An dem Ergebnis eines Zufallsexperiments interessiert oft nur eine spezielle Größe, meistens ein Messwert.

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1 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J. Puhl FB GW Ds. ZG 1 Zufallsgrößen An dem Ergebns enes Zufallsexperments nteressert oft nur ene spezelle Größe, mestens en Messwert. Bespel 1. Zufällge Auswahl enes Studenten, Ergebns st Student Es nteressert de Körpergröße X ( ) 2. Würfeln mt 2 Würfeln, Ergebns st Paar ( 1, 2), 1 1, 2 6 Es nteressert de Augensumme X ( 1, 2 ) 1 2 Allgemen wrd durch en Zufallsexperment en Elementareregns an wrd der Wert der Zufallsgröße X ( ) abgelesen. ausgewählt, Im Untersched zu Funtonen nehmen Zufallsgrößen hre Werte nur mt bestmmten Wahrschenlcheten an. Vertelung: Welcher Wert ommt mt welcher Wahrschenlchet vor?

2 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J. Puhl FB GW Ds. ZG 2 Dsrete Zufallsgrößen Ene Zufallsgröße heßt dsret, wenn se nur endlch oder abzählbar unendlch vele Werte annehmen ann. endlch: W x,..., 1 xn abzählbar: Bespel 1. Körpergröße X ( ) st ncht dsret, da se alle reellen Zahlen enes bestmmten Intervalls annehmen ann (stetge Zufallsgröße, später genauer) 2. Augensumme X (, ) von 2 Würfeln st dsret, endlch X : 2,3,4,..., 12 z.b. X (1,1) 11 2 X (4, 2) W x,..., x,..., n n aber auch X(1,5) X(3,3) 6 Vertelung von X: Mt welcher Wahrschenlchet treten dese Werte auf? 4.1

3 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J. Puhl FB GW Ds. ZG 3 Dsrete Zufallsgrößen X habe den Werteberech x1,..., x n,... (endlch oder abzählbar unendlch) Vertelung (Wahrschenlchetsfunton) von X st bestmmt durch de Wahrschenlcheten p P( X x ), 1,2,... Folgerungen p 1 P( X t) P( X x ) : x t Vertelungsfunton F( x) P( X x) P( X x ) : x x 4.2

4 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J. Puhl FB GW Ds. ZG 4 Erwartungswert dsreter Zufallsgrößen x1 x n X habe den Werteberech,...,,... (endlch oder abzählbar unendlch) Erwartungswert von X EX x P( X x ) Spezalfall De Zufallsgröße nmmt n verschedene Werte mt jewels der glechen Wahrschenlchet 1/n an. Dann glt 1 1 n n 1 n n n 1 1 EX x P( X x ) x x x Im allgemenen Fall werden de Werte der Zufallsgröße be Berechnung des Erwartungswertes mt der Wahrschenlchet hres Auftretens gewchtet. 4.3

5 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J. Puhl FB GW Ds. ZG 5 Erwartungswert dsreter Zufallsgrößen Egenschaften des Erwartungswerts E( a X ) a EX E( X b) EX b E( g( X )) g( x ) P( X x ) für jede belebge Funton g Für belebge Zufallsgrößen glt E( X Y ) EX EY 4.4

6 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J. Puhl FB GW Ds. ZG 6 Streuungsmaße dsreter Zufallsgrößen X habe den Werteberech x1,..., x n,... Varanz von X VarX x EX P X x 2 ( ) ( ) Es glt VarX E( X EX ) EX ( EX ) Lneare Transformaton 2 Var( a ) a Var X b X Standardabwechung (Streuung) s VarX s Varatonsoeffzent V, EX 0 EX Der Varatonsoeffzent st dmensonslos bzw. wrd n Prozent angegeben, Ene snnvolle Interpretaton st nur für postve Zufallsgrößen möglch. 4.5

7 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J. Puhl FB GW Ds. ZG 7 Kenngrößen dsreter Zufallsgrößen Statstscher Zugang: 100 mal würfeln De relatven Häufgeten schätzen de Wahrschenlcheten des Modells. Augenzahl Abs. Häufgeten Rel. Häufgeten Wtn. (Modell) Der emprsche Erwartungswert (Durchschntt) schätzt den Erwartungswert. 1 x x n Modell: Erwartungswert EX = 3.5 Emprsche Varanz st Schätzung für de Varanz s ( x x) 2.71 n 1 Modell: Varanz VarX = 2.9

8 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J. Puhl FB GW Ds. ZG 8 Spezelle dsrete Vertelungen Dsrete Glechvertelung Modell Aus ener endlchen Menge M a,..., 1 a, n a gezogen. X: gezogene Zahl, dann st X glechvertelt, Erwartungswert 1 P( X a) für jedes a n EX 1 n a n 1 Varanz n n VarX a a n 1 n 1 2 wrd enmalg ens der Elemente zufällg X Gl a a ~ 1,..., n Anwendung: Glücsspele, z.b. zufällge Augenzahl be farem Würfel

9 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J. Puhl FB GW Ds. ZG 9 Spezelle dsrete Vertelungen Bnomalvertelung Bespel In enem -aus-n -System müssen mndestens von n verbauten Telen arbeten, damt das System ncht ausfällt. Unter der Voraussetzung der Unabhängget der Ausfälle berechne man de Zuverlässget enes 2-aus-3 -Systems, wenn de 3 Tele unabhängg vonenander mt glecher Wahrschenlchet p = 0.1 n enem Zetntervall ausfallen. Mt welcher Wahrschenlchet snd n der Zet 0, 1, 2, 3 Tele ausgefallen? Se ene Tel. 0 ncht ausgefallen Y ( ) 1 ausgefallen P( Y 0) 1 p 0.9 P( Y 1) p 0.1 Se de Zufallsgröße X de Anzahl der ausgefallenen unter den n = 3 Telen: X Y( ) Y( ) Y( ) 1 2 3

10 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J. Puhl FB GW Ds. ZG 10 Spezelle dsrete Vertelungen Bnomalvertelung für Anzahl der Ausfälle X = Y( 1 ) + Y( 2 ) + Y( 3 ) Wt. (1-p) (1-p) (1-p) = p (1-p) (1-p) = (1-p) p (1-p) = (1-p)(1-p) p = p p (1-p) = p (1-p) p = (1-p) p p = p p p = Vertelung von X: P( X 0) 0.729, P( X 1) 0.243, P( X 2) 0.027, P( X 3) System funtonert, wenn 2 oder 3 Tele funtoneren bzw. 0 oder 1 Tel ausfällt P( 0 oder 1 Ausfall) P( X 0) P( X 1)

11 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J. Puhl FB GW Ds. ZG 11 Spezelle dsrete Vertelungen Bnomalvertelung Vertelung von X P( X 0) (1 p) (1 ) 0 p 3 P( X 1) 3 p(1 p) p(1 p) 1 3 P X p p p p P( X 3) p p ( 2) 3 (1 ) (1 ) X heßt bnomalvertelt, X~Bn(n,p), wenn n n P( X ) p (1 p), 0 n, 0 p 1 Bnomaloeffzent n Anzahl der Möglcheten, aus n verschedenen Elementen auszuwählen ohne Zurüclegen, ohne Rehenfolge n n!!( n )! n ( n 1)... ( n 1)

12 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J. Puhl FB GW Ds. ZG 12 Spezelle dsrete Vertelungen Modell der Bnomalvertelung Experment mt 2 möglchen Ausgängen 0 und 1 mt P(Y = 1) = p, P(Y = 0) = 1 - p wrd n mal wederholt, wobe sch de Versuchsausgänge ncht beenflussen Erfolgswahrschenlchet p blebt onstant X: Anzahl der Erfolge, dann glt Satz X ~ Bn(n,p), d.h. n n P( X ) p (1 p), 0 n, 0 p 1 X ~ Bn(n,p), dann glt für Erwartungswert und Varanz E X = n p Var X = n p (1 - p) 4.6

13 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J. Puhl FB GW Ds. ZG 13 Spezelle dsrete Vertelungen Bespel Urne mt 3 weßen, 7 schwarzen Kugeln a) Zehen von 2 Kugeln mt Zurüclegen ( ww),( ws),( sw),( ss) w s w s w s P(bede weß) = = 0.09 Zurüclegen schert onstante Erfolgswt. alternatv mt Bnomalvertelung: n = 2 Versuche, Erfolgswt. p = 3/10 X: Anzahl der gezogenen weßen n 2, p 0.3, 2 n P( X ) p (1 p) n

14 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J. Puhl FB GW Ds. ZG 14 Spezelle dsrete Vertelungen gleches Urnenbespel, aber b) Zehen von 2 Kugeln ohne Zurüclegen 3/10 7/10 w s 2/9 7/9 3/9 6/9 w s w s P(bede weß) = Erfolgswt. für Zehen ener weßen Kugel st ncht onstant: 1. Zug p = 3/10 2. Zug p = 3/9 oder p = 2/9 Kene Bnomalvertelung!!! Raucher-Bsp passt demnach auch ncht zu Bnomalvertelung, aber de Erfolgswt. für Auswahl enes Rauchers m 2. Zug hat sch nur vernachlässgbar geändert Ohne Zurüclegen ene onstante Erfolgswt.

15 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J. Puhl FB GW Ds. ZG 15 Spezelle dsrete Vertelungen Hypergeometrsche Vertelung Modell: Urne mt N Kugeln, M davon weß, N M schwarz es werden n Kugeln gezogen ohne Zurüclegen ohne Berücschtgung der Rehenfolge Zufallsgröße X: Anzahl der weßen unter den n Kugeln X st hypergeometrsch vertelt, X ~ Hyp (N, M, n) Wahrschenlchetsfunton: P X Erwartungswert: EX M N M n 0 n, M, N n ( N M ) n M n N M M N M Varanz: VarX n 1 N N N 1 4.7

16 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J. Puhl FB GW Ds. ZG 16 Spezelle dsrete Vertelungen Approxmaton der Hypergeometrschen Vertelung durch de Bnomalvertelung M Für große N glt mt p N Faustregeln M N M n n P X p p N n (1 ) n 0.1 M, n 0.1 ( N M ) oder Stchprobenumfang lener als 1/10 der Grundgesamthet, d.h. 10n N n

17 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J. Puhl FB GW Ds. ZG 17 Spezelle dsrete Vertelungen Possonvertelung Modell X: Anzahl der Eregnsse n enem Kontnuum (Zetraum, Strece, Fläche) Wahrschenlchet für Entreten hängt nur von Größe des Intervalls/Ausschntts, aber ncht von sener der Lage m Kontnuum ab Entreten von Eregnssen n dsjunten Ausschntten st unabhängg vonenander Wahrschenlcheten der Possonvertelung mt Parameter > 0 X ~ Po( ) P X e, 0,1,2,...! heßt Intenstätsrate und entsprcht der mttleren Anzahl von Eregnssen m betrachteten Kontnuum, EX =

18 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J. Puhl FB GW Ds. ZG 18 Spezelle dsrete Vertelungen Satz Für Erwartungswert und Varanz der Possonvertelung glt EX VarX Approxmaton der Bnomal- durch de Possonvertelung Für großes n und lenes p glt mt n p n p n (1 p ) e! Faustregeln: n p 10 bzw. n 1500 p oder n p 9, p 0.1, n

19 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J. Puhl FB GW Ds. ZG 19 Spezelle dsrete Vertelungen Bespel Anzahl gemeldeter Störungen enes Systems pro Tag, erfasst an 149 Arbetstagen Passt dazu en Posson-Modell? Anzahl Störungen Erfasst an Tagen Posson-Modell Schätzung des Parameters durch den Mttelwert, da der Erwartungswert st x Posson-Wahrschenlcheten mt 3.47 für de beobachteten Anzahlen P( X ) e! P( X 0) e somt erwartete Anzahl Tage mt Störungen = 0: 0! = 5 Beobachtet wurde hngegen an 7 Tagen ene Störung.

20 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J. Puhl FB GW Ds. ZG 20 Spezelle dsrete Vertelungen Bespel Anzahl gemeldeter Störungen pro Tag und Anzahl gemäß Pos(3.47) Verglech der beobachteten Häufgeten und der be Modellerung durch ene Possonvertelung mt λ = 3.47 als mttlere erwarteten Anzahl

21 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J. Puhl FB GW Ds. ZG 21 Spezelle dsrete Vertelungen Geometrsche Vertelung Vertelung der Wartezet auf den ersten Erfolg Modell Wederholte Durchführung von unabhänggen Versuchen mt onstanter Erfolgswahrschenlchet p > 0, X: erster erfolgrecher Versuch, dann st X ~ Geo(p) Wahrschenlchetsfunton der geometrschen Vertelung P X p p 1 ( ) (1 ), 1,2,3,... Erwartungswert 1 EX p Varanz 1 p VarX 2 p 4.10

22 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J. Puhl FB GW Ds. ZG 22 Überscht: Dsrete Zufallsgrößen Typ Glech- Vertelung Geometr. Vertelung Bnomalvertelung Possonvertelung Hypergeo. Vertelung x,... 1 xn Realserungen Wahrschenlcheten 1 p n Erwartungswert 1 n n x 1 Varanz 1 n n 1 ( x EX ) 1 1 p 1 x, 1,2,... p(1 p) 2 p p n x, 0,..., n p (1 p n ) np np(1 p) x, 0,1,... x, 0,..., n e! M N M n M M M N M n n 1 N N N N N 1 n 2

23 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J. Puhl FB GW Ds. ZG 23 Gemensame Vertelung von Zufallsgrößen Oft msst man an enem Elementareregns mehr als ene Zufallsgröße. Dann steht oft de Frage nach enem Zusammenhang den Größen. Zufallsgrößen X, Y mt Werteberechen x1 x n,...,,... bzw. y1 y n,...,,... Gemensame Wahrschenlchetsfunton p( x, y ) P( X x, Y y ) j j für alle Kombnatonen x,y j Aus der gemensamen Vertelung erhält man de endmensonalen Vertelungen von X und Y als Randvertelungen: Randvertelung von X: p( x ) P( X x, Y y j ) Randvertelung von Y: p( y ) P( X x, Y y ) j j j für alle x für alle y j 4.11

24 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J. Puhl FB GW Ds. ZG 24 Unabhängget von Zufallsgrößen Zwe dsrete Zufallsgrößen X, Y snd unabhängg, wenn alle Eregnsse X x, Y y unabhängg snd, d.h. für alle, P( X x, Y y ) P( X x ) P( Y y ) Für Unabhängget st also zu prüfen, ob für jede möglche Kombnaton von Ausprägungen der Zufallsgrößen X, Y de Wahrschenlchet deser Kombnaton P(X = x, Y = y glech dem Produt der entsprechenden Randwahrschenlcheten st. P( X x ) P( Y y ) Falls ene Kombnaton gefunden st, für de dese Bedngung ncht glt, snd de Zufallsgrößen abhängg. 4.12

25 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J. Puhl FB GW Ds. ZG 25 Kenngrößen dsreter Zufallsgrößen Kovaranz zweer dsreter Zufallsgrößen Cov( X, Y ) ( x EX )( y EY ) P( X x, Y y ) Enfachere Berechnung der Kovaranz Cov( XY ) E( X EX )( Y EY ) EXY EX EY Folgerung Für unabhängge Zufallsgrößen glt Korrelatonsoeffzent Cov( X, Y ) VarX VarY Cov( XY ) 0, da EXY EX EY

26 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J. Puhl FB GW Ds. ZG 26 Kenngrößen dsreter Zufallsgrößen Egenschaften Für den Korrelatonsoeffzenten glt 1 1 Snd X, Y unabhängg, st 0 Aus 1 folgt, dass en lnearer Zusammenhang zwschen X, Y besteht. Für de Summe zweer Zufallsgrößen glt Var(X + Y = VarX + VarY + 2Cov(X, Y Var(X + Y = VarX + VarY falls X, Y unabhängg außerdem E( X Y ) EX EY falls X, Y unabhängg 4.13

27 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J. Puhl FB GW Ds. ZG 27 Summenvertelungen Summe (Faltung) dsreter Zufallsgrößen Seen X, X 1 2 unabhängge, dsrete Zufallsgrößen mt den Wahrschenlcheten p P( X x ), 0,1,2,... (1) (1) 1 p P( X x ), j 0,1,2,... (2) (2) j 2 j Dann st hre Summe Y X X 1 2 ene dsrete Zufallsgröße mt den Enzelwtn. P( Y y) P( X x ) P( X x ) p p Im Spezalfall (1) (2) (1) (2) 1 2 j j, j: x x y, j: x x y (1) ( 2) (1) ( 2) j j Achtung Formel glt nur be Unabhängget. Anderenfalls braucht man de zwedmensonale (1) (2) Vertelung mt allen Wahrschenlcheten P( X x, X x ) x, x j (1) (2) j glt be Unabhängget P( Y ) P( X ) P( X ), 0,1,2, j

28 SS 2013 Prof. Dr. J. Schütze/ J. Puhl FB GW Ds. ZG 28 Spezelle Summenvertelungen Summe von Bnomalvertelungen Se X1, X 2,..., X ene Folge unabhängger, bnomalvertelter Zufallsgrößen mt X ~ Bn( n, p), 1 Dann st hre Summe bnomalvertelt mt 1 X ~ Bn( n... n, p) 1 Summe von Posson-Vertelungen Se X1, X 2,..., X ene Folge unabhängger, possonvertelter Zufallsgrößen mt X ~ Pos( ), 1 Dann st hre Summe possonvertelt mt 1 X ~ Pos(... )