Prof. Dr. Roland Füss Statistik II SS 2008

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1 5. Spezelle Testverfahren Zahlreche parametrsche und nchtparametrsche Testverfahren, de nach Testvertelung (Bnomal, t-test etc.), Analysezel (Anpassungs- und Unabhänggketstest) oder Konstrukton der Prüfgröße (Vorzechentest) benannt snd. 5.1 Tests für Medan und Quantle Nullhypothese: H : xmed = x Legt Medan (Zentralwert) vor, snd n unabhängger Zufallsstchprobe Hälfte der x Werte größer als und Hälfte klener. Ist Anzahl deutlch klener oder größer, muss H verworfen werden. 1

2 Enfacher Vorzechentest Prüfstatstk = Anzahl Stchprobenwerte größer als Hypothesenwert V + = Anzahl der Werte X > x x Ist der Medan, dann st Wahrschenlchket n der Stchprobe en größeres Element zu fnden und p = 5. : p = 5. und V + st ene bnomalvertelte Zufallsvarable mt n H : p = 1

3 Bnomaltest: 1. ensetger Test: H : p 5. gegen H1 : p < 5. mt PV ( + < b) α. obersetger Test: H : p 5. gegen mt PV ( + < b) α H1 : p > zwesetger Test: H : p = 5. gegen H1 : p 5. α mt PV ( + < b unten ) und PV ( + > b oben ) α 3

4 = vertelungsfreer Test; für n > 5 kann Normalvertelung herangezogen werden unter Berückschtgung der Stetgketskorrektur ( V ) n/ n / Z (annähernd standardnormalvert.) Test st ncht nur für kardnale (metrsche) Daten, sondern auch für ordnale Daten x verwendbar! 4

5 Test für Quantle Analog zu Medan kann für andere Qunatle ebenfalls Vorzechentest durchgeführt werden: H : xq [ ] = x d.h. 1 q% der Werte klener und 1 ( 1 q) % größer als hypothetscher Wert x und es glt de Nullhypothese: H : p = ( q) 1 zu testen (mt krt. Werten für Testgröße V + aus Bnomalvertelung ( n, 1 q) 5

6 Für große n glt ( V ) n( 1 q) nq( 1 q) Z 5. Anpassungstests Vele statstsche Methoden setzen voraus, dass das nteresserende Merkmal ene bestmmte Wahrschenlchketsvertelung bestzt. Ob de beobachteten Daten mt ener bestmmten Vertelung der Zufallsvarablen verenbar snd, kann man mt Hlfe enes Anpassungstests überprüfen. 6

7 Der Anpassungstest verglecht de gegebenen Daten mt ener hypothetschen Vertelung und entschedet, ob de Beobachtungsdaten zu deser Vertelung passen oder ncht. χ -Anpassungstest Be desem Test wrd ene emprsch gewonnene Vertelung (oder ene Stchprobe) mt ener vorgegebenen theoretschen Vertelung verglchen, um dann de Entschedung zu treffen, ob de emprsche Vertelung so stark von der theoretschen abwecht, dass de Nullhypothese ( H : F = F ) verworfen werden muss. F 7

8 F : unbekannte Wahrschenlchketsvertelung, aus der de Stchprobe stammt, also de Vertelung n der Grundgesamthet. F : theoretsche Vertelung (z.b. Normal-, Posson-, Bnomalvertelung usw.). H : F ( x ) = F ( x ) ; H : F ( x ) F ( x ) 1 T = = 1 ( ) k n e e = = 1 k n e n De Testgröße T st χ -vertelt mt ν = k 1 Frehetsgraden. 8

9 = 1,, k = Merkmale bzw. Klassen n = emprsch beobachtete Werte (absolute Häufgketen), e = n f ( x ) = theoretsch erwartete Werte m dskreten Fall, e = n F( x ) = theoretsch erwartete Werte m stetgen Fall wobe: k = 1 n k = = 1 e =n 5.3 Unabhänggketstest Test auf Überenstmmung zwschen emprsch beobachteten Häufgketen. 9

10 Gegeben seen zwe gemensam vertelte Zufallsvarablen X und Y. Es soll geprüft werden, ob X und Y stochastsch unabhängg snd. H H 1: : X und Y snd unabhängg X und Y snd abhängg T = k l = 1 j=1 ( nj ej ) e j n ( = 1,, k; j = 1,, l ) und den theoretsch erwarteten Häufgketen, j de entreffen würden, wenn X und Y unabhängg wären. e j 1

11 Unabhänggketsannahme: fj = f f j n j = emprsch beobachtete Häufgketen e = n f f 1/ n n j j = j n = theoretsch erwartete Häufgketen De Testgröße T st χ -vertelt mt ( k 1)( l 1) ν = Frehetsgraden. 11

12 5.4 Homogentätstest Mt Homogentätstest werden de Hypothesen der Form H F F F : 1 = = = m H : 1 F Fj für mndestens en Paar (, j) Fragestellung: Können zwe oder mehr unabhängge emprsche Stchproben enes Merkmals als Stchproben aus derselben Grundgesamthet bzw. aus Grundgesamtheten, welche deselbe Vertelung haben, aufgefasst werden. 1

13 Ausgangsstuaton: Kontngenztabelle mt entsprechenden Randvertelungen De erwarteten Häufgketen ergeben sch analog zum Homogentätstest: e = 1/ n n n j j unter Verwendung der Stchprobennformaton und der Nullhypothese. Je mehr nj ej von abwechen, um so eher st zu vermuten, dass H ncht zutrfft. m k ( n ) j ej T = > χ H verwerfen =1 j=1 ej [ ( 1)( 1) 1 ]! m k α 13

14 Hommogentäts- und χ -Test snd eng verwandt, da Hypothese der Unabhänggket besagt, dass bedngte Vertelungen alle glech snd. Be Homogentätstest entsprechen de bedngten Vertelungen aber den enzelnen Vertelungen F = F = = F 1 m n der Hypothese. 5.5 Test auf Korrelaton Emprsche Korrelatonskoeffzent (Bravas-Pearson): r = s x s xy s y mt 1 r

15 Korrelatonskoeffzent msst lnearer statstscher Zusammenhang von metrschen Daten. Fragestellung: Ob von Korrelatonskoeffzent aus ener Stchprobe auf ene r Korrelaton ρ n Grundgesamthet bzw. n der der Stchprobe zugrundelegenden Wahrschenlchketsvertelung geschlossen werden kann? H : ρ = Der Korrelatonskoeffzent n ener Stchprobe st ene Realsaton ener R Zufallsvarablen. r 15

16 n Dabe st de Größe R = T n 1 R unter der H t -vertelt mt n Frehetsgraden, wenn X und Y gemensam normalvertelt snd. Entschedungsregel be zwesetgem Test: n r > t n [ 1 α / ] H verwe rfen! 1 r De Entschedung, ob der Korrelatonskoeffzent n der Stchprobe groß genug st, um auf Korrelaton n der Grundgesamthet schleßen zu können, hängt von dem gewählten Sgnfkanznveau und vom Stchprobenumfang ab. 16

17 Rangkorrelatonskoeffzent (nach Spearman) r s = 1 6 d ( 1) n n mt d = Rg( x) Rg(y) für ordnalskalerte Varablen. H ρ = Sp : 17

18 Sp De Zufallsvarable R st hnlänglch normalvertelt mt Erwartungswert Null und Sp Varanz V( R ) = 1/( n 1). De Testentschedung lautet für enen zwesetgen Test: Sp r n 1 > z[ 1 α / ] H verwerfen! 5.6 Varanzanalyse (ANOVA) Anhand von m > unabhänggen Zufallsstchproben soll geprüft werden, ob Vertelungen, aus denen se entnommen snd, alle den glechen Mttelwert haben oder ncht: 18

19 H µ µ µ : 1 = = = m H : mndestens zwe der 1 µ snd verscheden Gegeben: Stchproben n,, 1 nm, Mttelwerte,, x1 xm und Varanzen s1,, s sowe Zusammenfassung zur Gesamtstchprobe vom Umfang und Gesamtmttelwert: n = n und x 1 = nx n ges De Varanz kann aus den m enzelnen Varanzen und den Mttelwerten als Summe von nterner und externer Varanz berechnet werden: 19

20 Gesamtvaranz: nterne Varanz: externe Varanz: 1 1 s ns n x x m m ges = + ( ges ) n = 1 n = 1 n 1 s x x m nt = ( j ) n = 1 j = 1 1 s n x x m ext = ( ges ) n = 1 1. nterne Varanz = gewchtete Mttel aus Varanzen nnerhalb der m Gruppen bzw. Stchproben.. externe Varanz = Varanz der Mttelwerte x, also de Varanz zwschen den Gruppen bzw. Stchproben

21 Entschedungsregel basert auf Verhältns von externer zu nterner Varanz, d.h. H wrd verworfen, wenn Prüfgröße: s 1 s = 1 > [ 1 α] ext m m 1 ext Fn m 1 snt n m De Teststatstk st be Annahme der Normalvertelung und glecher Varanz sowe der Nullhypothese glecher Mttelwerte F-vertelt. 1