Schätzfehler in der linearen Regression (1) Einführung

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1 Schätzfehler ( Reduum: Schätzfehler n der lnearen Regreon ( e Enführung Zel der Regreontattk t e, Schätzglechungen nach dem Krterum der klenten Quadrate aufzutellen und anzugeben, we groß der jewelge Schätzfehler t. ˆ mt den Egenchaften: e e Der durchchnttlche Schätzfehler t. Unter und Überchätzungen heben ch gegenetg auf. Entprechend de Krterum der klenten Quadrate t de Summe der quadrerten Abwechungen der beobachteten von den vorhergeagten Werten [de quadrerten Schätzfehler] mnmal. Der durchchnttlch quadrerte Schätzfehler ergbt ch au: am ( e ( ˆ ( ˆ e mn Schätzfehler n der lnearen Regreon ( Schätzfehlervaranz We groß t de Varanz der Schätzfehler? ( e e e e ( ( ˆ Der durchchnttlch quadrerte Schätzfehler entprcht der Varanz der Schätzfehler und wrd al Schätzfehlervaranz (bzw. Redualvaranz bezechnet: ( e ( ˆ am

2 Schätzfehler n der lnearen Regreon ( Standardchätzfehler De Wurzel au der Schätzfehlervaranz entprcht dem Standardchätzfehler. ( ˆ Der Standardchätzfehler t en Maß dafür, we tark de gechätzten Werte von den tatächlchen Werten n etwa m Durchchntt abwechen. Er kennzechnet de Streuung der Werte um de Regreongerade und t damt en Gütemaßtab für de Genaugket der Regreonvorheragen. De Genaugket der Regreonvorherage wächt mt klener werdendem Standardchätzfehler. Der Standardchätzfehler lät ch auch über folgende Bezehung betmmen: rx Schätzfehler n der lnearen Regreon ( Varanzzerlegung I Da Prnzp der Varanzzerlegung m lnearen Regreonmodell De Abwechung ene jeden Werte von enem Mttelwert dartellen al ( ( ˆ + ( ˆ lät ch de Summe der Abwechung der tatächlchen Werte von den gechätzten Werten und der Abwechung der gechätzten Werte vom Mttelwert. Herbe t: ˆ ˆ de Abwechung der Werte vom Mttelwert. der Antel, der durch de Regreonvorherage erfat wrd. der Antel, der durch de Regreonvorherage ncht erfat wrd [ bzw. Reduum].

3 Schätzfehler n der lnearen Regreon ( Varanzzerlegung II geamt 6 geamt erfat erfat ( ( ˆ + ( ˆ TESTY geamt + erfat TESTX Schätzfehler n der lnearen Regreon (6 Varanzzerlegung III 9 8 ˆ 7 6 ˆ VP : 9 ( (7.67 TESTY VP : (. + ( TESTX

4 Schätzfehler n der lnearen Regreon (7 Varanzzerlegung IV Y Geamtvaranz X Varanzzerlegung (. +.*x + e Schätzfehler n der lnearen Regreon (8 Varanzzerlegung V Y varanz 6 7 X Varanzzerlegung (. +.*x + e.6

5 Schätzfehler n der lnearen Regreon (9 Varanzzerlegung VI Y Varanz der vorhergeagten Werte 6 7 X Varanzzerlegung (. +.*x + e. ŷ Schätzfehler n der lnearen Regreon ( Varanzzerlegung VII Erklärte Varanz + varanz ˆ ( ˆ ( ˆ Geamtvaranz (

6 Schätzfehler n der lnearen Regreon ( Varanzzerlegung VIII Standardabwechung der Varablen Y. [Repräentert de Abwechungen vom Mttelwert, de durch den Prädktor erklärt werden ollen.] ˆ ˆ Standardabwechung der gechätzten Werte. [Repräentert de Abwechungen, de durch den Prädktor erklärt werden.] Standardabwechung de Schätzfehler oder Standardchätzfehler. [Repräentert de Abwechungen, de durch den Prädktor ncht erklärt werden.] Merke: de Standardabwechungen nd ncht addtv we de Varanzen. Schätzfehler n der lnearen Regreon ( Vorheragevaldtät und Standardchätzfehler DeVorheragevaldtät ene Prädktor für en Krterum t de Korrelaton beder Varablen. Erfolgt de Vorherage aufgrund ener lnearen Regreonglechung, t de Produkt Moment Korrelaton der Varablen de Vorheragevaldtät. Je größer de Produkt Moment Korrelaton zwchen zwe Varablen, deto höher de Vorheragevaldtät. It de Korrelaton glech ull, nd alle gechätzten Werte glech dem Mttelwert der beobachteten Werte, und der Standardfehler t maxmal: für ˆ glt : fehler Der Standardchätzfehler für ene Blndchätzung t de Standardabwechung de Krterum.

7 Vpn r. Tet x Tet ŷ ( ( ( î ; r x.876; Schätzfehler n der lnearen Regreon ( Bepel zum Standardchätzfehler ˆ ( ˆ n ( ˆ n ˆ fehler ( 886 n fehler fehler fehler rx Schätzfehler n der lnearen Regreon ( Determnatonkoeffzent Frage Welchen relatven Antel der Geamtvaranz macht de erklärte Varanz au? ˆ r r Werteberech: r Der Determnatonkoeffzent (r (auch Betmmthetmaß genannt t da Quadrat der Produkt Moment Korrelaton: Er gbt an, welcher relatve Antel der Varaton (Varanz der enen Varablen durch de lneare Determnaton aufgrund der anderen Varablen erklärt werden kann. Be der Regreonanale wrd de erklärte Varanz mt R² (tatt r² dargetellt, da e her auch mehr al ene UV geben kann. Se gbt an, welcher Antel der Varanz der AV durch de UV( ngeamt erklärt werden kann. Da Unbetmmthetmaß ( r gbt mt multplzert den prozentualen Antel an, der ncht durch X erklärt werden kann.

8 Schätzfehler n der lnearen Regreon ( Standardchätzfehler der Regreon und Populatonmodell We de Regreongerade n der Populaton verläuft, kann anhand der Stchprobendaten nur gechätzt werden. Dabe hängt de Schätzung owohl von der Anzahl der Fälle n der Stchprobe al auch von der Komplextät de Modell (der Anzahl der Koeffzenten ab. Üblcherwee wrd dehalb der Standardchätzfehler mt ener anderen al der bher dargetellten Formel berechnet, wobe de Summe der Abwechungquadrate von beobachteten und gechätzten Werten ncht enfach durch n ondern durch (n m dvdert wrd, wobe m de Anzahl der Koeffzenten der Regreonglechung t: σˆ ( ˆ n m Dabe tellt (n m de Frehetgrade de Modell dar: Be ener enfachen lnearen Regreon mt ener UV gbt zwe Koeffzenten (a und b, der Dvor t dann glech (n.

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