1. Teilprüfung FS 2008

Transkript

1 . Telprüfung Statstk und Wahrschenlchketsrechnung FS 2008 Dr. J. Köhler ETH Zürch Donnerstag 0. Aprl :5 09:45 Vorname:... Name:... Stud. Nr.:... Studenrchtung:...

2 . Telprüfung: Statstk und Wahrschenlchketsrechnung Bau, Umwelt und Geomatkngeneurwssenschaften Datum und Dauer: Donnerstag, 0. Aprl 2008 Begnn: 8:5 Uhr Zetdauer: 90 Mnuten Hlfsmttel: - Alle Unterlagen (Skrpte, Bücher, andere Ausdrucke, etc.) erlaubt. - Taschenrechner (ohne Kommunkatonsmttel) erlaubt. - Kene Kommunkatonsmttel (z.b. Telefon) erlaubt. Hnwese: - Btte kontrolleren Se zuerst, ob Se das ganze Materal erhalten haben: - Aufgabenstellung nkl. genereller Informatonen und Anhängen 4 Seten. - Paperbogen karert, gestempelt mal. - Btte legen Se Ihre Leg vor sch auf den Tsch. - Alle Lösungsblätter müssen mt Namen und Vornamen versehen werden. - Nur de zur Verfügung gestellten Blätter dürfen verwendet werden. - Legen Se am Ende der Prüfung alle Aufgaben und Lösungsblätter n das Couvert zurück und lassen Se deses am Platz legen. - Wenn Se vor 9:5 Uhr fertg snd, dann benachrchtgen Se enen Asssterenden; er/se wrd dann Ihre Prüfung ensammeln. Se dürfen bs 9:5 Uhr den Saal verlassen; danach warten Se btte stll, bs de Prüfung zu Ende st (9:45 Uhr). 2/4

3 Tel : Multple Choce (maxmal 56 Punkte) In den folgenden Multple Choce Fragen können für de gleche Frage mndestens ene oder mehrere Antworten rchtg sen. Btte markeren Se alle rchtgen Antworten n jeder Frage mt enem Häkchen oder Kreuz: Wenn Se en berets markertes Kästchen rückgängg machen wollen, dann tun Se das btte deutlch: Name: 3/4

4 . (2 Punkte) In der Wahrschenlchketsrechnung kann de Wahrschenlchket PA ( ) enes Eregnsses A enen Wert n den Grenzen annehmen von: 0 PA ( ) PA ( ) PA ( ).2 (2 Punkte) Zwe Eregnsse A und B schlessen sch gegensetg aus. Welche der folgenden Aussagen st/snd rchtg? PBA ( ) = PB ( ) PBA= ( ) 0 PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B).3 (2 Punkte) Für en Eregns E m Wahrschenlchketsraum Ω stellt E das Komplementäreregns dar. Welche der folgenden Aussagen st/snd rchtg? ( E E) =Ω ( E E) =Ω ( E E) =.4 (2 Punkte) De Wahrschenlchket der Verengung von zwe vonenander abhänggen Eregnssen A und A 2 st durch PA ( A2) = PA ( ) + PA ( 2) PA ( A2) gegeben. De Wahrschenlchket von Eregns A st glech 0.5, de Wahrschenlchket von Eregns A2 st 0.2 und de Wahrschenlchket von PA ( A 2) st 0.6. Welches Ergebns st rchtg? PA ( A) = PA ( A) = PA ( A) = /4

5 .5 Gegeben st folgendes Schaltsystem mt zwe Schaltern. Es flesst Strom von C nach D, wenn mndestens ener der beden Schalter S geschlossen st: Mt E bezechnen wr das Eregns { Schalter S st geschlossen }. Mt E2 bezechnen wr das Eregns { Schalter S2 st geschlossen }. E stellt das Komplementäreregns dar. a) Welche/s der folgenden Eregnsse st/snd korrekt durch E ausgedrückt? (2 Punkte) Be welchem Eregns A flesst Strom von C nach D? A = E E2 A2 = E E2 A3 = E E2 (2 Punkte) Be welchem Eregns B flesst ken Strom von C nach D? B = E E2 B2 = E E2 B3 = E E2 b) (2 Punkte) De Schalter S seen unabhängg vonenander offen oder geschlossen. De Wahrschenlchket, dass der Schalter S geschlossen st, se p = 0.5. We gross st de Wahrschenlchket für das Eregns A S, welches defnert st als das Eregns es flesst Strom von C nach D? PA ( S ) = 0.5 PA ( S ) = 0.75 PA ( S ) = Name: 5/4

6 .6 De Studerenden (n=9) der Vorlesung Statstk und Wahrschenlchketsrechnung m FS 2008 wurden u.a. hnschtlch hres Alters befragt. Das Hstogramm n Abbldung. zegt das Ergebns deser Umfrage. Absolute Häufgket n= Alter [Jahre] Abbldung.: Hstogramm zur Vertelung der Altersangaben. (je 2 Punkte für a) und b)) Btte kreuzen Se de rchtge(n) Antwort(en) an: a) De Vertelung st rechtsschef. Der Modus beträgt 78. Der Modus beträgt 20. De relatve Häufgket der Altersangabe 9 Jahre beträgt b) Der Medan st grösser als der Modus. Der Medan st klener als der Modus. Medan und Modus haben den glechen Wert. Der Stchprobenraum legt m geschlossenen Intervall von 7 bs 29 Jahren. 6/4

7 .7 Welche der folgenden Funktonen ergbt/ergeben enen Snn? Btte kreuzen Se dese an. a) (2 Punkte) Als kumulerte Wahrschenlchketsvertelungsfunkton? () (2) (3) b) (2 Punkte) Als Wahrschenlchketsdchtefunkton? () (2) (3) Name: 7/4

8 .8 Bretter der Holzart Fchte sollen für ene Holzkonstrukton verwendet werden. Anhand von Versuchen st bekannt, dass de Zugfestgket enes Brettes von der sogenannten Ästgket abhängg st. De Ästgket pro Brett lässt sch anhand der Anzahl und Grösse der m Brett schtbaren Asttele berechnen. Der Zusammenhang zwschen Ästgket und Zugfestgket st n Abbldung.2 dargestellt Ästgket [ ] Zugfestgket [N/mm²] Abbldung.2 Darstellung der Ästgket und Zugfestgket von Fchten Brettern. + Illustraton von Asttelen n Brettern. a) (2 Punkte) Kreuzen Se de rchtge(n) Aussage(n) an. Be der Abbldung handelt es sch um en zwedmensonales Streudagramm. Aus der Abbldung snd de Wahrschenlchketen der Zugfestgket drekt ablesbar. Be der Abbldung handelt es sch um enen Quantl Plot. Kene der Aussagen st rchtg. b) (2 Punkte) Anhand ener sorgfältgen Betrachtung der Abbldung st zu erkennen, dass: ene negatve Korrelaton zwschen Ästgket und Zugfestgket besteht. mt stegender Ästgket auch de Zugfestgket des Holzes zunmmt. mt stegender Ästgket de Zugfestgket des Holzes abnmmt. de Vertelung der Zugfestgket rechtsschef st. 8/4

9 c) (2 Punkte) Welche der folgenden Aussagen trfft am ehesten zu? Der Korrelatonskoeffzent legt ungefähr be 45 N/mm². Der Korrelatonskoeffzent legt ungefähr be Der Korrelatonskoeffzent legt ungefähr be Es st kene Korrelaton erkennbar, daher beträgt der Korrelatonskoeffzent genau..9 (2 Punkte) Um de Streuung von Versuchsergebnssen zu beurtelen egnen sch folgende Masszahlen (btte ankreuzen): Arthmetsches Mttel Medan Korrelatonskoeffzent Standardabwechung Varanz.0 (2 Punkte) Kreuzen Se m Folgenden de Aussage(n) an, welche für kontnuerlche Zufallsvarablen zutrfft (zutreffen): 0 F ( x) X a f ( x) dx= F( a) X b wenn a< b,dann glt f ( xdx ) = Fa ( ) Fb ( ) a X m = x p ( x ) n j= j X j Name: 9/4

10 . (2 Punkte) We st das 2. zentrale Moment ener kontnuerlchen Zufallsvarable defnert? Btte kreuzen Se de rchtge(n) Antwort(en) an. 2 xfx () xdx 2 xpx () xdx 2 ( μx) X( ) x f x dx.2 (2 Punkte) De Temperatur wrd ausgedrückt als Zufallsvarable X. Der Sedepunkt enes chemschen Elements se bekannt mt Mttelwert μ X = 00 C und Varanz = 25 C 2. Ene Temperaturveränderung um Grad Celsus entsprcht.8 Fahrenhet. Der Nullpunkt der Celsus Skala entsprcht 32 Fahrenhet. Wevel beträgt de Standardabwechung, n Fahrenhet ausgedrückt? Standardabwechung st 9 Fahrenhet Standardabwechung st 4 Fahrenhet Standardabwechung st 45 Fahrenhet Standardabwechung st 6.2 Fahrenhet Kene der Antworten st rchtg. 0/4

11 .3 In ener Stadt gbt es 6 Baustellen. Jede Baustelle füllt pro Tag entweder 0 oder Contaner mt Bauschutt. De Frma A hat mt den Betrebern deser Baustellen enen Vertrag abgeschlossen, um auf Abruf de Contaner abzutransporteren. Von jedem der n=6 Betreber könnte de Frma A am nächsten Tag mt ener Wahrschenlchket von p=0.5 beauftragt werden, um von ener Baustelle enen Contaner mt Bauschutt wegzufahren. Beantworten Se mt Hlfe der Tabelle. de folgenden Fragen. Tabelle.: Werte der Bnomalvertelung für p=0.5, n=6, x =[0,6] wobe x =Anzahl Transporte. x PX ( = x ) PX ( x ) a) (2 Punkte) We vele Aufträge für Transporte ( x ) werden mt grösster Wahrschenlchket am nächsten Tag entreffen? b) (2 Punkte) De Kapaztät der Frma legt für enen Arbetstag be x = 4 Transporten. We hoch st de Wahrschenlchket dafür, dass de Frma A am nächsten Arbetstag ncht alle Aufträge erledgen kann? Name: /4

12 .4 (6 Punkte) En Student muss enen Multple Choce Test mt 0 Fragen lösen. Jede Frage hat 2 möglche Antworten, von denen nur ene rchtg st. Der Student löst den Test durch zufällges Ankreuzen. Was st de Wahrschenlchket, dass er den Test besteht, wenn mndestens 3 rchtge Antworten zum Bestehen der Prüfung erforderlch snd? Im Cockpt enes grossen Verkehrsflugzeuges zegt ene Kontrollleuchte an, ob das Fahrwerk für de Landung korrekt ausgefahren st. De Wahrschenlchket, dass de Kontrollleuchte korrekt funktonert st De Wahrschenlchket, dass se ncht funktonert, z.b. durch Ausfall der Leuchtdode oder durch fehlerhaftes Sgnal, st demnach Ist das Fahrwerk tatsächlch ncht rchtg ausgefahren, leuchtet de Dode n jedem Fall ncht. Nun kommt es recht selten vor, dass das Fahrwerk enes grossen Verkehrflugzeuges ncht korrekt ausfährt. Es kann angenommen werden, dass des nur enmal be 0 6 Flügen vorkommt. a) (6 Punkte) Das Flugzeug befndet sch m Landeanflug. Der Plot wll das Fahrwerk ausfahren, stellt aber fest, dass de Kontrollleuchte ncht leuchtet. Berechnen Se de Wahrschenlchket, dass das Fahrwerk tatsächlch ncht korrekt ausgefahren st b) (2 Punkte pro gute Antwort, maxmal 4 Punkte) We könnte man de Kontrollenrchtung verbessern? 2/4

13 Tel 2: Rechenaufgabe (maxmal 28 Punkte) Be der Auswertung der n der ersten Vorlesung erhobenen Daten nteresseren wr uns für den Zusammenhang von Haarfarbe und Augenfarbe der Studentnnen und Studenten. In der folgenden Tabelle steht H für de Haarfarbe und A für de Augenfarbe. Es wrd angenommen, dass alle Studerenden entweder blondes, braunes oder schwarzes Haar haben und dass be allen Studerenden de Augenfarbe entweder blau, braun, grün oder blaugrau st. Tabelle 2.: Multvarate Wahrschenlchketen für Augen und Haarfarbe. A = blau A = braun A = grün A = blaugrau P(H) H = blond H = braun H = schwarz P(A) 0.2 a) (6 Punkte) Vervollständgen Se de Tabelle unter Berückschtgung, dass be 9.5% aller Studerenden de Haarfarbe H = blond und be 8.7 % aller Studerenden de Haarfarbe H = schwarz st. b) (4 Punkte) We gross st de Wahrschenlchket, dass en Studerender, welche/r braune Haare hat auch noch grüne Augen hat? Be der Auswertung der n der ersten Vorlesung erhobenen Daten nteresseren wr uns des Weteren für das Körpergewcht der Studerenden. Das Körpergewcht wrd mt ener normalvertelten Zufallsvarablen X modellert. De Normalvertelung hat enen Mttelwert von 7 kg und ene Standardabwechung σ X von 9.3 kg. μ X c) (6 Punkte) Berechnen Se baserend auf desem Modell de Wahrschenlchket, dass en Student/ ene Studentn schwerer st als 85 kg. Der Fahrstuhl m HIL hat ene maxmal zulässge Traglast von 900 kg. Nach der Statstkvorlesung strömen 3 Studerende n desen Fahrstuhl. d) (2 Punkte) Mt welcher Wahrschenlchket wrd de Traglast überschrtten? Verwenden Se de Tabelle zur Standardnormalvertelung m Anhang. Name: 3/4

14 Anhang Statstk und Wahrschenlchketsrechnung Kumulerte Wahrschenlchketsdchtefunkton φ ( z) der Standardnormalvertelung 0 z Probablty densty functon of the standard normal random varable. z z z z z 4/4