Folien zur Vorlesung

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1 Folen zur Vorlesung Statstk für Prozesswssenschaften (Tel : Wahrschenlchketsrechnung) U. Römsch

2 . WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG De Wahrschenlchketsrechnung lefert mathematsche Modelle der Gesetzmäßgketen von Zufallserschenungen. Es werden solche Expermente betrachtet, deren Ergebnsse enen zufällgen Ausgang haben, so genannte zufällge Versuche... Zufällge Eregnsse, Eregnsfeld Begrffe und Defntonen: Def.: En zufällges Eregns st en Eregns, das be enem Versuch, be dem bestmmte Bedngungen ("Ursachenkomplex") engehalten werden, entreten kann, aber ncht notwendg entreten muss. Es st das Ergebns enes zufällgen Versuches. Bez.: A,B,C,...,A,B,...

3 Bsp. : Würfeln mt enem dealen Würfel und Beobachtung der geworfenen Augenzahl (zuf. Versuch) zufällge Eregnsse snd: - A : "Augenzahl wrd gewürfelt,,...,6 ", - aber auch: A 7 : "Ene gerade Augenzahl wrd gewürfelt" Nur ene Zahl wrd tatsächlch gewürfelt, alle übrgen ncht. Begrffe: - Elementareregns: Elementareregnsse lassen sch ncht weter n zufällge Eregnsse zerlegen. Bez.: e ;,...,n Bsp.: e : "Würfeln der Augenzahl,,...,6 "

4 - Zusammengesetzte Eregnsse: lassen sch weter n zufällge Eregnsse zerlegen. Bez.: A, B,... ;,...,n Bsp.: A 7 : "Würfeln ener geraden Zahl" {e,e 4,e 6 } Def.: De Menge E (oder: Ω) heßt Menge der zu enem zufällgen Versuch gehörenden Elementareregnsse, wenn jedem Versuchsausgang genau en Element deser Menge E entsprcht. Bsp.: E {e,...,e 6 } Schlussfolgerung: Methoden der Mengenlehre könnten anwendbar sen!

5 Def.: En zufällges Eregns A st ene Telmenge der Menge E der Elementareregnsse, d.h. A E. Betrachten wr zunächst zuf. Eregnsse, de als Grenzfälle angesehen werden können: Def.: Schere Eregnsse snd dadurch gekennzechnet, dass se unter den Bedngungen, de den betrachteten Versuch kennzechnen, entreten müssen. Se blden de Telmenge von E, de alle Elementareregnsse enthält. Bez.: S oder E Bsp.: E: "Es wrd ene Zahl zwschen und 6 gewürfelt" {e,...,e 6 }

6 Def.: Unmöglche Eregnsse snd dadurch charaktersert, dass se ncht entreten können. Se snd de Telmenge, de ken Elementareregns enthält. Bez.: U oder Ø. Bsp.: Ø : "Es wrd ene '0' gewürfelt!"

7 Relatonen und Operatonen zwschen zufällgen Eregnssen: Def.: En zufällges Eregns A st genau dann n dem zufällgen Eregns B enthalten, wenn alle Elementareregnsse, de zu A gehören, auch zu B gehören. D.h.: Wenn A entrtt, dann trtt auch B en. A B Bez.: Bsp.: Würfeln mt Würfel: A A 7 Bem.: Für en belebges zufällges Eregns A glt mmer: Ø A E Def.: Zwe zuf. Eregnsse A und B heßen äquvalent (glech), wenn sowohl das Eregns A n B enthalten st ( A B ), als auch das Eregns B n A enthalten st ( B A). Bez.: A B

8 Def.: Snd A und B zuf. Eregnsse, so verstehen wr unter der Summe von A und B (Verengung, Dsjunkton) das Eregns, das genau de Elementareregnsse enthält, de zu A oder zu B gehören. Bez.: Bsp.: A B A { e,e,e, } A 7 4 e 6 E A B Verallgemenerung: A,..., A n snd zuf. Eregnsse. De Summe der A (,..., n) st das Eregns, das genau dann entrtt, wenn mndestens enes der Eregnsse A entrtt. Bez.: Bsp.: A n A... A n U A 6 A E U

9 Def.: Snd A und B zuf. Eregnsse, so verstehen wr unter dem Produkt von A und B (Durchschntt, Konjunkton) das Eregns, das genau de Elementareregnsse enthält, de zu A und zu B gehören. Bez.: Bsp.: A B A A 7 E A B Verallgemenerung: A,..., A n snd zuf. Eregnsse. Das Produkt der A st das Eregns, das genau dann entrtt, wenn jedes der Eregnsse A (,..., n) entrtt. Bez.: Bsp.: A n I A... An A I 6 A

10 Def.: Zwe zufällge Eregnsse A und B heßen mtenander unverenbar (unverträglch), wenn se kene gemensamen Elementareregnsse bestzen. (D.h. wenn A und B ncht glechzetg entreten können!) Bez.: A B Bsp.: A A 7 Def.: Ist A en zufällges Eregns, so nennen wr das Eregns, das genau de Elementareregnsse enthält, de ncht zu A gehören, das zu A komplementäre (oder entgegengesetzte) Eregns. Bez.: Bsp.: A A 7 {,3,5 }

11 Offenschtlch gelten folgende Aussagen: A A E A A E,,, E A B A B Verallgem. I A de Morgan sche U A Regeln A B A B U A I A

12 Def.: Snd A, B zufällge Eregnsse, so verstehen wr unter der Dfferenz von A und B das Eregns, das genau de Elementareregnsse enthält, de zu A, aber ncht zu B gehören. (d.h. wenn A, aber ncht B entrtt!) Bez.: A \ B E Bsp.: A 7 \ A {4, 6} Es gelten folgende Aussagen: A E \ A A B A \ B A B Bem.: Für de Verengung und den Durchschntt gelten de Gesetze der Kommutatvtät, Assozatvtät und Dstrbutvtät.

13 Def.: Eregnsfeld Ene Menge von zufällgen Eregnssen heßt Eregnsfeld E, wenn folgende Egenschaften gelten:. E E (E- scheres Eregns). A, B E A B E 3. A E E A U A 4. A E E (,, )

14 Folgerungen: E A, B E A B E I E A A B A \ B E (A \ B) äquvalent ( ) Bem.: En Eregnsfeld st somt ene Menge von zufällgen Eregnssen mt der Egenschaft, dass Anwendungen der n... engeführten Operatonen auf Elemente deser Menge E ncht aus deser Menge hnausführen, also mmer weder Elemente deser Menge lefern. In der Mengenlehre sprechen wr von ener σ- Algebra.

15 Wahrschenlchket: Mt Wahrschenlchketen wurde schon gerechnet, lange bevor sch de Wahrschenlchketsrechnung als egenständge mathematsche Dszpln formert hatte, z.b. m Rahmen der Bevölkerungsstatstken, be Verscherungsproblemen und Glücksspelen. Auch m täglchen Sprachgebrauch verwendet man den Begrff wahrschenlch als ene möglche subjektve Bewertung des Entretens enes zufällgen Eregnsses (her: nur qualtatve, kene quanttatve Aussage!). In der Mathematk löst man sch von dem subjektven Urtel und führt den Begrff der Wahrschenlchket als Maß für den Grad der Gewsshet des Entretens enes zufällgen Eregnsses A en.

16 Bsp.: In ener Brauere werden unter bestmmten Produktonsbedngungen m Mttel,6 % der Berflaschen ncht normgerecht abgefüllt. D.h.: Von 000 Berflaschen snd m Mttel 6 ncht qualtätsgerecht gefüllt worden, manchmal mehr, manchmal wenger. Mt anderen Worten: Der Prozentsatz an Ausschuss oder auch de Wahrschenlchket der Ausschussprodukton beträgt m Bespel.6 % oder 0,06. D.h.: Be Massenerschenungen, we der Massenprodukton von Erzeugnssen st de Anzahl der uns nteresserenden Eregnsse (her: unbrauchbare, ncht normgerecht gefüllte Flaschen) annähernd glech.

17 Fragen: We kann man de Wahrschenlchket enes zufällgen Eregnsses bestmmen? Welche Egenschaften bestzen Wahrschenlchketen, welchen Rechenregeln genügen se?

18 . Klasssche Defnton der Wahrschenlchket: Ausgangspunkt: (Laplace: ) zufällger Versuch mt endlch velen Versuchsausgängen n, d.h. E {e,..., e n } jeder Versuchsausgang soll glechmöglch sen (Symmetreegenschaft) Jedes mt dem betrachteten Versuch zusammenhängende zufällge Eregns A lässt sch durch Aufzählung derjengen Versuchsausgänge kennzechnen, de für A günstg snd, d.h. de das Entreten von A bewrken. N(A) - se de Anzahl der Versuchausgänge, be denen A entrtt n N(E) - se de Gesamtzahl der Versuchsausgänge das Verhältns von N(A) zu n vermttelt ene Vorstellung über den Grad der Gewsshet des Entretens von A.

19 Def.: Klasssche Wahrschenlchket: Se E endlch und e glechmöglch. Jedem zufällgen Eregns A können wr ene postve Zahl P(A) - de Wahrschenlchket des zufällgen Eregnsses A - zuordnen (A E P(A) [0,] R). Se st der Quotent aus der Anzahl der n A enthaltenen Elementareregnsse N(A) ( der für A günstgen Elementareregnsse ) und der Gesamtzahl n der Elementareregnsse. N(A) P (A) n Insbesondere glt: P(e ) n (,..., n)

20 Satz: Egenschaften der klasssche Wahrschenlchket:. 0 P(A). P(E) (es glt auch: P(A) A E!) 3. Snd A, B unverenbare zuf. Eregnsse, d.h. A B, so glt: P(A B) P(A) + P(B) (Addtonsregel für unverenbare zuf. Eregnsse) 4. P( ) 0 (es glt auch: P(A) 0 A!) 5. P( A) P(A) 6. Snd A, B belebge zuf. Eregnsse, so glt: P(A B) P(A) + P(B) P(A B) (allg. Addtonsregel für bel. zuf. Eregnsse) 7. Aus A B folgt: P(A) P(B)

21 Verallgemenerung der Addtonsregel für dre belebge zufällge Eregnsse A, B und C: P(A B C) P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C) st de Wahrschenlchket, dass mndestens enes de Eregnsse A, B, oder C entrtt. A B C A B C E A B A B C A B C A C B C A B C A B C

22 Bem.: Der klassschen Defnton der Wahrschenlchket kommt deshalb besondere Bedeutung zu, wel man auf deser Grundlage für zahlreche praktsche Fragestellungen Wahrschenlchketen berechnen kann. De Berechnung nteresserender Wahrschenlchketen erfolgt nach Rechenregeln (s. Satz), wobe de Berechnung der Anzahl der möglchen Fälle und der Anzahl der günstgen Fälle für en Eregns häufg auf der Bass der Methoden der Kombnatork (Varaton, Kombnaton mt oder ohne Wederholung), erfolgt.

23 Bsp.: Würfeln mt enem dealen Würfel Wr betrachten n 6 möglche, glechwahrschenlche Versuchsausgänge, d.h. E {e,..., e 6 }, e {},,... 6 Augenzahl a) Se A 6 das zufällge Eregns, ene 6 zu würfeln: A 6 { e 6 } { 6 } ges.: P(A 6 ) N(A 6 ) N(e 6 ) P(A ) P(e6 ) n n 6 6 0,6 b) Se A 7 das zufällge Eregns, ene gerade Zahl zu würfeln: A 7 {e, e 4, e 6 } {,4,6} ges.: P(A 7 )

24 Lösung: Varanten - nach klass. Def. der Wahrschenlchket glt: Für A 7 snd e, e 4 oder e 6 günstg N(A 7 ) 3 3 P(A 7 ) 6 0,5 - nach Addtonsregel für unverenbare Eregnsse glt: P(A 7 ) P(A (A 4 A 6 )) P(e (e 4 e 6 )) P(e ) + P(e 4 e 6 ) P(e ) + P(e 4 ) + P(e 6 ) da e, e 4 und e 6 paarwese unverenbar ,5

25 Bsp.: In enem Berkasten befnden sch 5 Flaschen Ber, von desen snd ncht qualtätsgerecht. Der zufällge Versuche bestehe n der Entnahme ener Flasche, wobe jede Flasche de gleche Chance habe, entnommen zu werden. Frage: We groß st de Wahrschenlchket, dass ene zufällg entnommene Flasche qualtätsgerecht st (Eregns A)? Lösung: Anzahl der möglchen Versuchsausgänge n 5 Anzahl der für A günstgen Versuchsausgänge N(A) 5 3 N(A) 3 Damt ergbt sch: P (A) 0, 9 n 5

26 Bsp. : Würfeln mt unterschedbaren Würfeln E {(e,e j ),,j,..., 6} {(, j),,j,..., 6} W K k Anzahl der Elementareregnsse: n 36 ( V m, m 6, k ) (Varaton, d.h. mt Berückschtgung der Anordnung, mt Wederholung) C: De Summe der Augenzahlen aus beden Würfeln ( + j) bzw. (j + ) se 0 oder. D: De Summe der Augenzahlen aus beden Würfeln se mndestens 0 (0, oder ). ges.: P(C) und P(D) Es glt: P(C) P(D), da C D C {(4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5)} N(C) 5 5 P (C ) 0,39 36 m D {(4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6)} N(D) 6 6 P (D) ,6

27 . Statstsche Defnton der Wahrschenlchket: Wr betrachten das Bsp.: Würfeln mt Würfel Se A das zuf. Eregns, das m Ergebns des zuf. Versuches ene 6 gewürfelt wrd. Der Versuch wrd n- mal wederholt (n 50, 00,...). Dabe trat das Eregns A N(A)- mal (z.b. N(A) 7, 8,...) auf, d.h. N(A) st de absolute Häufgket des Auftretens von A. Dann nennt man den Quotenten aus der absoluten Häufgket und der Gesamtzahl der Versuche relatve Häufgket h n (A) N(A) n h n (A) kann de Zahlen. 0 n 0,,,..., n n n n annehmen.

28 Satz: De relatve Häufgket enes zufällgen Eregnsses A bestzt folgende Egenschaften: ) 0 h n (A) ) h n ( ) 0 (aber: aus h n (A) 0 A ) 3) h n (E) (aber: aus h n (A) A E) 4) h n (A B) h n (A) + h n (B) für A und B unverenbar 5) h n (A B) h n (A) + h n (B) - h n (A B) für bel. A und B n N(A) 6) hn(a) hn(a) n 7) A B h n (A) h n (B)

29 Bem.: Welchen Wert de abs. bzw. rel. Häufgket be ener konkreten Versuchssere annehmen wrd, kann ncht mt Scherhet vorausgesagt werden, se st vom Zufall abhängg, d.h. se wrd sch be Wederholung der Versuchsrehe ändern. Mt zunehmender Anzahl der Versuche zegt sch jedoch ene gewsse Stabltät der rel. Häufgket, d.h. de rel. Häufgketen schwanken um enen gewssen Wert, den wr ncht genau kennen und stat. Wahrschenlchket des Eregnsses A nennen und mt P(A) bezechnen. Das Stablserungsverhalten der rel. Häufgket wrd durch Grenzwertsätze formulert. Def.: De rel. Häufgket h n (A) kann also als Schätzwert der Wahrschenlchket P(A) aufgefasst werden, der um so besser st, je häufger der Versuch wederholt wrd, d.h. h n (A) P(A) für n

30 Bsp.: Münzwurf Anzahl der Würfe n Anzahl des Auftretens des "Wappen" N(A) relatve Häufgket h n N(A)/n Buffon Pearson Pearson Stabltät der relatven Häufgket h n (A) P(A) 0 n

31 De bedngte Wahrschenlchket und de Unabhänggket von Eregnssen: Se A E. De Zahl P(A) gbt de Wahrschenlchket des Eregnsses A m Rahmen der Bedngungen an, de den betrachteten zufällgen Versuch kennzechnen. Nehmen wr gedanklch zu desen Bedngungen noch de Bedngung Das zufällge Eregns B E st berets engetreten hnzu, so wrd de Wahrschenlchket des Entretens von A nun durch ene.a. von P(A) verschedene Zahl beschreben. Bsp.: Würfeln mt unterschedbaren Würfeln E {(,j) /, j,..., 6} C: Summe der Augenzahlen 0 oder C {(5,5), (4,6), (6,4), (5,6)} P(C) 36 5 B :. Würfel zegt ene 3 B :. Würfel zegt ene 5

32 ges.: P(C/B ) und P(C/B ) Lösung: B {(5,), (5,), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)} Dann st P(C/B ) 0 P(C/B ) 6 0,3 Es glt: (C B ) {(5,5), (5,6)} Erweterung von Zähler und Nenner mt /36: P(C/B ) P(C P(B B ) ) 3 0,3 Bedngte Wahrschenlchketen können auf unbedngte Wahrschenlchketen zurückgeführt werden.

33 Def.: Seen A, B E mt P(B) > 0, dann heßt de Wahrschenlchket des Eregnsses A unter der Bedngung, dass das Eregns B schon engetreten st, bedngte Wahrschenlchket des Eregnsses A unter der Bedngung B und wrd nach der Formel P(A / B) P(A B) P(B) berechnet. Satz: Seen A, B E und P(B) > 0, dann glt: P(A B) P(A/B) P(B) (Multplkatonsregel für bedngte Eregnsse)

34 Satz: Seen A,..., A n E mt P(A A... A n- ) > 0. Dann glt: n I P( A ) P(A) P(A / A)... P(A n / A... An ) (Verallg. der Multplkatonsregel für bed. Eregnsse) Def.: Zwe zuf. Eregnsse A und B E heßen (stochastsch) unabhängg, wenn der Entrtt des Eregnsses B ohne Enfluss auf de Wahrschenlchket des zuf. Eregnsses A st, d.h. wenn P(A/B) P(A) glt. Satz: Für unabhängge zuf. Eregnsse A und B E glt: P(A B) P(A) P(B) (Multplkatonsregel für unabh. Eregnsse)

35 Satz: Für unabhängge zuf. Eregnsse A,..., A n E glt: n P I A P(A )... P(A n ) n P(A ) (Verallg. der Multplkatonsregel für unabh. Eregnsse) Satz: Für unabhängge Eregnsse A,..., A n E glt: n P( U n A ) ( P(A )) (Verallg. der Addtonsregel für unabh. Eregnsse)

36 Totale Wahrschenlchket und Bayes sche Formel: Satz: Totale Wahrschenlchket: Seen A,, A n paarwese dsjunkte Eregnsse mt n U A P(B) n U A E n E P(B /, so glt für en belebges Eregns B: A )P(A ) Satz: Bayes sche Formel: Seen A,, A n paarwese dsjunkte Eregnsse mt, wobe für mndestens en (,,n) P(A ) >0 und P(B/A ) >0 erfüllt st, dann glt: P(A j /B) n P(B / A j ) P(A P(B / A ) P(A ) j ), j,,n.

37 Bem.: De Wahrschenlchket P(A ) wrd auch als a-pror Wahrschenlchket bezechnet, da P(A ) das Entreten von A vor Kenntns des Entretens von B bewertet. De Wahrschenlchket P(A /B) nennt man auch a-posteror Wahrschenlchket, da das Entreten von A unter der Bedngung, dass das Eregns B schon engetreten st, also nach Kenntns über das Entreten von B beurtelt wrd.

38 Bsp.: Medznsche Dagnostk (Erkennen von Krankheten) Dagnostsche medznsche Tests werden so entwckelt, dass se ene hohe Senstvtät und Spezftät aufwesen. De Senstvtät st de Wahrschenlchket dafür, dass en Kranker als krank engestuft wrd, während de Spezftät der Wahrschenlchket entsprcht, enen Nchtkranken auch als ncht krank zu erkennen. Seen de Eregnsse A: Patent st krank B: Testergebns st postv Aus der Erprobungsphase des Tests können folgende Wahrschenlchketen als bekannt betrachtet werden: P(B/A) P( Testergebns st postv be Kranken ) 0,97 P (B/ A) P( Testergebns st postv be Nchtkranken ) 0,0

39 P(A) 0,00 (d.h. sehr seltene Krankhet!) ges.: Wahrschenlchket P(A/B), dass der Patent auch wrklch krank st, wenn en postves Testergebns vorlegt! Lösung: (Bayes sche Formel) P(A /B) P(B / P(B / A) P(A) A) P(A) + P(B / A) P(A) 0, ,089 Interpretaton: Nur be 8,9 % der Patenten mt enem postven Testergebns kann davon ausgegangen werden, dass de Krankhet auch wrklch vorlegt, be den übrgen 9 % handelt es sch demnach um Fehldagnosen.

40 ja (A) Krankhet nen(a) Summe Postv (B) 0,0094 0,0996 0,09 Test Negatv 0, , ,978 Summe (B) 0,00 0,998 Wegen P(A) 0,00 st n ener Populaton von z.b Personen be 00 Personen mt der Krankhet zu rechnen, be ncht. P(B/A) 0,97 bedeutet, dass von den 00 Kranken 94 mt dem medz. Test rchtg dagnostzert werden. P(B/ (A)) 0,0 bedeutet, dass von den ncht kranken Personen fälschlcherwese 996 als krank engestuft werden Be Personen zegt also der Test en pos. Ergebns an, das st en Antel von 94/ 90 0, ,9 %

41 .. Zufallsgrößen (ZG) Bsher haben wr uns mt zuf. Eregnssen und hren Gesetzmäßgketen beschäftgt. Wr haben zuf. Eregnsse we Mengen behandelt und jedem belebgen zuf. Eregns A E als Grad für de Gewsshet des Entretens von A de Wahrschenlchket P(A) zugeordnet. Enge der betrachteten Bespele zegten, dass man zuf. Eregnsse durch reelle Zahlen ausdrücken kann: E.e 0 x (e ) R

42 Bem.: De Abbldung heßt Zufallsgröße (ZG), wel hre Werte über de zuf. Eregnsse vom Zufall abhängen. e E x (e ) x Bespele Elementareregnsse Werte der ZG. Würfeln mt enem Würfel (Augenzahl). Würfeln mt versch. Würfeln (Augensumme) 3. Herstellung von 5 Erzeugnssen e Würfeln ener e 6 Würfeln ener 6 (,) (,), (,) (,6), (,5), (3,4), (4,3), (5,), (6,) (6,6) e 0 genau 0 Erzeug. Ausschuss e genau Erzeug. Ausschuss e 5 genau 5 Erzeug. Ausschuss gewürfelte Augenzahl gewürfelte Augensumme Anzahl der Ausschusserzeug.

43 Wetere Bespele für Zufallsgrößen snd: Länge von Baumwollfasern ener bestmmten Sorte (schwankt ncht nur für verschedene Anbaugebete sehr stark, sondern auch für ene Samenkapsel) Masse von Wezenkörnern (ändert sch von Korn zu Korn, da es unmöglch st, den Enfluss aller Faktoren we Bodenqualtät, Wasserhaushalt, Lchtenflüsse usw. zu berückschtgen) Anzahl der Stllstände ener Flaschenabfüllanlage Anzahl ncht qualtätsgerechter Joghurtbecher Stckstoffmon- und -doxdgehalt, Kohlenmonoxd- und Ozongehalt, sowe Schwebestaubgehalt n der Luft Natrum,- Kalum-, Esen- und Cadmumgehalt von Wenen

44 Def.: Es se E de Menge der Elementareregnsse (Versuchsausgänge enes zufällgen Versuches) und E en Eregnsfeld von E. Ene auf E defnerte Funkton, de jedem Elementareregns e E ene reelle Zahl x zuordnet, heßt Zufallsgröße, wenn de folgende Egenschaft glt: Das Urbld A jedes belebgen Zahlenntervalls (-, x], x bel., st en zuf. Eregns, d.h. A{e/(e) (-, x]} E. Bez.: Zufallsgrößen bezechnet man mt:, Y, Z bzw., Y, Z. Bem.: Ist be enem konkreten Versuch en bestmmtes zuf. Eregns engetreten, so st (e) en fester Wert (reelle Z.) und heßt Realserung von. Bez.: Realserungen von Zufallsgrößen werden mt klenen Buchstaben bezechnet, z.b. x,y,z bzw. x, y, z

45 Bem.: Wr können A E noch anders schreben: A{e/(e) (-, x]} {e/(e) x} { x} ( x) Bez. Analog bedeuten:. { a} {e/(e) a} oder {a < b} {e/a < (e) b} { b} \ { a} a b Wenn A E P(A) exstert, so st dese Wahrschenlchket P(A) darstellbar als P(A) P({ x}) P( x) Zufallsgrößen snd also Größen, de hre Werte mt ener bestmmten Wahrschenlchket annehmen.

46 Bsp.: Münzwurf e : Wappen P(e ) 0,5 e : Zahl P(e ) 0,5 P(e ) P(0) 0,5 P(e ) P() 0,5 Bsp. : Würfeln mt Würfel A: Würfeln ener Augenzahl 3 A {e, e, e 3 } 3 P (A) 0,5 6 P (A) P( 3) 0,5 P ( 3) P( ) + P( ) + P( 3) ,5

47 Def.: Se ene Zufallsgröße mt : E und P: E [0,] Dann heßt de durch F (x) P( x) defnerte Funkton F Vertelungsfunkton der ZG. Bem.: Der Wert der Vertelungsfunkton F (x) an der Stelle x st also glech der Wahrschenlchket, dass de ZG Zufallsgröße enen Wert klener oder glech x annmmt. Mttels der Vertelungsfunkton ener Zufallsgröße kann man de Wahrschenlchketen aller mt deser Zufallsgröße n Zusammenhang stehenden zuf. Eregnsse ausdrücken, z.b. P( > x) - F (x) P(a < b) F (b) F (a), wel (-, a] (-, b] für a b

48 Satz : Egenschaften der Vertelungsfunkton:. 0 F (x) x. F st monoton wachsende Funkton, d.h. x < x F (x ) < F (x ) 3. F st rechtssetg stetg, d.h. lm x x 0 F (x) F (x 0 ) 4. Grenzwerte: bzw. lm F (x + h) h 0 h> F (x) lm F ( x ) x lm F ( x ) x + 0 ( P( )), ˆ ( P(E)) ˆ

49 Dskrete Zufallsgrößen: Def. : Ene Zufallsgröße heßt dskret, wenn se endlch oder abzählbar unendlch vele Werte annehmen kann. Bespele: Anzahl ncht qualtätsgerechter Joghurtbecher Anzahl der Stllstände ener Flaschenabfüllanlage Anzahl der monatlchen Krankentage der Belegschaft enes Betrebes Bem.: Man beschrebt ene dskrete ZG durch de Werte x, de se annehmen kann und de sogenannten Enzelwahrschenlchketen p P( x ), mt denen se dese Werte annmmt.

50 Bem.: Man gbt de x und p, d.h. de Paare (x, p ) oft n Form ener Vertelungstabelle, de de ZG vollständg beschrebt, an. Bsp. : Würfeln mt unterschedbaren Würfeln (: Augensumme +j ): x p P( x ) Grafsche Darstellung der Enzelwahrschenlchketen: p / x

51 Def. : Se ene dskrete ZG. Dann bezechnet man P( x) als Wahrschenlchketsvertelung der ZG. Satz: Egenschaften der Enzelwahrschenlchketen ener dskreten ZG :. 0 p. p Def. : De Vertelungsfunkton ener dskreten ZG bestmmt man nach der Formel: F (x) P( x) x x P( x ) x x p

52 Bsp. : Würfeln mt Würfel (Glechvertelung) Vertelungstabelle mt Vertelungsfunkton: x < > 6 p P( x ) 0 /6 /6 /6 /6 /6 /6 0 F (x ) 0 /6 /6 3/6 4/6 5/6 F (x) p / F x ( x ) P( x ) P( x k ) k x k x

53 Bem.: Für ene dskrete ZG glt:. P( x) F (x) p mtx x P( > x) F (x). mt x x P(a < b) F p (b) F (a) p 3. mt a < x b P(a < b) st de Wahrschenlchket dafür, dass ene Realserung von n das Intervall (a, b] fällt!

54 Stetge Zufallsgrößen: Stetge Zufallsgrößen können überabzählbar unendlch vele Werte (d.h. Werte aus enem reellen Zahlenntervall) annehmen. Bespele: Eweß- und Fettgehalt von Mlch Stammwürzegehalt von Ber Saccharosegehalt von Zuckerrüben Masse von Broten

55 Bem.: De Wahrschenlchket, dass ene solche stetge ZG enen bestmmten festen Wert annmmt, z.b. dass Mlch genau enen Fettgehalt von,3 [%] aufwest, st 0, denn es st unwahrschenlch ( fast unmöglch ), dass gerade deser und ken dcht daneben legender Wert angenommen wrd. Wahrschenlchketsfunkton st her ncht von Interesse aber: Es st von Interesse, mt welcher Wahrschenlchket ene stetge ZG Werte n enem gewssen Intervall (a, b] annmmt. Dese Wahrschenlchket st m Allg. von 0 verscheden und man kann se berechnen!

56 Def. : Ene ZG heßt stetg, wenn es auf der Menge der reellen Zahlen ene nchtnegatve, ntegrerbare Funkton f gbt, so dass sch de Vertelungsfunkton F (x) P( x) x n der Form F + ( x ) x f ( x )dx f ( t )dt darstellen lässt. De Funkton f, von der wr fordern, dass st, heßt Dchtefunkton (oder Vertelungsdchte) von. De Vertelungsfunkton st ene Stammfunkton der Dchte!

57 Dchtefunkton der Normalvertelung Bem.: Ausgehend von der geometrschen Deutung des Integralbegrffes erhalten wr F (x 0 ) als Flächennhalt der Fläche zwschen der Kurve f (x) und der Abzssenachse n den Grenzen und x 0. Dchte 0,4 0, 0,3 0, 0, x x Vertelungsfunkton der Normalvertelung Vertelungsfunkton 0, 0,8 0,6 0,4 0, x x

58 Satz : Egenschaften der Dchtefunkton Es se ene stetge ZG mt der Dchtefunkton f.. f (x) F f (x)dx (x) x f (t)dt 4. F st ene stetge Funkton, de an allen Stetgketsstellen von f dfferenzerbar st, wobe F (x) f (x) glt.

59 Bem.: Für ene stetge ZG glt:.. 3. P( P( > P(a < x) F x) F (x) (x) b) F x f(t) dt (b) F x f(t) dt b (a) f(x) dx (nach dem Hauptsatz der Dfferental- und Integralrechnung!) a x mt a < x b P(a < b) st de Wahrschenlchket dafür, dass ene Realserung von n das Intervall (a, b] fällt!

60 Bsp. 3: se ene stetge Zufallsgröße mt der Dchtefunkton f (x) 0,, x [0, 0] (glechmäßg stet. Vert.) 0, x [0, 0] ges.: Vertelungsfunkton F (x) F (x) x zu beachten: f st ncht geschlossen analytsch angebbar, sondern n 3 Intervallen: (-, 0), [0, 0], (0, + ) Lösung: x 0 dt 0 x 0 f (t)dt F (x) 0 dt + 0,dt 0,x, x [0, 0] dt + 0,dt + 0dt 0 x 0, x (-, 0), x (0, )

61 Vertelungstabelle: x < >0 f (x ) 0 0, 0, 0, 0, 0 F (x ) 0 0, 0, 0,5 f (x) F (x) 0,5 0, x 0, x Dchtefunkton 5 0 Vertelungsfunkton

62 F P(a p ( x ) < Dskrete ZG endlch oder abzählbar unendlch vele Werte Enzelwahrschenlchketen p : p P( x ),, 0 p Vertelungsfunkton: F (x) P( x) x x x p F rechtssetg stetge Treppenfunkton, monoton wachsend b) a< x b p + F f (x)dx (x) P(a < x f Stetge ZG überabzählbar unendlch vele Werte Dchtefunkton f : f (x) 0 Vertelungsfunkton: F (x) P( x) x (t) dt F stetg, monoton wachsend b) b a f (x) dx

63 Kenngrößen (Parameter) von Vertelungen:. Erwartungswert: Def.: Als Erwartungswert E ener ZG bezechnen wr das Zentrum hrer Vertelung: E + x f (x)dx x p, dskr. ZG, stet. ZG E Bem.: Der Erwartungswert ener dskr. ZG st das gewogene Mttel aller Werte x von, wobe de Enzelwahrschenlchketen p de Gewchte darstellen. Bsp. : Würfeln mt Würfel (Glechvert.) E 3,5 Bsp. 3: auf [0,0] glechmäßg stet. vertelt E 5

64 Satz: Egenschaften des Erwartungswertes Für de Erwartungswerte von dskreten oder stetgen Zufallsgrößen,, und Konstante a,b gelten folgende Aussagen:. Ea a. E [E] E 3. E [ + + n ] E + + E n (Addtonsregel) 4. E [a] a E (Lneartätsregel) 5. E [a + b] a E + b (ln. Transformaton) 6.,, n unabhängg E [ n ] E E n (Multplkatonsregel) 7. 0 E 0 und Y E EY

65 . Varanz: Def.: Als Varanz bezechnen wr de mttlere (erwartete) quadratsche Abwechung ener ZG von hrem Erwartungswert: D E [ - E] D + ( x E) p, dskr. ZG ( x E) f(x)dx heßt Standardabwechung. D, stet. ZG Bsp. : Würfeln mt Würfel (Glechvert.) D,9 Bsp. 3: auf [0,0] glechmäßg stet. vertelt D 8,3

66 Satz: Egenschaften der Varanz: (Fehlerfortpflanzung) Für de Varanz von dskreten oder stetgen Zufallsgrößen,,, Y, Z und Konstanten a,b glt:. D 0, D 0 P( E). D E [E] (Verschebungsregel) 3. D [a + b] a D (ln. Transformaton) 4., unabhängg D [ + ] D [ - ] D + D (Summe, Dfferenz) und für Y und Z / (Produkt und Quotent) D Y EY D E + D E D Z EZ (Quadr. Varatonskoeffzenten adderen sch!)

67 Bsp. : Würfeln mt unterschedbaren Würfeln, : Augensumme, + D D [ + ] D + D 5,83 Normerung und Standardserung: Def.: Ene ZG heßt normert, wenn D glt. Def.: Ene ZG heßt standardsert, wenn D und E 0 glt. Satz: Für ene belebge ZG glt:.. Y Y D D E st ene normerte ZG und st ene standardserte ZG.

68 .3. Spezelle Vertelungen von Zufallsgrößen Wahrschenlchketsvertelungen Dskrete Vertelungen --Pkt.-Vertelung (Münzwurf) - Glechvertelung (Bsp. : Würfeln mt Würfel) - Bnomalvertelung (Qualtätskontrolle) - Hypergeometrsche Vert. - Possonvertelung Stetge Vertelungen - Glechmäßg stet. Vertelung (Bsp. 3: stet. ZG auf [0,0]) - Normalvertelung und log. NV - Exponentalvertelung (Wachstumsprozesse) - Webullvertelung (Abnutzungsprozesse) - Prüfvert. (t-, χ -, F- Vert.)

69 . Bnomalvertelung (BV, Anwendung be Qualtätskontrolle) Bespele: - Zuf. Anzahl der n enem bestmmten Zetabschntt ausfallenden Maschnen von nsgesamt n Maschnen glecher Bauart, wenn de Wahrschenlchket, dass ene Maschne ausfällt, p st. - Zuf. Anzahl ncht qualtätsgerecht produzerter Joghurtbecher von nsgesamt n Joghurtbechern, wenn de Wahrschenlchket, enen Ausschußbecher zu produzeren, p st. - Allgemen: : Anzahl der beobachteten (gezogenen) Objekte aus ener Menge von n Objekten mt der Egenschaft A

70 Bernoullsches Versuchsschema (Urnenmodell mt Zurücklegen): - Urne enthält weße und schwarze Kugeln, de Wahrschenlchket, ene weße Kugel zu zehen (Eregns A), se P(A) p. - n- malge Entnahme ener Kugel und Feststellen, ob Kugel weß (A) oder schwarz (A) war, jewels Zurücklegen der Kugel. (Durch Zurücklegen wrd Unabhänggket der Enzelzehungen errecht, de Wahrschenlchket, ene weße Kugel zu zehen, blebt glech!) - Von Interesse: Wahrschenlchket, be n Entnahmen k weße Kugeln zu zehen. - Be Qualtätskontrolle: A : Entnahme enes guten Tels A : Entnahme enes Ausschußtels

71 Def.: Ene dskrete ZG heßt bnomalvertelt mt den Parametern n und p ( ~ B(n,p)), wenn se de Wahrschenlchketsfunkton P( n p k k n k,k 0,,n bestzt. k) ( p) Bem.: - De Bnomalvertelung wrd durch de Parameter n und p endeutg bestmmt. -E n p -D n p (-p) n p q -P( k) P(0)+ +P(k) k 0 n p ( p) n -P( k) P(k)+ +P(n) P( ) - P(0) n k n p ( p) n

72 Bsp.: 0 Äpfel ener Parte werden untersucht. Es st bekannt, dass 0% der Äpfel angeschlagen snd. a) We groß st de Wahrschenlchket, 3 angeschlagene Äpfel n der Stchprobe zu fnden? b) We groß st de Wahrschenlchket, höchstens enen angeschlagenen Apfel n der Stchprobe zu fnden? Lösung: geg.: n 0, P(A) p 0, a) P( 3) , ( 0,) 3 0,057 b) P( ) P( 0) + P( ) 0, , 0 0, , 0,9 9 0, ,9 9

73 . Hypergeometrsche Vertelung (Anwendung be Qualtätskontrolle) Versuchsschema: Urnenmodell ohne Zurücklegen - Urne enthält N weße und M schwarze Kugeln - n- malge Entnahme ener Kugel und Feststellen, ob Kugel weß (A) oder schwarz (A) war, ohne Zurücklegen der Kugel. - allgemen: Aus ener endlchen Grundgesamthet von N Objekten, von denen M de Egenschaft A und N - M de Egenschaft A bestzen, wrd n- mal zufällg en Objekt ohne Zurücklegen gezogen. Wr betrachten weder de ZG : Anzahl der beobachteten (gezogenen) Objekte aus ener Menge von n Objekten mt der Egenschaft A

74 Def.: Ene dskrete ZG heßt hypergeometrsch vertelt mt den Parametern N,M und n ( ~ H(N,M,n)), wenn se de Wahrschenlchketsfunkton n N k n M N k M k) ( P,k 0,,n bestzt. Bem.: - De Hypergeometrsche Vertelung wrd durch de Parameter N,M und n endeutg bestmmt. - - N M n E N n N N M N M n D

75 3. Posson Vertelung (PV) (Vertelung der seltenen Eregnsse) Versuchsschema: Es werden Eregnsse gezählt, de nnerhalb enes festen, vorgegebenen Zetntervalls entreten können. Von Interesse: De ZG : Anzahl der (seltenen) Eregnsse, de nnerhalb des Intervalls [0,] entreten Bsp.: Radoaktver Zerfall (Zählung von α- Telchen) Anzahl von Krankhetsfällen ener seltenen Krankhet n enem Monat Vertelung von Unkrautsamen unter Getrede Chromosomenaustausch n Zellen Vertelung von Druckfehlern pro Sete n Büchern

76 Vorauss.:. Eregnsse können ncht glechzetg auftreten.. De Wahrsch., dass en Eregns während enes klenen Zetntervalls der Länge t stattfndet, st annähernd λ t 3. De Anzahlen von Eregnssen n dsjunkten Telntervallen snd unabhängg. Def.: Ene dskrete ZG heßt Posson- vertet mt dem Parameter λ ( ~ Π(λ)), wenn se de Wahrschenlchketsfunkton P( k λ k ) e k! λ,k 0,,n bestzt. Bem.: - der Parameter λ > 0 heßt Intenstätsparameter. -E λ -D λ

77 4. Normalvertelung (NV) (Gauss, 809: Theore der Beobachtungsfehler ) Hntergrund: Führt man n der Praxs wederholt Messungen an en und demselben Objekt (Fettgehalt n Mlchprobe) durch, so ergbt auf Grund zufällger Enflüsse ncht jede Messung den glechen Wert. Es zegt sch aber, dass be häufger Wederholung der Messung de erhaltenen Werte klenere oder größere Abwechungen vonenander und von enem bestmmtem wahren Wert, dem Erwartungswert, aufwesen. Bespele: zuf. Mess- und Beobachtungsfehler Fett- und Eweßgehalt von Mlch, Stammwürzegehalt von Ber, Saccharosegehalt von Zuckerrüben Füllhöhe bestmmter Getränkeflaschen

78 Def.: Ene stetge ZG heßt normalvertelt mt den Parametern µ und σ ( ~ N (µ, σ )), wenn hre Dchtefunkton de Form ( ) x µ σ f (x) e x, hat. π Satz: Egenschaften der Dchtefunkton der NV σ. f (x) 0 x. f bestzt an der Stelle x µ en Maxmum und f ( µ ) π σ 3. f bestzt an den Stellen x µ -σ und x µ + σ zwe Wendepunkte 4. f st symmetrsch bez. µ: f (µ -x) f (µ + x)

79 Dchtefunkton der Normalvertelung Dchte 0,8 0,6 0,4 0, 0, 4, 4, 4,0,5 0, f (x; 0, ) ϕ (x) x Vertelungsfunkton der Normalvertelung Standard- Normalvertelung ~ N (0, ) Vertelungsfunkton 0,8 0,6 0,4 0, x 0, 4, 4, 4,0,5 0, F (x; 0, ) Φ (x) st tabellert!

80 Bem.: - Für ene normalvertelte ZG glt: E µ und D σ -Der Parameter µ bedeutet : Verschebung des Symmetrezentrums Der Parameter σ bedeutet: Streckung oder Stauchung der Dchte -De Vertelungsfunkton: F (x) P( x) aber: Integral ncht geschlossen ntegrerbar! () t Standardserung der normalvertelten ZG und Bestmmen der standardserten Vertelungsfunkton Φ (st tabellert!)! x f dt

81 Satz: Ene stet. ZG mt ~ N(µ, σ ), kann durch Y (-µ)/ σ standardsert werden, so dass Y ~ N(0, ), und man erhält: f (x) (/σ) ϕ Y (y) und F (x) Φ Y (y) (Zusammenhang von Dchte- und Vertelungsfunktonen) Dchte Dchtefunkton der Normalvertelung 0,4 0, 0,3 0, 0, x N(0,) Vertelungsfunkton der Normalvertelung Vertelungsfunkton 0, 0,8 0,6 0,4 0, x N(0,) ϕ Y (-y) ϕ Y (y) Φ Y (-y) - Φ Y (y)

82 Bestmmen von Intervallwahrschenlchketen: (y) y) P(Y x P (x) F x) ( P Y Φ σ µ σ µ. (y) y) P(Y x P (x) F x) P( x) P( Y Φ σ µ σ µ >. σ µ σ µ x y x y ) (y ) (y y Y y P ) (x F ) (x F ) x P(x Y Y Φ Φ σ µ < < 3.

83 4. Spezalfall von 3. Seen x µ -kσ und x µ + kσ Dann glt: P( - µ ) kσ) Φ(k) - Φ(-k) Φ(k) Bem.: Betrachtet man k, und 3, so ergeben sch folgende Wahrschenlchketen: P( - µ ) σ) 0,638 P( - µ ) σ) 0,955 P( - µ ) 3σ) 0,997 3σ- Regel d.h. es st praktsch fast scher, dass ene normalvertelte ZG Werte zwschen µ -3σ und µ -3σ annmmt.

84 Bem.: Ist de stet. ZG ncht normalvertelt, kann man dennoch de Wahrschenlchket, dass de ZG Werte zwschen µ und dem k-fachen der Standardabwechung σ annmmt mt Hlfe der Tschebyscheff schen Unglechung abschätzen: P( - µ < kσ) > - (/k ) Dann glt für k 3 und 4: P( - µ ) < 3σ) > 0,89 P( - µ ) < 4σ) > 0,94

85 Bsp.: Ene Maschne füllt Tüten. De Masse der Tüten (ZG ) se normalvertelt mt ~ N(3,4; 0,04) [g]. Ene Tüte st normgerecht gefüllt, wenn Werte m Intervall [30,9; 3,7] annmmt. a) Wevel % der Tüten snd normgerecht gefüllt? b) Wevel % der Tüten snd ncht normgerecht gefüllt? c) Wevel % der Tüten snd unterdosert? d) Wevel % der Tüten snd überdosert? e) We müßte de untere Grenze des Toleranzbereches x u sen, damt nur 0, % der Tüten unterdosert snd? f) Welchen Wert müßte de Standardabwechung σ haben, damt be ursprünglchem Toleranzberech nur % der Tütenunterdosert snd?

86 Lösung: a) P(A) P(30,9 < 3,7) Φ Y (,5) - Φ Y (-,5) 0,9339- (-0,99379) 0,9698 9,7 % b) P( A) - P(A) 7,3 % c) P( 30,9) Φ Y (-,5) (-0,99379) 0,006 0,6 % d) P( > 3,7) - P( 3,7) - Φ Y (,5) 0,0668 6,7 % e) P( x u ) 0,00 x u 3,4 Φ Y 0, 00-0,00 0,998 0, Φ Y (,88) 0,998 f) analog zu e) 30,9 3,4 Φ σ Y x Φ Y (-,88) 0,00 u 3,4, 88 0, 0,00 30,9 σ x u 30,84 3,4,88 σ 0,736

87 5. Prüfvertelungen Prüfvertelungen snd Vertelungen stetger Zufallsgrößen, de nsbesondere n der nduktven Statstk ene Rolle spelen. Für de praktsche Durchführung von Prüfverfahren benötgt man nsbesondere de Quantle deser Prüfvertelungen. Def.: Se ene stetge ZG mt der Vertelungsfunkton F und p (0,) R. Dann heßt ene Zahl x p Quantl der Ordnung p, wenn F x (x P ) P( x P ) p glt. Bem.: En Quantl der Ordnung p ½ heßt Medan

88 5.. χ² - Vertelung (Helmert, 876) Def.: Seen,, m stochastsch unabhängge N(0,)- vertelte ZG- en, so heßt de Vertelung von W m zentrale χ²- Vertelung mt m Frehetsgraden, d.h. W m ~ χ ²( m ) Ch-Quadrat Vertelung Ch-Quadrat Vertelung Dchte 0, 0,08 0,06 FG ,8 0,6 FG ,04 0,4 0, x Vertelungsfunkton 0, x

89 Satz: Egenschaften der χ²-vertelung Se W~ χ²(m). Dann glt: - E W m, D² W m - χ² st unsymmetrsche Vertelung, de nur vom FG m abhängt - Quantl der Ordnung p der χ²-vertelung mt m FG- en wrd mt χ² p;m bezechnet -Für m konvergert de Vertelungsfunkton der χ²-vertelung gegen de Vertelungsfunkton der NV mt N(m,m), d.h. F χ ² (x) Φ x m m

90 Satz: Seen,, n stochastsch unabhängg und dentsch normalvertelte ZG-en mt ~ N(µ,σ²) und S² ( )² de emprsche Varanz (das n unbekannte µ wrd durch geschätzt!) Dann st de ZG W (n )S² σ² ~ χ²(m) m n-

91 5.. t-vertelung ( STUDENT, W. Gosset) Def.: Seen ~ N(0,) und W ~ χ²(m) stoch. unabhängg. Dann heßt de ZG t m ~ t(m ) W t- vertelt mt m FG- en. t- Vertelung t- Vertelung Dchte 0,4 FG 0 FG 0 0,3 0 0, ,6 50 0, ,4 0, x Vertelungsfunkton 0, x

92 Satz: Egenschaften der t- Vertelung - E t 0 (m ) - m D²t (m ) m - t- Vert. st symmetrsch und abhängg vom FG m - Das Quantl der Ordnung p der t- Vert. mt m FG- en wrd mt t p;m bezechnet. -Für m konvergert de Vertelungsfunkton der t- Vertelung mt m FG- en gegen de Vertelungsfunkton der Standardnormalvertelung N(0,).

93 Satz: Seen,, n ~ N(µ,σ²) dentsch normalvertelt und stoch. unabh. ZG- en, so snd auch de ZG- en n n und S² ( )² stoch. unabh. n n und es glt: t S² µ n S µ n ~ t(m) m n-

94 5.3. F-Vertelung (FISHER) Def.: Seen W ~ χ²(m ) und W ~ χ²(m ), dann heßt de Vertelung von W m F ~ F(m,m ) W m F-Vertelung mt m und m FG- en. F- Vertelung F- Vertelung Dchte,4,6, 0,8 0, x FG 0,0 0,0 30,30 50,50 00,00 Vertelungsfunkton 0,8 0,6 0,4 0, x FG 0,0 0,0 30,30 50,50 00,00

95 Satz: Egenschaften der F-Vertelung m - EF m 3 m - F-Vertelung st unsymmetrsch und von den FG- en m und m abhängg. - Das Quantl der Ordnung p der F-Vertelung mt m und m FG- en wrd mt F p;m ;m bezechnet. -Für m konvergert de Vertelungsfunkton von m F gegen de Vertelungsfunkton der χ²(m )- Vert. - Es glt: F α ;m ;m F α ;m ;m und t F + α α;m ;m ;m

96 Satz: Seen ~ N(µ,σ²) (,,n ) und Y ~ N(µ,σ²) (,,n ) Dann snd de ZG- en (n )S ~ χ²(m ) σ² (n )S ~ χ²(m ) σ² W W S F ~ F(m,m ) S und und es glt: m n m n -

97 Vertelungen von Funktonen von Zufallsgrößen.) ~ N(µ,σ²),da.) ~ N(µ,σ²) Standardserung: 3.) ~ N(µ,σ²) und und stoch. unabhängg m n - σ µ n ², ~ N n µ µ n n E n n E E n ² ² n n² D² n² n D² ² D σ σ σ µ n ², ~ N n ~ N(0,) n µ Z σ σ µ n ², ~ N n )² ( n S² ²(m) ~ ² )S² (n W χ σ

98 4.) ~ N(µ,σ²); σ² ~ N µ, ; Z n ~ N(0, ) n σ (n )S² W ~ χ²(m) σ² ; Z und W stoch. unabh. Z µ t W S n ~ t(m) m n - m 5.) ~ N(µ,σ²); Y ~ N(µ,σ²) µ (n )S ~ χ²(m ) σ² W (n )S ~ χ²(m σ² W ) S F ~ F(m,m m n S m n - )

99 .4. Grenzwertsätze.) Gesetz der großen Zahlen P ( µ ε) n n ε > 0 d.h. n konvergert n Wahrschenlchket (stochastsch) gegen µ..) Theorem von Bernoull: De relatve Häufgket, mt der en Eregns A be n unabhänggen Versuchen entrtt, konvergert n Wahrschenlchket (stochastsch) gegen P(A).

100 3.) Hauptsatz der math. Statstk: Zufallsexperment wrd durch de ZG mt der Vertelungsfunkton F (x) beschreben. Dann glt für de emprsche Vertelungsfunkton F n (x): (,, n unabhängg und dent. we vertelt!) P ( F (x) F (x) ε) n n ε > 0 Satz von Glvenko-Cantell: P ( supf (x) F (x) ε) n n ε > 0 max. Abwechung zwschen F n (x) und F x (x)

101 4.) zentraler Grenzwertsatz: Seen,, n unabhängg und dent. vertelte ZG- en mt E µ und D² σ² > 0 Dann konvergert de Vertelungsfunkton F n (z) P(Z n z) der standardserten Summe Z n n n σ n µ n σ µ für n an jeder Stelle x R gegen de Vertelungfunkton Φ(z) der Standardnormalvertelung: n F n (z) Φ Z (z) (Regel: n > 30!)

102 Bem.:. Ene ZG st dann n guter Näherung normalvertelt, wenn se durch das addtve Zusammenwrken von velen klenen zufällge Effekten entsteht.. Be den mesten ZG- en tendert de Vertelung hrer Mttelwerte zu ener Normalvertelung, unabhängg davon, welche Vertelungsform de ZG- en selbst haben, d.h. se zegen ene zentrale Tendenz, de umso deutlcher wrd, je größer der Stchprobenumfang st. 3. Bestzen de ZG- en selbst ene NV, so st de Vertelung der Mttelwerte stets (be jedem Stchprobenumfang) ene NV!