Standardnormalverteilung / z-transformation

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1 Standardnormalvertelung / -Transformaton Unter den unendlch velen Normalvertelungen gbt es ene Normalvertelung, de sch dadurch ausgeechnet st, dass se enen Erwartungswert von µ 0 und ene Streuung von σ 1 aufwest. Deser Normalvertelung wrd deshalb ene besondere Bedeutung ugemessen, wel sämtlche übrgen Normalvertelungen durch ene enfache Transformaton n se überführbar snd. s σ µ Durch de -Transformaton können sämtlche Normalvertelungen standardsert werden, d.h. auf enen Standard gebracht werden. Wr beechnen deshalb de Normalvertelung mt µ 0 und σ1 als Standardnormalvertelung. (vgl. Bort, 5. Auflage, S. 75)

2 Übungsaufgabe ur Z - Transformaton Man nmmt an, dass de Ergebnsse enes Tests sch um enen Mttelwert von µ60 vertelen und ene Streuung (um desen Mttelwert) von σ 20 aufwesen. Welcher proentuale Antel der möglchen Testergebnsse legt... a)... über 85 b)... unter 50

3 Lösung Übungsaufgabe Abschntt a) 1. Schrtt: unsere gegebene Vertelung muss standardsert werden 2. Schrtt: dese Standardserung erfolgt über de Z-Transformaton Z 1,25 s, also für den Wert 85: 1,25 3. Schrtt: Ablesen der Wahrschenlchket für unseren transformerten Wert abgelesener Wert für Z 1,25 n der Tabelle: 0,106,entsprcht 11%

4 Abschntt b) 1. Schrtt: unsere gegebene Vertelung muss standardsert werden 2. Schrtt: Z-Transformaton , Schrtt: Ablesen der Wahrschenlchket für unseren transformerten Wert Problem: negatve Z-Werte häufg ncht n der Tabelle auffndbar, dann : Logk der Symmetre der Normalvertelung (sehe Egenschaften!) daher : P(Z < -0,5) P(Z > +0,5) Wr suchen stattdessen also de Wahrschenlchket für den Z-Wert +0,5 n der Tabelle auf: 0,309, entsprcht 31%

5 Hausaufgabe -Transformaton De Vertelung der Ergebnsse des letten Statstktests st normalvertelt mt enem Mttelwert von 7,2 und ener Standardabwechung von 3,5. We groß st de Wahrschenlchket, a) mt mndestens 10 Punkten u bestehen, b) mt der Punktahl wschen 5 und 8 u legen, c) höchstens 4 Punkte u errechen?

6 Lösung Hausaufgabe ur -Transformaton 10 7,2 3,5 P ( 0,8 ) 0, 212 a) 0, 8 De Wahrschenlchket, mt mndestens 10 Punkten u bestehen, beträgt 21,2 %. b) 5 7,2 8 7,2 1 0,63 1 0, 23 3,5 3,5 P ( 0,63 0,23 ) 1 P ( 0,63 ) P ( 0,23 ) 1 0,264 0,409 0,327 De Wahrschenlchket, ene Punktahl wschen 5 und 8 u errechen, beträgt 32,7 %. c) 4 7,2 1 0,91 3,5 P ( 0,91 ) 0, 184 De Wahrschenlchket, höchstens 4 Punkte u errechen, beträgt 18,4%. (-Tabelle: Wonnacott & Wonnacott)

7 Stchprobentheore Wenn jedes Element der Grundgesamthet de gleche Chance hat, n de Stchprobe aufgenommen u werden, so handelt es sch um ene Zufallsstchprobe. Mt Hlfe der Wahrschenlchketstheore st es möglch, von den Stchprobenergebnssen (. B. und s) auf de entsprechenden Parameter der Grundgesamthet u schleßen, d.h. dese u schäten. (Inferenschluß)

8 Schäten von unbekannten Parametern Aus ener Grundgesamthet wrd ene Zufallsstchprobe des Umfangs n > 30 geogen (Voraussetung für de Normalvertelung der Mttelwerte). Der Mttelwert deser Stchprobe wrd berechnet. De Parameter der Populaton (Grundgesamthet) µ und σ snd unbekannt. Mt wrd der unbekannte Parameter µ geschätt. ( als Schätfunkton für µ ). Idee: Der theoretsche Mttelwert µ wrd am besten durch den emprschen Mttelwert beschreben.

9 Annahme: De Mttelwerte von k Stchproben vom Umfang n snd normalvertelt mt dem Mttelwert µ und der Standardabwechung σ σ. Dabe st σ de unbekannte Streuung n der n Grundgesamthet. De Standardabwechung σ heßt Standardfehler der Schätfunkton. Er gbt an, welcher Fehler be der Schätung u erwarten st. ( wrd µ ne genau treffen bw. de Wahrschenlchket herfür st Null). Dese Schätung wrd umso genauer, je klener der Standardfehler st. Der Standardfehler hängt (a) proportonal von der realen Streuung n der Grundgesamthet ab und st (b) umgekehrt proportonal u n.

10 2 2 Da σ unbekannt st, schäten wr σ aus der Stchprobe mt s n 2 1 ( ) 2 n 1 Daraus ergbt sch de Schätung für den Standardfehler: 1 σ s Ausgehend von den Vertelungsegenschaften ener Normalvertelung befndet sch der Stchprobenmttelwert mt ener Wahrschenlchket von ca. 68% m Berech µ ± s und mt ener Wahrschenlchket von 95,5% m Berech µ ± 2 s. s n

11 Der Zentrale Grenwertsat De Vertelung von Mttelwerten aus Stchproben des Umfangs n, de sämtlch derselben Grundgesamthet entnommen wurden, geht mt wachsendem Stchprobenumfang n ene Normalvertelung über.

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