Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung

Transkript

1 RS Erwartungswert_Varanz_.mcd 4) Erwartungswert Erwartungswert, Varanz, Standardabwechung Be jedem Glücksspel nteresseren den Speler vor allem de Gewnnchancen. 1. Bespel: Setzen auf 1. Dutzend bem Roulett En Speler setzt auf 1. Dutzend. Trfft de Kugel ene der Zahlen 1-12, so wrd der drefache Ensatz ausbezahlt, der Rengewnn st also der doppelte Ensatz. Kommt ene andere der 37 Zahlen, so geht der Ensatz verloren. Ω "1, 2,..., 12" "0, 13, 14,..., 36" Zufallsgröße X x 2 1 Rengewnn Wahrschenlchketsvertelung P p Der durchschnttlche Gewnn (Erwartungswert) errechnet sch we folgt: E( X) ( 1) Der durchschnttlche Gewnn (Erwartungswert) st negatv, d. h. langfrstg st mt enem Verlust zu rechnen oder anders gesagt: De Bank gewnnt mmer. Defnton Der Erwartungswert µ E(X) ener Zufallsgröße X mt der Wertemenge W { x 0, x 1, x 2,..., x } errechnet sch we folgt: µ E( X) 0 ( x p ) 1

2 Für obges Bespel folgt: länge( x) 1 µ 0 ( x p ) µ Merke: Der Erwartungswert st der Mttelwert der Statstk. Merke: En Glücksspel mt dem Erwatungswert µ 0 wrd als far bezechnet. 2

3 2. Bespel: Berechnung des otendurchschntts ener Klasse otenvertelung ener Klasse oten Anzahl S Anzahl oten T ( ) Anzahl T ( ) S 30 Klassenstärke otendurchschntt: Durchschntt oten Anzahl ( ) S Durchschntt oder Durchschntt1 De oten snd her de Zufallsgrößen oten Anzahl S Durchschntt Anzahl/S st her de Wahrschenlchket, ene bestmmte ote zu erhalten, z. B. P(ote 1) 3/30 0,1. 3

4 5) Varanz und Standardabwechung Für den Erwartungswert glt bekanntlch: µ E( X) 0 ( x P( x )) Im Folgenden: P( x ) p De Varanz ener Zufallsgröße X st en Maß für de Streuung der Zufallsgröße X um den Erwartungswert E(X) µ. - Berechnet wrd zunächst der quadrerte Abstand der Zufallsgröße X vom Erwartungswert µ: (X µ ) 2 - Deser Abstand wrd noch mt der Wahrschenlchket für das Auftreten der Zufallsgröße X multplzert (gewchtet): (X µ ) 2 *P(x ) - Zum Schluß werden alle dese Werte aufaddert. De Varanz errechnet sch somt we folgt: Var( x) ( x µ ) 2 P x ( ) De Varanz kann somt auch als Erwartungswert der neuen Zufallsgröße Y (X µ ) 2 aufgefasst werden. ( ) 2 Var( X) E X µ Für de Standardabwechung glt: σ ( X) Var( X) 4

5 Herletung der Verschebungsformel Var( x) Var( x) Var( x) ( x µ ) 2 P x ( ) ( x ) 2 2 µ x + µ 2 P x ( x ) 2 P x ( ) ( ) 2 µ x ( ) P( x ) ( ) + ( ) µ 2 P x Var( x) E X 2 Var( x) E X 2 ( ) 2 µ ( ( ) ) x P x + µ 2 ( ) 2 µ µ + µ 2 ( ) P x oder Var( X) E X 2 ( ) µ 2 Verschebungsformel zur Berechnung der Varanz 5

6 1. Bespel: "1. Dutzend bem Roulett" Zufallsgröße X beschrebt den Rengewnn Wahrschenlchketsvertelung von X Erwartungswert x µ ( x p ) p µ länge( x) 1 Varanz Var( x) 0 ( x µ ) 2 p Var( x) Standardabwechung σ ( x) Var( x) σ ( x) Ene häufge Frage lautet: Mt welcher Wahrschenlchket nmmt de Zufallsgröße X Werte n ener σ-umgebung des Erwartungswertes µ an. De mathematsche Übersetzung lautet: P( X µ < σ) P ( µ σ < X < µ + σ) µ σ ( x) µ + σ ( x) ( ) x > µ + σ x PP 0 f x < µ σ ( x) p otherwse ( ( )) PP P 1σ P ( µ σ < x < µ + σ) P 1σ 6 PP P 1σ 0.676

7 Mt ener Wahrschenlchket von P 1σ % legen de Werte deser Zufalsgröße X n ener enfachen Standardumgebung des Erwartungswertes. Programm für Hstogramm Hstogrammdarstellung µ σ( x) µ + σ( x) 0.6 Wahrschenlchketen Zufallsgröße X We man deutlch seht, legt nnerhalb ener enfachen Standardabwechung vom Erwartungswert nur de Zufallsgröße X -1, de den Verlust des Ensatzes beschrebt. De Wahrschenlchket P 1σ stmmt deshalb auch mt der Verlustwahrschenlchket überen. 7

8 Stabdagramm von P( X x ) µ σ( x) µ + σ( x) Wahrschenlchket P( X x ) Zufallsgröße X 8

9 2. Bespel: "Setzen auf genau ene Zahl bem Roulett" Setzt en Speler bem Roulett-Spel auf genau ene Zahl, z. B. de Zahl 7, so erhält er be Erschenen deser Zahl den 36-fachen Ensatz ausbezahlt, d. h. der Rengewnn st der 35-fache Ensatz. Zufallsgröße X beschrebt den Rengewnn Wahrschenlchketsvertelung der Zufallsgröße X x 35 1 p länge( x) 1 Erwartungswert µ 0 ( x p ) µ Varanz Var( x) 0 ( x µ ) 2 p Var( x) Standardabwechung σ ( x) Var( x) σ ( x) Ene häufge Frage lautet: Mt welcher Wahrschenlchket nmmt de Zufallsgröße X Werte n ener σ-umgebung des Erwartungswertes µ an. De mathematsche Übersetzung lautet: P( X µ < σ) P ( µ σ < X < µ + σ) µ σ ( x) µ + σ ( x)

10 ( ) x > µ + σ x PP 0 f x < µ σ ( x) p otherwse ( ( )) PP P 1σ P ( µ σ < x < µ + σ) P 1σ PP P 1σ Mt ener Wahrschenlchket von P 1σ % legen de Werte deser Zufalsgröße X n ener enfachen Standardumgebung des Erwartungswertes. Hstogrammdarstellung µ σ( x) 1 µ + σ( x) Wahrschenlchketen Zufallsgröße X 10

11 We man deutlch seht, legt nnerhalb ener enfachen Standardabwechung vom Erwartungswert nur de Zufallsgröße X -1, de den Verlust des Ensatzes beschrebt. De Wahrschenlchket P 1σ stmmt deshalb auch mt der Verlustwahrschenlchket überen. De Zufallsgröße X 35, de den Gewnn kennzechnet, st wet außerhalb der enfachen Standardabwechung vom Erwartungswert. Bem 1. Bespel, "Setzen auf 1. Dutzend" st de Zufallsgröße X 2 (Gewnn) näher an der enfachen Standardabwechung vom Erwartungswert. De Standardabwechung be "Setzen auf 1. Dutzend" st auch vel klener als bem "Setzen auf genau ene Zahl". Faustregel: Ene hohe Varanz und damt ene große Standardabwechung wesen auf en hohes Spelerrsko hn. Stabdagramm von P( X x ) µ σ( x) 1 µ + σ( x) Wahrschenlchket P( X x ) Zufallsgröße X 11

12 3. Bespel Gegeben se ene Zufallsgröße X de folgende Werte annmmt: x ( ) T länge( x) 1 5 Zu den enzelnen Werten der Zufallsgröße X gehören folgende Wahrschenlchketen: p ( ) T Erwartungswert µ 0 ( x p ) µ Varanz Var( x) 0 ( x µ ) 2 p Var( x) Standardabwechung σ ( x) Var( x) σ ( x) Mt welcher Wahrschenlchket nmmt desmal de Zufallsgröße X Werte n ener σ-umgebung des Erwartungswertes µ an. De mathematsche Übersetzung lautet weder: P( X µ < σ) P ( µ σ < X < µ + σ) µ + σ ( x) µ σ ( x)

13 ( ) x > µ + σ x PP 0 f x < µ σ ( x) p otherwse ( ( )) PP T ( ) Programm für Hstogramme P 1σ P ( µ σ < x < µ + σ) P 1σ PP P 1σ Mt ener Wahrschenlchket von P 1σ % legen de Werte deser Zufalsgröße X n ener enfachen Standardumgebung des Erwartungswertes. Stabdagramm von P( X x ) Wahrschenlchket P( X x ) µ σ( x) µ + σ( x) Zufallsgröße X 13

14 Wahrschenlchketsfunkton µ σ( x) µ + σ( x) Wahrschenlchketen Zufallsgröße X 14

15 4. Bespel: otenvertelung n ener Klasse otenvertelung ener Klasse oten Anzahl S Anzahl S 30 Klassenstärke x oten p Anzahl S x T ( ) p T ( ) länge( x) 1 We oben berets gezegt, glt: Durchschntt De oten snd her de Zufallsgrößen oten Anzahl S Durchschntt 3.7 Anzahl/S st her de Wahrschenlchket, ene bestmmte ote zu erhalten, 15

16 z. B. P(ote 1) 3/30 0,1. Der Erwartungswert stmmt selbstverständlch mt dem otendurchschntt überen: Erwartungswert µ 0 ( x p ) µ 3.7 De Varanz errechnet sch we folgt: Var( x) 0 ( x µ ) 2 p Var( x) Für de Standardabwechung glt: σ ( x) Var( x) σ ( x) 1.37 Mt welcher Wahrschenlchket nmmt de Zufallsgröße X Werte n ener σ-umgebung des Erwartungswertes µ an. De mathematsche Übersetzung lautet: P( X µ < σ) P ( µ σ < X < µ + σ) µ σ ( x) 2.33 µ + σ ( x) 5.07 De oten 3, 4 und 5 legen n desem Fall n ener Standardumgebung des Erwartungswertes, d. h. des otendurchschnttes. 0.. ( ) x > µ + σ x PP 0 f x < µ σ ( x) p otherwse P 1σ P ( µ σ < x < µ + σ) ( ( )) PP T ( ) P 1σ 0 P 1σ 0.7 Mt ener Wahrschenlchket von P 1σ % legen de Werte deser Zufalsgröße X n ener 16 PP

17 enfachen Standardumgebung des Erwartungswertes. Programm für Hstogramm Stabdagramm von P( X x ) µ σ( x) µ + σ( x) 0.3 Wahrschenlchket P( X x ) Zufallsgröße X 17

18 Wahrschenlchketsfunkton µ σ( x) µ + σ( x) Wahrschenlchketen Zufallsgröße X 18