + = + 4 Realtel von = + = = + = - = =- + Imagnärtel von Im 5 4 = + Bemerkung: Mt wrd we mt ener normalen Varablen gerechnet! - = 4 - Re Komplexe Konjugaton Wrd ene reelle Zahl negert, so bedeutet des grafsch ene Spegelung an der y-achse. Wrd ene komplexe Zahl negert, so werden sowohl Real- we auch Imagnärtel negert. Grafsch entsprcht des ener Rotaton des ugehörgen Vektors um 80 n de entgegengesette Rchtung. Was also fehlt st ene Operaton, welche nur den Imagnärtel negert und den Realtel unverändert lässt (Spegelung an der x-achse) Komplexe Zahl: = x+ y Konjugert komplexe Zahl: = x- y Bsp.: = 5+ 8 f = 5-8 = -4 f = + 4 Betrag ener komplexen Zahl Der Betrag ener komplexen Zahl st der Abstand der Zahl um Ursprung (=Radus): Bsp.: ( ) = 4- f = = 5 = r = x + y 55

4 Mathematk I / Komplexe Zahlen Komplexe Multplkaton { = = x + y x + y = xx + x y + y x + yy - Bsp.: = + = + ( ) ( xx yy ) ( xy yx ) = = = + + = = = Realtel von Imagnärtel von De grafsche Multplkaton st, ausgehend von der Kartesschen Notaton, ncht elegant als Regel abletbar. Wechselt man hngegen n de Euler sche Notaton, so lassen sch de Regeln für de Multplkaton ableten: = Im Re Bsp.: = 5R64 = R45 = 0R084 Mt etwas Fantase lässt sch m obgen Bespel erkennen, dass der Radus von gerade das Produkt der Raden und st. Der Wnkel von ergbt sch durch Addton der Wnkel von und. Allgemen: ( Rj )( Rj ) ( ) R( j j ) = r r = r r + Bsp.: R60 5R70 = 5R0 R56 R- 56 = R0 = Weter glt: = ( x+ y)( x- y) = x - xy + xy - y = x + y = r Bsp.: + - = 4-9 = 4+ 9= Komplexe Dvson Zwe komplexe Zahlen dvderen bedeutet, we Vektoren u dvderen, was ncht drekt möglch st. Mt enem klenen Trck kann man aber de Dvson von we komplexen Zahlen auf de anderen Rechenarten urückführen. Dau erwetert man den Bruch mt dem konjugert Komplexen des Nenners. Damt wrd der Nenner mmer ren reell und ene Dvson st somt möglch. x + y x - y xx + yy + xy - xy xx + yy + xy -xy = = = = = x y x y x y r ( + 4)( + 6) Bsp.: = = = = + = rrj r ( j j ) = = R - rrj r + 4 5R5 Bsp.: = ª 079. R R

5 Mathematk I / Komplexe Zahlen Aufgaben Gegeben snd de komplexen Zahlen = +, =- + und = 5 R 5. a) Stelle und n Versorform dar. b) Stelle n kartesscher Notaton dar. c) Berechne 4 = + d) Berechne 5 = + e) Berechne 6 =. Stelle 6 n kartesscher Notaton und Versorform dar. f) Berechne =. Stelle 7 n kartesscher Notaton und Versorform dar. 7 g) Berechne 8 =. Stelle 8 n kartesscher Notaton und Versorform dar. 57

6 Mathematk I / Komplexe Zahlen Lösungen a) = R45 = R ( j) ( j) b) = x+ y = r cos + r sn = 5 cos sn 5 =-5-5 c) = =- + 4 d) = = e) = =- 5+ = R45 R.7 = 6R68.7 ( ) f) = + = + + = = = + = - = ( R ) = 45 = 8R5 ( + )( ) + -0 g) 8 = = = = R45 = = R- 80 =-0. 5 R5 5 58