Elektronik für den Maschinenbau

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1 Höchstfreqenzelektronk Prof. Dr.-Ing. Andreas Thede Warbrger Str Paderborn am P.4. Fon Fax E-Mal thede@pb.de Web grops.pb.de/hfe Vorlesng Elektronk für den Maschnenba A. Thede

2 Enletng Das Zel der Lehrveranstaltng besteht zm enen darn, en Grndverständnsses der Fnkton nd Berechnng von elektronschen Baelementen nd Schaltngen z vermtteln nd somt nhaltlch de Vorassetzng für de Kommnkaton mt Dplomngeneren der Elektrotechnk nd Informatonstechnk m ahmen der nterdszplnären Zsammenarbet z schaffen. Zm zweten sollen dem harakter der nverstären Asbldng entsprechend nverselle Zsammenhänge dargestellt nd das fachübergrefende Denken gefördert werden. Afbaend af der Lehrveranstaltng "Grndlagen der Elektrotechnk" st de Lehrveranstaltng "Elektronk" we folgt gegledert: I. Theore der Wechselstromschaltngen II. Elektronsche Baelemente III. Analoge Schaltngen nd Systeme IV. Dgtale Schaltngen nd Systeme V. Mxed-Sgnal-Systeme VI. Optoelektronsche Datenübertragngssysteme De Lehrveranstaltng "Elektronk" schafft damt nsbesondere Vorassetzngen für de Lehrveranstaltng "Messtechnk". Für das begletende bzw. vertefende Selbststdm wrd folgende Lteratr empfohlen: [] K.Lnze, "Theore der Wechselstromschaltngen", Verlag Technk ( 5 XWD 68 ) [] H. Wpper, "Elektronsche Schaltngen", Sprnger Verlag ( 5 YI 64 ) [3]. Pal, "Elektronsche Halbleterbaelemente", Tebner Verlag ( 5 YET 69 ) Herrn Thorsten Meer möchte ch für sene Unterstützng be der Erstellng deses Skrptes drch de Übernahme der mühevollen Schrebarbet danken.

3 I. Theore der Wechselstromschaltngen De grndlegenden Methoden zr Berechnng enes elektrschen Netzwerkes mt z Zegen nd k Knoten snd n Bld I. zsammenfassend dargestellt. U Netzwerk, z Zwege, k Knoten Maschensatz U Knotensatz 3 Zwege, 3 Knoten Strom-Spannngs- Bezehngen 3 Zwege, Knoten Zwegstromanalyse, z Glechngen Zwepolersatzschaltng (be Lneartät) Sperposton (be Lneartät) Maschenstromanalyse z-(k-) Glechngen Knotenpnktspannngsanalyse k- Glechngen Bld I.: Überscht über Berechnngsverfahren für elektrsche Netzwerke Zr Berechnng von Wechselstromnetzwerken werden de glechen Verfahren engesetzt. Ne snd ledglch de n Bld I. zsammengefassten Strom-Spannngsbezehngen. Zr Kennzechnng von Wechselgrößen werden Klenbchstaben verwendet. d = = dt c = L dt L Bld I.: Strom-Spannngsbezehngen für Wderstand, Kapaztät nd Indktvtät be Wechselstrom Man erkennt, dass de Spannng an ener Kapaztät sch ncht sprnghaft ändern kann. Se st en eservor für elektrsche Ladng nd anschalch mt ener Badewanne verglechbar. Be ener Sple kann sch dagegen der Strom ncht sprnghaft ändern, was anschalch dem Verhalten enes Schwngrades entsprcht. 3

4 . Statonäre Vorgänge Znächst wollen wr ns af Netzwerke beschränken, n denen alle Spannngen nd Ströme snsförmg snd nd sch deren Ampltden nd Phasen zetlch ncht ändern. Derartge Zstände heßen engeschwngen oder statonär. Das grndsätzlche Vorgehen soll an enem Bespel demonstrert werden: Bld I.3: Bespel L = L I. d = dt L + + dt I. d d d = + + L dt dt dt I.3 Im Allgemenen entsteht also en System lnearer Dfferentalglechngen mt konstanten Koeffzenten zweter Ordnng. Für das n Bespel dargestellte Netzwerk se de Spannng gegeben. Z berechnen st de Spannng. Bld I.4: Bespel = U sn ωt I.4 = + dt = U sn( ωt) I.5 d ωu cos( ωt) dt I.6 Zr Lösng der Dfferentalglechng I.6 kann nn de engangs vorgenommene Enschränkng asgentzt werden. In enem lnearen Netzwerk mt ener snsförmgen Erregng mt der Freqenz ω snd alle Ströme nd Spannngen weder snsförmg mt der Freqenz ω. Es ändern sch ledglch de Ampltden nd Phasen. Somt kann für den znächst z bestmmenden Strom der Ansatz I.7 n Glechng I.6 engesetzt werden: = I sn ωt +ϕ I.7 I ωu cos( ωt) = I ω cos( ωt+ϕ ) + sn( ωt +ϕ ) I.8 Mt π cos(x) = sn x + I.9 erhält man π π I ωu sn ωt+ = I ω sn ωt+ϕ + + sn( ωt +ϕ) I. De her aftretenden Smmen von Snsfnktonen snd für derartge echnngen typsch. Deshalb soll n der folgenden Zwschenrechnng herfür ene allgemen gültge Formel abgeletet werden: A sn ωt+ϕ + A sn ωt+ϕ = A sn ωt +ϕ I. 4

5 Mt sn ( x + y) = snx cosy + cosx sny I. erhält man znächst A( sn( ωt) cosϕ+ cos( ωt) snϕ ) + A( sn ( ωt) cosϕ+ cos( ωt) snϕ ) = I.3 A( sn( ωt) cosϕ+ cos( ωt) snϕ) nd nach Umsorteren ( Acosϕ+ Acosϕ ) sn ( ωt) + ( Asnϕ+ Asnϕ ) cos( ωt) = I.4 A cosϕ sn ( ωt) + A snϕ cos( ωt) Der anschleßende Koeffzentenverglech ergbt A cosϕ+ A cosϕ = A cosϕ I.5 Asnϕ+ Asnϕ = A snϕ I.6 Werden de Glechngen I.5 nd I.6 nn znächst qadrert nd dann addert erhält man A = A + A + AA ( cos( ϕ ϕ ) + cos( ϕ +ϕ ) ) + ( cos( ϕ ϕ) cos( ϕ +ϕ) ) I.7 A= A + A + AAcos( ϕ ϕ ) I.8 De Dvson von Glechng I.6 drch Glechng I.5 ergbt Asnϕ+ Asnϕ tanϕ= Acosϕ+ Acosϕ I.9 Asn ϕ+ Asn ϕ ϕ= arctan A cos ϕ+ A cos ϕ I. Kehren wr nn z Bespel zrück nd wenden de mt den Glechngen I.8 nd I. gefndenen allgemenen Bezehngen für de Addton zweer snsförmger Größen an, so erhalten wr as I Iω π I = ( ) + + = ( ) + ωu Iω cos I ω mgestellt nach I I ( ωu ) ( ω) U = = + + ( ω) bzw. as π I Iω sn sn π ϕ + + ϕ = arctan π I Iω cos cos ϕ + + ϕ π wegen tan = nd somt π I I Iω cos ϕ + + cosϕ = Iω sn ϕ + cos ϕ= I.4 mgestellt nach φ ϕ = arccot ( ω) I.5 De Lösng der Dfferentalglechng I.6 latet also I. I. I.3 5

6 ( ω) ( ) = sn ωt+ arccot ω U + Daras lässt sch nn drch Integraton de geschte Spannng berechnen U = dt cos( ωt arccot( ω) ) = + I.7 ω + ω U = sn ωt+ arccot ω + ω π I.6 I.8 π nd mt arccot x = arctan x U = sn ωt arctan ω + ω ( ) I.9 De Dsksson des Ergebnsses zegt wegen ( ω ) = U sn( ωt) I.3 dass de Spannng an der Kapaztät für klene Freqenzen glech der Engangsspannng st, da m Grenzfall be Glechspannng ken Strom über de Kapaztät fleßt nd somt über dem Wderstand ken Spannngsabfall aftrtt. Für sehr große Freqenzen stellt de Kapaztät dagegen enen Krzschlss dar, so dass der Strom nr noch vom Wderstand bestmmt wrd, d.h. U π ( ω ) = sn ωt I.3 ω.. Stromkresberechnng mt Zegerbldern Der soeben demonstrerte echenweg führte zwar zm Zel, st jedoch berets be klenen Netzwerken aßerordentlch afwendg nd somt für größere Schaltngen ncht praktkabel. De Enführng ener wesentlch eleganteren Methode soll nn znächst drch en grafsches Lösngsverfahren vorberetet werden. Herz werden Ströme nd Spannngen n Betrag nd Phase drch sogenannte Zeger dargestellt nd vektorell addert. Das Prnzp st anhand von Bespel n Bld I.5 dargestellt. = U sn ωt = + I.3 = ω I.33 π ϕ =ϕ I.34 = I.35 ϕ =ϕ I.36 Bld I.5: Zegerbld z Bespel 6

7 Bem.: Das Zegerdagramm rotert mt ω, da ω aber für alle Zeger glech st, blebt der Phasenbezg erhalten. As dem Zegerdagramm lest man nn ab I = U = ( I) + ω nd somt I U = = ω ω + ω bzw. I ϕ = arctan = arctan ω I.39 I ω Wr erhalten af desem Wege also das gleche Ergebns wesentlch schneller nd wollen nn verschen, deses grafsche Methode n enem analytschen Verfahren mzsetzen. I.37 I.38.. Stromkresberechnng n der komplexen Ebene Allgemen betrachtet berht das geschte Verfahren af ener Fnktonaltransformaton nter Asntzng ener Isomorphe, d.h. ener Strktrglechhet. En sehr enfaches Bespel für ene Isomorphe st n Bld I.6 dargestellt. Das Prodkt zweer Zahlen kann anstelle der Mltplkaton der Zahlen m Orgnalberech wesentlch enfacher drch de Addton von deren Logarthmen m Bldberech berechnet werden. De Hn- nd ücktransformaton der Operanden st herbe drch de Logarthmsbzw. Exponentalfnkton gegeben. lg a, lg b + lg c = lg a + lg b Bldberech lg x x Orgnalberech a, b c = a b Bld I.6: Bespel für Isomorphe En analytscher Asdrck für den Zeger st gegeben, wenn er n de komplexe Zahlenebene gelegt wrd, we n Bld I.7 dargestellt. Komplexe Größen werden drch Unterstrechen gekennzechnet. j A A A jα A= A + j A = A cosα + j snα = Ae I.4 A = A + A I.4 tan α A A = I.4 Bld I.7: Zeger n der komplexen Zahlenebene De Transformaton erfolgt dabe nach folgenden egeln: = I sn( ωt +ϕ ) oder =I cos ωt +ϕ j[ ωt+ϕ ] = I e I.43 7

8 d dt = U sn( ωt +ϕ ) oder bzw. d dt =U cos ωt +ϕ dt bzw. dt j[ ωt+ϕ ] = U e I.44 jω bzw. jω I.45 jω bzw. jω Damt werden de Dfferentalglechngen des Orgnalberechs n zwar komplexe aber dafür algebrasche Glechngen m Bldberech transformert, de af enfache Wese nach der geschten Größe mgestellt werden können. Dese Methode soll nn ernet af Bespel angewendet werden. Znächst wrd herz de gegebene Engangsspannng als Imagnärtel der komplexen Engangsspannng afgefasst nd entsprechend der Elerschen Formel m den ealtel ergänzt. j( ωt) = Usn( ωt) = U cosωt + j U sn( ωt) = Ue I.47 Anschleßend wrd de Integraton n ene Dvson drch jω transformert. = + dt jω I.48 = dt = jω I.49 De echnng m Bldberech führt nn af jωt Ue = I.5 + j ω jωt jωt Ue Ue = = I.5 j ω + + j ω j ω = U + ( ω) I.5 ϕ = arctan ( ω) I.53 Und schleßlch ergbt sch de ücktransformaton drch enfaches Strechen des n desem Fall ja engangs hnzgefügten ealtels = U j( ωt+ϕ ) e + ω I.54 U ( ) = sn ωt arctan ω + ω U = +ϕ + ω ( cos( ωt+ϕ ) + j ) sn ωt Bem.: Geht man von ener cosnsförmgen Engangsgröße as, so wrd be der Hntransformaton der Imagnärtel hnzgefügt nd be der ücktransformaton gestrchen. Deses Verfahren erlabt af sehr elegante Wese de Lösng von Dfferentalglechngen für statonäre Vorgänge. Der Gedanken legt nahe, den Afwand weter z redzeren, ndem af das Afstellen der Dfferentalglechngen ganz verzchtet nd statt dessen berets de Schaltng selbst n den Bldberech I.46 I.55 I.56 8

9 transformert wrd. Das erfordert de Enführng enes komplexen Wderstandes für Wderstände, Kapaztäten nd Indktvtäten..3. Der komplexe Wderstand Z Das znächst für den reellen Wderstand engeführte ohmsche Gesetz soll nn af den komplexen Wderstand Z für Wderstände, Kapaztäten nd Indktvtäten verallgemenert werden. Den jewelgen Asdrck für den komplexen Wderstand der genannten Schaltelemente erhält man drch Transformaton der Strom-Spannngsbezehngen n den Bldberech nd den anschleßenden Verglech der -- elatonen: : = = Z= Z= I.57 d L: = = Z= j ωl Z= j ωl I.58 : L dt = dt = Z= j ω Z = I.59 j ω Allgemen glt X Z = + X nd arg Z = arctan I.6 Z = + j X mt Impedanz Wderstand eaktanz nd dal für den komplexen Letwert Y B Y = G + B nd arg Y = arctan I.6 G Y = G + j B mt Admttanz Letwert Sszeptanz Af deser Grndlage ergbt sch ene wetere Verenfachng, wenn statt der Dfferentalglechng berets de Schaltng n den Bldberech transformmert wrd. Entsprechend I.57-I.59 snd dabe folgende Transformatonen drchzführen: L jωl I.6 jω Wenden wr nn ach dese Methode af Bespel an: jω jωt = Ue I.63 /jω + jω jωt Bld I.7: Bespel, transformert = Ue I.64 + jω U = sn( ωt arctan( ω) ) I.65 + ( ω) Dabe wrd znächst de Spannngstelerregel angewendet (I.63), der Doppelbrch besetgt (I.64) nd berets m drtten Schrtt de ücktransformaton drchgeführt (I.65). 9

10 .4. Technsche Kondensatoren nd Splen Kondensatoren nd Splen wrden bsher als deale Komponenten beschreben, das hesst ledglch drch hre Kapaztät bzw. Indktvtät. Be realen Kondensatoren nd Splen müssen jedoch oft mndestens der Parallelletwert bzw. der Serenwderstand berückschtgt werden. L Y=jω Z=jωL I.66 G L Y=G+jω Z=+jωL I.67 ω Im(Y) ωl Im(Z) G e(y) e(z) G Verlstfaktor d= tanδ = Verlstfaktor d= tanδ = ω ωl I.68 Güte Q = Güte Q = d d I.69 Bld I.8: Kondensator Bld I.9: Sple We n Bld I.8-9 dargestellt, mss somt z dem deal asschleßlch vorhandenen, freqenzabhänggen Imagnärtel en freqenznabhängger ealtel hnzgefügt werden. Der entstehende Wnkel δ wrd als Verlstwnkel, der Tangens deses Wnkels als Verlstfaktor nd wederm dessen Kehrwert als Güte des Kondensators bzw. der Sple bezechnet..5. esonanz Als Ensteg wollen wr ach her en Bespel ntzen. We n Bld I. gezegt, werden ene Indktvtät, en Letwert nd ene Kapaztät parallel geschaltet nd mt enem Strom angesteert. jωl Bld I.: Bespel 3 /G /jω jωt = I cos ωt = I e I.7 jωl = = I.7 + G+ jω ( ω L) + jωgl jωl

11 = Im ωli ( ω L) + ( ωgl) π ωgl arctan für ω L ω L, ϕ = I.7 π ωgl arctan -π für ω L ω L Im De Fallnterschedng wrd erforderlch, da de arctan-fnkton ledglch mt π perodsch st. Somt e würde man also z.b. für den Fall negatven eal- nd Imagnärtels en Ergebns m.qadranten statt m 3.Qadranten erhalten. Zr Feststellng Bld I. Phasenlage des der Phasenlage wrd empfohlen, sch Asdrcks das Ergebns, we n den Bldern I. ( ω L) + jωgl nd geschehen, n der komplexen Ebene z veranschalchen. für ω L Mt dem komplexen Engangsstrom für ω L (I.7) erhält man drch Mltplkaton mt dem sch as der Parallelschaltng ergebenden komplexen Wderstand (I.7) schleßlch Betrag nd Phase der Spannng (I.7). Damt st de ücktransformaton möglch: cos ωt arctan für ω L ωli ω L ω L + ωgl π ωgl cos ωt+ arctan -π für ω L = e Bld I. Phasenlage des Asdrcks ω L + jωgl π π ωgl + oder mt sn ωt = cos( ωt) ω L ωgl sn ωt arctan für ω L -ωli ω L ω L + ωgl ωgl sn ωt arctan -π für ω L = ω L I.73 I.74 I.75 Wr wollen das Ergebns znächst für sehr klene nd sehr große Freqenzen dskteren. π ( ω ) = ωl I snωt = ωl I cosωt + I.76 Be klenen Freqenzen domnert L, de Spannng elt voras. I I π = π = I.77 ω ω ω sn ωt cos ωt Be großen Freqenzen domnert, de Spannng elt nach.

12 I G I.8 G.6 π/.5.5 φ B ω ω Bld I.3: Betrag nd Phase der Spannng als Fnkton der Freqenz ω ω Offenschtlch exstert neben desen Extremwerten aber noch en weter asgezechneter Pnkt. Für de als esonanzfreqenz bezechnete Freqenz ω = I.78 L erhält man I π I ( ω ω ) = sn ωt = cos( ωt) I.79 ω G d.h. der Strom wrd nr drch den Letwert bestmmt, während sch de zwschen Sple nd Kapaztät pendelnden Stromantele gerade afheben. Aßerdem st be deser Freqenz de Phasendrehng gerade, d.h. Strom nd Spannng snd n Phase. De Bandbrete B wrd drch de obere nd ntere Grenzfreqenz begrenzt, de wederm dadrch gekennzechnet snd, dass de Spannng af das.7 -fache des be der esonanzfreqenz errechten Wertes abgesnken st. De Güte Q schleßlch st das Verhältns der Bandbrete zr esonanzfreqenz: B = I.8 Q ω Ene dale Betrachtng glt für den ehenschwngkres. De Strktr deser Formeln zr mathematschen Beschrebng von schwngfähgen Systemen, de wohl jeder velfach as dem Alltagsleben kennt, st dabe völlg nabhängg von der konkreten ealserng. Des soll der folgende Verglech enes Parallelschwngkreses mt enem Feder-Masse-System zegen: -π/ ω m F F L y F L Bld I.4: Verglech enes Feder-Masse-Systems mt enem Parallelschwngkres

13 dy = L + + = I.8 FF c y, F = b d t dy d F= F + FF = m a = m dt dt L + + = dt I.8 dy b dy c + y dt m dt d d m + dt dt L I.83 λt b c λt y= K e λ + λ + = = Ke λ + λ + = m m L I.84 b b c λ = ± m 4m m λ = ± 4 I.85 L λ = ω ( D ± D ) λ ω ( D D ) b c δ mt δ =, ω =, D = mt m m ω = ± I.86 δ δ =, ω =, D = I.87 L ω Berets af der Abstraktonsebene von Glechng (I.86) snd bede Systeme ncht mehr nterschedbar. Alle weteren Überlegngen gelten deshalb zglech für bede Systeme. Wr wollen bezüglch der n (I.86) ne engeführten Dämpfng D zwe Fälle betrachten. ω Dt ω D t ω D t Fall : D> f () t = e Ke + Ke f(t) I.88 f(t).75 = + I.89 Fall : D< f () t e ω Dt K * * cos ω D t K mt x j x e = e = cos x + j sn x Fall beschrebt enen exponentell verlafenden Asglechsvorgang, während m Fall ene Schwngng mt exponentell fallender Ampltde aftrtt. Der Abfall der Ampltde st drch de Dämpfng bestmmt. Geht de Dämpfng gegen, so entsteht ene statonäre Schwngng. Des st be mechanschen Systemen nr möglch, wenn de ebngsverlste asgeglchen werden. De olle der ebng übernmmt n der Elektrotechnk der Wderstand. * * De Konstanten K nd K bzw. K nd K können as den Anfangsbedngngen bestmmt werden. df () t f () t t = t= I.9 dt t t 3

14 .6. Gegenndktvtät, Transformator Bsher haben wr ledglch den Enflss des Magnetfeldes ener stromdrchflossenen Sple af dese Sple selbst berückschtgt. Dese Form der Indktvtät wrd ach als Selbstndktvtät bezechnet. Unter ener Gegenndktvtät wollen wr nn m Untersched daz den Enflss des Magnetfeldes ener stromdrchflossenen Sple af ene zwete Sple betrachten. En enfaches Bespel für de technsche Asntzng der Gegenndktvtät st der Transformator. = + jωl+ jωm I.9 L L = + jωl + jωm I.9 M Bld I.5: Transformator Ene (Verpol-)Ersatzschaltng für den Transformator, d.h. ene Schaltng, de ebenfalls de Glechngen (I.9),(I.9) erfüllt, st we folgt gegeben: jω(l -M) jω(l -M) jωm Bld I.6: Verpol-Ersatzschaltbld des Transformators Es se daraf hngewesen, dass de galvansche Trennng des Transformators m Ersatzschaltbld drch den Krzschlss über M für ω= wedergegeben wrd..7. Lestngsgrößen Momentanwert der Lestng, d.h. das Prodkt as den Momentanwerten von Strom nd Spannng st zetabhängg nd deshalb weng assagekräftg. p= sn( ωt+ ϕ) sn( ωt+ ϕ) = cos( ϕ ϕ) cos( ωt + ϕ+ ϕ) I.93 zetlch konstant schwankt mt ω Während der erste Term zetlch konstant st, schwankt der zwete Term mt ω. Er soll weter mgeformt werden: p= cos( ϕ ϕ) cos( ωt+ ϕ) cos( ϕ ϕ) + sn( ωt+ ϕ) sn( ϕ ϕ) I.94 p = cos( ϕ ϕ) cos( ωt ϕ) sn( ϕ ϕ) sn( ωt ϕ) + + I.95 Der Mttelwert des ersten Terms st stets postv nd heßt Wrklestng. P= cos( ϕ ϕ) I.96 Der Mttelwert des zweten Term st Nll, es wrd jedoch abwechselnd Lestng afgenommen nd abgegeben. Dese pendelnde Lestng heßt Blndlestng. 4

15 Q ( ϕ ϕ ) Z beachten st, dass be echng mt Effektvwerten U I U eff = nd Ieff = I.98 der Faktor entfällt. = sn I.97 Ene wetere Lestngskenngröße st de Schenlestng I.99 I U S= Ueff Ieff = = Z= Y= P +Q I. Se st jedoch ene rene echengröße nd hat kene physkalsche Bedetng. De komplexe Lestng S st defnert als S= jϕ jϕ j( ϕ ϕ) U I* = Ue Ie = e = cos( ϕ ϕ) + jsn( ϕ ϕ) I. As hr lassen sch offenschtlch alle anderen Lestngskenngrößen we folgt ableten: S= P + Q = S I. P= e S I.3 Q= Im S I.4. Transente Vorgänge Bsher haben wr ledglch statonäre Prozesse betrachtet, d.h. Schaltngen, n denen de Knotenspannngen nd Zwegströme sch drch Sns- bzw. osns-fnktonen mt zetlch konstanter Ampltde nd Phase beschreben leßen. In desem Abschntt soll en krzer Asblck daraf gegeben werden, we der dabe gentzte mathematsche Formalsms af transente Vorgänge verallgemenert werden kann. Betrachten wr ach herz en enfaches Bespel. Zm Zetpnkt t= soll en bs dahn geöffneter Schalter geschlossen nd dadrch ene af den Wert U afgeladene Kapaztät über enen Wderstand entladen werden. Gescht st der zetlche Verlaf der Spannng über dem Wderstand. t= = U I.5 d = + = + I.6 dt Bld I.7 Drch Lösen der Dfferentalglechng nach der Methode der Trennng der Varablen erhält man d = dt I.7 t ln ( ) + K* = I.8 t = K e I.9 De Konstante K gewnnt man as der Anfangsbedngng = U K = U I. 5

16 so dass de Lösng schleßlch latet t = U e I... Laplace-Transformaton We be der m Abschntt. engeführten komplexen echnng kann ach her von der Dfferentalglechng z ener algebraschen Glechng übergegangen werden, wenn man n Verallgemenerng der komplexen echnng de komplexe Freqenz p enführt nd anstelle jω nn jewels p verwendet. p = δ + jω I. Dese Transformaton wrd als Laplace-Transformaton bezechnet. In Analoge zr komplexen echnng wrd znächst drch folgende Sbstttonen de Schaltng transformert: I.3 L p L I.4 p I.5 De Dfferentaton nd Integraton wrd n ene Mltplkaton mt p bzw. ene Dvson drch p transformert. d dt p I.6 dt p I.7 En zsätzlches Problem stellt jedoch der zetlche Verlaf der Engangsgrößen dar, da er ja nn ncht mehr snsförmg sen mss, sondern belebg sen kann. In zahlrechen Tabellenbüchern fndet man jedoch für grndlegende Sgnalformen de entsprechenden Transformerten. Komplzertere Sgnalformen lassen sch oft als Überlagerng deser Grndsgnale darstellen. Een Aswahl se hermt gegeben: y() t = Sprngfnkton I.8 p y() t = t ampenfnkton I.9 p pτ y t-τ L y t e Verschebngssatz I. -a t () y t =e I. p+a Das grndlegende Vorgehen soll nn an enem weteren Bespel demonstrert werden. (t) (t) pl L U τ τ t Bld I.8: Schaltng nd Engangsmpls für en Bespel zr Anwendng der Laplace-Transformaton 6

17 Gescht st her der zetlche Verlaf der Spannng L über der Indktvtät L. Das Engangssgnal lässt sch als Überlagerng zweer zetlch nterschedlch verzögerter Sprngfnktonen nter Asntzng von (I.8) nd (I.) darstellen. U ( pτ pτ p = e e ) I. p De Asgangsspannng kann dann mt Hlfe der Spannngstelerregel bestmmt werden. Anschleßend wrd der Asdrck n ene Form gebracht, de n desem Fall de Anwendng von (I.) zr ücktransformaton gestattet. pl UL ( pτ pτ ) ( pτ pτ L = = e e = U e e ) I.3 + pl + pl p + L Schleßlch ergbt de ücktransformaton für de Asgangsspannng für t < τ ( t-τ ) L L() t = U e für τ t < τ I.4 ( t-τ ) ( t-τ) L L U e e für τ t Das Ergebns st n Bld I.9 dargestellt. Der Strom zm Zetpnkt τ st noch mmer Nll, da der Strom drch ene Indktvtät ncht sprngen kann. Damt st z desem Zetpnkt der Spannngsabfall über dem Wderstand ebenfalls weterhn Nll. Da jedoch de Engangsspannng zm Zetpnkt τ von Nll af U sprngt, sprngt ach de Spannng über der Indktvtät von Nll af U. L (t) U -U τ τ t Bld I.9: Verlaf der Spannng über der Indktvtät zm Bespel as Bld I.8 7