Definition des linearen Korrelationskoeffizienten
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- Peter Giese
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Transkript
1 Defnton des lnearen Korrelatonskoeffzenten r xy x y y r x xy y 1 x x y y x Der Korrelatonskoeffzent st en Indkator dafür, we gut de Punkte (X,Y) zu ener Geraden passen. Sen Wert legt zwschen -1 und +1. Ist r nahe be ±1, dann befnden sch de Punkte dcht be ener Geraden. Ist r dagegen nahe be 0, dann zegen de Punkte weng oder kene Negung, auf ener Geraden zu legen. T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-1
2 Lnearer Korrelatonskoeffzent: Bespele Challenger, T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-
3 Lnearer Korrelatonskoeffzent: Bespele Challenger, T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-3
4 Lnearer Korrelatonskoeffzent: Bespele Challenger, T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-4
5 Lnearer Korrelatonskoeffzent: Bespele Challenger, T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-5
6 Lnearer Korrelatonskoeffzent: Bespele Challenger, T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-6
7 Lnearer Korrelatonskoeffzent: Bespele Challenger, T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-7
8 Regresson I: Posson sche Regresson T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-8
9 Rückblck Fragestellung Wr führen ene Messung durch und erhalten folgende Werte 75,0 X Y 0,0 5,4 1,17 54,6 1,96 57,7,98 59,5 4,05 6,7 5,1 65,6 5,93 67,0 7,01 69,0 8,4 7,8 Y 70,0 65,0 60,0 55,0 50,0 Testmessung zur lnearen Regresson 0,00,00 4,00 6,00 8,00 X 1.) We können wr objektv beurtelen, nwewet de Daten unsere Annahme erfüllen und wrklch ener bestmmten Funkton (her ener Gerade) folgen?.) Angenommen de Bezehung zwschen x und y st lnear, welche Gerade passt am besten zu den Messwerten? T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-9
10 Wederholung: Vorüberlegungen Wenn de Messwerte (X, Y ) kenerle Unscherhet hätten, dann läge jeder Punkt exakt auf der Geraden Annahmen: De Fehler n X snd wesentlch klener als de Fehler n Y. X st fehlerfre und Y st fehlerbehaftet. De Daten snd beschreben durch den funktonellen Zusammenhang: y a bx. 75,0 70,0 65,0 Testmessung zur lnearen Regresson De Abwechung y jedes Datenpunktes von der bestangepassten Geraden st dann: Y 60,0 55,0 y y y( x) y abx. y 50,0 0,00,00 4,00 6,00 8,00 X T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-10
11 Wederholung: Vorüberlegungen y a bx. Für jedes X gbt es ene Wahrschenlchket P den Messwert Y zu erhalten. Bsher: Normalvertelung der Messwerte P 1 1 exp y y x T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-11
12 T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung exp y y x P De Wahrschenlchket unseren Datensatz be N Messpunkten genau so zu beobachten st dann gegeben durch: (, ) exp 1 1 exp N N N N y y x Pa b P y y x De beste Gerade legt dann vor, wenn de Wahrschenlchket maxmal wrd. Das st der Fall, wenn der Exponent mnmal wrd. 1 1 N N y y x y a bx Wederholung: Vorüberlegungen
13 Lneare Regresson be Normalvertelung Lneare Regresson oder Anpassung ener Geraden nach der Methode der klensten Quadrate N N y yx y abx 1 1 Für mnmal st de Überenstmmung am besten. a b 0; 0; T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-13
14 Lneare Regresson be Normalvertelung Wr suchen weter de besten a und b N N 1 1 ( y ) ( ) 0; abx y abx a a 1 1 N N 1 x ( ) y abx ( y abx ) 0; b b 1 1 En weng geordnet gbt das y 1 x a b xy x x a b ; ; Der Überschtlchket halber lassen wr ab her de Summengrenzen weg. (weter von 1 bs N) T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-14
15 Mt der Determnantenmethode gbt das Lneare Regresson - Bestwerte y 1 x a b xy x x a b y x 1 1 a ; xy y x x xy x 1 y b ; x xy x y xy 1 x x 1 x x x ; ;. T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-15
16 Lneare Regresson - Bestwerte y x 1 1 a ; xy y x x xy x 1 y b ; x xy x y xy 1 x x 1 x x x Falls jeder Datenpunkt den glechen Fehler aufwest, lässt sch deses Glechungssystem verenfachen. Das wrd häufg, aber be wetem ncht mmer möglch sen. T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-16
17 Lneare Regresson - Bestwerte In unserem Bespel habe jeder Datenpunkt den selben durch de Messung bedngten Fehler. Dann ergbt sch: 1 y x 1 a s x y x x y xy x 1 N y 1 b s Nx y xy x x y N x s N x. x x x ; ; Wr benötgen folgende Größen:,,, x x y x y T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-17
18 Lneare Regresson - Fehler Klasssches Fehlerfortpflanzungsproblem: Wr haben ene Größe de sch aus mehreren fehlerbehafteten Enzelgrößen zusammensetzt. In desem Fall snd es unsere Koeffzenten, deren Fehler wr suchen. Wetere Annahme: Unsere enzelnen Messpunkte snd statstsch vonenander unabhängg. Dann können wr ene ganz normale Fehlerrechnung nach Gauß durchführen. Es glt: z dy k z k k De Annahme, dass unsere Messpunkte vonenander statstsch unabhängg snd, muss ebenfalls überprüft werden. Dazu später mehr. ; T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-18
19 Lneare Regresson - Fehler z dy k z k k Wr benötgen zunächst de partellen Abletungen: ; a b 1 y x x x y 1 1 xy x y ; ; 1 x x. a 1 1 x xk x ; yk k k b 1 xk 1 1 x ; yk k k T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-19
20 Lneare Regresson - Fehler z dy k z k k ; a 1 1 x xk x ; yk k k Damt bestmmen wr zunächst den Fehler n a : 1 x x. a N 1 k x xk x x x k x k 1 k k k 1 1 N N N x xk x x x k x k1k k1k k1k 1 x 1 x x x N 1 x 1 x x k 1 k N N k k1k k1k 1 x ; x Bede Summen laufen von ens bs N. T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-0
21 Lneare Regresson - Fehler z dy k z k k ; Analog bestmmen wr den Fehler n b : b 1 xk 1 1 x ; yk k k 1 x x. b N k x 1 k xk 1 x 1 x k 1 k k k N N N x k xk x x k1k k1k k1k N 1 1 N 1 1 xk x k 1 k k 1 k N x x k 1 k 1 1 ; x Bede Summen laufen von ens bs N. T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-1
22 Lneare Regresson - Fehler Wr erhalten also allgemen folgende Fehler, de bede ncht von den y abhängen: a 1 x ; b 1 1 ; 1 x x mt. Falls jeder Datenpunkt den glechen Fehler aufwest, lässt sch des abermals verenfachen. a x ; s b N s ; s mt N x x. T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-
23 Lneare Regresson - Fehler Es kann allgemen gezegt werden, dass de Stchprobenvaranz für ene erwartungstreue Schätzung gegeben st durch: 1 s y y N c Dabe st N de Anzahl der beobachteten Klassen und c Anzahl der aus den Daten berechneten und/oder n der Rechnung verwendeten Parameter c. Mt anderen Worten: m Nenner vor der Summe stehen de Frehetsgrade In unserem konkreten Fall passen wr de Daten an für: y a bx. Und damt: 1 s y abx N T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-3
24 Konkretes Bespel Messung des Abstandsgesetzes be radoaktvem Zerfall an Cs-137 x T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-4
25 Konkretes Bespel Messung des Abstandsgesetzes be radoaktvem Zerfall an Cs-137 Zähleregnsse be fester Messzet n Abhänggket des Abstandes Abstand (m) Zähleregnsse 0,0 44 0,5 18 0, ,35 6 0,4 8 0,45 9 0,50 9 0, ,75 3 1,00 3 De Untergrund st berets abgezogen. Weterhn verenfachende Annahme: Untergrund fehlerfre. De Darstellung wollen wr zunächst lnearseren. T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-5
26 Konkretes Bespel Messung des Abstandsgesetzes be radoaktvem Zerfall an Cs-137 Zähleregnsse be fester Messzet n Abhänggket des Abstandes Inverses Abstandsquadrat (m ) Zähleregnsse 5, , , ,16 6 6,5 8 4,94 9 4,00 9, ,78 3 1,00 3 Messunscherhet? T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-6
27 Konkretes Bespel Messung des Abstandsgesetzes be radoaktvem Zerfall an Cs-137 Messrehe: Betrachte Vertelung der Zähleregnsse be festem Abstand N = 1010 Hypothesentest zegt das dese Vertelung gut durch ene Possonvertelung beschreben st. T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-7
28 Konkretes Bespel Messung des Abstandsgesetzes be radoaktvem Zerfall an Cs-137 Zähleregnsse be fester Messzet n Abhänggket des Abstandes Inverses Abstandsquadrat (m ) Zähleregnsse Possonfehler 5, ,6 16, , 11, ,1 8,16 6,4 6,5 8,8 4,94 9 3,0 4,00 9 3,0, ,3 1,78 3 1,7 1,00 3 1,7 T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-8
29 Wederholung: Vorüberlegungen y a bx. Für jedes X gbt es ene Wahrschenlchket P den Messwert Y zu erhalten. Bsher: Normalvertelung der Messwerte 1 1 y y x P exp Offenschtlch ncht gegeben. We krtsch? T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-9
30 Konkretes Bespel Messung des Abstandsgesetzes be radoaktvem Zerfall an Cs-137 T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-30
31 Konkretes Bespel Messung des Abstandsgesetzes be radoaktvem Zerfall an Cs-137 T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-31
32 Konkretes Bespel Messung des Abstandsgesetzes be radoaktvem Zerfall an Cs-137 T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-3
33 Annahme ener Possonvertelung! De Wahrschenlchket unseren Datensatz be N Messpunkten genau so zu beobachten st dann gegeben durch:,! exp De beste Gerade legt dann vor, wenn de Wahrschenlchket maxmal wrd. Es st enfacher zunächst den Logarthmus zu blden und damt zu den Parametersatz für de maxmale Wahrschenlchket zu suchen log, log! exp T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-33
34 Regresson be Possonvertelung log,! log, De Summengrenzen lassen wr weder weg (läuft we mmer über alle Datenpunkte). Der mttlere Term hängt ncht von unseren Regressonsparametern ab. Bestmme nun Bestwerte we üblch durch Extremwertsuche.,, T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-34
35 Regresson be Possonvertelung log, mt,, T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-35
36 Regresson be Possonvertelung - Bestwerte! Damt erhalten wr folgende zwe gekoppelte Glechungen: Ab her geht es ncht mehr analytsch. Betrachte nun numersche Möglchketen. T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-36
37 Sekantenverfahren Iteratves Verfahren: Suche Nullstelle ener Funkton nach folgender Vorschrft ) T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-37
38 Sekantenverfahren Iteratves Verfahren: Suche Nullstelle ener Funkton nach folgender Vorschrft ) T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-38
39 Sekantenverfahren Iteratves Verfahren: Suche Nullstelle ener Funkton nach folgender Vorschrft ) T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-39
40 Sekantenverfahren Iteratves Verfahren: Suche Nullstelle ener Funkton nach folgender Vorschrft ) T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-40
41 Sekantenverfahren Iteratves Verfahren: Suche Nullstelle ener Funkton nach folgender Vorschrft ) T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-41
42 Sekantenverfahren Iteratves Verfahren: Suche Nullstelle ener Funkton nach folgender Vorschrft ) T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-4
43 Sekantenverfahren Iteratves Verfahren: Suche Nullstelle ener Funkton nach folgender Vorschrft ) T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-43
44 Sekantenverfahren Iteratves Verfahren: Suche Nullstelle ener Funkton nach folgender Vorschrft ) T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-44
45 Sekantenverfahren Iteratves Verfahren: Suche Nullstelle ener Funkton nach folgender Vorschrft ) T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-45
46 Sekantenverfahren Iteratves Verfahren: Suche Nullstelle ener Funkton nach folgender Vorschrft ) T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-46
47 Sekantenverfahren Vortele: 1.) Es müssen nur Funktonswerte bestmmt werden. Vele andere Verfahren nutzen Abletungen, was problematsch be ncht hnrechend glatten Funktonen st. Daher sehr robust..) Nur en Rechenschrtt pro Iteratonsschrtt. 3.) Über Wahl der Startpunkte wrd der Berech engeschränkt, n dem gesucht wrd. Vorscht: Das kann auch en Nachtel sen be unpassender Wahl. Nachtele: 1.) Nur superlneares Konvergenzverhalten.) Bestmmung der Dfferenzenquotenten kann numersch Probleme bereten (Auf Maschnenpräzson achten1). T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-47
48 Wr benötgen es nun n zwe Dmensonen: Sekantenverfahren!! Damt bestmmen wr zunächst Funktonswerte für zwe Punktepaare (a 0,b 0 ), (a 1,b 1 ), und lnearseren zwschen desen: T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-48
49 Bestmme Dfferenzenquotenten: Sekantenverfahren T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-49
50 Sekantenverfahren Damt können wr en lneares Glechungssystem n a, b lösen: + + und erhalten: mt: T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-50
51 Sekantenverfahren mt: Mt unserem neuen Datenpaar (a,b ), starten wr dann de nächste Iteraton (zusammen mt (a 1,b 1 )) usw., bs wr das Ergebns n vernünftger Genaugket bestmmt haben. T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-51
52 Konkretes Bespel Messung des Abstandsgesetzes be radoaktvem Zerfall an Cs-137 Mt Posson scher Regresson erhalten wr folgende Bestwerte: T. Keßlng: Fortgeschrttene Fehlerrechnung - Regresson I: Posson sche Regresson Vorlesung 04-5
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Rückblck Regresson II: Anpassung an Polynome T. Keßlng: Auswertung von Messungen und Fehlerrechnung - Fehlerrechnung und Korrelaton 0.06.08 Vorlesung 0- Temperaturmessung mt Thermospannung Wr erhalten
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