Nullstellen Suchen und Optimierung

Transkript

1 Nullstellen Suchen und Optmerung Typsche Probleme: De optmale Bahnkurve De Mnmerung des Erwartungswertes ür den Hamltonan Wr möchten ene Funkton mnmeren oder mameren solch en Problem wrd Optmerung genannt! En verwandtes Problem st de Suche nach Nullstellen Das Problem, de Werte von Varablen zu nden, ür de ene Funkton Null wrd

2 Nullstellen suchen Wr suchen de Wurzeln ener Glechung 0 Das kann aber auch als de lokale Optmerung senes Integrals, g, angesehen werden dg d Wenn analytsch bekannt st, st de enachste Methode, de Nullstellen von zu nden, de Newton-Raphson Methode De teratve Methode basert au dem Abbrechen der Taylor-Rehenentwcklung von nach der ersten Ordnung Se de unbekannte eakte Nullstelle * und, ene Schätzung ür *

3 Wr deneren Δ -* und bemerken, dass * 0 wel es Nullstelle st. Wr können schreben * ' Δ + O [ Δ ] 0 Das leert ene Schätzung ür + + ' grasch entsprcht de Iteraton von bs + der Zechnung ener Tangente an an der Stelle

4 + obwohl dese Näherung aus der lnearen Ordnung n ener Taylor-Entwcklung entsteht, können de Fehler Δ sehr schnell abnehmen

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6 Δ + * + Δ+ Δ * +Δ Δ [ ] '' + O Δ ' +Δ '' + O [ Δ ] '' ' Δ ' + ' +Δ * +Δ ' * +Δ 3 Δ [ ] '' + O Δ [ ] '' + O Δ 3 3 Δ + O [ Δ ] wobe alle Abletungen an der Stelle * ausgewertet werden De Fehler-Terme schrumpen quadratsch mt jeder Iteraton Konvergenz -Ordnung Aber: Wenn der Startpunkt von der Nullstelle wet enternt st oder ' klen st, wrd Konvergenz langsam oder ne errecht

7 wenn analytsch ncht bekannt st ene enache Modzerung zur Newtons-Raphson Methode st als das Sekantenverahren bekannt de Abletung wrd numersch geschätzt [ ] ' O + + [ ] ' O +

8 [ ] 0 ' * Δ + Δ O

9 man kann lecht zegen Δ '' * Δ ' * Δ [ ] [ ] [ ] 3 3 Δ, Δ Δ + + O, Δ + ähnlche Probleme we be der Newtons-Raphson Methode Vortel: dese Methode kann lecht ür den mehrdmensonalen Fall erwetert werden Bsektonsverahren Halberungsverahren Wenn de Funkton stetg n enem Interval [, ] st, und entgegengesetztes Vorzechen haben, dann muss es mndestens ene Nullstelle n desem Intervall geben man kann das Intervall wederholend verklenern: am Mttelpunkt des Intervalls auswerten wählen de Sete aus, au der umgekehrtes Vorzechen hat 3 nächste Iteraton

10 Erste Ordnung der Konvergenz

11 drekte Optmerung dg d wr möchten g optmeren, aber dg/d st ncht wrklch verügbar! was werden wr tun? Verallgemenerung des Bsektonsverahrens Halberungsverahrens wr haben dre Punkte,, 3 wobe g < g, g > g 3 Es estert scher en lokales Mamum m Intervall [, 3]

12 Begnne mt ener Stelle 0, de enem Mamum nah st wählen Se ene Anangszunahme Δ werten Se g 0 und g aus, wobe 0 +Δ wenn g 0 g, 0 und vertauschen und das Vorzechen von Δ umkehren Iteratons-Schrtte ängt mt an Inkrementere mt Δ und evaluere g en Halberungsmamerungsalgorthmus prüen Se, ob g größer st als g und auch g de Klammer hat de Brete Δ, dann de Schlee verlassen halberen Se sonst das Inkrement, und kehren Se das Vorzechen um, Δ old so dass neues Δ Inkrement und setzen Se mt der Schlee ort enach durchzuühren und zemlch robust

13 Nachtel: de Methode st ncht optmal g könnte an demselben Punkt mehrmals au der Suche nach ener schmaleren Klammer ausgewertet werden es st möglch, solche mehrachen Auswertungen zu vermeden untertelen Se jedes Intervall ncht glech typsche Bespele: Brent-Methode, Conjugate-Gradent Methode http Seten

14 stochastsche Optmerung es gbt mehrere Methoden: Smulated annealng, genetc algorthms